CHUYÊN đề KHẢO sát hàm số PHƯƠNG PHÁP LUYỆN tập KHẢO sát hàm số

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP
KHẢO SÁT HÀM SỐ

I. Đặt vấn đề
Nhằm giúp học sinh có định hướng tốt mơn tốn cho kỳ thi TN THPT , ta đưa ra một số bài toán khảo
sát hàm số nằm trong nội dung kiến chương trình ,để học sinh có cơ hội làm quen được dạng tốn của
kỳ thi . Với một số bài tốn dưới đây khơng là tất cả , mà nó chỉ là nét điển hình chung để phác hoạ lên
kiến thức yêu cầu của một bài toán khảo sát hàm số . Mong HĐBM cùng với các thầy cô cùng tham
luận để nâng cao chất lượng dạy và học toán của tỉnh nhà .

II. Nội dung thực hiện
Yêu cầu kiến thức
•
•
•
•
•
•
•
•

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
Biện luận số nghiệm phương trình , số giao điểm giữa hai đồ thị .
Phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước .
Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc .
Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm .
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước .
Phương trình tiếp tuyến vng góc với một đường thẳng cho trước .
Một số dạng toán liên quan đến đơn điệu , cực trị , giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất và đồ thị chứa
dấu giá trị tuyệt đối .

Yêu cầu đối với học sinh
•

•
•

Phải bảo đảm tất cả mọi học sinh đều thành thạo trong việc khảo sát và vẽ được đồ thị ba hàm
ax + b
3
2
4
2
số y = ax + bx + cx + d; y = ax + bx + c; y =
theo đúng mẫu của SGD gởi đến.
cx + d
Phải bảo đảm mọi học sinh thực hiện tốt các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số .
Phải thường xuyên ôn tập cho học sinh (Bằng cách ra đề tương tự bắt học sinh làm tại nhà ).

III. Bài toán luyện tập
a. Hàm số bậc ba

y = ax 3 + bx 2 + cx + d

( a ≠ 0)

Bài 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x 3 − 3x + 2 − m = 0 .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( 2;4 ) .

1
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = .
2
5. Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ y = 0 .
Bài 2. Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 4 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x 3 − 3x 2 + m = 0 .
1
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ là x = .
2
9
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k = .
4
5. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( d ) : y = 3x + 2010 .
Bài 3. Cho hàm số y = 4x3 − 3x − 1

(C)
1


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương trình :
3
x3 − x + m = 0
4
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
15
( d1 ) : y = − x + 2010

9
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
x
( d 2 ) : y = − + 2010
72
5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm M ( 1, −4 ) .
Bài 4. Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 - 1 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
2
( d1 ) : y = x + 2010
3
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua M ( 2;3) và tiếp xúc với đồ thị (C).

4. Tìm m để đường thẳng ( d 2 ) : y = mx − 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 5. Cho hàm số y = - 2x3 + 3x2 - 1 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
2
( d1 ) : y = − x + 2010
3
 1
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua M  1; ÷ và tiếp xúc với đồ thị (C).
 4
4. Tìm m để đường thẳng ( d 2 ) : y = mx − 1 cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất .
5. Tìm m để đường thẳng ( d 3 ) : y = m ( x − 1) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .

2
Bài 6. Cho hàm số y = ( 2 - x) ( x + 1)

(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để đồ thị (C’) y = ( 2 − x ) ( m − 2 ) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
3
( d1 ) : y = − x + 2010
8
4. Tìm m để đường thẳng ( d 2 ) : y = m ( x + 1) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .

5. Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực đai, cực tiểu và điểm M ( −3;4 ) .

x3
− 2 x 2 + 3x + 1 (C)
3
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :
x3 − 6x2 + 9 x + 3 − m = 0
3. Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất .
 7
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M  4; ÷ và tiếp xúc đồ thị (C) .
 3
3
2
Bài 8. Cho hàm số y = − x + 3 ( m + 1) x − 2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 .
Bài 7. Cho hàm số y =

2

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình : x 3 − 3x 2 − 2k = 0 .
3. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực đại và cực tiểu .
4. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
5. Tìm tất cả những điểm M ∈ ( C ) sao cho ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C) .
8 3 4 2 16
Bài 9. Cho hàm số y = − x − x + x (C)
27
9
9
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :
8 x 3 + 12 x 2 − 48 x − m = 0
3. Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến lớn nhất .
3
5. Tìm k để phương trình 8 x + 12 x 2 − 48 x + k = 0 có hai nghiệm thực trên đoạn [ −2;2] .
3
Bài 10. Cho hàm số y = 4 x − 3 ( m + 1) x + 1 ( Cm )
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi m = 0 .
2. Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình :
4 x 3 − 3x + k = 0
3. Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị .
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (Cm).
5. Tìm quĩ tích cực trị của họ đồ thị (Cm) .

b. Hàm số trùng phương

y = ax 4 + bx 2 + c

( a ≠ 0)

Bài 1. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2 x 2 = m
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x = 2 .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 8 .
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .
Bài 2. Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 1
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2 x 2 = m .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x = 2 .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = −9 .
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24
Bài 3. Cho hàm số y = x 4 + x 2 + 1
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2 x 2 = m .
21
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y =
.
16
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng ( d1 ) : y = 6 x + 2010 .
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
1
( d 2 ) : y = x + 2010 .

