Ôn thi THPT quốc gia năm học 2015 2016 bài 5 tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 1
Bài 5: TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG CÙNG
TẦN SỐ
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương pháp Fre-nen.
pháp được xây dựng dựa trên mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Một dao động điều hòa
 
cosx A t


có thể biểu diễn bằng véc tơ
quay
A
có:
+Gốc tại O
+Độ dài tỉ lệ với A
Tạo với trục  một góc bằng pha ban đầu .
Ngược lại, nếu biết các đặc điểm của véc tơ quay
A
thì sẽ biết được phương trình dao động điều
hòa.
2.Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số.
-Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động lần lượt là
   
1 1 1 2 2 2
cos ; cosx A t x A t
   
   

. Li độ của dao động tổng hợp:
12
x x x
.
-Phương trình của dao động tổng hợp:
 
cosx A t



-Biên độ của dao động tổng hợp:
 
2 2 2
1 2 1 2 2 1
2 cosA A A A A

   

-Pha ban đầu của dao động tổng hợp:
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tan
cos cos
AA
AA








3.Ảnh hưởng của độ lệch pha giữa hai dao động.
*Độ lệch pha giữa hai dao động:
   
2 2 1 1
tt
    
    

*Đối với hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số thì
21
  
  

Nếu
0


thì dao động 2 nhanh (sớm) pha hơn dao động 1.
Nếu
0


thì dao động 2 chậm (trễ) pha hơn dao động 1.
Nếu
 
2n n Z


  
thì hai dao động cùng pha, khi đó
max 1 2
A A A

Nếu
   
21n n Z

   
thì hai dao động ngược pha, khi đó
min 1 2
A A A

Nếu
   
21
2
n n Z


   
thì hai dao động vuông pha, khi đó
22
12
A A A

B.BÀI TOÁN.
Dạng 1: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số.
I.Phương pháp.

1.Sử dụng giản đồ véc tơ.
*Độ lệch pha giữa hai dao động:
   
2 2 1 1
tt
    
    

*Đối với hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số thì
21
  
  

Nếu
0


thì dao động 2 nhanh (sớm) pha hơn dao động 1.
Nếu
0


thì dao động 2 chậm (trễ) pha hơn dao động 1.
Nếu
 
2n n Z

  
thì hai dao động cùng pha, khi đó
max 1 2

A A A

Nếu
   
21n n Z

   
thì hai dao động ngược pha, khi đó
min 1 2
A A A

Nếu
   
21
2
n n Z


   
thì hai dao động vuông pha, khi đó
22
12
A A A

Nếu độ lệch pha là bất kì thì
 
22
1 2 1 2 2 1
2 cosA A A A A


   

Pha ban đầu của dao động tổng hợp
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tan
cos cos
AA
AA







O
x
M
+

Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 2
-Khi một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương cùng tần số. Để tìm phương
trình dao động tổng hợp, ta sẽ chọn 2 dao động đặc biệt để tổng hợp trước, sự đặc biệt ở đây được lựa chọn
theo thứ tự ưu tiên sau: cùng pha, ngược pha, vuông góc. Sau đó mới tổng hợp với dao động còn lại.
-Khi một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
   

1 1 1 2 2 2
cos ; cosx A t x A t
   
   
, nhưng giữa chúng không có sự đặc biệt về biên độ hay sự lệch
pha như những trường hợp đã xét ở trên. Lúc này để tìm A và  thì tốt nhất ta dùng công thức tính nhanh
tổng quát sau:
1 1 2 2
1 1 2 2
cos cos cos
sin sin sin
x
y
A A A A
A A A A
  
  
   
   

Khi đó
22
xy
A A A
và
tan
y
x
A
A




Nhưng cần chú ý rằng để lấy nghiệm đúng của , ta cần cẩn thận
xem dấu của A
x
và A
y
như sau:
Nếu
0
0
x
y
A
A









thuộc góc phần tư thứ nhất của vòng tròn lượng
giác.
0 0 0
;;
0 0 0

x x x
y y y
A A A
II III IV
A A A
  
  
  
  
     
  
  
  
  

