Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 20142015 phần 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (394.65 KB, 42 trang )
CHUYÊN ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. Sử dụng phương pháp biến đổi: biến đổi tương đương, phân tích thành phương
trình dạng tích, nhân chia biểu thức liên hợp…
Ví dụ 1.(Trích đề thi ĐH Khi A - 2004) !"#$%
& '(
)
*
* *
x
x
x
x x
−
−
+ − >
− −
+
Lời giải
,%
x
≥
-
'
& '( * ) & '(
& '( & (
x
x
x x x x x
x
x x
− ≥
− <
⇔ − + − > − ⇔ − > − ⇔
− ≥
− > −
*
*
x
x
x
>
⇔ ⇔ > −
− < ≤
.&/(0&12
(
*
x ≥
3&/(45
Ví dụ 2. !"#$6%
& * ( * x x x x− − − ≥
&(
Lời giải
78#9:%
TH 1:
*
x
x x
x
=
− − = ⇔
= −
;<=>!?=@+
TH 2%-
( )
(
] [
)
[
)
A A
*
A *A +
*
A *A
x
x x
x
x x
x
∈ −∞ − ∪ +∞
− − >
÷
⇔ ⇔ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
÷
− ≥
∈ −∞ ∪ +∞
+
.BCB5D!=E2?F%
& A G HI J*A (
T = −∞ − ∪ ∪ +∞
+
201
Ví dụ 3+ 5#$:
&(
+&(
x xy y y x
y x y x
+ + = +
− + + =
+
Lời giải
,%
+x y− + ≥
&*(
&( & (& (
&(
x y
x y xy y y x x y x y
x y
=
⇔ − + − + − = ⇔ − + − = ⇔
= −
• K&*(L&(>x=y=+
• K&(L&(>
A
M
A +
* *
* *
y x
x y
y x
y y y
= =
= −
⇔
= − =
− =
.BC5#$=E2>*5
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M
A A A A A A A A +
* *
x y x y x y
= = = −
÷
Ví dụ 4. (Trích Báo TH&TT) 5#$%
&(
&(
xy
x y
x y
x y x y
+ + =
+
+ = −
Lời giải
,%
+x y+ >
>
&( & ( +
xy x y
x xy y xy x y xy
x y x y
+ −
⇔ + + + − = ⇔ + − − =
+ +
&*(
& (
&(
x y
xy
x y x y
x y x y
x y
x y
= −
⇔ + − + + − = ⇔
+ + +
÷
=
+
+
.$
x y+ >
3#$&(45+
K&*(4F&(>
A
*
*A
y x
y y
y x
= =
− = ⇒
= = −
+
.BC5#$=E2>5
( ) ( ) ( ) ( )
A A A A A* +x y x y= = −
Ví dụ 5+(Trích đề thi HSG QG 1996) 5#$%
* & ( &(
) & ( &(
x
x y
y
x y
+ =
+
− =
+
Lời giải
,
A +x y≥ ≥
202
NO"Cx P2Qy P<RE5+
.Sx >0, y >0>
*
* )
M
* )
)
* )
x y
x
x y
x y x y
x y
y
x y
x y
+ =
= +
+
⇔ ⇒ = −
+
− =
= −
+
+
&T4U4S4U(
&) (& ( *M ) 'xy y x x y x xy y y x⇒ = − + ⇒ + − = ⇒ =
&4$x, y1(+
C4F2#$&(=:
+ ) +
)
* *
x
x x
− + = ⇔ = ±
÷
K=>6C#x4Fy.
Bài tập tương tự%
x y
x
x y
x y
y
x y
+
+ =
÷
÷
+
+
− =
÷
÷
+
&Trích đề thiHSG Cần Thơ – 2012(
Ví dụ 6+ !"#$%
*
& * (+ x x x x≤ + − +
+
Lời giải
Q
y x= +
y
y x
≥
⇒
= +
;=:!"#$
( )
*
* +x y x y≤ −
* *
* x x y y⇔ + − ≤
&(
/TH1%V8yP<=>
x⇒ = −
C4F2-WE
x⇒ = −
?F5
/TH2%V8y > 0<=>-&(
*
*
x x
y y
⇔ + − ≤
÷ ÷
x x
y y
⇔ − + ≤
÷ ÷
x
y x
y
⇒ ≤ ⇔ ≥
6C#
x x+ ≥
+
x
x
x
x
x
x x
≤
− ≤ ≤
+ ≥
⇔ ⇔
>
+
< ≤
+ ≥
.BCB5D-?FXP
A
+
−
+
203
Ví dụ 7+ 5#$
( )
*
; +
* *
x x x y y
x y
x x y y x
+ = +
∈
+ + + = − −
¡
Lời giải
,%
A x y≥ ≥
+
#$&(
( ) ( )
( )
( )
x x y x x y x x y⇔ + = + ⇔ − + = ⇔ =
&.$
;x x+ > ∀ ∈¡
(+
U4F2#$&(>
( ) ( )
* * * * x x x x x x x x x+ + + = − − ⇔ + + = − +
Q
; a x a= + ≥
;>#$
* *x a x a+ = −
* Y 'x a x ax a⇒ + = − +
* Y 'x a x ax a⇒ + = − +
( )
M '
a x
x ax a
a x L
=
⇔ − − = ⇔
= −
,
a x=
;>
( )
*
x
x x x x x
x L
= +
= + ⇔ − − = ⇔ ⇔ = +
= −
* y⇒ = +
+Z?["CWE+
.BC5#$>5
( )
( )
A * A* +x y = + +
Bài tập luyện tập:
Bài 1. #$%
( )
* ' x x x x+ + = + +
( Đề thi HSG Lạng Sơn 2012)
