Tổng hợp các kiến thức cơ bản và nâng cao lớp 9

SAU ĐÂY LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN ĐỐI XỨNG
1. Phép đối xứng trục.
a, Định nghĩa: Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M' sao cho đoạn thẳng MM' nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình
đó gọi là phép đối xứng trục d. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Nếu điểm M thuộc d thì ta
lấy M' trùng M.
-Nếu một hình biến thành chính nó qua phép đối xứng trục d thì d được gọi là trục đối xứng
của hình đó.
b, Áp dụng trong giải toán:
1. Ứng dụng trong cực trị:
VD1: Cho hai điểm A,B phân biệt và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x
cho trước. Hãy tìm trên x một điểm M sao cho tổng hai đoạn AM+BM là ngắn nhất.
GIẢI:
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x cho trước và gọi M là giao điểm của đường
thẳng A'B với x.
Ta có .
Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng A'B với x.
BL: Ta cũng hoàn toàn có thể tìm điểm M bằng cách tìm điểm B' đối xứng với B qua đường
thẳng x sau đó ta có M là giao điểm của AB' với x.
Bài toán này đã được đặt ra từ hàng năm trước đây, từ nhà toán học Hê-rông và cũng đã được
đăng trên báo 3T và nhiều cuốn sách. Sau bài này, tiến sĩ Nguyễn Minh Hà đã có một nhận xét
quan trọng:
"Khi cần quan sát độ dài của một đường gấp khúc quá "cong queo" ta hãy dùng các phép đối
xứng trục để thay nó bằng một đường gấp khúc mới, đỡ "cong queo" hơn, có độ dài bằng độ
dài đường gấp khúc đã cho nhưng dễ quan sát hơn."
Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Hãy tìm trên cạnh
Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
GIẢI: Gọi là điểm đối xứng với A qua cạnh là điểm đối xứng với A qua cạnh
.Đường thẳng cắt lần lượt tại B và C.
Ta có
Với các điểm B' khác B và C' khác C trên Ox, Oy ta có đường gấp khúc luôn

dài hơn đoạn
Vậy các điểm B,C nói trên tạo nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
2. Dựng hình:
VD3: Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt cạnh Oy tại S. Hãy dựng một đường thẳng m
vuông góc với d; cắt các cạnh Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho hai điểm A, B cách đều đường
thẳng d.
GIẢI: Ta nhận thấy A,B là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Như vậy điểm A vừa
nằm trên cạnh Ox, vừa nằm trên ảnh của cạnh Oy qua phép đối xứng trục d nói trên.
Ta có điểm A cần tìm là giao điểm của Sy' với cạnh Ox, do đó đường thẳng m cần tìm đi qua A
và vuông góc với d. Ta dễ dàng thấy rằng hai điểm A,B như vậy cách đều đường thẳng d.
Dễ dàng chứng minh được đường thẳng m đó đó thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
3. Chứng minh các đặc tính hình học:
Ví dụ 4:Một đường tròn với tâm I nằm trên tia phân giác một góc xOy, cắt Ox và Oy tương ứng
ở A,B và C,D. CMR AB=CD
GIẢI: Từ giả thuyết suy ra đỉnh O phải ở ngoài đường tròn .
Ta chọn OI là trục đối xứng, khi đó Ox đối xứng với Oy qua OI, (I,R) vẫn là chính nó.
Do đó, A và B là giao của Ox với (I,R) biến thành C,D giao của Oy với (I,R)
Do tính chất đối xứng, ta có AB=CD.
c, bài tập áp dụng:
-Một số bài toán mở đầu:
1. Đường tròn qua phép đối xứng trục biến thành đường tròn.
2.Hai đường tròn có tâm chung là điểm O. Đường tròn thứ ba cắt chúng tại các điểm A,B,C,D.
Khi đó nếu đường thẳng AB đi qua điểm O thì đường thẳng CD cũng đi qua điểm O.
3. Một tứ giác có trục đối xứng. Khi đó tứ giác đó hoặc là hình thang cân hoặc đối xứng qua
một đường chéo của mình.
4. Trục đối xứng của một đa giác cắt các cạnh của nó tại các điểm A và B. Khi đó điểm A hoặc
là đỉnh của đa giác hoặc là trung điểm của một cạnh vuông góc với trục đối xứng.
5. Nếu một hình có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì nó có tâm đối xứng.
---------------------------------------------------------------------
1. Cực trị:

