ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN THI THPT QUỐC GIA

ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
ÔN THI THPT QUỐC GIA
1
HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM
SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Chương I
ĐẠO HÀM – VI PHÂN
I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN
NẮM
Nhóm
Đạo hàm của các hàm số hợp
(u = u(x))
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản
Đa
thức

α ' α 1 '
(u )α.u . u
−
=

'
1 u
'
( )
2
u
u

= −

'
u
'
( u)
2 u
=
α ' α 1
(x )α.x
−
=
1 1
'
( )
2
x
x
= −
1
'
( x)
2 x
=
Lượng
giác
(sinu)
’
= u
’

.cosu
(cosu)
’
= - u
’
.sinu
(tgu)
’
=
'
u
' 2
u .(1 tg u)
2
cos u
= +
(cotgu)
’
= -
'
u
2
sin u
(sinx)
’
= cosx
(cosx)
’
= - sinx
(tgx)

’
=
1
2
(1 tg x)
2
cos x
= +
(cotgx)
’
= -
1
2
(1 cotg x)
2
sin x
= − +
Mũ (e
u
)
’
= u
’
.e
u
(a
u
)
’
= u

’
.a
u
.lna
(e
x
)
’
= e
x
(a
x
)
’
= a
x
.lna
2
Lôgarit
(ln|u|)
’
=
u
u
'
'
u
'
(log |u|)
a

u.lna
=
(ln|x|)
’
=
x
1
1
'
(log |x|)
a
x.lna
=
II. VI PHÂN:
1. Định nghĩa: df(x) = f
’
(x).dx
2. Qui tắc:
• d(u ± v) = du ± dv
• d(uv) = udv + vdu
•
u vdu udv
d( ) (v 0)
2
v
v
−
= ≠
Chương II
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo
hàm trong (a ; b) thì tồn tại điểm c
∈
(a ; b) sao cho: f
’
(c) =
f(b) f(a)
b a
−
−
II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Hàm số không đổi: f
’
(x) = 0 ⇔ f(x) = c
2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≥ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≤ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
3
a) Nếu f
’

(x) > 0 ∀x
∈
(a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b)
b) Nếu f
’
(x) < 0 ∀x
∈
(a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b)
• Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f
’
(x) = 0 tại một số
hữu hạn điểm
thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng.
III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y =
f(x)
Qui tắc 1:
1) Tính đạo hàm y
’
= f
’
(x)
2) Tìm các điểm tới hạn x
i
: Là nghiệm của phương
trình f
’
(x) = 0 hoặc tại các điểm đó f
’
(x) không xác
định

3) Lập bảng xét dấu của f
’
(x)
4) Tại mỗi điểm x
i
mà qua đó nếu:
a) f
’
(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực
tiểu tại điểm đó
b) f
’
(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại
tại điểm đó
c) f
’
(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại
điểm đó
Qui tắc 2:
1) Tính f
’
(x), f
’’
(x)
2) Tìm các điểm x
i
tại đó f
’
(x) = 0 (nghiệm của phương
trình này)

3) Tính f
’’
(x
i
):
4
a) Nếu f
’’
(x
i
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó
b) Nếu f
’’
(x
i
) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
CHÚ Ý:
• Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x
1
và x
2
, f
’
(x) luôn giữ
nguyên một dấu
• Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số:
- Trong trường hợp điểm cực trị x
0
(x
CĐ

, x
CT
) là số vô tỉ thì:
1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ
U(x)
f (x)
V(x)
=
thì
'
0
0
'
0
U (x )
f(x ) =
V (x )
2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
Ta chia f(x) cho f
’
(x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n)
vậy ta có:
f(x) = f
’
(x).(px + q) + (mx + n) thì f(x

0
) = (mx
0
+ n) (vì
f
’
(x
0
) = 0)
VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các
trường hợp sau:
1)
2
x 2x 3
f (x)
x 1
+ +
=
−
2) f(x) =
3
x
2
2x x 1
3
− + +
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
khoảng (a ; b)
- Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý:

5
+ Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x
0
thì f(x
0
) = Min y
+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x
0
thì f(x
0
) = Max y
+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm
thêm giới hạn của f(x) tại các biên a, b để kết
luận thích hợp.
2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
đoạn [a ; b]
- Giải phương trình f
’
(x) = 0, tìm các nghiệm x
1
, x
2,

…, x
n
(Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b])
- Tính f(a),f(b), f(x
1
), f(x
2