Bài2. !"#$%
( )
*
*
* ' x x x x− + + − ≥
& Đề thiHSG Nghệ An 2012)
Bài 3. !"#$
'& * ( x x x x− + + + + ≤
Bài4. #$%
( ) ( ) ( )
*
* +x x x x x x+ + − − = +
Bài5. #$%
( )
*
' Mx x x− + = +
Bài 6+ #$
x x x+ = − +
+
Bài 7+ 5#$%
( )
( )
*
*
*
x y x y xy
x y y x
+ = +
− − + − = −
Bài 8. 5#$%
( )
( )
*
*
y
x x y
x y
x y x
− + =
−
+ − − =
204
Bài 9. #$%
) '' x x x x+ − − + − − =
Bài 10. #$%
* * *x x x x+ + + = − +
Bài 11. #$%
* *
*
M
x x x x x= + + − − + −
Bài 12. 5#$%
( )
*
*
x y x y x y
x y
+ + + = + + +
− =
Hướng dẫn giải
Bài 6+
#$=E2
' x x x⇔ + − = − − + −
& (& (
*
x x
x x
x
x
− −
⇔ = + − +
− +
+ +
& (
&(
*
x
x
x
x
x
=
⇔
+
= + +
− +
+ +
>#$&(
( )
*
x
x
x
⇔ + + − =
÷
− +
+ +
3&(45+
.BC5#$=E2>5
( ) ( )
A A +x y =
Bài 7+,
x y− − ≥
K&(>xPy2Qx
2
Py&\2[(
xPy;C4F2#$>%
*
*
x x x x− − + − = −
( )
( )
( ) ( )
*
*
* *
*
*
*
x x x x
x x
x x
x x x x
⇔ − − + − − − =
− −
÷
⇔ − − + =
÷
÷
− + − − + −
x
x x
x
= +
⇔ − − = ⇔
= −
+
.BC5#$=E2>5
( )
( ) ( )
A A A A +x y = + + − −
Bài 8. 5=E2=4S
( ) ( )
( )
( )
*
*
x x y x y y
x y x
− + − =
+ − − =
205
K&(6C#
y ≥
;4$Uy<0$x-y>0;12=>.&(].&(
( ) ( )
( )
( )
( )
*
x x y x y x x y y⇔ − + − − + − + − =
( )
( )
*
*
x y x x y y
x x y
x x y y
x y x y
− − − − −
⇔ − + + =
− − +
− + − +
( )
( )
( )
*
*
x x y
x y
x y x y
x x y y
x y x y
− +
+
⇔ − − + = ⇔ − − =
− − +
− + − +
U
y x= −
4F2#$&(=:%
( )
*
* * x x x x x− + − − = ⇔ − − − − =
Q
; t x t= − ≥
;>
* t t− − =
( )
( )
*
t t t t⇔ − + + + =
t⇔ =
,=>
*
x x y− = ⇔ = ⇒ =
+.BC5#$>5
( )
*
A A +
x y
=
÷
2+Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. 5#$%
&(
& ( ) &(
x y xy y
y x y x y
+ + + =
+ = + +
Lời giải:
^B"CyP<WE5+
.Sy<_<; 4UD&(4F&(2y=:%
& ( )
x
x y
y
x
x y
y
+
+ + =
+
+ = +
Q
a x y
x
b
y
= +
+
=
>
; Y
*;
) & ( )
a b b a b a
a b
a b
a b a a a a
+ = = − = −
= − =
⇔ ⇔ ⇔
= =
= + = − + + =
+
K=TC$=:x 4Fy.
Ví dụ 2+ 5#$%
*
& (
x y x y xy xy
x y xy x
+ + + + = −
+ + + = −
Lời giải:
206
5=E2=4S
& (
& (
x y xy x y xy
x y xy
+ + + + = −
+ + = −
Q
x y a
xy b
+ =
=
;=:5S
*
a ab b b a
a b a a a a
+ + = − = − −
⇔
+ = − − − − − = −
*
A
*
A
a
a a a b
b a a b
+ + = = = −
⇔ ⇔
= − − = − = −
K=>$=:x, y.
Ví dụ 3.(Đề thi HSG Vĩnh Long 2012) #$%
*
x x x x x x+ + = + + − −
Lời giải:
Q
*
;
t x x t= + + ≥
+,=>#$#`F%
( )
) ' Y t t t t t t t= − + − ⇔ − + − − + =
( )
( )
( ) ( )
* t t t t t t⇔ − − − = ⇔ − − + − =
&/(
&/(
t t
t t
− − =
⇔
+ − =
.S
*
t ≥
$
t t− − =
>a5?F
t
+
=
.S
*
t ≥
$
t t+ − =
>a5?F
t
− +
=
,
t
+
=
$
x x x x
+
+ + = ⇔ + − − =
÷
*
x
− − +
⇔ =
2Q
*
x
− + +
=
+
,
t
− +
=
$
Y
x x x x
− +
+ + = ⇔ + − + =
÷
207
Y
x
− − −
⇔ =
2Q
Y
x
− + −
=
+
.BC#$=E2>5
Y
x
− − −
⇔ =
A
Y
x
− + −
=
+
Bài tập luyện tập%Giải phương trình, hệ phương trình sau
( )
(
x y
x y
xy x y
+ + + =
− = − +
& (
( +
& (& (
x y xy x y
x y x y xy
+ + + − =
+ + =
( )
( )
*(
x y x y y
x x y x
+ + + − =
+ − + − =
( )
( )
( ) ( )
*
(
)
x xy y x y
x x y
− + − − + =
− − + =
'
(
*
x y y xy
x y y xy
+ + =
+ + =
3.Phương pháp hàm số.