Bài 1: Cho hai điểm A,B nằm về hai phía đường thẳng d và không cách đều d. Xác định điểm M
trên đường thẳng d sao cho có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: CMR trong các tam giác ABC có đáy BC không đổi và chiều cao tương ứng không đổi,
tam giác cân tại A có chu vi nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại O và hai điểm A,B không thuộc và . Tìm các
điểm sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp tam giác ABC,
tức là có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh của tam giác ấy. (các bạn có thể tham khảo 2 cách giải độc
đáo trên báo 3T số 4, nhưng tốt hơn là nên tự giải)
2. Dựng hình:
Bài 5: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm A ở ngoài 2 đường thẳng a và b. Dựng
tam giác ABC sao cho các phân giác và nằm trên a và b.
Bài 6: Dựng tam giác cân đỉnh M với M cho trước nằm trong , thỏa mãn
.
Bài 7: Dựng tứ giác ABCD biết độ dài các cạnh và đường chéo AC là phân giác góc A.
3. Các bài toán khác:
Bài 8: Trên các cạnh bên AC và BC của tam giác cân ABC cho các điểm M,N sao cho
CM+CN=AC. CMR 3 trung điểm AC,BC,MN thẳng hàng.
Bài 9: Tam giác cân đỉnh A với . Trên BC lấy D sao cho Tính góc DAC.
Bài 10: Tam giác cân đỉnh A với . Điểm O được chọn trong tam giác sao cho
. Tính góc AOB.
Bài 11: Trên tia phân giác ngoài của góc C của tam giác ABC lấy điểm M tùy ý. CM:
Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Đường thẳng AH cắt BC ở . CMR:
TIẾP ĐẾN LÀ PHÂN MÔN ĐẠI SỐ PHẦN ĐL ĐIRICHLÊ
I.Định nghĩa:
Nguyên lý Đirichlê còn gọi là "nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng " hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào
ngăn kéo" hoặc nguyên tắc lổ chuồng câu". Nội dung của nguyên lý này hết sức đơn giản và dễ
hiểu, nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán. Nhiều khi có những bài toán, người ta đã
dùng rất nhiều phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên
lý Đirichlê mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết.

Nguyên tắc Đirichlê được phát biểu dưới dạng bài toán sau đây:
1. Nếu đem nhốt m con thỏ vào n chiếc lồng, với m>n (nghĩa là số thỏ nhiều hơn số lồng) thì ít
nhất cũng có một lồng nhốt không ít hơn 2 thỏ.[/color
Hoặc là:
color=red]2. Nếu đem xếp m đồ vật vào n ô ngăn kéo, với m>n (nghĩa là số đồ vật nhiều hơn
số ngăn kéo), thì ít nhất cũng phải có một ô ngăn kéo chứa không ít hơn 2 đồ vật.
Chứng minh (dùng phương pháp phản chứng):
Giả sử không có lồng nào nhốt từ 2 thỏ trở nên, thế thì cho dù mỗi lồng đều có nhốt một thỏ
thì tổng số thỏ bị nhốt cũng chỉ là n thỏ, trong khi đó tổng số thỏ là m. Điều này vô lý. Vậy ít
nhất cũng phải có 1 lồng nhốt từ 2 thỏ trở nên.(đpcm)
Nguyên lí Dirichlet là một định lí về tập hợp hữu hạn.Phát biểu chính xác nguyên lí này như sau
Cho A vàB là 2 tập không rỗng có số phần tử hữu hạn mà số phần tử ở A lớn hơn số lượng
phần tử của B ,Nếu với quy tắc nào đấy, mỗi phần tử của A tương ứng với 1 phần tử của B thì
tồn tại 2 phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với cùng 1 phần tử của B
II)Mở rộng nguyên lí Dirichlet
Cho A là tập hữu hạn những phần tử , Kí hiệu s(A) là số lượng các phần tử thuộc A.Nguyên lý
Dirichlet có thể phát biểu như sau
Nếu A và B là những tập hợp hữu hạn và s(A) > ks(B) ở đây k là 1 số tự nhiên nào đó và nếu
mỗi phần tử của A cho tương ứng với 1 phần tử nào đó của B thì tồn tại ít nhất k+1 phần tử
của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B
II. Các ví dụ:A.Các bài toán số học:1. Toán suy luận:[color=Blue]Ví dụ 1: Có 10 đội bóng thi
đấu với nhau mỗi đội phải đấu một trận với các đội khác. CMR vào bất cứ lúc nào cũng có hai
đội đã đấu số trận như nhau.
GIẢI: Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại
không có đội nào đã thi đấu 9 trận như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1
đến 9. Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau.
Ví dụ 2: Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội khác). CMR vào bất
cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào.
GIẢI: Giả sử 6 đội bóng đó là . Xét đội A.
Theo nguyên lý Đirichlê ta suy ra: A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 đội khác. Không