-Khi một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
   
1 1 1 2 2 2
cos ; cosx A t x A t
   
   
, cần tìm li độ, gia tốc, thế năng của vật tại thời điểm t nào đó.
Gặp bài toán này, không nhất thiết phải tìm phương trình của dao động tổng hợp, để làm nhanh chỉ cần thay
giá trị của t vào từng phương trình dao động thành phần sẽ thu được giá trị đại số của chúng, cuối cùng tính
tổng
1 2 1 2
;x x x a a a     
, vv.
-Nếu gặp bài toán cho phương trình dao động thành phần thứ nhất và phương trình dao động tổng
hợp. Tìm phương trình dao động thành phần thứ 2. Ta nên làm như sau:

Viết:
 
1 2 2 1 1
'x x x x x x x x x x         
rồi tổng hợp như cách thông thường.
2.Sử dụng máy tính Casio để giải bài toán về dao động tổng hợp.
a.Tìm dao động tổng hợp.
-Đưa máy về radian hoặc độ (thống nhất theo đề bài, đưa các phương trình dao động thành phần về
cùng hàm của cos hoặc sin)
-Đối với máy 570ES trở lên:





b.Tìm dao động thành phần.
-Đối với máy 570ES trở lên:





II.Bài tập.
MODE
2
A
1
SHIFT
(-)


1
+
A
2
SHIFT
(-)

2
SHIFT
2
3
=
MODE
2
A
SHIFT
(-)


-
A
1
SHIFT
(-)

1
SHIFT
2
3
=

O
x
y
y
1
y
2
x
1
x
2

1

2


M
1
M
2
M

A

A
1
A
2
Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 3
Bài 1: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình:
1
5
3cos 8
6
x t cm





và
2
4sin 8
3
x t cm





. Biên độ của dao động tổng hợp là
A.7cm B.3,5cm C.5cm D.1cm
Bài 2: Vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số theo phương trình
 
1
4sinx t cm



và
 
2
4 3cosx t cm


. Biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị lớn nhất khi
A.
2



B.
0


C.
2



D.



Bài 3: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là:
1
7cos 6
3

x t cm






và
 
2
3cos 6x t cm


. Biên độ của dao động tổng hợp có thể nhận giá trị nào
A.2cm B.5cm C.12cm D.15cm
Bài 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, biểu thức có dạng
1
3cos 2
6
x t cm






và
2
2
cos 2

3
x t cm






. Phương trình dao động tổng hợp là
A.
2cos 2
6
x t cm






B.
2cos 2
3
x t cm







C.
3cos 2
6
x t cm






D.
cos 2
3
x t cm







Bài 5: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là
&
36

. Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng
A.
2



B.
4

C.
6

D.
12


Bài 6: Một vật có khối lượng
200mg
thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương có phương trình
1
5cos 2
6
x t cm






và
2
2cos 2
6
x t cm







. Lấy
2
10


. Gia tốc của vật ở thời điểm
0,25ts
là
A 1,4m/s
2
B.1,4m/s
2
C.2.8m/s
2
D. -2.8m/s
2

Bài 7: Trong con lắc lò xo, vật có khối lượng
200mg
đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa cùng
phương có phương trình
1
6cos 5
2
x t cm







và
 
1
6cos 5x t cm


. Lấy
2
10


. Thế năng của vật tại
thời điểm
1ts
là
A.90mJ B.180mJ C.900J D.180J
Bài 8: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có
phương trình lần lượt là
1
4cos 10
4
x t cm






và
2
3
3cos 10
4
x t cm





. Độ lớn vận tốc của vật khi
qua vị trí cân bằng là
A.100cm/s B.50cm/s C.80cm/s D.10cm/s
Bài 9: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động thành phần cùng phương có dạng
1
6cos 20
6
x t cm






và
22
cos 20

2
x A t cm





. Biết dao động tổng hợp có vận tốc cực đại
1,2 3 /
Max
v m s
. Biên độ A
2
bằng
A.6cm B.8cm C.12cm D.20cm
Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 4
Bài 10: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương với
1
4cos 5 2
2
x t cm





và
 

22
cos 5 2x A t cm


. Biết độ lớn vận tốc của vật tại thời điểm động năng bằng thế năng là 40cm/s.
Biên độ dao động thành phần A
2
là
A.4cm B.
44cm
C.
3cm
D.
43cm