Phương pháp hàm số là một trong những phương pháp quan trọng để giải phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình. Muốn làm tốt phương pháp này ngoài việc nắm chắc các kĩ
thuật sử dụng hàm số còn cần phải chú ý những sai lầm thường gặp trong phương pháp này. Khi
giải các bài toán này thường sử dụng một trong các tính chất sau:
Cho K là một khoảng ( hoặc là nửa khoảng, hoặc là đoạn)
Tính chất 1: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên K, nếu hàm số
( )
y f x=
luôn đồng biến hoặc
luôn nghịch biến trên K thì phương trình
( )
f x c=
(c là hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên
K.
Tính chất 2: Cho hàm số
( ) ( )
Ay f x y g x= =
liên tục trên K, nếu hàm số
( )
y f x=
luôn đồng
biến trên K,
( )
y g x=
luôn nghịch biến trên K thì phương trình
( ) ( )
f x g x=
có nhiều nhất một
nghiệm trên K.
Tính chất 3: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên K, nếu hàm số
( )
y f x=
luôn đồng biến hoặc
luôn nghịch biến trên K thì với
;u v K∈
ta có
( ) ( )
f u f v u v= ⇔ =
.
Tính chất 4: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục và có đạo hàm trên K, nếu phương trình
( )
b f x =
có nhiều nhất n nghiệm trên K thì phương trình
( )
f x =
có nhiều nhất n+1 nghiệm trên K.
Tính chất 5: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên K, nếu hàm số
( )
y f x=
luôn đồng biến trên K
thì với
;u v K∈
ta có
( ) ( )
f u f v u v≤ ⇔ ≤
.
Ví dụ 1.(Trích đề thi HSG Nghệ An 2012) #$%
( )
( )
*
* & (x x x x x− + + − = − ∈¡
+
Lời giải
208
<57_=c%
x ≥
+
#$=E2=%
*
*
x
x x
x
−
+ + − =
−
⇔
*
*
x
x x
x
−
+ + − − =
−
Q
*
*
& (
x
f x x x
x
−
= + + − −
−
4S7a
A
−∞
÷
( )
( )
*
b& (
*
f x
x
x
x
⇒ = + + >
−
−
+
4S
x∀ >
⇒
F6
& (f x
=d!U#3
A
−∞
÷
+
⇒
#$
& ( f x =
>=a5&(
>
&*( f =
&(
K&(4F&(6C##$=E2>51C"
*x
=
Nhận xét: Ngoài việc nắm rõ tính chất 1, để giải được bài tập trên cần phải lựu chọn đúng hàm
số cần khảo sát. Ta xét tiếp bài tập sau:
Ví dụ 2+(Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2012) #$%
( )
* +* +
x x
x x x+ − = ∈¡
Lời giải
%
* +* &* (& (
x x x
x x x+ − = ⇔ − − =
*
x
x
x
x
=
=
⇔ ⇔
=
=
%
* +* * & (
x x x
x
x x x
x
+
+ − = − ⇔ − = ≠
−
&(
V8F6
( )
* ; A A
x
x
f x x
x
+
= − ∈ −∞ ∪ +∞
÷ ÷
−
( )
( )
b * ?* ;
x
f x x
x
= + > ∀ ≠
−
+
XC#;
( )
f x
=d!U#3K<2
A A A
−∞ +∞
÷ ÷
^3#3e<2
A A A
−∞ +∞
÷ ÷
&(>"a5
fF
( ) ( )
f f= − =
+XC#;&(>5
x
= ±
+
209
.BC#$=E2>B5?F%
AA A
−
Nhận xét: Nếu không nắm chắc các tính chất cơ bản học sinh rất hay mắc sai lầm là:
khi khẳng định được
( )
f x
đồng biến trên từng khoảng
A A A
−∞ +∞
÷ ÷
vội vàng kết luận
phương trình có nhiều nhất một nghiêm trên
A A
−∞ ∪ +∞
÷ ÷
.
