các vấn đề cơ bản và nâng cao toán lớp 9

CĂN BẬC HAI. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
A./ Kiến thức cơ bản:
1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x
2
= a
- Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: , số
âm:
+ Số 0 có căn bậc hai là chính nó:
+ Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức không có nghĩa khi a < 0)
2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với thì số được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng
được gọi là căn bậc hai số học của 0
- Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép
khai phương
- Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu
+ Nếu
3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức được gọi là căn thức bậc hai của A ;
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
- có nghĩa (hay xác định hay tồn tại)
4. Hằng đẳng thức
- Định lý : Với mọi số thực a, ta có :
- Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có :
B./ Bài tập áp dụng
Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số
- Tìm căn bậc hai số học của số đã cho

- Xác định căn bậc hai của số đã cho
Bài 1 : Tìm căn bậc hai của các số sau : 121 ; 144 ; 324 ;
LG
+ Ta có CBHSH của 121 là : nên CBH của 121 là 11 và -11
+ CBHSH của 144 là : nên CBH của 121 là 12 và -12
+ CBHSH của 324 là : nên CBH của 324 là 18 và -18
+ CBHSH của là : nên CBH của là và
+ Ta có : nên CBH của là và
Dạng 2 : So sánh các căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Xác định bình phương của hai số
- So sánh các bình phương của hai số
- So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số
Bài 2 : So sánh
a) 2 và b) 7 và c) và 10
d) 1 và e) g)
LG
a) Vì 4 > 3 nên
b) Vì 49 > 47 nên
c) Vì 33 > 25 nên
d) Vì 4 > 3 nên
e) * Cách 1: Ta có:
* Cách 2: giả sử
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó bất đẳng thức đầu tiên đúng
g) Ta có:
Dạng 3: Tìm điều kiện để căn thức xác định: xác định
Bài 3: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định
LG
Để các căn thức trên có nghĩa thì
a)

b) Ta có: xác định với mọi x
c) hoặc
+ Với
+ Với
Vậy căn thức xác định nếu hoặc
d)
Dạng 4 : Rút gọn biểu thức
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) c)
b) d)
LG
a) Cách 1 :
Cách 2 :
b)
c)
d)
Dạng 5 : Tìm Min, Max
Bài 5 : Tìm Min
LG
a) Ta có :
vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1
b) Ta có :
vậy Miny = . Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi
**************************************************
Ngày dạy: ……………………
VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ Kiến thức cơ bản
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
khi đó :

B./ Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau
a) + ta có :

+ Áp dụng định lý 1 :
Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99
b) - Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng
định lý 1 ta có :
c) * Cách 1 :
AH
2
= BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB;
AHC ta có:
* Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có:
d) Áp dụng định lý 2, ta có:
Áp dụng định lý 1. ta có :
e) Theo Pitago, ta có :
Áp dụng định lý 3, ta có :
g) Áp dụng định lý 2, ta có :
Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại
H, ta có :
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm,
AC = 20cm. Từ C kẻ đường vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt
đường thẳng AB tại D. Tính AD và CD
LG
. Theo định lý 3, ta có :
Theo Pitago trong tgiác ACD vuông tại A,
ta có :
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ

đường thẳng vuông góc với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E
và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD
LG
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có:
Theo định lý 1:
Theo định lý 1, ta có:
Theo định lý 2, ta có:
Xét tam giác DAF, theo định lý 1:
Theo Pitago:
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và
tia CB cắt nhau ở F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng
này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEG cân
b) Tổng không đổi khi E chuyển động trên AB
LG
a) Ta có: (cùng phụ với )
xét ta có :
cân tại D
b) vì DE = DG
ta có :
xét tam giác DGF vuông tại D, ta có :
(định lý 4)
Vì không đổi khi E chuyển động trên AB, suy ra
tổng không đổi khi E thay đổi trên AB
*******************************************************
Ngày day: …………………
CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI
A./ Kiến thức cơ bản :
1. khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai
a) Định lý :

b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không
âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau ()
c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm,
ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó ()
d) Chú ý :
- Với A > 0 ta có :
- Nếu A, B là các biểu thức :
- Mở rộng :
2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai
a) Định lý :
b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương , trong
đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b,
rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai ()
c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b
dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó ()
d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức :
B./ Bài tập áp dụng :
Dạng 1 : Tính
Bài 1 : Thực hiện phép tính
Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức
Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức
Bài 3 : Rút gọn các biểu thức
a)
b)
c)
d)
Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau
Dạng 4 : Giải phương trình
Bài 5 : Giải các phương trình sau