mất tính tổng quát, giả sử A đã đấu với .
Nếu từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh.
Nếu có 2 đội đã đấu với nhau, ví dụ B và C thì 3 đội từng cặp đã đấu với nhau.
Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với
nhau trận nào.
Ví dụ 3: CMR trong n người bất kì, tồn tại hai người có số người quen như nhau (kể cả trường
hợp quen 0 người)
GIẢI: Tương tự ví dụ 1, ta xét n nhóm...
Ví dụ 4: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được
điểm 10. CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là
một số tự nhiên từ 0 đến 10)
GIẢI: Có 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm
đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không quá học sinh, ít hơn 43 học
sinh. Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
2.Sự chia hết:[/color
Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia là rất đặc biệt.Phép chia có hàng loạt các tính
chất mà các phép còn lại không có. Ví dụ các phép toán cộng , trừ , nhân đều thực hiện với số
0 còn phép chia thì không thể.Vì những lí do đặc biệt đó mà trong toán học xây dựng hẳn 1 lý
thuyết về phép vchia . Những ví dụ sau có liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên lý
Dirchlet
color=Blue]Ví dụ 1[color=blue]:[/color
CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007.
GIẢI: Xét số có dạng . Theo nguyên tắc Đirichlê thì tồn tại hai số có cùng số dư
khi chia cho . Giả sử hai số đó là:
và với
Khi đó chia hết cho
Do nên chia hết cho .
Ví dụ 2: CMR trong số bất kì thuộc tập hợp luôn chọn được hai số mà số này là
bội của số kia.
GIẢI: Viết số đã cho dưới dạng:

Trong đó là các số lẻ. Ta có . Mặt khác trong khoảng từ 1
đến có đúng n số lẻ nên tồn tại hai số m\neq n sao cho . Khi đó, trong hai số
và có một số là bội của số kia.
Ví dụ 3: Cho 5 số nguyên phân biệt Xét tích:
CMR
GIẢI:
-Chứng minh .
Xét 4 số tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3. Giả sử thì
.Lại xét trong 4 số này lại tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3. Suy ra
-Chứng minh
Trong 5 số đã cho có 3 số cùng tính chẵn lẻ.
-Nếu có 4 số chẵn, chẳng hạn thì :
.
-Nếu có 3 số chẵn, 2 số lẻ thì đặt:
Ta có
Trong 3 số có 2 số cùng tính chẵn lẻ. Giả sử thì nên .
-Nếu có 3 số lẻ là còn chẵn thì đặt
Xét tương tự cũng có .
Vậy ta có
3. Toán về tổng, hiệu, chữ số tận cùng...các loại: Ví dụ 1: Cho 51 số nguyên dương khác nhau
có 1 chữ số và có 2 chữ số. CMR ta có thể chọn ra 6 số nào đó mà bất cứ 2 số nào trong số đã
lấy ra ấy không có chữ số hàng đơn vị giống nhau cũng không có chữ số hàng chục giống
nhau.
GIẢI:
Vì có 51 số nên tìm được 6 chục sao cho một nhóm có không ít hơn 6 số rơi vào một trong các
số chục đó, một nhóm có không ít hơn 5 số rơi vào chục khác... Cuối cùng có ít nhất một trong
các số đã cho rơi vào một chục nào đó (như vậy số các chục khác nhau không ít hơn 6) về các
số đã cho là khác nhau (chú ý các số dạng xét nhiều nhất có 2 chữ số ) do đó ở nhóm cuối
cùng ta lấy một số , sau đó nhóm trước đó (vì có ít nhất 2 chữ số hàng đơn vị của hai số trong
nhóm ấy khác nhau) ta lấy một số khác với chữ số hàng đơn vị khác số chọn trước, rồi nhóm

