bài tập toán lớp 6 cơ bản

Bài tập
toán lớp 6
1
CHỦ ĐỀ 1: BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1
(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
2. Tính tổng của dãy số cách đều:
3. Tìm số hạng thứ n trong dãy số cách đều:
số cuối = (số số hạng - 1) . khoảng cách + số đầu
II. BÀI TẬP:
Bài 1:Tính tổng sau:
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + . + 100
Số số hạng cả dãy là: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050
b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + . + 100
số số hạng là: (100-2):2+1 = 49
B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499
c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + . + 301
d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .+ 201.
Bài 2: Tính các tổng:
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + . + 302 b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .+ 203.
c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + . + 301 d) D =8 + 15 + 22 + 29 + . + 351.
Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .
a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.
Giải: lưu ý:
a.vậy số thứ 100 = (100-1) .3 – 5 = 292
b.S= (292 + 5) .100:2 = 23000
Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .

a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.
Bài 1:Tính tổng sau:
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + . + 100
Số số hạng cả dóy là: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050
b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + . + 100
số số hạng là: (100-2):2+1 = 49
B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499
c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + . + 301
d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .+ 201.
Bài 2: Tính các tổng:
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + . + 302 b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .+ 203.
c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + . + 301 d) D =8 + 15 + 22 + 29 + . + 351.
Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .
2
a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.
Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) . khoảng cách - số đầu
c.vậy số thứ 100 = (100-1) .3 – 5 = 292
d.S= (292 + 5) .100:2 = 23000
Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .
a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.
Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Tính tổng các chữ số của a.
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.

b/ S
2
= 101+ 103+ . + 997+ 999
Bài 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, ., 283
Bài 10: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên.
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, biểu diễn là
2 1k
+
, k
∈
N
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là
2k
, k
∈
N)
III. LUYỆN TẬP
Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27,…,…,…
Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.
a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :
a) 3, 9, 27, , , 729. b) 3, 8, 23, , , 608.
Bài 5: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,……
a) Dãy số được viết theo quy luật nào?
b) Số 2009 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?
Bài 6: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……

a) Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
b) Số 2009 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
Bài 7: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,
a) Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.
b) Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?
Bài 8: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Bài 9: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Bài 10: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong
dãy số này? Giải thích cách tìm?
Bài 11: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,…
a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
3
Bài 12: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Bài 13: Tìm số số hạng của các dãy số sau:
a. 1, 4, 7, 10, ……,1999.
b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0.
Bài 14: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010?
Bài 15: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:
a) 3, 8, 15, 24, 35,… b) 3, 24, 63, 120, 195,… c) 1, 3, 6, 10, 15,….
Bài 16: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó.
Bài 17: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao
nhiêu chữ số.
Bài 18: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó
người ta phải dùng bao nhiêu chữ số
Bài 19: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao
nhiêu trang?
Bài 20: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi
các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó. Hỏi số nhà
cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy

này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy.
Bài 21: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào?
Bài 22: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào?
Bài 23: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.
Bài 25: Cho dãy số: 1, 2, 3, , n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136
Bài 26: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840
Bài 27: Cho biết: 1 + 2 + 3 + + n = 345. Hãy tìm số n.
Bài 28: Tìm số n biết rằng: 98 + 102 + + n = 15050
Bài 29: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106
Bài 30: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.
Bài 31: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195. Tính tổng các chữ số trong dãy?
CHỦ ĐỀ 2: BÀI TẬP VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
A. PHÉP CỘNG
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. 0 + a = a + 0 = a
4. (a - n) + (b + n) = a + b
5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2
6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2
B. PHÉP TRỪ
1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - c) - b
2. Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi.
3. Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị.
4. Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số bị trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.
C.PHÉP NHÂN
4
1. a x b = b x a
2. a x (b x c) = (a x b) x c
3. a x 0 = 0 x a = 0

4. a x 1 = 1 x a = a
5. a x (b + c) = a x b + a x c
6. a x (b - c) = a x b - a x c
7. Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần
thì tích không thay đổi.
8. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được
gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần, các thừa
số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0)
D. PHÉP CHIA
1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
2. 0 : a = 0 (a > 0)
3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0)
4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
5. Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ
nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần.
6. Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì
thương giảm đi n lần và ngược lại.
7. Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương
không thay đổi.
E. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
1. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có phép nhân và phép
chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
2. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực hiện các
phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ sau.
3. Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn trước, các phép tính
ngoài dấu ngoặc đơn sau
II. BÀI TẬP:
Dạng 1 . Tính nhanh :
*Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa 2 chữ số
đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục.