6
Bài 4. Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 1
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình − x 4 + x 2 + m = 0
3


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
3
.
16
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2.
5. Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) .
1 4
2
Bài 5. Cho hàm số y = x − 2 x
(C)
4
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để phương trình − x 4 + 8 x 2 = m có 4 nghiệm thực phân biệt.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng ( d1 ) : y = 15 x + 2010 .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường
8
thẳng ( d 2 ) : y = − x + 2010 .
45
5. Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị (C) .
1 4
2

Bài 6. Cho hàm số y = − x + 2 x − 1
(C)
4
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để phương trình x 4 − 8 x 2 + 4 = m có 2 nghiệm thực phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = 1 .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường
thẳng ( d ) : 8 x − 231 y + 1 = 0 .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y =

5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( 0; −1) và tiếp xúc với đồ thị (C) .

Bài 7. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình − x 4 + 2 x 2 > −8 .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 .
5. Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx + 3 cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt .
x4
5
− 3mx 2 + m
2
2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x 4 − 6 x 2 + k = 0 .
x4
3. Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình
− 3 x 2 < −4 .
2

4. Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 3 .
5. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị .
Bài 9. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −2 .
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x 4 − 4 x 2 + k = 0 .
3. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 .
4. Tìm m để hàm số có 1 cực trị .
5. Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một
góc 1200 .
4
2
2
Bài 10. Cho hàm số y = mx + ( m − 9 ) x + 10
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
2. Tìm k để phương trình x 4 − 8 x 2 + 10k = 0 có hai nghiệm thực phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
( d ) : 2 x + 45 y − 1 = 0 .
4. Tìm m để hàm số có một điểm cực trị .
Bài 8. Cho hàm số y =

4


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
5. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị .

c. Hàm số hữu tỉ

y=

ax + b
cx + d

2x + 1
(C)
x +1
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

Bài 1. Cho hàm số y =

1
.
2
1
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = − .
2
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −3 .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x =

5
5. Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx + − 2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
3
x +1
(C)
x −1
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

Bài 2. Cho hàm số y =

1
.
2
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
9
thẳng ( d1 ) : y = − x + 2010 .
2
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
1
( d2 ) : y = x − 1.
8
1
5. Tìm m để đường thẳng ( d 3 ) : y = mx + 2m + cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hồnh
3
độ âm .
x −1
Bài 3. Cho hàm số y =
(C)
x +1
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hồnh .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
8
1
( d1 ) : y = − x + .
9
3
1
5. Tìm m để đường thẳng ( d 2 ) : y = mx − 2m + cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hồnh

3
độ dương .
3x + 1
Bài 4. Cho hàm số y =
(C)
1− x
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác
của góc phần tư thứ nhất .
3. Tìm m để đường thẳng ( d1 ) : y = mx − 2m − 7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt
.Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
( d2 ) : x + y − 2 = 0 .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y =

5


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
5. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hồnh độ và tung độ đều là số nguyên .
x+2
Bài 5. Cho hàm số y =
(C)
2− x
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường phân giác
của góc phần tư thứ hai .
3. Viết phương trình đường thẳng qua điểm M ( 3;4 ) và tiếp xúc với đồ thị (C) .

4. Tìm m để đường thẳng ( d1 ) : y = mx + 3 − m đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .Tìm tập

hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
5. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hồnh độ và tung độ đều là số nguyên .
3− x
Bài 6. Cho hàm số y =
(C)
2x −1
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác
của góc phần tư thứ hai .
6

3. Viết phương trình đường thẳng qua điểm M  −3; ÷ và tiếp xúc với đồ thị (C) .
5

4. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
5. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận
của (C) là một hằng số .
x+4
Bài 7. Cho hàm số y =
(C)
x +1
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để đường thẳng ( d ) : x − y + m = 0 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm
tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
cos t + 4
 π
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g (t ) =
trên 0;  .
cos t + 1
 2