Ví dụ 3+(Trích đề thi thử Đại học tỉnh Bắc Ninh 2013- 2014) 5#$%
( )
( )
( )
* *
* Y *
; +
* * )
xy x y y
x y
x x y xy x x y x
+ + = + +
∈
− + − − + − =
¡
Lời giải:
,%
x y xy+ ≥
V8#$&(
* Y * * * ;y y y y y+ + > + ≥ ∀
A
( )
; A y x x x y x+ + ≥ ∀ ⇒ >
fF
( )
x y xy y x x y+ ≥ ⇔ + > ⇒ >
+
,=>>%
( )
* * *
x x x a
y y y
+ + = + +
÷
V8F6
( ) ( )
; Af t t t t t= + + ∈ +∞
( ) ( )
b ; A
t
f t t t
t
⇒ = + + + > ∀ ∈ +∞
+
⇒
F6
( )
f t
=d!U#3
( )
A ++∞
N2=>#$
( ) ( )
* * *
+a f x f x y
y y x
⇔ = ⇔ = ⇔ =
÷
C
*
y
x
=
4F2#$&(>
( ) ( )
( )
* *
* * Y ) * * Mx x x x x x x x x x x− − − + − = ⇔ − − − = − +
( )
( )
*
* *
* M *
* *
x x x
x x x x x x x
x x x x
− + − −
⇔ − = − + ⇔ − + + =
÷
− + − +
*
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
&.$
*
;
*
*
x
x x
x x
−
+ > ∀ ≥
− +
(
.BC5#$>5
( )
*
A* A A
÷
+
Ví dụ 4. !"#$%
( )
* & Y *( & (& ( x x x x x+ + + + + + + ≥
210
Lời giải:
.U?[#$1S1[%
* & &* ( *( & (& J & ( G *x x x x+ + ≥ − + + − + +
V8F6
( ) ( )
b
& *(; A & ( *
*
t
f t t t t f t t
t
= + + ∈ = + + + >
+
¡
F6
( )
f t
?=d!U
¡
N2=>&(
⇔
( ) ( )
* * +
f x f x x x x≥ − − ⇔ ≥ − − ⇔ ≥ −
.BCB5D!"#$?F
A +
T
= − +∞
÷
Ví dụ 5.(Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2013) 5#$%
( )
( )
?2 ?2 +
+
?2 '?2 ?2 * *
x x
x x y
x y x x y
+ = +
− + − + + =
Lời giải:
,%
A x y> > −
#$
( ) ( ) ( )
?2 ?2 ?2 ?2
x
x x y x x x y x y
⇔ + = + ⇔ + = + + ⇔ = +
U4F2&(>
?2 '?2 ?2 * x x x x x− − + =
( ) ( )
( )
( )
?2 * *
?2 * ?2
?2
x
x x x
x x
− =
− − = ⇔
− =
&(;78
( ) ( ) ( )
?2 b
?
f x x x x f x
x
= − > ⇒ = −
( )
b
?
f x x= ⇔ =
+
\B ;K=>6C##$&(>"5+
fF
( ) ( ) ( )
f f= = ⇒
>5
A x x= =
.BC5#$=E2>!5
( ) ( ) ( ) ( )
A % MA) A A A A*x y
Bài tập luyện tập%Giải phương trình, hệ phương trình sau
( )
*
( * * * x x x x x+ + + = + +
(* * '
x x
x
− + − ≤
−
* *
*
*( ) M x x x x x x− + − + = −
( * Mx x x+ < − + +
211
( ) ( ) ( )
( )
(
M *
x
x y x y
x
x y x x x x
+ = + + +
+
+ + = − − +
( )
( )
* *
*
* * '
'(
* *
x y x y x y
x y
− + + + − + =
− + − =
*
)(
*
x
x
x
+ −
=
+
+ −
*
Y
M(
M M
x x
x x
− − = + −
' *
Y ** Y
Y(
*
x y x y y
x x y
− + − − =
+ + =
( ) ( )
( )
*
'
(
x y x x
x y y x x
+ + + =
+ + = + +
4. Phương pháp đánh giá.
Ví dụ 1. 5#$%
( )
( ) ( )
* * '
; ; +
*
x x y x x y
x y
y y y x
− − = + − −
∈
− − + = − +
¡
&xAy∈R(+
Lời giải
g<5%
y y− − + ≥
( ) ( )
& (* & * (x x y x x y
− − = − −+ −
( )
*
* & (
y x
x y x y
y x
= −
− − − − = ⇔
= −
⇔
.Sy = 3x - 5C4F2&(=:
y y− − + = − <
45
.S
y x= −
C4F2&(=:
* *x x x− = − +
&/(
5<5
x− ≤ ≤
+
h1i!"=jklC>
+++
x
x
−
− ≤
K&*(>%
* * )
x
x x x x x
−
− + ≤ ⇔ + − + ≤
( )
( )
) x x x x⇔ − + + ≤ ⇔ =
Z?[x = 1WE&/(+.BC5=E2>5?F&A(
Ví dụ 2. 5#$%
( ) ( )
( )
*
*
)' M
x x y x x y
x y x x
− + = −
− + = +
+
Lời giải:
<5%
x y≥
⇔
( ) ( )
*
*
x x y x x y− + − − =
212
( ) ( )
( )
x x x y x y x x y
⇔ − − + − − − =
( ) ( )
( )
x x y x x x y x y
x x y y x x
⇔ − − + − + − =
⇔ = − ⇔ = −
,=>&(#`F%
( )
*
Y' M x x x x− + = +
( ) ( )
*
M
M
*
M M
*
x
x
x x x
+
+ +
⇔ − + = +
XZ1i-l62*6$=:51C"D#$
M
x =
.BC5#$>5
( )
) )
A A A A +
M M M M
x y
−
∈
÷ ÷
Ví dụ 3+(Đề thi Đại học khi A – năm 2014) 5#$
*
& (
M
x y y x
x x y
− + − =
− − = −
Lời giải:
>
( )
( )
& ( x y x y x x y y− + − ≤ + − − + =
N"mPn7 C#
y
x
y
y
−
⇔ =
−
& (& (x y y x⇔ = − −
&*(
,=>&(=4S&*(
&*(
&(
x x x
x y x y x y y x y x
≥ ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔
= − − + = − = −
U&(4F2&(>
* *
&( M M x x x x x x⇔ − − = − ⇔ − − − − =
( )
*
M * x x x⇔ − − + − − =
( )
( )
& (
* * +
x
x x x
x
− −
⇔ − + + + =
+ −
( )
( )
Y
* * +
x
x x x
x
−
⇔ − + + + =
+ −
( )