)
,
…, f(x
n
)
- So sánh f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
)
,
…, f(x
n
)

⇒

•
Số lớn nhất M là GTLN của hàm số y = f(x)
trên đoạn [a ; b], KH: M =
max ( )
[ ; ]
f x
a b

•
Số nhỏ nhất m là GTNN của hàm số y = f(x)
trên đoạn [a ; b],
KH: m =
min ( )

[ ; ]
f x
a b
CHÚ Ý: • Nếu giải phương trình f
’
(x) = 0 vô nghiệm ⇒
f(x) đơn điệu trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh
f(a) và f(b): Số lớn là Max y và số nhỏ là Min
y.
• Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:
6

⊕
Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của
hàm số
(xem chuyên đề bất đẳng thức)

⊕
Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và
tìm điều kiện để phương trình có
nghiệm trong [a ; b]
V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG
CONG
1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm
cấp hai f
’’
(x) trên khoảng (a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’
(x) < 0 với mọi x

∈
(a ; b) thì đồ thị của hàm số
là lồi trên khoảng đó
b) Nếu f
’’
(x) > 0 với mọi x
∈
(a ; b) thì đồ thị của hàm số
là lõm trên khoảng đó
2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f
’’
(x) trên khoảng (a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’
(x) đổi dấu khi đối số x đi qua x
0
thì M
0
(x
0
;
f(x
0
)) là một điểm
uốn của đồ thị
b) Nếu f
’’
(x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x
0
thì điểm

M
0
(x
0
; f(x
0
))
không phải là điểm uốn của đồ thị.
VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)
1. Tiệm cận đứng
7
• Nếu
lim f(x)
x x
o
= ∞
→
thì đường thẳng x = x
o
là tiệm cận
đứng của (C)
2. Tiệm cận ngang
• Nếu
lim f(x)
x
=
→∞
y
o
thì đường thẳng y = y

o


là tiệm cận
ngang của (C)
3. Tiệm cận xiên
• Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm
cận xiên của (C) ⇔
lim
x → ∞
[f(x) – (ax +b)] = 0
• Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax
+b theo công thức: a =
f(x)
lim
x
x
→∞
, b =
lim
x→∞
[f(x) –
ax ]
4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x):
- Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó
- Tính giới hạn của hàm số tại các mút
+ Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang.
+ Nếu
f(x) =lim
x

∞
→∞
thì ta tính a =
f(x)
lim
x
x
→∞
:
• Nếu a ≠ 0,
∞
thì ta tính b =
lim
x→∞
[f(x) – ax ].
Nếu b ≠
∞
thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b.
VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát 1 hàm số:
B
1
: Tìm TXĐ
8
B
2
: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm
số và chỉ ra các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)
B
3

: • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ)
• Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức
hữu tỉ
B
4
: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm
đa thức)
B
5
: Lập bảng biến thiên
B
6
: Đồ thị:
+ Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được)
+ Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox
không được…)
+ Vẽ đồ thị
+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu
có) của đồ thị.
2. Khảo sát một số hàm số thường gặp
a) Hàm đa thức
• y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
• y = ax
3
+ bx
2

+ cx + d (a
≠
0)
• y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
b) Hàm phân thức hữu tỉ
• y =
ax b
cx d
+
+
(c
≠
0, D = ad – bc
≠
0)
B. CÁC DẠNG TOÁN
9
CHỦ ĐIỂM 1
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
1)
2
1y x x= + −

2)
2
4 3y x x= − +
3)
2
4y x= +
4) y =
2
2
1
1
x x
x
+ +
−
5) y =
2
2 2
3
x x
x
− +
−
6) y =
3 23
3x x− +
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM
SỐ THƯỜNG GẶP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc
ba sau:

1) y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (ĐH KA –
2006)
2) y = -x
3
+ 3x
2
- 4 (ĐH KB –
2007)
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
trùng phương sau:
1) y = x
4
- 8x
2
+ 10 (ĐH KB –
2002)
2)
4
2
x
y 2(x 1)
2
= − −
(ĐH DB KA
– 2006)
10

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
nhất biến sau:
1)
3x 1
y
x 1
− −
=
−
(ĐH KD –
2002)
2)
2x
y
x 1
=
+
(ĐH KB –
2007)
VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT
ĐỐI
⊗
PHƯƠNG PHÁP:
Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì:
• Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi
khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
• Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của
miền xác định.
Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này.

Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|)
♦ Hàm số dạng: y = |f(x)|
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox
- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.
Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y = |f(x)|
11
♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối
xứng qua Oy)
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C
0
)
- Lấy đối xứng phần (C
0
) qua trục Oy ta có (C
1
)
Hợp hai phần (C
0
)

và (C
1
) trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y
= f(|x|)

⊗
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) =
x 1
x 2
+
+

2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:
a) y =
| x | 1
| x | 2
+
+
b) y =
| x 1|
x 2
+
+
c) y =
x 1
| |
x 2
+
+
d) y =
x 1
| x 2|
+

+
3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng)
CHỦ ĐIỂM 2
12
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
A. Phương pháp:
Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) thoả mãn một số điều kiện cho sẵn:
1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) thuộc (C) có phương
trình là:
y – y
0
= f’(x
0
).(x – x
0
) (k = f’(x
0
): là hệ số góc)
♦ Các dạng khác nhau của đề bài:
• Cho x
0

: Tính y
0
= f(x
0
) và f
’
(x
0
)
• Cho y
0
: Giải phương trình y
0
= f(x
0
) để có x
0
rồi tính f
’
(x
0
)
• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:
Giải phương trình f
’
(x
0
) = k để có x
0
rồi tính y

0
= f(x
0
)
2. Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x
1
,y
1
) bất kỳ
( M(x
1
,y
1
) có thể thuộc hay không thuộc (C) )
♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
M(x
1
,y
1
) và có hệ
số góc k: y – y
1
= k(x – x
1
)
⇔
y = k(x – x
1
) + y
1

(1)
• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x
0

⇔
x
0

và k là nghiệm
13
của hệ pt:
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +



=


(I) ⇒ k rồi thay
vào (1).
♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x
0
)
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x
0

,y
0
) là:
y – f(x
0
) = f’(x
0
).(x – x
0
) (1)
• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x
1
,y
1
) nên x
1
và y
1
nghiệm
đúng (1):
y
1
– f(x
0
) = f’(x
0
).(x
1
– x
0

) (2)
• Giải (2) ta có x
0
rồi thế x
0
vào (1) ta được phương trình
tiếp tuyến cần tìm.
3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x
1
; y
1
) kẻ được n
tiếp tuyến
Phương pháp thông thường là bắt hệ (I)
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +



=


có n nghiệm ⇔ f(x) = f
’
(x)(x – x
1
) +

y
1
có n nghiệm
4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y =
2
ax + bx + c
' '
a x + b
(H)
Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):
• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:
+ M là trung điểm của AB
+ Tam giác AIB có diện tích không đổi
• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng
số
14
• IA.IB = const
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = x
4
– 2x
2
– 3. Viết phương trình tiếp tuyến
với (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. (ĐS:
8 3( 3)y x= ± m
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 1 (C), và điểm A(0,

-1).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A
b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.
Bài 3: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
(H).
Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này
vuông góc với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x
3
– 3x
2
+ 4
biết tiếp tuyến qua P(1;0).
Bài 5: Cho (C): y = x
3
– 3x
2
+ 2.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(
23
; 2)
9
−
b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ
đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Bài 6: Cho (C
m
): y =
(m 1)x m
x m
− +
−
15
Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm trên (C
m
) có hoành
độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa
độ.
Bài 7: Cho hàm số y = 2x +
2
x 1−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của
(H)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì
M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích
không đổi, khi M thay đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một

hằng số.
c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
Bài 8: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
− +
−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của
(H). Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng
minh rằng:
1) M là trung điểm của PQ
2) Tam giác AIB có diện tích không đổi
3) IQ.IP không đổi.
VẤN ĐỀ 2
16
TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM
CỰC TIỂU
Bài 1: Cho hàm số y = – x
3
+ mx
2
– m. Tìm m để hàm số đồng
biến trong
khoảng (1; 2). ĐS :
3m ≥
Bài 2: Tìm m để hàm số
3 2

y = 2 3
3 2
x mx
x− − +
trên khoảng
(1 ; + )∞
(HD: 1)m ≤ −
Bài 3: Cho hàm số y = x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2
Tìm để hàm số luôn đồng biến. ĐS :
6 6
6 6
m− ≤ ≤
Bài 4: Cho hàm số
3 2
x x
y mx
3 2
= + +
Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có
hoành độ lớn hơn m. (ĐS : m < -2)
Bài 5: Tìm m để hàm số
1 1
3 2
y = ( 1)
3 2
x x m x+ + +