Bài 11: Một vật có khối lượng
200mg
thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có
phương trình
1
3cos 15
6
x t cm





và
22

cos 15
2
x A t cm





. Biết cơ năng dao động tổng hợp của vật
là 0,06075J. Biên độ A
2
bằng
A.1cm B.3cm C.4cm D.6cm
Bài 12: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình li độ
5
3cos
6
x t cm






. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos
6
x t cm







. Dao động thứ
hai có phương trình li độ là
A.
2
8cos
6
x t cm






B.
2
2cos
6
x t cm







C.
2
5
2cos
6
x t cm






D.
2
5
8cos
6
x t cm







Bài 13: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình
 
1 2 2 2
6cos ; cos
6

x t cm x A t cm

  

   


. Biết phương trình dao động tổng hợp
6cos
6
x t cm






. Giá trị A
2
và
2

là
A.
22
12 ;
3
A cm




B.
22
6;
2
A cm




C.
22
6;
3
A cm



D.
22
12 ;
2
A cm




Bài 14: Hai chất điểm M
1
, M

2
dao động điều hòa trên cùng một trục Ox với phương trình lần lượt là
 
1
5cos 10x t cm


và
2
5
5sin 10
6
x t cm






. Phương trình của
 
12
xx
là
A.
5 3cos 10
3
t cm







B.
5 3cos 10
6
t cm







C.
5cos 10
6
t cm






D.
5 3cos 10
6
t cm








Bài 15: Một vật đồng thời thực hiện ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. biểu thức có dạng
12
2 3 cos 2 ; 4cos 2
63
x t cm x t cm


   
   
   
   
và
 
3
8cos 2x t cm


. Phương trình của dao động
tổng hợp là
A.
6 2 cos 2
4
x t cm







B.
2
6cos 2
3
x t cm







C.
6 2 sin 2
6
x t cm






D.
2
6cos 2

3
x t cm







Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 5
Bài 16. Cho các dao động thành phần lần lượt có phương trình
   
1 2 3
3cos ( ); 3cos ( ); 2cos ( )
2
x t cm x t cm x t cm

  

   


và
4
2cos ( )
2
x t cm







. Phương trình
dao động tổng hợp của bốn dao động nói trên là
A.
5 2 cos
4
x t cm






B.
5 2 cos
4
x t cm







C.
5cos

4
x t cm






D.
5cos
4
x t cm







Bài 17. Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và vuông pha với
nhau. Nếu chỉ tham gia dao động thứ nhất thì vật đạt vận tốc cực đại là
1
v
. Nếu chỉ tham gia dao động thứ
hai thì vật đạn vận tốc cực đại là
2
v
. Nếu tham gia đồng thời hai dao động thì vận tốc cực đại là
A.
 

12
1
2
vv
B.
 
12
vv
C.
22
12
vv
D.
22
12
1
2
vv

Bài 18. Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động
này có phương trình là
 
11
cosx A t


và
22
cos
2

x A t






. Gọi E là cơ năng của vật. khối lượng của
vật bằng
A.
2 2 2
12
E
AA


B.
2 2 2
12
2E
AA


C.
 
2 2 2
12
E
AA



D.
 
2 2 2
12
2E
AA



Bài 19. Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng 1kg thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa theo phương
ngang, theo các phương trình:
 
1
5cosx t cm


và
 
2
5sinx t cm


(gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, thời gian
đo bằng giây, lấy
2
10


). Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật là

A.
50 2 N
B.
0,5 2 N
C.
25 2 N
D.
0,25 2 N

Bài 20. Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng 1kg thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa theo phương ngang,
theo các phương trình:
 
1
5 2 cosx t cm


và
 
2
5 2sinx t cm


(gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, thời gian
đo bằng giây, lấy
2
10 /g m s
). Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật là
A.10N B.20N C.25N D.0,25N
Bài 21. Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình
1

6cos 10 ( )
6
x t cm





và
2
5
6cos 10 ( )
6
x t cm





. Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp là 3cm và đang tăng thì li độ của dao
động thứ hai là bao nhiêu?
A.10cm B.9cm C.6cm D 3cm
Bài 22. Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cừng phương, cùng tần số, có phương trình lần
lượt là:
 