đk :
Ta có thỏa mãn
(4) đk :
(4) thỏa mãn
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh
rằng . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
LG
* Cách 1 :
+ vì xác định
+ ta có :
+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cách 2 : ta có
*******************************************************
Ngày dạy: …………………
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa : Cho ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của
tam giác ABC vuông tại A như sau :
Đối
Kề
Huyền
* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : + tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn
luôn dương
+ 0 < sin, cos < 1 +
2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này
bằng cotg góc kia. Tức : nếu thì ta có :
3. Bảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
Tỉ số lượng giác
30

0
45
0
60
0
Sin
Cos
tg 1
Cotg 1
* Nhận xét :
- Dựa vào bảng trên ta thấy :
với .
Tức là :
+ góc lớn hơn thì có sin lớn hơn, nhưng lại có cosin nhỏ hơn
+ góc lớn hơn thì có tg lớn hơn, nhưng lại có cotg nhỏ hơn
Hay ta có thể phát biểu : thì :
+ sin và tg đồng biến với góc
+ cosin và cotg nghịch biến với góc
4. Các hệ thức cơ bản
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos, tg và cotg
+ ta có:
+
Bài 2:
1. Chứng minh rằng:

2. Áp dụng: tính sin, cos, cotg, biết tg = 2
LG
1. a) ta có:

b)
c)

2. Ta có:
Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg
LG
+ ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾
+ mà
+ mặt khác:
Bài 4: Dựng góc trong các trường hợp sau:
LG
a)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 90
0
. Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2,
cung này cắt Ox tại A
- nối A với B cần dựng
* Chứng minh:
- ta có: đpcm
b)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 90
0
. Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 2
- vẽ cung tròn tâm A, bán kính bằng 3,
cung này cắt Oy tại B

- nối A với B cần dựng
* Chứng minh:
- ta có: đpcm
c) * Cách dựng
- dựng góc xOy = 90
0
. Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 3
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
cần dựng
* Chứng minh: - thật vậy, ta có:
đpcm
d) * Cách dựng
- dựng góc xOy = 90
0
. Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 4
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
cần dựng
* Chứng minh: - thật vậy, ta có:
đpcm
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13
a) CMR tam giác ABC vuông
b) Tìm tỉ số lượng giác của góc A và góc C
LG
a) Ta có:
theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giác ABC vuông tại B
b)

- vì là 2 góc phụ nhau
- do đó:

*********************************************************
Ngày dạy: ……………………….
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cơ bản
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn :
4. Trục căn thức ở mẫu
a)
b)
c)
* Chú ý:
- các căn bậc hai đồng dạng là các căn bậc hai có cùng biểu thức dưới dấu
căn
- biểu thức liên hợp: 2 biểu thức chứa căn thức được gọi là liên hợp với nhau
nếu tích của chúng không chứa căn thức
- quy tắc trục căn thức ở mẫu: muốn trục căn thức ở mẫu của 1 biểu thức ta
nhân tử và mẫu của biểu thức đó với biểu thức liên hợp của mẫu
B. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Đưa nhân tử ra ngoài, vào trong dấu căn
Bài 1: Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh
a)
ta có:

b)
ta có:

c)
ta có:
d)
ta có:

Bài 3: Đưa nhân tử vào trong dấu căn và rút gọn
Dạng 2: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức
Bài 4: Thực hiện phép tính
Bài 5: Rút gọn biểu thức với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa
- nếu
- nếu
Dạng 3: Trục căn thức ở mẫu
Bài 6: Trục căn thức ở mẫu
a)
b)
c)
d)
e)
Bài 7: Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép tính
***********************************************************
Ngày dạy: ………………………
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI.
ÔN TẬP ĐẠI SỐ - CHƯƠNG I
A. Kiến thức cơ bản
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần vận dụng thích
hợp các phép biến đổi đã biết
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính
a)

Bài 2: Thực hiện phép tính, rút gọn kết quả
a)
b)

Bài 3: Chứng minh đẳng thức
Biến đổi vế trái ta được:
Biến đổi vế trái ta được:
Bài 4: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a
LG
a) đk: a > 0; b > 0; a khác b
b) ta có:
Bài 5: Cho biểu thức
a) Tìm đk xác định
b) Rút gọn biểu thức B
LG
a) đk:
b) Ta có:
Bài 6: Cho biểu thức
a) Tìm đk để C có nghĩa
b) Rút gọn C
c) Tìm x để C = 4
LG
a) đk:
b) Ta có:
c) C = 4
Bài 7: Cho biểu thức

a) Tìm đk b) Rút gọn
c) Tìm x sao cho D < -1
LG
a) đk: x > 0; x khác 9
b) Ta có:
c)
********************************************************
Ngày dạy: ……………………
HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. Kiến thức cơ bản
1. Các hệ thức
* Định lý: Trong 1 tam giác vuông, mỗi cạnh góc
vuông bằng:
- Cạnh huyền nhân Sin góc đối hoặc Cosin góc kề
- Cạnh góc vuông kia nhân Tang góc đối hoặc Cotg
góc kề
(trong tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c;
AC = b, ta có:

2. Áp dụng giải tam giác vuông
* Giải tam giác vuông: là tìm tất cả các yếu tố của một tam giác vuông (các
cạnh, các góc) nếu biết trước 2 yếu tố trong đó có ít nhất 1 yếu tố về cạnh và
không kể góc vuông
* Một số trường hợp giải tam giác vuông thường gặp
a) Biết 2 cạnh góc vuông
- Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go)
- Tính một góc nhọn (tg hoặc cotg)
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
b) Biết cạnh huyền và 1 góc nhọn
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)

- Tính các cạnh góc vuông (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1))
c) Biết cạnh góc vuông và góc nhọn kề
- Tính góc nhọn còn lại
- Tính cạnh góc vuông còn lại và cạnh huyền (hệ thức về cạnh và góc – hệ
thức (1); (2))
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết và BC = 10. Tính AB; AC
-
- theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = 17; BC = 16. Tính đường
cao AH và góc A, góc B của tam giác ABC
+ tam giác ABC cân, có
+ xét tam giác AHC, vuông tại H
- ta có:
- mặt khác:
+ xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, . Gọi N là chân đường vuông góc kẻ
từ A đến BC. Tính AN; AC
- xét tam giác ANB vuông tại N, theo hệ thức về cạnh
và góc trong tam giác vuông ta có:
- xét tam giác ANC vuông tại N, theo hệ thức về cạnh
và góc trong tam giác vuông ta có:
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9; HC =
16. Tính góc B, góc C?
- xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức về cạnh
và đường cao trong tam giác vuông , ta có:
- xét tam giác AHB, vuông tại H, ta có:
- mà
Bài 5: Cho tam giác ABC có , các hình chiếu vuông góc của AB và AC lên
BC theo thứ tự bằng 12 và 18. Tính các góc và đường cao của tam giác ABC

- xét tam giác AHB vuông tại H

- xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng…
- theo hệ thức về cạnh và góc, ta có:
Bài 6: Cho hình thang ABCD, có , đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8,
AD = 3. Tính BC, ?
- kẻ BH vuông góc với CD, suy ra AD = BH = 3;
AB = DH = 4, do đó: CH = 8 – 4 = 4
- xét tam giác BHC vuông tại H, ta có:
- vì ABCD là hình thang nên:

Bài 7: Giải các tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 18; b = 8
b) b = 20;
c)
a) a = 18; b= 8

b) b = 20;
c)
*********************************************************
Ngày dạy: ……………………………
ÔN TẬP HÌNH HỌC – CHƯƠNG I
A. Kiến thức cơ bản
1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
khi đó :
2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC
vuông tại A như sau :
Đối

Kề
Huyền
3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác
- Nếu thì ta có :
- Cho . Khi đó
+ 0 < sin, cos < 1
+
+
4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c;
AC = b, ta có:

B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Chứng minh rằng : với là góc nhọn tương ứng trong tam giác ABC,
thì:
LG
Bài 2 : Cho tam giác ABC, biết AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C và đường cao AH vủa tam giác ABC
LG
a) ta có: do đó theo định lý đảo của định lý Pi-ta-go tam giác
ABC vuông tại A
b)
Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng hệ thức về cạnh và góc
trong tam giác vuông ta có:
(hoặc AH.BC = AB.AC)
Bài 3: Giải tam giác vuông tại A, biết
a) a = 12;
b) b = 13; c = 20
LG

- ta có:

- ta có:
Bài 4: Cho tam giác ABC có các hình chiếu vuông góc của AB, AC lên BC
theo thứ tự bằng 12; 18. Tính các cạnh, các góc và đường cao của tam giác
ABC
LG
+ ta có: BC = BH + CH = 12 + 18 = 30
+ xét tam giác AHB vuông tại H
- ta có :
- mặt khác :

+ xét tam giác AHC vuông tại H, ta có :
+ xétABC, tcó:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ
AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT
NĂM HỌC 1999 - 2000
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

A. Lý thuyết ( Học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất.
Áp dụng cho hai hàm số y = (3m – 1)x + 2 với giá trị nào m thì hàm số
trên đồng biến , nghịch biến.
Đề II
Chứng minh định lí đường kính là dây cung lớn nhất.

B. Tự luận (8 điểm)
Bài 1
Chon biểu thức
• Tìm điều kiện và rút gọn P
• Tính giá trị của P khi .
Bài 2 ( Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình )
Hai xe đạp khởi hành cùng lúc từ A đến B cách nhau 60 km biết vận tốc
của người thứ nhất bé hơn người thứ hai là 2 km/giờ và người thứ nhất đến
muộn hơn người thứ hai là 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AD, BE
cắt nhau tại H nằm trong tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của
AD, BE với đường tròn tâm O.
• Chứng minh rằng 4 điểm A, E, D, B cùng thuộc một đường tròn.
• Chứng minh MN // DE.
• Chứng minh CO vuông góc DE.
• Cho AB cố định xác định C trên cung lớn AB để diện tích tam giác
ABC lớn nhất .
•
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2000 - 2001
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và viết công thức nghiệm của phơng trình bậc hai.
Ap dụng giải phơng trình : 3x
2

– 5x + 2 = 0
Đề II
Phát biểu và chứng minh định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung (Chỉ
chứng minh trong trường hợp tâm nằm bên trong góc)
B. Bài toán
Bài 1. Chon biểu thức
a) Tìm điều kiện và rút gọn P.
b) Tính P khi x = 0,25.
c) Tìm x để biểu thức P > -1.
Bài 2. Để chuẩn bị kỷ niệm sinh nhật bác Hồ, các đoàn viên hai lớp 9A và
9B của trường THCS kim liên tổ chức trồng 110 cây xung quanh sân trường.
Mỗi đoàn viên 9A trồng 3 cây, mỗi đoàn viên 9B trồng 2 cây. Biết rằng số
viên 9A đông hơn 9B là 5 em. Hãy tính số đoàn viên mỗi lớp nói trên.
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Vẽ bán kính OC
vuông góc với AB. Gọi M là điểm chính giữa cung BC, E là giao điểm AM
với OC. Chứng minh:
• Tứ giác MBOE nội tiếp đường tròn.
• ME = MB.
• CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOE.
• Tính diện tích tam giác BME theo R.
Giải
• Tứ giác MBOE nội tiếp đường
tròn.
MBOE nội tiếp đường tròn vì có hai
góc đối có tổng bằng 180
0
.
• ME = MB.
Chứng minh tam giác MEB cân tại M
bằng cách chứng minh Vì ().

• CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOE.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOE (I là trung điểm của
EB)
Ta có dẫn đến CM//EB Mặt khác MI vuông góc với EB nên MI cũng
vuông góc với MC. Từ đó suy ra đpcm
• Ta có AE là phân giác của
Hay
Mặt khác
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2001 - 2002
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất.
Áp dụng cho hai hàm số y = x-3 và y = 2 – x.
Đề II
Chứng minh định lí : Đường kính vuông góc dây cung thì chia dây cung
đó thành hai phần bằng nhau.
B. Tự luận (8 điểm)
Bài 1. Cho biểu thức
• Tìm điều kiện và rút gọn P
• Tính giá trị của P khi .
c)Tìm a để : P > 0.
Bài 2. Cho phương trình bậc hai: x
2
+ (m+1)x + m – 1 = 0.

• Giải phương trình khi m = 2.
• Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm mọi m
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Vẽ đường tròn
tâm O đường kính AH cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M , N .
• Chứng minh ba điểm M, N, O thẳng hàng.
• Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn.
• Gọi E trung điểm HB, F là trung điểm HC. Tính diện tích tứ giác
EMNF biết HB = 8 cm, HC = 18 cm.
• Chứng minh ba điểm M, N, O thẳng
hàng.
Chir rõ MHNA là hình chữ nhật có
MN, AH là đường chéo mặt khác O là
trung điểm của AH nên O là trung
điểm MN hay M, N, O thẳng hàng.
• Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp
đường tròn.
Chứng minh suy ra tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn.
• Tứ giác MEFN là hình thang vuông có ME, NF là hai đáy, đường cao
MN.
(cm
2
)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2002 - 2003
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất.
Áp dụng cho hai hàm số y = 3x và y = 1 – 2x.
Đề II
Phát biểu định nghĩa đường tròn và chứng minh định lí : Đường kính là
dây cung lớn nhất của đường tròn.
B. Bài tập
Bài 1. Cho biểu thức :
• Tìm điều kiện và rút gọn P
• Tính giá trị của P khi x = 36.
c) Tìm x để : .
Bài 2. Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B cách nhau 30 km rồi quay về
A mất
4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng. Biết vận tốc dòng nước
chảy là
4 km/giờ.
Bài 3. Cho hai đoạn thẳng AB và AC vuông góc với nhau (AB < AC). Vẽ
đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O
’
đường kính AC.
Gọi D là giao điểm thứ 2 của hai đường tròn đó.
• Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng.
• Gọi giao điểm của OO
’
với cung tròn AD của (O) là N. Chứng minh
AN là phân giác của góc DAC.
• Tia AN cắt đường tròn tâm O
’

tại M, gọi I là trung điểm MN. Chứng
minh tứ giác AOO’I nội tiếp đường tròn.
• Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng
hàng. Ta chứng minh
• Gọi giao điểm của OO
’
với cung tròn
AD của (O) là N. Chứng minh AN là
phân giác của góc DAC.
Hướng dẫn:
•
Dễ thấy NO’M vuông tại O’. I là trung điểm
NM.
Từ đó suy ra đpcm



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2003 - 2004
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và viết công thức nghiệm của phơng trình bậc hai.
Áp dụng giải phương trình : x
2
– 3x - 10 = 0