vd : 34 .11 =374 ; 69.11 =759
*Chú ý: muốn nhân một số có 2 chữ số với 101 thì kết quả chính là 1 số có được bằng cách viết
chữ số đó 2 lần khít nhau
vd: 84 .101 =8484 ; 63 .101 =6363 ;
*Chú ý: muốn nhân một số có 3 chữ số với 1001 thì kết quả chính là 1 số có được bằng cách
viết chữ số đó 2 lần khít nhau
VÝ dô:123.1001 = 123123
Vídụ : Tính nhanh giá trị các biểu thức sau :
a) 314: 25+86:25 b) 724:4-24:4
c) ( 700+21): 7 d) ( 819-81) : 9
5
1.Áp dụng tính chất của phép cộng và phép nhân để tính nhanh:
a) 32 + 347+ 68 b) 345 + 374 + 655
c) 4 . 375 . 25 d) 5 . 724 . 2
e) 32.69+68.69 f) 45.172 + 53 . 172 + 172
2. tính nhanh :
a)132.9+132 b)48.17+48.3 c)4.51.7+2.86.7+2.2.7
3. Tính nhanh :
a) 341.67+341.16+659.83
b)42.53+47.156-47.114
c)41.36+59.90+41.84+59.30
4. ( nâng cao ) Cho 2 số tự nhiên x, y và 35< x < y
≤
40. Tính tổng x+y và tích x.y có giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.
a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 . 17 . 125 b/ 4 . 37 .25
Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:

a/ 997 + 86 b/ 37. 38 + 62. 37
c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001 d/ 67. 99;
đ, 998. 34 c/ 43. 11 67. 101
Bài 4: Tính nhanh các phép tính:
a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999
b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997
Bài 5: Tính nhanh:
a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72 d) 55. 14
Bài 6 :Tính nhanh:
a) 25. 12 b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302 e) 125.18 g) 123. 1001
Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất: a) 463 + 318 + 137 + 22
b) 189 + 424 +511 + 276 + 55
c) (321 +27)+ 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155
e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73
f) 347 + 418 + 123 + 12
Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 5. 125. 2. 41. 8 b) 25. 7. 10. 4
c) 8. 12. 125. 2 d) 4. 36. 25. 50
Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c = a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d)
e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:
5.38. 63 + 37. 38 b) 12.53 + 53. 172– 53. 84
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d, 39.8 + 60.2 + 21.8
e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.4
Bài 1: TÍnh nhanh
a) 58.75 + 58.50 – 58.25
b) 27.39 + 27.63 – 2.27
c) 128.46 + 128.32 + 128.22
d) 66.25 + 5.66 + 66.14 + 33.66

e) 12.35 + 35.182 – 35.94
f) 35.23 + 35.41 + 64.65
6
g) 29.87 – 29.23 + 64.71
h) 48.19 + 48.115 + 134.52
i) 27.121 – 87.27 + 73.34
j) 125.98 – 125.46 – 52.25
k) 136.23 + 136.17 – 40.36
l) 17.93 + 116.83 + 17.23
m) 19.27 + 47.81 + 19.20
n) 87.23 + 13.93 + 70.87
Bài 1. Tính nhanh
a. 417 + 235 + 583 + 765
5 +8 +11 +14 + + 38 + 41
b. 4 . 7 . 16 . 25
13 . 8 . 250
c. ( 1999 + 313) – 1999
( 1435 + 213) – 13
d. 2023 - ( 34 + 1560)
1972 – ( 368 + 972)
e. 364 – ( 364 – 111)
249 – ( 75 – 51)
Bài 2. Tính nhanh các tổng sau
a.1+2+3+4+5+ +n
b.e. 2+5+11+ +47+65
c.1+3+5+7+ + ( 2n – 1)
d.g. 3+12+48+ +3072+12288
e.2+4+6+8+ +2n
f. h. 2+5+7+12+ +81+131
g.1+6+11+16+ +46+51

h.i. 49-51+53-55+57-59+61-63+65
7
Bài 3. a. Tính nhẩm 204. 36 499.12 601.42 199.41
b. . Tính nhẩm bằng cách nhân thừa số này, chia thừa số kia cho cùng một số
66.50 72.125 38.5 15.16.125
c. . Tính nhẩm bằng cách nhân cả số bị chia và số chia với cùng một số khác không
2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5 81000 : 125
d. Tính nhẩm bằng cách áp dụng tính chất ( a
±
b ) : c = a : c
±
b : c
169 : 13 660 : 15 119 : 7 204 : 12
Bài 5. Tính nhanh
a.
110
58.168168.168 −
74.13
37).91211.456( +
b.
432.48.864
96.43248.864 −
15.4528
1716.45
+
−
c.
7255.43753650
7254375.7256
+