1 1 2 2 3 3
22
cos 2 ( ); cos 2 ( ); cos 2 ( )
33
x A t cm x A t cm x A t cm


  
   
    
   
   
. Tại thời điểm t
1

các giá trị li độ lần lượt là
1 1 1
1 2 3
10 ; 40 ; 20
t t t
x cm x cm x cm    
. Tại thời điểm
21
4
T
tt
, các giá trị li độ
lần lượt là
2 2 2
1 2 3
10 3 ; 0 ; 20 3
t t t
x cm x cm x cm   
. Phương trình của dao động tổng hợp là
A.
30cos 2 ( )

3
x t cm






B.
20cos 2 ( )
3
x t cm







C.
40cos 2 ( )
3
x t cm






D.

20 2 cos 2 ( )
3
x t cm







Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 6
Bài 23. Hai dao động điều hòa (1) và (2) cuang phương, cùng tần số và cùng biên độ 4cm. Tại một thời
điểm nào đó, dao động (1) có li độ
23cm
, đang chuyển động ngược chiều dương, còn dao động (2) có li
độ 2cm chuyển động theo chiều dương. Lúc đó dao động tổng hợp của hai dao động trên có li độ bao nhiêu
và đang chuyển động theo chiều nào?
A.
8x cm
và chuyển động ngược chiều dương.
B.
5,46x cm
và chuyển động ngược chiều dương.
C.
5,46x cm
và chuyển động theo chiều dương.
D.
8x cm

và chuyển động theo chiều dương.
Bài 24. Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là:
 
1 2 3 3 3
10cos 10 ( ); 12cos 10 ( ); cos 10 ( )
26
x t cm x t cm x A t cm


   
     
   
   
. Biết dao động tổng hợp có
phương trình
 
6 3cos 10 ( )x t cm
. Giá trị của A
3
và
3

là
A.
16 ;
2
cm


B.

15 ;
2
cm


C.
10 ;
3
cm


D.
18 ;
2
cm


Bài 25. Ba con lắc lò xo (1),(2),(3) đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1,2,3. Vị trí cân bằng của ba
vật cùng nằm trên một đường thẳng. Chọn trục Ox có phương thẳng đứng, gốc tọa độ ở vị trí cân bằng thì
phương trình dao động lần lượt là
 
1 1 1 2
cos 20 ( ); 5cos 20 ( )
6
x A t cm x t cm



   



và
3
10 3cos 20 ( )
3
x t cm





. Để ba vật dao động của ba con lắc luôn luôn nằm trên một đường thẳng thì
A.
11
20 ;
2
A cm rad



B.
11
20 ;
4
A cm rad




C.

11
20 3 ;
4
A cm rad



D.
11
20 3 ;
2
A cm rad




Bài 26. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình dao động lần
lượt là
11
cos ( )
6
x A t cm






và
22

5
cos ( )
6
x A t cm






. Phương trình dao động tổng hợp của vật
có dạng
 
3 3cos ( )x t cm


. Để biên độ
2
A
có giá trị lớn nhất thì giá trị của biên độ
1
A
bằng:
A.
32cm
B.
3cm
C.
62cm
D.

6cm

Bài 27. Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có
phương trình dao động lần lượt là
 
1
10cos 2 ( )x t cm


và
22
cos 2 ( )
2
x A t cm






thì dao động
tổng hợp là
cos 2 ( )
3
x A t cm







. Để năng lượng dao động của vật có giá trị cực đại thì biên độ
2
A
giá
trị là
A.
10 3cm
B.
20cm
C.
20
3
cm
D.
10
3
cm

Bài 28. Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là
 
11
cos 0,35 ( )x A t cm


và
 
22
cos 1,57 ( )x A t cm



. Dao động tổng hợp của hai dao động này có
phương trình là
 
20cos ( )x t cm


. Giá trị cực đại của
 
12
AA
gần giá trị nào nhất sau đây?
A.25cm B.20cm C.40cm D.35cm
Dạng 2. Khoảng cách giữa hai vật trong quá trình dao động.
I.Phương pháp.
Ta chỉ xét các dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có các phương trình dao động lần lượt
là:
   