trước đó lại lấy 1 số có chữ số hàng đơn vị khác 2 số chọn trước... Cuối cùng sẽ được 6 số phải
tìm với các chữ số khác nhau.
Ví dụ 2: Chọn bất kì số trong số tự nhiên từ 1 đến . CMR trong các số được
chọn có ít nhất 1 số bằng tổng của 2 số được chọn (kể cả các trường hợp 2 số hạng của tổng
bằng nhau ).[/font]
[font=tahoma]GIẢI:Giả sử là số được chọn.
Xét n số:
........................ (mỗi hiệu đều nhỏ hơn )
Trong tập số đó là tồn tại 2 số bằng nhau, hai số ấy không thể cùng
thuộc dãy cũng không thể cùng thuộc dãy . Ta có:
(đpcm)
TIẾP ĐẾN LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN CỰC TRỊ
I.Mở đầu :
Để học giải các bài toán, chúng ta cần nhiều thủ thuật và phương pháp suy luận hoặc chí ít
cũng phải được trang bị những thủ thuật và phương pháp cơ bản. Có thể nói rằng mỗi một sự
trang bị thêm một thủ thuật hay phương pháp mới thì phạm vi và khả năng giải các bài toán
của người làm toán được mở rộng hơn rất nhiều. Thậm chí có những thủ thuật và phương pháp
mang tính quyết định để người làm toán có thể giải được một bài toán cụ thể được đặt ra hay
không. Điều này được thể hiện đặc biệt rõ ràng trong lớp những bài toán không mẫu mực. Một
trong những thủ thuật và phương pháp đó là nguyên tắc biên (hay còn được gọi là nguyên lý
cực hạn hay nguyên lý khởi đầu cực trị), một nguyên tắc chung hết sức hiệu quả trong quá
trình giải toán. Bởi lẽ đó là một phương pháp cần thiết phải trang bị cho chúng ta.
II.Cơ sở của phương pháp và cách áp dụng:
1.Một tập hợp M được xét trên cơ sở một quy ước chuẩn nào đó có các phần tử cực biên (cực
hạn). Không giảm tính tổng quát ta có thể gọi phần tử a ở bên "trái" và phần tử b ở bên "phải"
(quy ước a ở bên "trái" tất cả các phần tử thuộc tập hợp M, b ở bên "phải" tất cả các phần tử
thuộc tập hợp M. Dựa trên quy ước chuẩn). Nói nôm na thì đơn giản là trong một tập hữu hạn
các phần tử, tồn tại phần tử nhất (lớn nhất, nhỏ nhất)
Kí hiệu như sau:
III.Ứng dụng:

Phương pháp trên có vẻ rất đơn giản tuy nhiên nó có rất nhiều ứng dụng vô cùng hiệu quả
trong các dạng toán tổ hợp.Dưới đây là một số bài toán điển hình về việc áp dụng nguyên tắc
"biên" với tư cách là một suy luận cơ bản để quyết định tìm ra chìa khóa cho lời giải của bài
toán, đồng thời cũng qua lời giải của các bài toán này các bạn có thể tự rút ra cho mình
phương pháp áp dụng nguyên tắc "biến" một cách hợp lý trong việc giải nhiều bài toán khác
nhau.
Bài toán 1:
Trên đường thẳng cho tập hợp M các điểm sao cho mỗi một điểm trong tập hợp M là trung
điểm của đoạn nối hai điểm khác trong M.Chứng minh rằng tập M chứa vô hạn điểm.
Lời giải 1:
Giả sử tập M chứa hữu hạn điểm. Khi đó trong M có điểm là điểm bên trái và có điểm là điểm
bên phải. Chúng ta xét một trong các biên này, chẳng hạn xét điểm bên trái, ta kí hiệu là A.Vì
A bên trái nên A không thể nằm trong đoạn thẳng nào nối hai điểm khác nhau của
Từ đó có sự mâu thuẫn, điều này chứng tỏ tập M phải là vô hạn (đpcm).
Lời giải 2:
Giả sử M là tập hữu hạn và xét độ dài các đoạn thẳng nối hai điểm trong tập hợp M, số các
đoạn thẳng này là hữu hạn. Áp dụng quy tắc "biến" trong tập hữu hạn này có số lớn nhất và số
nhỏ nhất. Chúng ta xét đoạn thẳng BC có độ dài lớn nhất. Rõ ràng ngoài đoạn BC không thể
còn điểm nào thuộc tập hợp M.Nói cách khác tất cả các điểm của tập hợp M đều nằm trong
đoạn BC, chính vì vậy cả B lẫn C đều không thỏa mãn điều kiện của bài toán, dẫn đến mâu
thuẫn. Vậy tập M là vô hạn.
Bài toán 2:
Trên mặt phẳng cho 2 bộ điểm và
sao cho không có 3 điểm nào trong số điểm trên thẳng hàng. CMR có thể nối
các điểm thuộc bộ 1 với bộ 2 (bởi n đoạn) sao cho không có hai đoạn nào cắt nhau.
Lời giải:
Giả sử không thể thực hiện cách nối thỏa mãn đầu bài.Theo nguyên tắc "biên" thì tồn tại một
cách nối sao cho tổng độ dài các đoạn là nhỏ nhất. Sẽ có hai đoạn cắt nhau, ví dụ
Theo BDT tam giác thì
Do là nhỏ nhất nên ta có điều mâu thuẫn.

Vậy được đpcm.
Bài toán 3:
Cho và 6 điểm nằm trong đường tròn. CMR tồn tại hai điểm A,B trong 6 điểm trên sao
cho
Lời giải:
Giả sử 6 điểm nằm trong theo chiều kim đồng hồ lần lượt là
Nối
Ta có
Do đó góc nhỏ nhất trong chúng không lớn hơn
Không mất tính tổng quát giả sử nhỏ nhất. Khi đó
Vì vậy trong tam giác không phải là góc lớn nhất.
Mặt khác nên ta có đpcm.
Bài toán 4:
Cho và .
CMR có hai số bằng nhau.
Lời giải:
Giả sử 6 số đôi một khác nhau.
Do đó không mất tính tổng quát giả sử
.
(mâu thuẫn)
Vậy phải có hai số bằng nhau.
Bài toán 5 :
Chứng minh rằng nếu tất cả các cạnh của một tam giác đều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam
giác nhỏ hơn
Lời giải:
Gọi A là góc nhỏ nhất của tam giác ABC, suy ra:
Ta có (BH là đường cao)
Do đó
Bài toán 6:
Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu các bán

kính của bốn đường tròn nội tiếp các tam giác bằng nhau thì tứ giác
ACBD là hình thoi.
Lời giải:
Không mất tính tổng quát có thể giả sử rằng
Lấy là điểm đối xứng của B và C qua E. Tam giác nằm trong tam giác AED.
Giả sử AD ko trùng với
Khi đó đường tròn nội tiếp tam giác AED nằm trong đường tròn nội tiếp tam giác AED, đồng
dạng với đường tròn này với tâm đồng dạng E, hệ số đồng dạng lớn hơn 1.
Do đó là bán kính đường tròn nội tiếp) (vô lý).Chứng tỏ .
Khi đó là hình bình hành.
Lại có là nửa chu vi các tam giác )
Vậy là hình thoi.
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A-Định nghĩa
Tứ giác nội tiếp là tứ giác sao cho tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác đó
B-Các cách CM tứ giác nội tiếp
Đối với tứ giác cho trước thì các mệnh đề sau là tương đương:
1/ là tứ giác nôi tiếp