Đề II
• Nêu định nghĩa hai đường thẳng song song, vuông góc trong không
gian.
• Ap dụng cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B
’
C
’
D’ . Hãy chỉ ra các cạnh
song song , vuông góc AA’
B. Bài tập
Bài 1. Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện và rút gọn P
b) Tìm x để P >.
c) Tìm x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 2. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu
người thứ nhất làm trong 4 giờ rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 7 giờ
thì được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong
công việc.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm thuộc đường
tròn đó. Tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) cắt BC tại K . Gọi Q,M lần
lượt là trung điểm của KB, KA.
• Chứng minh 4 điểm A,M,C,Q cùng nằm trên đường tròn.
• Cho AB = 10 cm ; OQ = 3 cm. Tính diện tích tứ giác ABQM.
• Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
• Chứng minh rằng nếu tam giác ACO và tam giác BCO có bán kính
đường tròn nội tiếp bằng nhau thì điểm C nằm chính giữa cung AB.
• Chứng minh 4 điểm A,M,C,Q
cùng nằm trên đường tròn.
Ta chứng minh Suy ra đpcm
• Cho AB = 10 cm ; OQ = 3 cm.

Tính diện tích tứ giác ABQM.
Dẽ dàng tính đước S = 22.5 cm
2
.
• Chứng minh MC là tiếp tuyến
của đường tròn (O).
Ta chứng minh M,C,Q,O,A cùng
thuộc một đường tròn dẫn đến
MCQO là tứ giác nội tiếp dẫn đến
Suy ra đpcm.
• Chứng minh rằng nếu tam giác
ACO và tam giác BCO có bán
kính đường tròn nội tiếp bằng
nhau thì điểm C nằm chính giữa
cung AB.
Ta thấy IJ//AB//KL. Xét tam giác OKL có IJ//KL
(TALET) OK = OL (vì KI = LJ) Mặt khác ta thấy KOLC là hình chữ
nhật
Nên KOLC là hình vuông. Từ đó suy ra KC = CL hay CA = CB hay C là
điểm chính giửa của cung AB.(đpcm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2004 - 2005
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I

Nêu định nghĩa và viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Áp dụng giải phương trình 2x
2
– 7x + 3 = 0.
Đề II
Chứng minh định lí tổng số đo hai góc đối diện trong tứ giác nội bằng
nhau và bằng hai lần góc vuông.
B Bài tập
Bài 1. Cho biểu thức :
• Tìm điều kiện và rút gọn P.
• Tính giá trị của P khi x =.
c) Tìm x để : .
Bài 2. Để chở một đoàn khách gồm 320 người đi thăm quan chiến trường
điện biên phủ. Công ty xe khách đã cho thuê hai loại xe : loại xe thứ nhất 40
chỗ ngồi, loại xe thứ hai là 12 chỗ ngồi. Tính số xe mỗi loại biết số xe loại
thứ nhất ít hơn loại thứ hai 5 chiếc và số người được ngồi đủ số ghế.
Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AE , BK, CI cắt nhau tại
H.
• Chứng minh rằng các tứ giác EHKC; BIKC nội tiếp các đường tròn.
• Chứng minh AE, BK, CI là các đường phân giác của tam giác IEK.
• So sánh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB và tam giác
BHC.
• Chứng minh rằng các tứ giác
EHKC; BIKC nội tiếp các đường
tròn. Tự chứng minh
• Chứng minh AE, BK, CI là các
đường phân giác của tam giác
IEK.
Ta có: suy ra EA là phân giác của
góc . Chứng minh tương tự với các

trường hợp còn lại.
• So sánh bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác AHB, AHC và
tam giác BHC
Ta chứng minh tứ giác SUTP là hình bình hành bằng cách chứng minh
các cạnh đối song song cụ thể SU//BC// PT và TU//AC//PS. Tương tự ta
chứng minh STQU là hình bình hành. Từ đó suy ra TP = TQ.
Dẫn đến AP = AQ. Tương tự ta suy ra đpcm.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2005 – 2006.
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất.
Áp dụng cho hai hàm số y = 2x – 3 và y = 1 – 3x.
Đề II
Chứng minh định lí góc có đỉnh bên trong đường tròn có số đo bằng nửa
tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và tia đối của hai cạnh ấy.
B. Bài toán
Bài 1. Cho biểu thức :
a. Tìm điều kiện và rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x = 25.
c.Tìm x để : .
Bài 2. Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A đến B cách nhau 150 km biết vận

