Cảm biến đo lường và xử lý tín hiệu TRÌNH BÀY VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC

Bài tập lớn Cảm Biến đo Lờng và Xử Lí Tín Hiệu _ 4
Bi 4: TRèNH BY V CC PHẫP BIN I FOURIER RI
RC
Bi Lm:
4.1 Phộp bin i Fourier ri rc ca tớn hiu tun hon
Chỳng ta ó bit n phộp bin i Fourier liờn tc ca tớn hiu ri rc x(n):
( ) ( )
j j n
n
X e x n e

+

=
=

. Chỳng ta thy ngay rng trong cụng thc trờn X(e
j
)
l mt hm s phc liờn tc theo , do ú ph biờn v ph pha tng ng
cng s l cỏc hm thc liờn tc theo biờn s tng ng. Mt khỏc ci
t trong thc t chỳng ta ch cú th lu tr c s lng hu hn cỏc giỏ tr
ri rc, do ú chỳng ta s xem xột mt biu din ri rc ca cụng thc bin
i Fourier núi trờn. Trc ht ta s ri rc hoỏ min giỏ tr t 0 n 2
thnh N im vi khong cỏch 2/N.
2
0,1,2
k
k k N
N

= =
Khi ú giỏ tr ca X(e
j
) ti cỏc im ri rc
k

c tớnh bng:
2
( ) ( )
j kn
N
n
X k x n e

+

=
=


Trong ú khong [-,+] l chu k ca tớn hiu ca tớn hiu khụng tun hon.
Do ú vi tớn hiu x(n) tun hon vi chu k N ta cú cụng thc sau:
2
1
0
( ) ( ) 0,1,2
N
j kn
N
n

X k x n e k N



=
= =

Cụng thc trờn c gi l phộp bin i Fourier ri rc ca tớn hiu tun
hon.
Nhn xột: Cỏc giỏ tr X(k) chớnh l cỏc mu ri rc ca X(e
j
).
SVTH : o Xuõn Quõn Lp CT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
4.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu
hạn
Trong thực tế chúng ta thường chỉ thu được các tín hiệu rời rạc có số
lượng mẫu hữu hạn (chiều dài hữu hạn) do đó để áp dụng được phép biến đổi
Fourier rời rạc nói trên với tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn, ta sẽ xem tín
hiệu có chiều dài hữu hạn như là một chu kỳ của một tín hiệu rời rạc tuần
hoàn. Giả sử ta xét tín hiệu x(n) có N mẫu, khi đó ta sẽ xem x(n) như một chu
kỳ của tín hiệu rời rạc tuần hoàn
( ) ( )
k
x n x n kN
+∞
=−∞
= +
∑
%

. Áp dụng phép biến
đổi Fourier rời rạc với tín hiệu
( )x n
%
ta có:
2
1
0
( ) ( )
N
j nk
N
n
X k x n e
π
−
−
=
=
∑
%
%
Mặt khác ta thấy rằng
( )X k
%
cũng là một tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ
N và X(k) là một chu kỳ của
( )X k
%
từ đó ta có công thức biến đổi Fourier rời

rạc của tín hiệu x(n):
2
1
0
( ) ( ) 0,1,2 1
N
j nk
N
n
X k x n e k N
π
−
−
=
= = −
∑
Từ công thức trên ta có thể tinh được x(n) bằng công thức biến đổi Fourier rời
rạc ngược sau:
2
1
0
1
( ) ( )
N
j nk
N
k
x n X k e
N
π

−
=
=
∑
4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
a)Tuần hoàn :
, 2,1l G
, 2,1 g
±±==
±±==
+
+
klNk
nmNn
G
mg
b) Tuyến tính :
Nếu:
N
DFT
N
kXnx )()(
11
 →←