& *(
* *
x
x x x
x
+
⇔ − + + + =
+ −
*
& *(
*
x
x
x x
x
=
⇔
+
+ + + =
+ −
* *x y⇔ = ⇒ =
213
.BC
*
*
x
y
=
=
5. Một số bài tập khác.
Bài 1. #$
( )
*
* * M +x x x− + = −
Lời giải:
>
*
* * M x x x x− + > ⇒ − > ⇒ >
Cách 1:(Liên hợp thành phần)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
*
*
*
M * M )
M M
x
x x x x x
x x
−
⇔ − + = − − ⇔ − − =
− + − +
( )
( )
( )
*
*
/
)
M M
x
x
x x
=
⇔
− − =
− + − +
o^U
( )
/ x VT> ⇒ > ⇒
#$&/(45
o^U
( )
/ x VT< ⇒ < ⇒
#$&/(45
o^U
x =
+WE#$&/(
.BC#$=E2>51C"
x
=
+
Cách 2:(Liên hợp hoàn toàn)
( ) ( )
*
' * * M x x x x⇔ − + = − − +
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
*
Y M * M
x x
x
x x x x
− +
⇔ − + =
− + − + + +
( )
( ) ( ) ( )
( )
*
*
/
Y M * M
x
x
x x x x
=
+
⇔
+ =
− + − + + +
.BC#$=E2>51C"
x
=
+
Cách 3:(Phương pháp đánh giá)
>%
( ) ( )
* *
* M +M+M M M x x x x− ≤ + ⇒ − ≤ +
&p2!"=jkl6(
N2=>
( )
* x x x x x− + ≤ + ⇔ − ≤ ⇔ =
+Z?["CWE+
.BC#$=E2>51C"
x
=
+
Bài 2.(Trích đề thi thử Đại học khối A tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013)
5#$
( )
*
*
*
+
Y ' * * '
x x y x x y
x y x y x
− = − + +
− + − − = +
214
Lời giải:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
*
x x y x x y x x y x y x x y x x⇔ − = − + + ⇔ − + − = + ⇔ − + = +
x y⇔ − − =
&4$
;x x+ > ∀
(
U4F2#$&(>
*
*
Y ' ' * ' x x x x− + − = +
( ) ( )
( )
( )
*
*
* ' * ' *x x x x− + − = + + +
V8F6
( ) ( ) ( ) ( )
*
* b * * f t t t f t t t f t= + ⇒ = + > ∀ ∈ ⇒¡
=d!U#3
¡
+
#$&*(
( )
( )
* *
' ' f x f x x x⇔ − = + ⇔ − = +
+
*
Y * * x x x⇔ − + − =
( ) ( )
* *
x x⇔ + = −
+
( )
*
*
*
x x x
+
⇔ + = − ⇔ =
−
⇒
*
y =
−
+
.BC5#$>5
( )
*
* *
A A
x y
+
=
÷
− −
+
Bài 3. 5#$%
( ) ( )
*
+
Y '
x x y x y x y
y x x
+ = + +
− − + =
Lời giải:
( )
( ) ( )
( )
*
* *
x xy x y x y x x x y x y⇔ + − + + = ⇔ + + − + =
*
x
x x y
y x
≥
⇔ = + ⇔
=
&.$x PyP<?F5D5(
U4F2&(>
*
y y y− − + =
&/(
#$&/(#3B
¡
+
B4BC%78
( )
Ay ∈ −
;Q
6 ; A
y t t
π π
= ∈ −
÷
;
&/(#`F%
*
M6 6 6 t t t− − + =
( )
6 6 6 6 +26 26 *t t t t t t⇔ − = − ⇔ = −
6 26*t c t⇔ =
&N2
26 t =
<?F5D(
( )
)
6 6 *
k
t
t t k
t k
π π
π
π
π
= +
⇔ = − ⇔ ∈
÷
= − +
¡
.$
* *
A A A 6 A6 A 6
t t y
π π π π π π π π
∈ − ⇒ ∈ − ⇒ ∈ −
÷
fF#$!B*>=*53&/(>*5#3
215
,U:4S=<5
y ≥
>
6
6
*
*
6
6
*
y x
y x
π
π
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
K=>$=:5D5#$+
Bài 4. (Trích đề kiểm tra năng lực giáo viên THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013)
5#$%
( )
( )
*
* )
'
+
*
Y '
& (
y
x
y y
x x
x x
x
yx
x
+
−
+ +
− +
− + − + =
− +
−
= +
Lời giải:
,%
'
)
*
x x
x
y
y
x
− + − ≥
≤ ≤
+ > ⇔
> −
− >
>
) )
' ; * Y ; *A
M
x x x x x
− + − ≥ − ≤ − + ≤ − ∀ ∈
* )
' '
* Y * Y
x x
x x x x
x x x x
− +
− + − + = − + − + − ≥
− + − +
N2=>;
( )
( )
*
* *y y y y y y+ + ≥ ⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥
.S
*y ≥
>
( )
( ) ( )
? ?
x y
x y
− +
⇔ =
− +
V8F6
( ) ( )
?