tốc của ô tô thứ nhất lớn hơn ô tô thứ hai là 10 km/giờ và ô tô thứ nhất đến
trước ô tô thứ hai là 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. H là điểm nằm giữa
O và B. Kẻ đường thẳng đi qua H vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại
C. Gọi I là trung điểm dây CA.
• Chứng minh tứ giác OICH nội tiếp đường tròn.
• Chứng minh : AI.AC = AO.AH.
• Trong trường hợp OH = R/3 , K là trung điểm của OA . Chứng minh BI
vuông góc IK.
Giải
• Chứng minh tứ giác OICH nội
tiếp đường tròn. Tự chứng minh
• Chứng minh : AI.AC = AO.AH.
Tự chứng minh
• Trong trường hợp OH = R/3 , K
là trung điểm của OA . Chứng
minh BI vuông góc IK.
Ta chứng minh
Hướng dẫn:
(K là trung điểm của OA)



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2006 – 2007.
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1(2đ). Cho biểu thức:
• Tìm điều kiện và rút gọn P
• Tìm x để P > 0
Bài 2(1,5đ) . Trong một kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hai trường THCS A và
B có tất cả 450 học sinh dự thi. Biết số học sinh trúng tuyển của trường A
bằng số học sinh dự thi của trường A, số học sinh trúng tuyển của trường B
bằng số học sinh dự thi trường B. Tổng số học sinh trúng tuyển của hai
trường bằng số học sinh dự thi của hai trường. Tính số học sinh dự thi của
mỗi trường.
Bài3 (2,5đ). Cho phương trình: x
2
– 2(m+2)x + m
2
– 9 = 0 (1)
• Giải phương trình (1) khi m = 1.
• Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
• Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x
1
; x
2
. Hãy xác định m để :
Bài 4 (4đ). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R. M là một
điểm bất kỳ trên nữa đường tròn đó sao cho cung AM lớn hơn cung MB (M
# B). Qua M kẻ tiếp tuyến d của nữa đường tròn nói trên. Kẻ AD; BC vuông
góc với d trong đó D,C thuộc đường thẳng d.
• Chứng minh M là trung điểm CD.
• Chứng minh AD.BC = CM
2
.
• Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng

AB.
• Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) Hãy xác định vị trí M để
diện tích tam giác DHC bằng diện tích tam giác AMB.
• Chứng minh M là trung điểm
CD
Tự chứng minh
• Chứng minh AD.BC = CM
2
vì
Suy ra AD.BC = CM
2
• Chứng minh đường tròn
đường kính CD tiếp xúc với
đường thẳng AB.
Kẻ AH AB. (H AB)Ta chứng minh (ch-gn) MH = MDđpcm
• Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) Hãy xác định vị trí M để diện
tích tam giác DHC bằng diện tích tam giác AMB.
Dễ thấy
• Suy ra M nằm trên nửa đường tròn tâm O sao cho thì diện tích tam
giác DHC bằng diện tích tam giác AMB.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2007 – 2008.
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Trắc nghiệm

Em hãy chọn phương án trả lời đúng :
1) Đồ thị hàm số y= 3x – 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ là :
A. 2 B. –2 C. 3 D . 2/3
2) Hệ phương trình có nghiệm là :
A. (2;1) B. (3;2) C. (0;1) ; D . (1;2)
3) Sin 30
0
bằng :
4) Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O;R). Biết góc MNP bằng 70
0
thì góc
MQP
có số đo là:
A.130
0
; B. 120
0
; C. 110
0
; D. 100
0
.
B. TỰ LUẬN
Câu 1 (3 điểm). Cho biểu thức
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0 .
c) Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình có nghiệm.
Câu 2 (2 điểm). Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B . Xe máy
thứ nhất có vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai
10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai 1h. Tính vận tốc trung bình của mỗi

xe máy, biết rằng quãng đường AB dài 120 km
Câu 3 (3 điểm)
Cho nữa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm H nằm giữa hai điểm A
và B (Hkhông trùng với O ). Đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nữa
đường tròn trên tại điểm C. Gọi D và E lần lượt là chân các đường vuông góc
kẻ từ H đến AC và BC.
a) Tứ giác HDCE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ADEB là tứ giác nôi tiếp.
c) Gọi K là tâm đương tròn ngoại tiêp tư giác ADEB . Chưng minh DE
= 2KO.