−
14.7413.26
7).315372(3).372315(
+
+++
d.
1979.19781979.1980
195821.19801979.1978
−
++
181614 642
55.2745.27
++++++
+
Dạng 2: Tớnh giỏ trị biểu thức
a) 3.25-16: 4 b) 8.17-8.14+8
c) ( 29.415-27.415) : 415 d) 325: 25 -84 : 12
Bài 1: Thực hiện phộp tớnh
a/ A = (456.11 + 912).37 : 13: 74
b/ B = [(315 + 372).3 + (372 + 315).7] : (26.13 + 74.14)
ĐS: A = 228 B = 5
Bài 2: Tớnh giỏ trị của biểu thức
a/ 12:{390: [500 – (125 + 35.7)]}
b/ 12000 –(1500.2 + 1800.3 + 1800.2:3)
ĐS: a/ 4 b/ 2400
1. e.
48121620242832
12.26108.26
−+−+−+−
−

2. 127 . 36 + 64. 127 – 27. 100
3. 12 : {390 : [500 – (125 + 35 . 7)]}
4. 5
7
: 5
5
- 7 . 7
0
2.125.18 + 36.252 + 4.223.9
5. 50 + 51 + 52 + + 99 + 100
6. 24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]} 1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
7. 2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768
8. 20 + 22 + 24 + 96 + 98
9. 35 + 38 + 41 + + 92 + 95 A = { 46 – [( 16 + 71.4) : 15 ] }– 2
10.222 + 224 + 226 + . . . . + 444
11.(5346 – 2808) : 54 + 51
12.187 . (38 + 62) – 87 .(62 + 38)
13.25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
Dạng 2: Tỡm x
Vớ dụ . Tỡm số tự nhiờn x , biết :
a) ( 314-x) -42 = 0 b) 540 + ( 345 - x ) = 740
c) x-72 : 36 = 418 d) ( x-72) : 36 = 418
Vớ dụ 1: Tỡm số tự nhiờn x biết :
a) 2010 .( x- 14)= 0 b) (x-2 ) .( x-4) =0
d) 25 . x = x d) (x- 13) .( x+16) =0
Vớ dụ 2: Một phép chia có số bị chia là 62 và số dư là 7 . T tính số chia của phép chia này .
6.1 Tỡm số tự nhiờn x biết :
a)114-(x-7)=0 b) 7272: (12x - 91)= 2
3

. 3
2
Bài 1:Tỡm x
∈
N biết
a) (x –15) .15 = 0 b) 32 (x –10 ) = 32
Bài 2:Tỡm x
∈
N biết :
a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445
c) 315+(125-x)= 435
Bài 3:Tỡm x
∈
N biết :
a) x –105 :21 =15
b) (x- 105) :21 =15
c/ 541 + (218 – x) = 735 (ĐS: x = 24)
d/ 96 – 3(x + 1) = 42 (ĐS: x = 17)
e/ ( x – 47) – 115 = 0 (ĐS: x = 162)
f/ (x – 36):18 = 12 (ĐS: x = 252)
Bài 1: Tỡm x:
a) 165 : x = 3
b) x – 71 = 129
c) 22 + x = 52
d) 2x = 102
e) x + 19 = 301
f) 93 – x = 27
Bài 2: Tỡm x:
a) 71 – (33 + x) = 26
b) (x + 73) – 26 = 76

c) 45 – (x + 9) = 6
d) 89 – (73 – x) = 20
e) (x + 7) – 25 = 13
f) 198 – (x + 4) = 120
g) 450 : (x – 19) = 50
h) 140 : (x – 8) = 7
i) 4(x + 41) = 400
j) 11(x – 9) = 77
k) 5(x – 9) = 350
l) 135 – 5(x + 4) = 35
m) 25 + 3(x – 8) = 106
Bài 4: Tỡm số tự nhiờn x biết
a( x – 5)(x – 7) = 0
b/ 541 + (218 – x) = 735
c/ 96 – 3(x + 1) = 42
d/ ( x – 47) – 115 = 0
e/ (x – 36):18 = 12
g) 165 : x = 3
h) x – 71 = 129
i) 22 + x = 52
j) 2x = 102
k) x + 19 = 301
l) 93 – x = 27
n) 71 – (33 + x) = 26
o) (x + 73) – 26 = 76
p) 45 – (x + 9) = 6
q) 89 – (73 – x) = 20
r) (x + 7) – 25 = 13
s) 198 – (x + 4) = 120
t) 2(x- 51) = 2.2