1 1 1 2 2 2
cos ; cosx A t x A t
   
   

1.Khoảng cách giữa hai vật dao động điều hòa ở thời điểm t biết trước.
Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 7
Khoảng cách giữa hai vật trong quá trình dao động:
21
x x x  

. Để tính khoảng cách này ta có thể
dùng các phương pháp sau đây:
Cách 1: Thay t vào các phương trình
 
1 1 1
cosx A t


và
 
2 2 2
cosx A t


để tính các giá
trị x
1
và x
2
khi đó. Thay vào
21
x x x  
để tính khoảng cách.
Cách 2:
-Xác định:
+Pha ban đầu và vận tốc đầu của các dao động:
01 01
02 02
?; ?
0

?; ?
xv
t
xv






chú ý
01 02
,vv
chỉ xét dấu.
+Tính góc quét
t


.
-Biểu diễn các giá trị
01 02 01 02
; ; ;x x v v
lên trục Ox, từ đó suy ra các
vị trí M và N của các dao động trên đường tròn.
-Từ các bán kính OM và ON trên đường tròn vẽ các góc
''MOM NON t

   
. Từ các vị trí M’ và N’ hạ đường vuông góc
với Ox ta tìm được

1
x
và
2
x
, thay vào công thức
21
x x x  
để tính
khoảng cách giữa hai vật dao động.
Cách 3: Khoảng cách giữa hai vật trong quá trình dao động:
21
x x x  
, vì x
1
và x
2
là các dao động điều hòa nên
x
cũng là một dao động điều hòa với phương trình
dao động có dạng:
 
cosx A t

  
. Tới đây ta có thể dùng giản đồ Frenen hặc máy tính để tìm A và
pha ban ban đầu  từ đó suy ra phương trình dao động của
 
cosx A t


  
. Thay t vào phương trình
này ta sẽ thu được giá trị của
x
, đó chính là khoảng cách giữa hai vật dao động.
Lưu ý: Hai chất điểm dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng song song với trục Ox,
cạnh nhau, cùng tần số và vị trí cân bằng ở gốc tọa độ. Khi hai chất điểm gặp nhau ở tọa độ x
0
, chúng
chuyển động ngược chiều nhau thì
 
 
 
 
 
 
   
1 1 1 0
1
1 1 1
21
2 2 2 0
2
2 2 2
cos
?
sin 0
?
cos
?

sin 0
x A t x
t
v A t
tt
x A t x
t
v A t


  
    


  

  


  


   



      

  




  


   




2.Khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai vật dao động điều hòa trong quá trình dao động.
Khoảng cách giữa hai vật trong quá trình dao động:
21
x x x  
, vì x
1
và x
2
là các dao động điều
hòa nên
x
cũng là một dao động điều hòa với phương trình dao động có dạng:
 
cosx A t

  
.
-Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là:
min
0x

-Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là:
max
xA
với A là biên độ của dao
động tổng hợp
   
2 1 2 1
cosx x x x x A t

       
. Để tìm A ta có thể sử dụng một trong các cách
sau:
+Dùng giản đồ Frenen:
 
22
1 2 1 2 1 2
2 cosA A A A A

   
hoặc vẽ giản đồ
véc tơ để tìm A.
+Dùng máy tính Casio FX570 ES:
2 1 2 2 1 1
x x x A A A
  
        
. Quy trình
bấm máy tính như sau:
3.Tìm thời điểm để hai vật dao động điều hòa cách nhau một khoảng b.

-Phương trình khoảng cách:
     
2 1 2 2 1 1
cos cos cosx x x A t A t A t
     
        

x
01
x
02
x
2
x
1
M

N

N’

M’


x

Shift
MODE
4
MODE

2
A
2
Shift
(-)


2
-
A
1
Shift
(-)


1
Shift
2
3
=
Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 8
-Khi chúng cách nhau một khoảng b thì
xb
.
Cách 1: giải phương trình lượng giác
 
cosx b A t b


    
để tìm t.
Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác để tìm bốn thời điểm đầu tiên t
1
, t
2
, t
3
, t
4
. Các thời điểm khác
xác định như sau:
1
2
3
4
1:
2:
3:
4
4:
du t nT t
du t nT t
Solan
n
du t nT t
du t nT t














4.Thời điểm và số lần hai vật dao động điều hòa gặp nhau.
*Giả sử hai con lắc bắt đầu dao động từ thời điểm
0t 
. Sau khoảng thời gian
t
con lắc (1) thực hiện
đúng
1
n
dao động, con lắc (2) thực hiện đúng
2
n
dao động thì:
1
1 1 2 2
2
n
a
t nT n T
nb

    
(phân số tối giản)
1
12
2
.