10 

4. Viết phương trình đường thẳng qua điểm M  −2; ÷ và tiếp xúc với đồ thị (C) .
3

5. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận
của (C) là một hằng số .
2x − 4
Bài 8. Cho hàm số y =
(C)
x +1
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng
( d1 ) : y = − x .
2sin 2t − 4
 π
trên 0;  .
sin 2t + 1
 2
−x − 3
5. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng ( d 2 ) : y =
.
2
x+2
Bài 9. Cho hàm số y =
(C)
x −1
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hồnh gấp đơi khoảng cách từ

đó đến trục tung .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2 .
4. Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
sin t + 2
= m có nghiệm .
5. Tìm m để phương trình
sin t − 1
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g (t ) =

6


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2x − 2
Bài 10. Cho hàm số y =
(C)
x+2
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
d [ M , Ox ] 4
= .
2. Tìm toạ độ những điểm M sao cho
d [ M , Oy ] 5
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2 .
4. Chứng tỏ giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C) .
2 x −2
= m có 4 nghiệm phân biệt .
5. Tìm m để phương trình
x +2

BÀI GIẢI

a. Hàm số bậc ba

( a ≠ 0)

y = ax 3 + bx 2 + cx + d

Bài 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương x 3 − 3x + 2 − m = 0 .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( 2;4 ) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x =

1
.
2

5. Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
Đáp án:
CÂU
CÂU 1
(x điểm)

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

1. (điểm)
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên

a) Giới hạn
lim y = −∞ và lim y = +∞
x →−∞

x →+∞

b) Bảng biến thiên
y ' = 3x 2 − 3
y ' = 0 ⇔ x = ±1
Bảng biến thiên:
x -∞
y’
+
y

-1
0

-

1
0

+∞
+

4

-∞

+∞
0

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) , nghịch biến
trên khoảng ( −1;1) .

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 , y CÑ = 4 , đạt cực tiểu tại x = 1 , y CT = 0 .
3) Đồ thị
• Điểm uốn: (chương trình chuẩn khơng học)
y '' = 6x
y '' = 0 ⇔ x = 0
Do y'' đổi dấu khi x đi qua x 0 = 0
Tọa độ điểm uốn U ( 0;2 )

7


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU
ĐÁP ÁN
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = 2 : ( 0;2 )
x = 1
+ Giao điểm với Ox: y = 0 ⇔  x = −2 : ( 1; 0 ) , ( −2; 0 )

y
8
6
4
2

x
-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2
-4
-6
-8

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U ( 0;2 ) làm tâm đối xứng.
2. (điểm)
Số nghiệm thực của phương trình x 3 − 3x + 2 − m = 0 bằng số giao điểm của đồ

thị (C) của hàm số y = x3 − 3x + 2 và đừờng thẳng (d): y = m .
Dựa vào đồ thị ta có:
Với m < 0 hoặc m > 4 , (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương trình có
một nghiệm.
Với m = 0 hoặc m = 4 , (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có
hai nghiệm.
Với 0 < m < 4 , (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm.
3. (điểm)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M ( 2; 4 ) là y ' ( 2 ) = 9 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là y = 9x − 14 .
4. (điểm)
1
1
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ x 0 = , có tung độ y 0 = .
2
2
9
1 1
1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm  ; ÷ là y '  ÷ = −
4
2 2
2
9
13
1 1
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm  ; ÷ là y = − x + .
4
8
2 2

5. (điểm)
Điểm thuộc (C) có tung độ y 0 = 0 , có hồnh độ x 01 = −2 hoặc x 02 = 1 .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm ( −2; 0 ) là y ' ( −2 ) = 9 .
Phương trình của hai tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 0 là y = 9x + 18
và y = 0 .

8

ĐIỂM


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

y = ax 4 + bx 2 + c

b. Hàm số trùng phương

( a ≠ 0)

Bài 1. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2 x 2 = m
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x = 2 .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 8 .
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .
Đáp án:
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
CÂU 1 1. (điểm)

(x điểm)
1) Tập xác định: D = ¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
lim y = +∞
x →±∞

b) Bảng biến thiên
y ' = 4x3 − 4x = 4x ( x 2 − 1)

y ' = 0 ⇔ x = 0 và x = ±1
Bảng biến thiên:
x -∞
0
-1
y’
–
– 0 +
0
y +∞
-1

+∞

1
+

0

+∞

-1

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) , nghịch biến trên
các khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , y CÑ = 0 , đạt cực tiểu tại x = ±1 , y CT = 0 .
3) Đồ thị
• Điểm uốn: (chương trình chuẩn khơng học)
y '' = 12x 2 − 4
y '' = 0 ⇔ x = ±

1
3

Do y'' đổi dấu khi x đi qua x 0 = ±
 1 5
Tọa độ điểm uốn U1,2  ± ; − ÷
 3 9÷



9

1
3


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU
ĐÁP ÁN

• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = 0 : ( 0; 0 )