3
+ 20
u) 450 : (x – 19) = 50
v) 4(x – 3) = 7
2
– 1
10
w) 140 : (x – 8) = 7
x) 4(x + 41) = 400
y) 11(x – 9) = 77
z) 5(x – 9) = 350
aa) 2x – 49 = 5.3
2
bb)200 – (2x + 6) = 4
3
cc) 135 – 5(x + 4) = 35
dd)25 + 3(x – 8) = 106
ee) 3
2
(x + 4) – 5
2
= 5.2
2
Bài 4 . Tìm x
a. (158 - x) :7 = 20
b. 2x – 138 = 2
3
. 3
2
c. 231 - (x – 6 ) =1339 :13

d.10 + 2x = 4
5
: 4
3
a.70 - 5.(2x - 3) = 45
b. 156 – (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a.5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20
c. (7x - 28) .13 = 0
d.218 + (97 - x) = 313
(2x – 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)
3
]
5
= 15
0

c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 3
8
. 3
11
: 3
16
+ 6
2
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);

b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
a.420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 + 30
b.
[ ]
17)32( −+x
. 2 = 42
c.( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 – 40
d.
[ ]
)53(61 x−+
.17 = 1785
e.x – 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) : 25 + 23
CHỦ ĐỀ 3: BÀI TẬP VỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
2. Những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
3. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
4. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
5. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
6. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
7. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
8. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
9. a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a- b (a > b) cũng chia hết
cho m.
10. Cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì
tổng chia cho m cũng dư r.
11. a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a - b) chia hết cho m ( m > 0).
12. Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m >0).
13. Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0). Đồng thời m và n chỉ
cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m x n.

Ví dụ: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 chỉ cùng chia hết cho 1) nên 18 chia hết cho
tích 2 x 9.
14. Nếu a chia cho m dư m - 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m.
15. Nếu a chia cho m dư 1 thì a - 1 chia hết cho m (m > 1).
1. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng tổng các chữ số ở vị trí chẵn và chỉ
những số đó mới chia hết cho 11
2. Dấu hiệu chia hết cho 4, 25
Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 (hoặc 25) thì chia hết cho 4 (hoặc 25) và chỉ
những số đó mới chia hết cho 4 (hoặc 25)
3. Dấu hiệu chia hết cho 8, 125
Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 (hoặc 125) thì chia hết cho 8 (hoặc 125) và chỉ
những số đó mới chia hết cho 8 (hoặc 125)
II. BÀI TẬP:
11.1 Trong các số sau số nào chia hết cho 2 , số nào chia hết cho 5 ?
7123; 4980; 308;7775; 6922; 981.
11.2 Điền chữ số thích hợp vào dấu * sao cho số :
a)
*11
chia hết cho 2 b)
15*
chia hết cho 5
c)
*22
không chia hết cho 2 d)
*219
không chia hết cho 5
11.3 Cho số có 3 chữ số A =
yx5

a) Tìm các chữ số x,y để A chia hết cho 2
b) Tìm các chữ số x,y để A chia hết cho 5
c) Tìm các chữ số x,y để A chia hết cho cả 2 và 5.
11.4 Từ 3 chữ số 8,5,1
a) Hãy viết tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau .
b) Hãy viết tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 .
. c) Hãy viết tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 .
.
$12

12.1 Cho các số 234 ; 607 ; 22224 ; ;9654; 2043; 2046. Trong các số đó :
a) Số nào chia hết cho 3 ? b) Số nào chia hết cho 9 ?
b) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
12.2 Điền số thích hợp vào dấu * sao cho số :
a)
*35
chia hết cho 3 b)
2*57
chia hết cho 3
c)
*25
chia hết cho 9 d)
3*7
chia hết cho 9
Bài 1: Trong các số: 4827; 5670; 6915; 2007.
a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?
Bài 2: Trong các số: 825; 9180; 21780.
a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?

Bài 3:
a) Cho A = 963 + 2493 + 351 + x với x ∈ N. Tìm điều kiện của x để A chia hết cho 9, để A
không chia hết cho 9.
b) Cho B = 10 + 25 + x + 45 với x ∈ N. Tìm điều kiện của x để B chia hết cho 5, B không
chia hết cho 5.
Bài 4:
a) Thay * bằng các chữ số nào để được số 73* chia hết cho cả 2 và 9.
b) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 5.
c) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
d) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 3.
e) Thay * bằng các chữ số nào để được số 792* chia hết cho cả 3 và 5.
f) Thay * bằng các chữ số nào để được số 25*3 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9.
g) Thay * bằng các chữ số nào để được số 79* chia hết cho cả 2 và 5.
h) Thay * bằng các chữ số nào để được số 12* chia hết cho cả 3 và 5.
i) Thay * bằng các chữ số nào để được số 67* chia hết cho cả 3 và 5.
j) Thay * bằng các chữ số nào để được số 277* chia hết cho cả 2 và 3.
k) Thay * bằng các chữ số nào để được số 5*38 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
l) Thay * bằng các chữ số nào để được số 548* chia hết cho cả 3 và 5.
m) Thay * bằng các chữ số nào để được số 787* chia hết cho cả 9 và 5.
n) Thay * bằng các chữ số nào để được số 124* chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
o) Thay * bằng các chữ số nào để được số *714 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Bài 5: Tìm các chữ số a, b để:
a)
Số 4a12b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
b) Số 5a43b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
c) Số 735a2b chia hết cho5 &9 không chia hết cho 2.
d) Số 5a27b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
e) Số 2a19b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
f) Số 7a142b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
g) Số 2a41b chia hết cho cả 2; 5 và 9.