.
n a n
t a nT b nT
n b n


    



, vậy
min 1 2
t aT bT  
khi
1n
.
*Giả sử ở thời điểm
0
t
hai con lắc có chu kì bằng nhau gặp nhau ở li độ
1
x
, sau đó nửa chu kì thì li độ của

chúng đề đổi dấu, tức là chúng sẽ gặp nhau ở li độ
1
x
. Do đó:
+Khoảng thời gian hai lần liên tiếp hai con lắc gặp nhau là
2
T
.
+Khoảng thời gian giữa n lần liên tiếp hai con lắc gặp nhau là
 
1
2
T
tn  
.
+Thời điểm gặp nhau lần thứ n là
 
00
1
2
n
T
t t t n t     

*Để tìm thời điểm gặp nhau của hai dao động điều hòa cùng phương cùng biên độ và cùng vị trí cân bằng
có phương trình:
   
1 1 1 2 2 2
cos ; cosx A t x A t
   

   
với
21


, ta giải phương trình lượng giác
       
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
cos cos cos cosx x A t A t t t
       
        

   
   
   
   
2 2 1 1 2 2 1 1
2 2 1 1 2 2 1 1
.2 .2
.2 .2
t t k t t k
t t k t t k
         
         
        



        




-Xét phương trình:
   
   
2 2 1 1
2 2 1 1
0
0
tt
tt
   
   
   


   



+Nếu phương trình thứ nhất cho nghiệm
0t 
còn phương trình thứ hai cho nghiệm
0t 
thì:
   
   
2 2 1 1
2 2 1 1
2 1: .2

2 : .2
Lan n t t n
Lan n t t n
    
    
    


   



+Nếu phương trình thứ hai cho nghiệm
0t 
còn phương trình thứ nhất cho nghiệm
0t 
thì:
   
   
2 2 1 1
2 2 1 1
2 1: .2
2 : .2
Lan n t t n
Lan n t t n
    
    
    



   



+Nếu phương trình thứ nhất cho nghiệm
0t 
còn phương trình thứ hai cho nghiệm
0t 
thì:
     
   
2 2 1 1
2 2 1 1
2 1: 1 .2
2 : .2
Lan n t t n
Lan n t t n
    
    
     


   



+Nếu phương trình thứ hai cho nghiệm
0t 
còn phương trình thứ nhất cho nghiệm
0t 

thì:
     
   
2 2 1 1
2 2 1 1
2 1: 1 .2
2 : .2
Lan n t t n
Lan n t t n
    
    
     


   



Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 9
-Nếu hai dao động điều hòa cùng phương, cùng biên độ , cùng vị trí cân bằng và cùng tần số
   
1 1 2 2
cos ; cosx A t x A t
   
   
thì phương trình
12
xx

chỉ có một họ nghiệm là
   
12
.2t t k
    
   
. Lúc đó
 
 
 
 
11
1
22
1
sin sin
1
sin
sin .2
A t A t
v
v A t
A k t
     
  
   
   
   

  



. Trong một
chu kì chúng gặp nhau 2 lần và trong n chu kì chúng gặp nhau 2n lần.
*Để tìm thời điểm gặp nhau của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số và cùng vị trí cân bằng có
phương trình:
   
1 1 1 2 2 2
cos ; cosx A t x A t
   
   
ta làm như sau:
+Xét lúc
0t 
: so sánh
( 0)
1
t
x

và
( 0)
2
t
x

. Giả sử
( 0) ( 0)
21
tt

xx



+Lập phương trình khoảng cách:
     
2 1 2 2 1 1
cos cos cosx x x A t A t A t
     
        

+Hai vật gặp nhau:
 
12
0 cos 0x x x A t

      

+Giải phương trình trên ta được họ nghiệm:
 
 
.2
2
.2
2
tk
tk

  


  

   



   


lúc này xét thêm
 
()
sin
dx
v A t
dt
  

   
ở thời điểm
0t 
để chọn nghiệm của t.
II.Bài tập.
Bài 1. Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox. Coi trong quá trình dao động hai
chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là:
1
4cos 4
3
x t cm






và
2
4 2 cos 4
12
x t cm





. Trong qua trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa
hai vật là
A.4cm B.
 