đạt cực trị tại
các điểm có hoành độ x > m.
3
( , 1)
4
m m< − ≠ −
Bài 6: Cho hàm số
2 22
x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1)
Bài 7: Định m để hàm số
4 2 2
y = mx ( 9) 10m x+ − +
có ba điểm
cực trị.
ĐS :
3
0 3
m
m



< −
< <

Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số
3
2 2
y = (a 1) ( 1) 3 1
3
x
a x x− + + + +
đồng biến trên
¡
?
HD: 1 2a a< − ∨ ≥
17
Bài 9: Định m để hàm số
2
y =
1
x x m
x
− +
−
đạt cực tiểu tại x = 2.
(ĐS: m = 1)
Bài 10: Định m để hàm số
2
y =
1
x x m
x
+ +
+

có các điểm cực trị
nằm về hai phía của trục tung (ĐS: m > 0).
Bài 11: Định m để hàm số
1
3 2
y = ( 1) 4 7
3
x m x x+ + + +
có độ dài
khoảng nghịch biến bằng
2 5
. ĐS:
2
(x x ) 4x x 20 m 2,m 4
1 2 1 2
+ − = ⇒ = = −
.
Bài 12: Định m để hàm số
2
y = ( m 0 )
x mx m
x m
− +
≠
−
có giá trị
cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
:0 4HD m< <
Bài 13: Cho hàm số
3 2

y = 2x 3(2 1) 6 ( 1) 1. m x m m x− + + + +
Với giá
trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng
nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2
1
:
1 17
4
m
HD
m





= −
− ±
=
Bài 14: Chứng minh rằng hàm số
2
8
y =
1
x mx m
x
+ − +
−
luôn có
cực trị với mọi m. Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu

thỏa mãn:
2 2
y + y 72
cd ct
=
{ }
2
2 8
4 ( y = m + 8 )
HD : D = \ 1 , y = = 0
2 ( y = m 4 )
2
( 1)
2 2 2 2
y + y 72 ( 8) ( 4) 72 2
CT
CÑ
x x
x
x
x
m m m



− −
=
′
• ⇔
= − −

−
• = ⇔ + + − = ⇔ = −
¡
Bài 15: Tìm m để hàm số
3 2
y = 2x 3( 1) 6( 2) 1m x m x+ − + − +
có
hai cực trị thuộc khoảng (-2, 3).
18
{ }
2 2
: D = , y = 6x 6( 1) 6( 2) 6[ ( 1) ( 2)] 0
1, 2
1 2
1 2 3
1 2
( 2;4)\ 3
, ( 2;3)
2 2 3 1 4
1 2
HD m x m x m x m
x x m
x x
m m
YCBT m
x x
m m

 


  
 


′
+ − + − = + − + − =
⇔ = − = −
≠
− ≠ − ≠
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −
∈ −
− < − < − < <
¡
DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC
TRỊ CỦA ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 3m – 5
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a)
| | 3m >
. b) y = 2(3-m
2
)x + 6m – 5,
| | 3m >
Bài 2: Cho hàm số y = x
3

– 3x
2
- 9x + m
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a)
∀
m b) y = -8x + m - 3
Bài 3: Cho hàm số
2
x (m 1)x m 1
y
x m
+ + − +
=
−
a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT.
b) Tìm m để y
CĐ
.y
CT
> 0 (ĐS:
3 2 3 m < 3 2 3m > − + ∨ − −
)
c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số.
(ĐS : y=2x+m+1)
Bài 4: Cho hàm số
2
2x 3x m

y
x m
− +
=
−
. Tìm m để hàm số y có
cực đại, cực tiểu
19
thỏa mãn: |y
CĐ
– y
CT
| > 8 (ĐS:
1 5 1 5
2 2
m m
− +
< ∨
)
Bài 5: Cho hàm số
3 2
y = x 3 1.x mx+ + +
a) Tìm m để hàm số có cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số
c) Tìm m để y
max
+ y
min
= 2

ĐS:
1
) 3 b) y = [(2 6) 3 ] , 3 ) m = 2
3
a m m x m m c< − + − <
VẤN ĐỀ 3
TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban
NC)
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2x 1
y
2
x x 1
+
=
+ +

có 3 điểm uốn thẳng hàng. (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-
1), C(
1
2
−
,0))
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 3(m - 1)x
2
+ 3x – 5
a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số
b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x