Số 40ab chia hết cho cả 2; 3 và 5.
Bài 6: Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và 953 < n < 984.
Bài 7:
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số sao cho số đó chia hết cho 9.
b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số sao cho số đó chia hết cho 3.
Bài 8: khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư là 12 hỏi a có chia hết cho 4 không? Có chia hết
cho 9 không
Bài 9*:
a) Từ 1 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 5.
b) Tổng 10
15
+ 8 có chia hết cho 9 và 2 không?
c) Tổng 10
2010
+ 8 có chia hết cho 9 không?
d) Tổng 10
2010
+ 14 có chí hết cho 3 và 2 không
e) Hiệu 10
2010
– 4 có chia hết cho 3 không?
Bài 10*:
a) Chứng tỏ rằng ab(a + b) chia hết cho 2 (a;b ∈ N).
b) Chứng minh rằng ab + ba chia hết cho 11.
c) Chứng minh aaa luôn chia hết cho 37.
Chứng minh aaabbb luôn chia hết cho 37.
Bài 11:
Tìm x ∈ N, biết:
a) 35


x c) 15

x
b) x

25 và x < 100. d*) x + 16

x + 1.
Bài 12*:
a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 3 không?
b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 không?
c) Chứng tỏ rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
d) Chứng tỏ rằng trong bốn số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 4.
Dạng 1:
Bài 1: Cho số
200A = ∗
, thay dấu * bởi chữ số nào để:
a/ A chia hết cho 2
b/ A chia hết cho 5
c/ A chia hết cho 2 và cho 5
Hướng dẫn
a/ A

2 thì *
∈
{ 0, 2, 4, 6, 8}
b/ A

5 thì *
∈

{ 0, 5}
c/ A

2 và A

5 thì *
∈
{ 0}
Bài 2: Cho số
20 5B = ∗
, thay dấu * bởi chữ số nào để:
a/ B chia hết cho 2
b/ B chia hết cho 5
c/ B chia hết cho 2 và cho 5
Hướng dẫn
a/ Vì chữ số tận cùng của B là 5 khác 0, 2, 4, 6, 8 nên không có giá trị nào của * để B

2
b/ Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên B

5 khi *
∈
{0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9}
c/ Không có giá trị nào của * để B

2 và B

5
Bài 3: Thay mỗi chữ bằng một số để:
a/ 972 +

200a
chia hết cho 9.
b/ 3036 +
52 2a a
chia hết cho 3
Hướng dẫn
a/ Do 972

9 nên (972 +
200a
)

9 khi
200a

9. Ta có 2+0+0+a = 2+a, (2+a)

9 khi a = 7.
b/ Do 3036

3 nên 3036 +
52 2a a


3 khi
52 2a a

3. Ta có 5+2+a+2+a = 9+2a, (9+2a)

3 khi 2a


3
⇒

a = 3; 6; 9
Bài 4: Điền vào dẫu * một chữ số để được một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
a/
2002*

b/
*9984
Hướng dẫn
a/ Theo đề bài ta có (2+0+0+2+*)

3 nhưng (2+0+0+2+*) = (4+*) không chia hết 9
suy ra 4 + * = 6 hoặc 4 + * = 12 nên * = 2 hoặc * = 8.
Rõ ràng 20022, 20028 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
b/ Tương tự * = 3 hoặc * = 9.
Bài 5: Tìm số dư khi chia mỗi số sau cho 9, cho 3
8260, 1725, 7364, 10
15

Hướng dẫn
Ta có
.1000 .100 .10
999 99 9
(999 99 9 ) ( )
abcd a b c d
a a b b c c d
a b c a b c d