; A
a
g a a
a
= ∈ +∞
( ) ( )
?
b ; b
a
g a g a a e
a
−
= = ⇔ =
N2
( ) ( ) ( ) ( )
? ?
A A
x g x g y g y g
− ∈ ⇒ − ≥ = + ≥ ⇒ + ≤ =
K=>6C#
*; *x y= =
Z?[
*; *x y= =
WE5#$+
Bài 5% 5#$
( )
*
*
* *
;
* M *
x y x x y
x y
x y x
+ − + + − =
∈
− + = −
¡
+
Lời giải:
216
,
M
A
* * *
x y− ≤ ≤ ≥ −
+
^B78%
( )
A A
* *
x y
= − −
÷
<?F5D5+N2=>
*
x ≠ −
2Q
*
y ≠ −
( )
( )
( ) ( )
*
*
* * * *
x y
x x y x y x
x y x y
−
⇔ + − = ⇔ − + =
÷
÷
+ + + + + +
C
x y=
4F2#$&(>+
( )
( )
* *
* M * M * x x x x x x x− + = − ⇔ − − + − − − =
( )
( )
M *
x x x
x x
÷
⇔ − − + + =
÷
− + −
;.$
( )
*
;
* *
x
x y
+ >
+ + +
>
( )
( )
' M *
M * M *
x x x x
x
x x x x
− + + + + −
+ + =
− + − − + −
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
M * *
M * M * *
M * M *
x x
x x x x
x x x x
+ + − +
+ + + − + − +
= = >
− + − − + −
;4S
M
* *
x− ≤ ≤
N2=>>
x
x x
x
+
=
⇔ − − = ⇔
+
=
.BC5#$>5
( )
A A A A
x y
+ + − −
=
÷ ÷
+
Bài 6% 5#$
( )
* *
* *
;
M *
x x y y
x y
x y x x
− + = +
∈
− + + + = + −
¡
+
Lời giải:
,
*A A M x y x y≥ ≥ − + + ≥
+
>%
( )
( ) ( )
* * * * * * x x x x x x x x+ − = − + − − = − − − + ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥
fF
M M M x y y x y− + + ≥ ⇒ ≥ − ≥ ⇒ ≥
( ) ( ) ( )
( )
*
*
* * * *x x y y⇔ − − − = + − +
V8F6
( ) ( ) ( ) ( )
*
* ; A b * * Af t t t t f t t t= − ∈ +∞ ⇒ = − > ∀ ∈ +∞
( )
f t⇒
=d!U#3
( )
A+∞
217
,=>#$
( ) ( )
( )
* *f x f y x y⇔ − = + ⇔ − = +
U4F2#$&(>
( ) ( ) ( )
M * * *x x x x x x x x− + + = + − ⇔ − + − = − + −
( )
* * )x x x x x
⇔ − − − = ⇔ − = − ⇔ =
.BC5#$>5
( ) ( )
A )A** +x y =
+
7. Một số bài tập tham khảo
#$;!"#$;5#$6%
(
* *
*
M
x x x x x= + + − − + −
(
& ( & (& * (x x x+ ≥ + − +
*(
( )
+x x x− + − =
(
)x x x+ − = +
( Trích đề thi HSG Đắc Lắc 2013)
(
( )
M * ) x x x x− + − + − =
(Trích đề thi HSG TP HCM 2013)
'(
*
& ( ' * *x x x+ − + =
)(
( ) ( )
*
*
x x x x+ − = −
M(
( ) ( )
* *x x x x+ − − − < − + + − −
Y(
*
y
y x x
x
y x
+
− = −
+ + − =
(
*
Y * x x x x− + − = + −
(
& (& ( * ' & '(& ( * x x x x x x+ − − + = − + − + +
(
'
x
x
x
−
+ =
−
*(
M
x y xy y xy x
x y xy
+ + = + +
− − − =
(
( ) ( )
( ) ( )
* '
*
x x y y x
x y x y
+ = + +
− − = −
(
( ) ( )
* M
M * *
x y y x
x x y y
+ − + − =
+ + + − =
'(
* '
'
x y xy
x y
+ − =
+ + + =
)(
& (
*
x y x y x
y x y y x
− + + =
− − =
M(
& (
& (
x x y y xy
x y x xy
+ + − =
+ − + =
218
Y(
'
)
x x y
x xy y
+ + − =
+ + =
(
( )
x x x+ = − +
(
* & *(& (
?2 ?2 & ( ?2 &* *(
y x x x
x x y y
− = + − +
− − + = +
(
( )
*
xy y x
y x x x x x
+ = +
+ + + + = −
( Trích đề thi HSG Nam Định 2013)
*(
* *
*
* & * (* *
x x x x x
x x
+ + − +
+ − + =
(Trích đề thi HSG Ninh Bình 2012)
(
'
xy y x
x
xy y
x y y y
x
+ −
=
+ +
+ + = −
(Trích đề thi HSG TP HCM 2013)
(
( )
* *
'
x y
x
x y x y
x y x y
+
+ =
+
+ = + −
( Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Hà Nội)
'(
( )
& ( ' ' )x x x x x x+ + + + − − = + +
&Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Kon Tum 2013(
)(
( )
Y '
M
Y M
x
y
x y
x x
x x y
x x
+
= +
− +
− + − + = +
− +
(Trích đề thi chọn đội tuyển QG – TP HCM 2013)
M(
( ) ( )
( )
*
*
x xy x
x y xy x y y
+ + + =
+ + + + − + =
Y(
* *
*
*
x xy y
x x y y
+ + =
− + = +
219
CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Minh Nhiên – Sở GD&ĐT
Trong những năm gần đây, bài toán cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học đa phần
là bài toán khó nhất đề thi. Để giải quyết các bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kỹ này
quan trọng khi giải các bài toán cực trị. Chuyên đề này đưa ra một số cách tiếp cận bài toán cực
trị bằng phương pháp hàm số.