0
> m
2
–
2m – 5
ĐS: a) m
≥
3, b) -1 < m < 4
20
Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0): Thì
hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn
nhất nếu a < 0 và nhỏ nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc
các tiếp tuyến tại điểm khác.
Bài 4: Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là
điểm uốn.
ĐS: a =
1 3
4 2
b∧ = −
Bài 5: Cho hàm số
3 2
3 9 1y x mx x= − + +

(1). Tìm m để điểm
uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1.
VẤN ĐỀ 4
TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM
ĐỐI XỨNG
DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục -
Tâm đối xứng
A. Phương pháp:
+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ⇔ f(x) =
f(-x)
(Hàm số chẵn đối với x)
21
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối
xứng
+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng ⇔ f(x) =
- f(x)
(Hàm số chẵn đối với y)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 3m + 1
Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
ĐS: m < 0 hoặc m>1/3
Bài 2: Cho (C):
2 2 2
x 2m x m
y
x 1

+ +
=
+
Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
ĐS:
2
1; |m| >
2
m
≠ ±
Bài 3: Cho hàm số: y = x
3
– 3mx
2
+ (m
2
+ 2m - 3)x + 4


(C
m
)
Tìm m để (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về
hai phía của trục tung. (ĐS: - 3 < m < 1)
(ĐH
A.N HN K.D)
Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (C
m

): y = x
3
– 3x
2
- (m-
2)x + m + 1
đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4.
DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM
Cho (C): y = f(x)
2) Chứng tỏ (C) nhận I(x
0
; y
0
) làm tâm đối xứng
(1)
22
1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng
(2)
A. Phương pháp:
- Đổi trục tọa độ
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

, ta được phương trình mới

Y = g(X)
+ Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x
0
; y
0
) làm tâm
đối xứng ⇒ (1)
+ Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x
0
, y
0
.
⇒ (2)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng tỏ (H):
2
2x 5x 4
y
x 1
− +
=
−
có tâm đối
xứng là giao điểm của 2 đường tiệm cận. (ĐS:
I(1, -1))
Bài 2: Chứng tỏ (H):
2x 5
y
x 2
−

=
+
có tâm đối xứng là
giao điểm của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(-
2, 2))
Bài 3: Cho (C
m
):
3
2
x
y 3mx 2
m
= − + −
Tìm m để (C
m
) nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng.
(ĐS: m = 1)
DẠNG 3: ĐỐI XỨNG TRỤC
Cho (C): y = f(x).
1) Chứng tỏ (C) nhận (d): x = x
0
làm trục đối xứng
(1
’
)
23
2) Chứng tỏ (C) có một trục đối xứng có phương
Oy (2
’

)
A. Phương pháp: - Bài toán này chưa cho x
0
, y
0
chưa được cho
trước
+ Ta đổi trục tọa độ
0
x X x
y Y
= +


=

, ta được phương
trình mới Y = g(X)
+ Nếu Y = g(X) là hàm chẵn thì (C) nhận (d): x = x
0

làm trục đối xứng ⇒ (1
’
)
+ Buộc Y = g(X) là hàm chẵn ta tính được x
0
⇒ (2
’
)
B. Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x
4
– 4x
3
+ 4x
2
nhận đường
thẳng x = 1 làm trục đối xứng.
Bài 2: Cho (C
m
):
4 3 2
y x 4x mx= + +
1) Với m = 4, Chứng tỏ (C
4
) có trục đối xứng
(ĐS: x = -1)
2) Tìm các giá trị của m để (C
m
) có trục đối xứng
// Oy
ĐS : m = 4, x = -1
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
+ 4ax
3
– 2x
2
– 12ax (C
a

)
Tìm a để (C
a
) có trục đối xứng song song với
Oy.
ĐS : a = 0, x = 0 ; a =
1±
, x =
1m

VẤN ĐỀ 5
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
24
(XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN & GTNN)
VẤN ĐỀ 6
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
A. Phương pháp:
• Cho hai đường:
'
(C) : y f(x)
(C ) : y g(x)
=


=

• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C
’
) là: f(x)

= g(x) (1)
• Nhận xét:
- Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm
của (C) và (C
’
).
- Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm
chung của (C) và
(C’). Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hay y
0
=
g(x
0
).
• Biện luận:
♦ (1) có n nghiệm đơn ⇔ (C) và (C
’
) cắt nhau tại n điểm.
25
x
y
0
y
0

x
O