= + + +
= + + + + + +
= + + + + + +
(999 99 9 ) 9a b c+ + 
nên
9abcd
khi
( ) 9a b c d+ + + 
Do đó 8260 có 8 + 2 + 6 + 0 = 16, 16 chia 9 dư 7. Vậy 8260 chia 9 dư 7.
Tương tự ta có:
1725 chia cho 9 dư 6
7364 chia cho 9 dư 2
10
5
chia cho 9 dư 1
Ta cũng được
8260 chia cho 3 dư 1
1725 chia cho 3 dư 0
7364 chia cho 3 dư 2
10
5
chia cho 3 dư 1
Bài 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất đồng thời chia hết cho 2, 3, 5, 9, 11, 25
116. Chứng tỏ rằng:
a/ 10
9
+ 2 chia hết cho 3.
b/ 10
10
– 1 chia hết cho 9

Hướng dẫn
a/ 10
9
+ 2 = 1 000 000 000 + 2 = 1 000 000 002

3 vì có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Dạng 2:
Bài 1: Viết tập hợp các số x chia hết cho 2, thoả mãn:
a/ 52 < x < 60
b/ 105
≤
x < 115
c/ 256 < x
≤
264
d/ 312
≤
x
≤
320
Hướng dẫn
a/
{ }
54,55,58x∈
b/
{ }
106,108,110,112,114x∈
c/
{ }
258,260,262,264x∈

d/
{ }
312,314,316,318,320x∈
Bài 2: Viết tập hợp các số x chia hết cho 5, thoả mãn:
a/ 124 < x < 145
b/ 225
≤
x < 245
c/ 450 < x
≤
480
d/ 510
≤
x
≤
545
Hướng dẫn
a/
{ }
125,130,135,140x∈
b/
{ }
225,230,235,240x∈
c/
{ }
455,460,465,470,475,480x∈
d/
{ }
510,515,520,525,530,535,540,545x∈
Bài 3: a/ Viết tập hợp các số x chia hết cho 3 thoả mãn: 250

≤
x
≤
260
b/ Viết tập hợp các số x chia hết cho 9 thoả mãn: 185
≤
x
≤
225
Hướng dẫn
a/ Ta có tập hợp các số: 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260
Trong các số này tập hợp các số chia hết cho 3 là {252, 255, 258}
b/ Số đầu tiên (nhỏ nhất) lớn hơn 185 chia hết cho 9 là 189; 189 +9 = 198 ta viết tiếp số thứ hai và
tiếp tục đến 225 thì dừng lại có x
∈
{189, 198, 207, 216, 225}
Bài 4: Tìm các số tự nhiên x sao cho:
a/
(5)x B∈
và
20 30x≤ ≤
b/
13x
và
13 78x< ≤
c/
x∈
Ư(12) và
3 12x
< ≤

d/
35 x
và
35x
<
Hướng dẫn
a/ B(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …}
Theo đề bài
(5)x B∈
và
20 30x
≤ ≤
nên
{ }
20,25,30x∈
b/
13x
thì
(13)x B∈
mà
13 78x
< ≤
nên
{ }
26,39,52,65,78x∈
c/ Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12},
x∈
Ư(12) và
3 12x
< ≤

nên
{ }
3,4,6,12x∈
d/
35 x
nên
x∈
Ư(35) = {1; 5; 7; 35} và
35x
<
nên
{ }
1;5;7x∈
Dạng 3:
Bài 1: Một năm được viết là
A abcc=
. Tìm A chia hết cho 5 và a, b, c
∈

{ }
1,5,9
Hướng dẫn
A

5 nên chữ số tận cùng của A phải là 0 hoặc 5, nhưng
{ }
0 1,5,9∉
, nên c = 5
Bài 2: a/ CMR Nếu tổng hai số tự nhiên không chia hết cho 2 thì tích của chúng chia hết cho 2.
b/ Nếu a; b

∈
N thì ab(a + b) có chia hết cho 2 không?
Hướng dẫn
a/ (a + b) không chia hết cho 2; a, b
∈
N. Do đó trong hai số a và b phải có một số lẻ. (Nết a, b đều
lẻ thì a + b là số chẵn chia hết cho 2. Nết a, b đề là số chẵn thì hiển nhiên a+b

2). Từ đó suy ra a.b
chia hết cho 2.
b/ - Nếu a và b cùng chẵn thì ab(a+b)

2
- Nếu a chẵn, b lẻ (hoặc a lẻ, b chẵn) thì ab(a+b)

2
- Nếu a và b cùng lẻ thì (a+b)chẵn nên (a+b)

2, suy ra ab(a+b)