1. Phương pháp khảo sát hàm đặc trưng
Ví dụ 1. lk#q
(
;
x
x
x x
+
≤ ∀
− +
!(
*; ; ;x x y y z z x y z− + + − + + − + ≥ ∀
WE7oCorP*+
Lời giải:
220
(V8F6
( )
;
x
f x x
x x
+
= ∈
− +
¡
+>
( )
( )
( )
*
x
f x
x x x x
−
′
=
− + − +
4F
( ) ( ) ( )
A ? ; ?
x x
f x x f x f x
→+∞ →−∞
′
= ⇔ = = = −
>! !U3
7
−∞
+∞
st&7( o
s&7(
K! !U36C#
( ) ( )
;f x f x≤ = ∀
+
!(h1iT>
( )
; &(
x
x x x x
x x
+
≤ ∀ ⇔ − + ≥ +
− +
u
( ) ( ) ( ) ( )
A *
y y y z z z− + ≥ + − + ≥ +
laK4U_-&(;&(4F&*(>
( )
* *
x x y y z z x y z− + + − + + − + ≥ + + + ≥
&=(+
Ví dụ 2. l2o!oP+lk#q
M M M
a b c a b c
+ + ≥ + +
+
Lời giải:
V8F6
( )
( )
*
?
x x
f x x
= − −
#3v+>
( )
( ) ( ) ( )
*+ +? +? ? *+ ?
x x x x
f x
′
= − − = − +
4F
( )
x
f x x
′
= ⇔ = ⇔ =
+
>! !U3
7
−∞
+∞
st&7( o
s&7(
+∞
+∞
221
XC#
( ) ( ) ( ) ( )
; f x x R f a f b f c≥ ∀ ∈ ⇒ + + ≥
( )
M M M & ( ? M M M
a b c a b c a b c a b c
a b c⇒ + + − + + − + + ≥ ⇒ + + ≥ + +
Ví dụ 3. (Trích đề thi đại học khi D năm 2006)
lk#q
;
b a
a b
a b
a b
+ ≤ + ∀ ≥ >
÷ ÷
+
Lời giải:
>
b a
b a
a b
a b
a b a b
+ +
+ ≤ + ⇔ ≤
÷ ÷
÷ ÷
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
? ?
? ?
a b
b a b a
a b a b
a b
+ +
⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤
V8F6
( )
( )
?
x
f x
x
+
=
4S7]+>
( )
( ) ( )
( )
? ?
x x x x
x
f x
x
− + +
′
= <
+
;
3s?FFc!U#3
( )
A+∞
+N2=>
( ) ( )
f a f b≤
&=(+
Bài tập tự luyện
Bài 1: l2;!;?F!61WE
a b c+ + =
+lk#q
* *
a b c
a b c
+ + ≥
− − −
+
Bài 2:lk#q4S
( )
; A ;x y x y∈ ≠
>
? ?
y x
y x y x
− >
÷
− − −
+
Bài 3: lk#q
( ) ( )
* * ;
y x
x y y x
x y
+ < + ∀ > >
.
Tổng quát%.S;!]4F7]C]>
( ) ( )
y x
x y y x
a b a b+ < +
.
Bài 4: l2
* *
; A x y x y≥ + =
+$\^D
A x y= +
+
Bài 5:&VMO, 2004(l27;C;r?F_6u1WE
( )
*
*x y z xyz+ + =
+$\^
4F^^D!wk
( )
x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
+
Bài 6: l2_6<T7;C;rWE=<5%7CoCro7CrP+lfv%
x y z xy yz zx+ + ≥ + +
+
2. Phương pháp dồn dần về một biến
222
Đối với các bài toán cực trị nhiều biến, ta thường phối hợp với phương pháp chặn các biến
bằng cách: sử dụng BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT phụ hoặc sử dụng hàm số, đưa
dần về một biến để khảo sát.