Hướng dẫn chấm đề chính thức
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang)
PHẦN I: Trắc nghiệm (2 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm
1. B; 2. A; 3. A; 4. C;
PHẦN II. Tự luận (8 điểm).
Câu ý Nội dung
Thang
điểm
1
(3
đi
ể
m
)
a
(1,5
điể

m)
Điều kiện xác định: 0.25
0.25
A =
0.25
=
0.5
=
0.25
b
(0.7
5
điể
m)
Với x > 0, x 1; A < 0 trở thành
Vì
0.25
Nên x - 1 < 0 x < 1
0.25
Kết hợp với điều kiện ta có kết quả 0 < x < 1 0.25
c
(0.7
5
điể
m)
Với x > 0, x 1 thì A = m - trở thành
(1)
Đặt = t, vì x > 0, x 1 nên t > 0, t 1. Phương trình (1) qui về
t
2

+ t - m - 1 = 0 (2)
0.25
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm
dương khác 1.
Nhận thấy
0.25
Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1

Kết luận: m > -1 và m 1.
0.25
2
(2
đi
ể
m
)
Gọi vận tốc trung bình của xe máy thứ hai là x (km/h), x > 0.
Suy ra vận tốc trung bình của xe máy thứ nhất là x + 10
(km/h)
0.25
Thời gian xe máy thứ hai đi hết quãng đường AB là (h)
0.25
Thời gian xe máy thứ nhất đi hết quãng đường AB là(h)
0.25
Theo bài ra ta có phương trình: - = 1 (1)
0.5
(1) x
2
+ 10 x - 1200 = 0 (x > 0)
0.25

0.25
Vậy vận tốc trung bình của xe máy thứ nhất là 40 km/h
vận tốc trung bình của xe máy thứ hai là 30 km/h
0.25
3
(3
đi
ể
m
)
Vẽ hình đúng
0.25
a
(1
Tứ giác HDCE là hình chữ nhật 0.5
Vì = = 90
0
(theo giả thiết) 0.25
điể
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) 0.25
b
(1
điể
m)
Gọi I là giao điểm của CH và DE
Theo câu a, HDCE là hình chữ nhật suy ra:
0.25

Mặt khác (vì cùng phụ với )
0.25
Mà (kề bù)
0.25
ADEB là tứ giác nội tiếp ()
0.25
c
(0.7
5
điể
m)
Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB
OK là trung trực của AB, IK là trung trực DE.
0.25
Ta có OBC cân tại O (OB = OC = bán kính)
Mà (chứng minh trên)

CO DE CO // IK (cùng vuông góc với DE)
0.25
Từ giả thiết CI AB CI // OK (vì cùng vuông góc với AB).
Từ đó OKIC là hình bình hành, suy ra CI = KO CH = 2KO.
Mặt khác CH = DE ( đường chéo hình chữ nhật), nên DE =
2KO ().
0.25
Lưu ý: Thí sinh giải bằng cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa




SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2008 – 2009.
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Trắc nghiệm
Em hãy chọn phương án trả lời đúng
1) Đồ thị hàm số y= -3x+4 đi qua điểm:
A. (0 ;4) ; B.(2 ;0) ; C.(-5 ;3) ; D . (1 ;2).
2)Tính bằng
A. -7 ; B . -5 ; C. 7 ; D. 5.
3) Đường tròn đường kính 4 cm có diện tích là :
.
4) Cho tam giác ABC vuông tại A có và AB = 4 . Độ dài AC là:
A.2 B. 3 C4 D 6
II) TỰ LUẬN
Câu 1(3 điểm). Cho biểu thức