ĐIỂM

x = 0
: ( 0; 0 ) , ± 2; 0
+ Giao điểm với Ox: y = 0 ⇔ 
x = ± 2

(

)

y
2

1

− 2
-2

2
-1

1

x
2

-1

-2

Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục
tung làm trục đối xứng.
2. (điểm)
Số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2x 2 = m bằng số giao điểm của đồ
thị (C) của hàm số y = x 4 − 2x 2 và đường thẳng (d): y = m .
Dựa vào đồ thị ta có:
Với m < −1 , (d) và (C) khơng có điểm chung, do đó phương trình vơ nghiệm.
Với m = −1 hoặc m > 0 , (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai
nghiệm.
Với −1 < m < 0 , (d) và (C) có bốn điểm chung, do đó phương trình có bốn
nghiệm.
3. (điểm)
Tung độ của tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x0 = 2 là y 0 = 8
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm ( 2;8) là y ' ( 2 ) = 24 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( 2;8) là y = 24x − 56 .
4. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ y 0 = 8 , có hồnh độ x 0 = ±2 .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
y ' ( −2 ) = −24 .

và

( −2;8)

lần lượt là y ' ( 2 ) = 24 ,

Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( 2;8) là y = 24x − 56 và tại điểm ( −2;8)
là y = −24x − 40 .
5. (điểm)
Điểm M ( x 0 ; y 0 ) thuộc (C) có hệ số góc tiếp tuyến tại M là y ' ( x 0 ) = 24 .
3
2
Khi đó, ta có: 4x 0 − 4x 0 − 24 = 0 ⇔ ( x 0 − 2 ) ( 4x 0 + 8x 0 + 12 ) = 0 ⇔ x 0 = 2

Lúc này tung độ của M là y 0 = 8 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là y = 24x − 56 .

10


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

c. Hàm số hữu tỉ

y=

ax + b
cx + d

2x + 1
(C)
x +1
6. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

Bài 1. Cho hàm số y =

1
.
2
1
8. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = − .
2
9. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 4 .
7. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x =

5
10. Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx + − 2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
3
Đáp án:
CÂU
CÂU 1
(x điểm)

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

1. (điểm)
1) Tập xác định: D = ¡ \ { −1}
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
lim
lim
• x →( −1) − y = +∞ và x →( −1) + y = −∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng
•

lim y = 2 và lim y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang
x →+∞

x →−∞

b) Bảng biến thiên
1
y' =
> 0, ∀x ≠ −1
2
( x + 1)
Bảng biến thiên:
x -∞
y’
+
y
2

-1

+∞
+
2

+∞
-∞

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .
Hàm số khơng có cực trị.
3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = 1 : ( 0;1)
1  1 
+ Giao điểm với Ox: y = 0 ⇔ x = − :  − ; 0 ÷
2  2 
y
7
6
5
4
3
2
−

-5

-4

-3

-2

1
2

1

x

-1

1

2

3

-1
-2

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I ( −1;2 ) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
2. (điểm)

11


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU

ĐÁP ÁN
1
4
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ x 0 = , có tung độ y 0 = .
2
3
1 4
1 4
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm  ; ÷ là y '  ÷ =
2 3
2 9

4
14
1 4
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm  ; ÷ là y = x + .
9
9
2 3
3. (điểm)
1
3
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ y 0 = − , có hoành độ x 0 = − ,
2
5
 3 1
 3 5
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm  − ; − ÷ là y '  − ÷ = .
 5 2
 5 2
5
 3 1
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm  − ; − ÷ là y = x + 1 .
2
 5 2
4. (điểm)
Điểm M ( x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị (C), có hệ số góc của tiếp tuyến tại M là y ' ( x 0 ) = 4 .
1
1
1
= 4 ⇔ x 0 + 1 = ± ⇔ x 01 = − hoặc x = − 3 .
Khi đó, ta có:

2
02
2
2
( x 0 + 1)
2
 1
 3
Tung độ của điểm M là y 01  − ÷ = 0 hoặc y 01  − ÷ = 4 .
 2
 2
Vậy có hai tiếp tuyến có phương trình là y = 4x + 2 và y = 4x + 10 .
5
5. (điểm) Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx + − 2m cắt (C) tại 2 điểm phân
3
biệt .
Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình:
2x + 1
5
= mx + − 2m (1) có hai nghiệm phân biệt và khác –1.
x +1
3
,
∀x ≠ −1
1
2

2
(1) ⇔ mx −  m + ÷x + − 2m = 0 (2)
3

3

Ta thấy (2) khơng có nghiệm x = −1 .
Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
1
1 
1
2
∆ = 9m − 2m + =  3m − ÷ > 0 ⇔ m ≠ .
9
9 
3
1
Vậy ∀m ≠ thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
9

12

ĐIỂM