Ví dụ 1. l2!6u1
; ;a b c
WE
a b c+ + =
+$_#cW"D!wk
* * *
P a b c= + +
Lời giải
^$!wkD
P
"C>6u7"5D !!U6
; ;a b c
F<wC
#uU4a!U6CUx6Z1i U+^?["C
P
?F!wk>=
7k4S
;a b
;12=>1u=2__#cW"=[=:<!U
;a b
!q+k
4F6Z1i!"=jk
*
* *
a b a b+ +
≥
÷
;=jk7 C#<!U6
a
4F
b
!q
+,=>>
( )
* *
*
* *
* *
M
a b c c c c
P c c f c
+ − + − +
≥ + = + = =
÷ ÷
+-TC9$
45 CU!F2_<_?F1O1F!q_< 26_F6
( ) ( )
M+g c f c=
#3<2
( )
A
+
>
( )
b * ' *g c c c= + −
;
( )
b ; g c c c= ⇔ = − − = − +
+\B! !U3
DF6
( )
g c
#3<2
( )
A
>%
( ) ( )
( )
' g c g c g≥ = − + = −
;6C#
( )
( )
*
P f c≥ ≥ −
+
.BC
( )
*
P = −
<4Fx<
( )
;
c a b= − = = −
+
Ví dụ 2. lk#qU;!;?F=a1F![Da_>4!q*$
( )
* * * * a b c abc+ + + ≥
+
Lời giải
Q
* * * T a b c abc= + + +
+N24#yD;!;!$=j3<c!Uz_
>w 6Z
a b c< ≤ ≤
+
Ko!oP*4Fo!]6C#
*
c≤ <
&(+
!U=z
( ) ( ) ( )
*& ( * * * * * * * T a b c abc a b ab c abc c c ab c
= + + + = + − + + = − + − −
223
N2{*]4F
( )
*
a b
ab
+
≤
÷
;6C#
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
*
* * * * * ' Y * * *
* )
T c c a b c c c c c c
c c f c
≥ − + − + − = − + + − − −
= − + =
>
( )
* *f c c c
′
= −
;3s&(=d!U#3
*
A
+.$4BC;
( ) ( )
*T f c f≥ ≥ =
+
d9
* T c
= ⇔ =
+.S U
a b c< ≤ ≤
4Fo!oP*4F&*(6C#P!P;k
?F_|-l=+
Ví dụ 3. (Trích đề thi thử ĐH khi B tỉnh Bắc Ninh năm 2013)
l26u
;x y
4S
y > −
+$_#cW"D!wk
M Y
x y x y
y y x y
S
y
+ − + + + + − − +
=
+
+
Lời giải
>
;
x y
x y+ ≥ + ≥
1"!q7 C#<
x y= =
( ) ( ) ( )
*
Y M
x y x y
x y y x y x y
S
y y
+ − + − + −
+ − + + + − − +
=
+
⇒ ≥
+
\"C
( ) ( )
A ; A *u x y v x y= − = − −
r r
+.$
u v u v+ ≥ +
r r r r
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * u v x y x y x x y y y+ = + − + − + − ≥ + − + − + − = +
r r
N"!q7 C#<
*
x y
x y
−
= >
− −
&4S
x =
2Q
*
y =
<7 C#1"!q(
-TC9=$^^D
( )
A
y
S f y y
y
+
= = > −
+
fF
( )
( )
( )
y
y
f y
y
y
+
+
= ≥ =
+
+
+.BC
MinS =
=[=:<
x y= =
+
Ví dụ 4. (Trích đề thi khối A năm 2011)
l27;C;r?F_6ua=2[JAG4F
;x y x z≥ ≥
+$^^D!wk
*
x y z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
+
Lời giải
224
#SUk4S;!1;
ab ≥
$
a b
ab
+ ≥
+ +
+
(*)
B4BC;>
&/( & (& ( ab a b⇔ − − ≥
?=@12;!14F
ab ≥
+
N"!q7 C#<4Fx<P!2Q!P+
h1i&/(4S7;Ca=2[JAG4F
;x y x z≥ ≥
>
*
*
x
P
x x y
x y
x
y z x
y
= + + ≥ +
+
+ + +
+
+
N"!q7 C#<4Fx<
z x
y z
=
2Q
x
y
=
&(
Q
[ ]
; A
x
t t
y
= ∈
;<=>
*
t
P
t t
≥ +
+ +
+
V8F
[ ]
& ( ; A
*
t
f t t
t t
= + ∈
+ +
>
( ) ( )
( )
( )
*
* * Y
b& (
*
t t t
f t
t t
− + + − +
= <
+ +
+
XC#;
*
& ( &(
**
f t f≥ =
+
N"!q7 C#<4Fx<
A
x
t x y
y
= ⇔ = ⇔ = =
&(
N2=>
*
**
P ≥
+K&(4F&(6C#1"!q7 C#<4Fx<7PY;CP;rP+
Ví dụ 5. (Trích đề thi khi A năm 2014)
l2x;y;z?F_6u<T4FWE=<5
x y z+ + =
+
$_#c?S"D!wk
Y
x y z yz
P
x yz x x y z
+ +
= + −
+ + + + + +
Lời giải
>
x x x
x yz x
x yz x yz
≤ =
+ + +
+ + + +
;1"!q7 C#<
+x yz= +
?[>
( ) ( ) ( )
( )
x y z
x y z x y z x y z yz x y z yz
+ +
= + + = + + − + − ≥ + + − −
( ) ( )
+x y z yz x y z yz⇒ + + ≤ + ⇒ + + ≤ +
y z x x
x y z x y z
yz
+ + +
⇒ = − ≤ −
+ + + + + +
+ +
225