N
DFT
N
kXnx )()(
22

 →←
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
Thì:
NN
DFT
NN
kXakXanxanxa )()()()(
22112211
+ →←+
Nếu
21
21 xx
LNNL =≠=
Chọn
},max{
21
NNN =

c) Dịch vòng:
Nếu
)()(
N
DFT
N
kXnx  →←
Thì
)()(
0
0 N

kn
N
DFT
N
kXWnnx  →←−
Với
(n)rect)(
~
)(
N00 NN
nnxnnx −=−
gọi là dịch vòng của x(n)
N
đi n
0
đơn vị
d) Chập vòng:
Nếu
N
DFT
N
kXnx )()(
11
 →←

N
DFT
N
kXnx )()(
22

 →←
Thì
NN
DFT
NN
kXkXnxnx )()()()(
2121
 →←⊗
Với
∑
−
=
−=⊗
1
0
2121
)()()()(
N
m
NNNN
mnxmxnxnx
Chập vòng 2 dãy x
1
(n) & x
2
(n)
Và
)()(
~
)(

22
nrectmnxmnx
NNN
−=−
Dịch vòng dãy x
2
(-m) đi n đơn vị
vòng có tính giao hóan
NNNN
nxnxnxnx )()()()(
1221
⊗=⊗
Nếu
21
21 xx
LNNL =≠=
Chọn
},max{
21
NNN =
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
BÀI TẬP:
BT 4.1: Tìm DFT của dãy:
{ }
4,3,2,1 )(
↑
=nx
\
GIẢI:

∑
=
=
3
0
4
)()(
n
kn
WnxkX

jWWjeW
j
=−=−==
−
3
4
2
4
4
2
1
4
;1;
π
10)3()2()1()0()()0(
3
0
0
4

=+++==
∑
=
xxxxWnxX
n
22)3()2()1()0()()1(
3
4
2
4
1
4
3
0
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
+−=+++==
∑
=
2)3()2()1()0()()2(
6
4
4
4
2
4
3
0

2
4
−=+++==
∑
=
WxWxWxxWnxX
n
n
22)3()2()1()0()()3(
9
4
6
4
3
4
3
0
3
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
−−=+++==
∑
=
BT 4.2 : Cho:
{ }
4,3,2,1 )(
↑
=nx

a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)
4
, x(n-2)
4
GIẢI:
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
{ }
2,1,4,3 )2(
4
↑
=−nx
{ }
3,2,1,4 )3(
4
↑
=+nx
BT 4.3: Tìm chập vòng 2 dãy
{ }
4,3,2 )(
1
↑
=nx

{ }
4,3,2,1 )(
2
↑
=nx

GIẢI:
Chọn độ dài N:
4},max{4,3
2121
==⇒== NNNNN
30:)()()()()(
3
0
4241424143
≤≤−=⊗=
∑
=
nmnxmxnxnxnx
m
 Đổi biến n->m:
{ }
0,4,3,2 )(
1
↑
=mx

{ }
4,3,2,1 )(
2
↑
=mx
 Xác định x
2
(-m)
4

:
{ }
2,3,4,1 )()(
~
)(
44242
↑
=−=− nrectmxmx
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4


)(
~
2
mx −

)()(
~
)(
4242
nrectmxmx −=−

Xác định x
2
(n-m) là dịch vòng của x
2
(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái

SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4

 Nhân các mẫu x
1
(m) & x
2
(n-m) và cộng lại:

30:)()()(
3
0
424143
≤≤−=
∑
=
nmnxmxnx
m
 n=0:
26)0()()0(
3
0
424143
=−=
∑
=m
mxmxx
 n=1:
23)1()()1(
3

0
424143
=−=
∑
=m
mxmxx
 n=2:
16)2()()2(
3
0
424143
=−=
∑
=m
mxmxx
 n=3:
25)3()()3(
3
0
424143
=−=
∑
=m
mxmxx
 Vậy:
{ }
25,16,23,26 )()()(
424143
↑
=⊗= nxnxnx

SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52