4 2 1 cm
C.
 
4 2 1 cm
D.6cm
Bài 2. Hai điểm M và N cùng dao động điều hòa trên trục x quanh điểm O với cùng tần số góc

. Biên độ
của M là
3A
, của N là A. Dao động của M chậm pha hơn một góc
2


so với dao động của N. Nhận xét
nào sau đây là đúng?
A.Độ dài đại số MN biến đổi cùng tần số góc

, biên độ 2A và vuông pha với dao động của N.
B.Khoảng cách MN biến đổi điều hòa với tần số góc
2

, biên độ
3A
.
C.Khoảng cách MN biến đổi điều hòa với tần số góc

, biên độ
2A
và lệch pha
5
6

so với dao
động của M.
D.Độ dài đại số MN biến đổi cùng tần số góc
2

, biên độ
3A
và vuông pha với dao động của N.
Bài 3. Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng
song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều ở trên một đường thẳng

qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M và N đều là 6cm. Trong quá trình dao động, khoảng
cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 6cm. ĐỘ lệch pha của hai dao động là
A.
3
4

B.
2
3

C.
3

D.
2


Bài 4. Hai chất điểm M, N dao động điều hòa trên trục Ox, quanh điểm O, cùng biên độ A, cùng tần số góc

, lệch pha nhau một góc

. Khoảng cáh MN
A.bằng
2 cosA

B.giảm dần từ 2A về 0
C.tăng dần từ 0 đến giá trị 2A D.biến thiên tuần hoàn theo thời gian
Bài 5. Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng
song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều ở trên một đường thẳng
qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6cm, của N là 8cm. Trong quá trình dao động,

Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 10
khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm
mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là
A.
4
3
B.
3
4
C.
9
16
D.
16
9

Bài 6. Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng
song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều ở trên một đường thẳng
qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M và N đều là 6cm. Trong quá trình dao động, khoảng
cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 6cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có
động năng gấp ba lần thế năng, tỉ số động năng của M và thế năng của N là
A.4 hoặc
4
3
B.3 hoặc
4
3
C.3 hoặc

3
4
D.4 hoặc
4
3

Bài 7. Hai chất điểm dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng sóng song với trục Ox, cạnh nhau,
cùng tần số và biên độ của chất điểm thứ nhất là
3
A
còn biên độ của chất điểm thứ hai là A. Vị trí cân
bằng của chúng xem như trùng nhau ở gốc tọa độ. Khi hai chất điểm gặp nhau ở tọa độ
2
A
x 
, chúng
chuyển động ngược chiều nhau. Hiệu số pha của hai dao động này là
A.
2
3

B.
3

C.

D.
2


Bài 8. Hai chất điểm M và N dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox (O là vị trí cân bằng của
chúng), coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động
của chúng lần lượt là
1
10cos 4
3
x t cm






và
2
10 2 cos 4
12
x t cm






. Hai chất điểm này cách
nhau 5cm ở thời điểm đầu tiên và thời điểm lần thứ 2014 kể từ lúc
0t 
lần lượt là
A.
11

24
s
và
2015
8
s
B.
3
8
s
và
6041
24
s
C.
1
8
s
và
6041
24
s
D.
5
24
s
và
2015
8
s

Bài 9. Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ
Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một
đường thẳng qua gốc tọa độ O và vuông góc với trục Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt
là
1
4 2 cos 4
12
x t cm






và
2
4cos 4
3
x t cm






. Tính từ lúc
0t 
, thời điểm đầu tiên hai vật cáh
nhau 2cm là

A.
1
6
s
B.
1
7
s
C.
1
8
s
D.
1s

Bài 10. Hai con lắc lắc đơn có chiều dài lần lượt là 64cm và 81cm thực hiện dao động nhỏ trong hai mặt
phẳng song song. Lấy gia tốc trọng trường
22
/g m s


. Hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng
chiều lúc
0t 
. Xác định thời điểm gần nhất mà hiện tượng tái diễn.
A.1,44s B.16s C.28,2s D.7,2s
Bài 11. Hai con lắc lò xo giống nhau, vật năng có khối lượng 10g, độ cứng của các lò xo đều là
2
100
N

k
m


, dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí
cân bằng của hai con lắc cùng nằm trên một đường thẳng qua gốc tọa độ O và vuông góc với Ox. Biên độ
của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược
chiều nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần vật nặng của hai gon lắc gặp nhau là
A.0,03s B.0,02s C.0,04s D.0,01s
Bài 12. Hai con lắc lò xo giống nhau, vật năng có khối lượng 400g, độ cứng của các lò xo đều là
2
10
N
k
m


, dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí
cân bằng của hai con lắc cùng nằm trên một đường thẳng qua gốc tọa độ O và vuông góc với Ox. Biên độ
Tổng hợp dao động - Biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Trang 11
của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược
chiều nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần vật nặng của hai gon lắc gặp nhau là
A.0,3s B.0,2s C.0,4s D.0,1s
Bài 13. Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm cùng đi qua gốc O theo chiều dương, thực hiện dao động điều
hòa trên cùng một trục Ox có cùng biên độ nhưng có tần số góc lần lượt là
5
/
6

rad s

và
2,5 /rad s

. Thời
điểm đầu tiên và thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm đó gặp nhau lần lượt là
A.0,3s và 603,9s B.0,3s và 1207,2s C.1,2s và 1207,2s D.0,3s và 603,2s
Bài 14. Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox, O là vị trí cân bằng, có
cùng biên độ A nhưng có tần số lần lượt là 3Hz và 6Hz. Lúc đầu, cả hai chất điểm đều đi qua li độ
2
A
theo
chiều âm. Thời điểm lần đầu tiên các chất điểm đó gặp nhau là
A.
2
27
s
B.
1
3
s
C.
1
9
s
D.
1
27
s

Bài 15. Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox, O là vị trí cân bằng, có
cùng biên độ A nhưng có tần số lần lượt là 3Hz và 6Hz. Lúc đầu, cả hai chất điểm đều đi qua li độ
2
A

nhưng chất điểm (1) đi theo chiều âm, chất điểm (2) đi theo chiều dương. Tìm các thời điểm hai chất điểm
gặp nhau. Tìm tỉ số vận tốc của chất điểm (1) và chất điểm (2) khi gặp nhau lần thứ 26.
Bài 16. Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình lần lượt là
1
cos
2
x A t






và
2
cos
6
x A t







. Tìm thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm đó gặp nhau và tính
tỉ số vận tốc của vật 1 và vật 2 khi đó.
A.
1
2013
2
0,3 ; 2
v
ts
v

B.
1
2013
2
2
;1
3
v
ts
v
  

C.
1
2013
2
0,4 ; 1
v
ts

v
  
D.
1
2013
2
2
;2
3
v
ts
v
  

Bài 17. Hai chất điểm dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song với nhau và song song với
trục Ox, với cùng biên độ nhưng tần số lần lượt là 3Hz và 6Hz. Vị trí cân bằng của chúng xem như trùng
nhau ở gốc tọa độ. Khi gặp nhau tỉ số tốc độ của chất điểm thứ nhất và tốc độ của chất điểm thứ hai là
A.
3
2
B.
2
3
C.
1
2
D.
2
1

Bài 18. Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình lần lượt là
1
cos4x A t


và
2
cos4
2
A
xt


. Tìm thời điểm đầu tiên hai chất điểm đó gặp nhau và tính tỉ số vận tốc
của vật 1 và vật 2 khi đó.
A.
1
2
0,125 ; 2
v
s
v

B.
1
2
0,2 ; 1
v
s
v


C.
1
2
0,4 ; 1
v
s
v

D.
1
2
0,5 ; 2
v
s
v