2
Vậy nếu a, b
∈
N thì ab(a+b)

2
Bài 3: Chứng tỏ rằng:
a/ 6
100
– 1 chia hết cho 5.

b/ 21
20
– 11
10
chia hết cho 2 và 5
Hướng dẫn
a/ 6
100
có chữ số hàng đơn vị là 6 (VD 6
1
= 6, 6
2
= 36, 6
3
= 216, 6
4
= 1296, …)
suy ra 6
100
– 1 có chữu số hàng đơn vị là 5. Vậy 6
100
– 1 chia hết cho 5.
b/ Vì 1
n
= 1 (
n N∈
) nên 21
20
và 11
10

là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 1, suy ra 21
20
– 11
10
là số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 0. Vậy 21
20
– 11
10
chia hết cho 2 và 5
Bài 4: a/ Chứng minh rằng số
aaa
chia hết cho 3.
b/ Tìm những giá trị của a để số
aaa
chia hết cho 9
Hướng dẫn
a/
aaa
có a + a + a = 3a chia hết cho 3. Vậy
aaa
chia hết cho 3.
b/
aaa
chia hết cho 9 khi 3a (a = 1,2,3,…,9) chia hết cho 9 khi a = 3 hoặc a = 9.
CHỦ ĐỀ 3: BÀI TẬP VỀ PHÂN SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I.Khái niệm phân số :
1. Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a mẫu số bằng b (với a là số tự nhiên , b là số tự
nhiên khác 0)ta viết
b

a
.(đọc là: a phân b)
a gọi là: tử số (tử số a chỉ số phần được lấy đi)
b gọi là mẫu số (Mẫu số b chỉ số phần bằng nhau được chia ra trong một đơn vị)
Phân số
b
a
còn được hiểu là thương của phép chia a cho b
2. Mỗi số tự nhiên a có thể coi là phân số có mẫu số bằng 1: a =
1
a
3. Phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1 có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn
hơn 1 và có tử số băng mẫu số thì phân số bằng 1.
4. Nếu nhân cả tử số và mấu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân
số bằng phân số đã cho
b
a
bxn
axn
=
(n khác 0)
5. Nếu chia cả tử số và mấu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 gọi là rút gọn phân
số thì được một phân số bằng phân số đã cho
b
a
nb
na
=
:
:

(n khác 0)
6.Phân số có mẫu số băng 10 ,100,1000,….gọi là phân số thập phân.
7.Nếu ta cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tư nhiên thì hiệu của tử
số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
8. Nếu ta trừ cả tử số và mẫu số của một phân số đi cùng một số tự nhiên thi hiệu giữa tử số và mẫu
số của phân số đó không thay đổi.
9. Nếu ta cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đI ở mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên
thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
9. Nếu ta bớt đi ở tử số đồng thời thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì
tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
II. TÍNH CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ
1. Khi ta cùng nhân hoặc cùng chia cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên lớn
hơn 1, ta đươc một phân số mới bằng phân số ban đầu.
=
b
a
nb
ma
×
×
=
nb
na
:
:
(với m # 0, n # 0)
2. Biểu diễn phân số trên tia số:
- Vẽ tia số, gốc là điểm 0, đoạn đơn vị là từ 0 đến 1.
- Căn cứ vào mẫu số, chia đoạn đơn vị ra những phần bằng nhau.
- Ghi phân số ứng với mỗi điểm chia (dựa vào tử số)

+ Trên tia số, các phân số bằng nhau được biểu diễn bởi một điểm duy nhất.
+ Trên tia số, với hai phân số khác nhau được biểu diễn bởi hai điểm khác nhau và điểm biểu diễn phân
số lớn ở bên phải điểm biểu diễn phân số nhỏ.
3. Vận dụng tính chất cơ bản của phân số:
3.1. Phân số tối giản:
- Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào khác 1.
3.2. Rút gọn phân số
Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử số và mẫu số của phân số đó với cùng một số tự nhiên lớn hơn 1 mà tử
số và mẫu số của phân số đó cùng chia hết cho số đó, để được phân số mới có tử số và mẫu số nhỏ hơn tử
số và mẫu số ban đầu và có giá trị bằng phân số ban đầu.
Tổng quát:
b
a
=
d
c
mb
ma
=
:
:
(m > 1; a và b phải cùng chia hết cho m).
d
c
được gọi là phân số tối giản khi c và d chỉ cùng chia hết cho 1 (hay c và d không cùng chia hết
cho một số tự nhiên nào khác 1)
Chú ý:

- Khi rút gọn phân số cần rút gọn đến phân số tối giản.
Ví dụ: Rút gọn phân số

72
54
.
Cách làm:
4
3
18:72
18:54
72
54
==
.
- Rút gọn 1 phân số có thể được một phân số hay một số tự nhiên:
Ví dụ: Rút gọn phân số
12
72
Cách làm:
6
1
6
12:12
12:72
12
72
===
.
- Đối với phân số lớn hơn 1 có thể viết dưới dạng hỗn số
Ví dụ:
4
3

2
14
41
=
.
+ Dựa vào dấu hiệu chia hết hoặc phép thử chọn để tìm được một số tự nhiên nào đó (lớn hơn 1) mà cả tử số và
mẫu số của phân số đã cho đều chia hết cho số đó.
3.3. Quy đồng mẫu số - Quy đồng tử số:
a.Quy đồng mẫu số : Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của
phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai
với mẫu số của phân số thứ nhất.
III. BỐN PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ
1. Phép cộng phân số
1.1. Cách cộng
* Hai phân số cùng mẫu:
)0(
≠
+
=+
b
b
ca
b
c
b
a
* Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số.
* Cộng một số tự nhiên với một phân số.
- Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho.

- Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ:
2 +
4
11
4
3
4
8
4
3
=+=
2. Phép trừ phân số
2.1. Cách trừ
* Hai phân số cùng mẫu:
b
ca
b
c
b
a
−
=+
* Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số
3. Phép nhân phân số
3.1. Cách nhân:
bxd
axc
d

c
x
b
a
=
3.3. Chú ý:
- Thực hiện phép trừ 2 phân số:
)1(
1
)1()1(
1
1
11
+×
=
+×
−
+×
+
=
+
−
nnnn
n
nn
n
nn
Do đó:
)1(
1

1
11
+×
=
+
−
nnnn
- Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó.
Ví dụ: Tìm
2
1
của 6 ta lấy:
36
2
1
=×
Tìm
2
1
của
3
1
ta lấy:
6
1
3
1
2
1
=×

4. Phép chia phân số
4.1. Cách làm:
bxc
axd
d
c
b
a
=
:
- Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng.
Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết
5
2
số học sinh của lớp 5A là 10 em.
Bài giải
Số học sinh của lớp 5A là:
10 :
25
5
2
=
(em)
* Khi biết phân số
b
a
của x bằng
d
c
của y (a, b, c, d

)0
≠
- Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy
b
a
d
c
:
- Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy
d
c
b
a
:
Ví dụ: Biết
5
2
số nam bằng
4
3
số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ.
Bài giải
Tỉ số giữa nam và nữ là :
5
2
:
4
3
=
8

15
.
IV. SO SÁNH PHÂN SỐ
A. SO SÁNH HAI PHÂN CÙNG MẪU SỐ CÙNG TỬ SỐ
Cách 1: Phân số có cùng mẫu số ( SGK4 và SGK5)Ta so sánh 2 tử số
. Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
. Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
. Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Cách 2: Phân số có cùng tử số. (SGK5)
. Phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn.
. Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn.
. Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
B. SO SÁNH HAI PHÂN KHÁC MẪU SỐ
Cách 1: Quy đồng mẫu số rồi so sánh tử số ( SGK4 và SGK5)
. Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số,ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử
số của chúng
Cách 2: Quy đồng tử số rồi so sánh mẫu số. (SGK5)
. Muốn so sánh hai phân số khác tử số,ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh các mẫu
số của chúng.
Cách 3: So sánh phân số với 1. (SGK5)
. Tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1
. Tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1.
. Tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1
Cách 4 : So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù đơn vị của phân số:
Ta so sánh phần bù đơn vị của phân số khi hai phân số đó phảI:
 Nhỏ hơn 1.
 Mẫu 1- tử 1= mẫu 2 - tử 2 hoặc: (mẫu1- tử 1)=n
×
(mẫu 2- tử 2)
 Phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.

* Phần bù lớn hơn thì phân số số bé hơn
- Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ
hơn và ngược lại.
* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1
B = mẫu 2 - tử 2
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A
≠
B ta có thể sử dụng tính chất
cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số
bằng nhau:
Cách 5: So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn của hai phân số.
Ta so sánh phấn hơn khi hai phân số so sánh phải
*Lớn hơn 1.
*Tử 1 – mẫu 1 = Tử 2 – mẫu 2 hoặc: (Tử 1- mãu 1)=n
×
(tử 2- mẫu 2)
*Phân số nào có phân hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Lưu ý: Đem phân số trừ đi cho 1.( Với những phân số lớn hơn 1)
. Đem phân số cùng trừ đi cho 1.
. Nếu kết quả lớn hơn thì phân số lớn hơn.
. Nếu kết quả bé hơn thì phân số bé hơn.
(Hay nói cách khác :So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số:
- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.)
* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2
Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C
≠
D ta có thể sử dụng tính

chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai
phân số bằng nhau.
Cách 6: So sánh phân số bằng cách so sánh cả hai phân số với phân số trung gian
* Cách chọn phân số trung gian :
- Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được
như: 1,2,3 hay
,
4
1
,
3
1
,
2
1
(ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân số
rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số
trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1.
- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số
b
a
và
d
c
(a, b, c, d khác 0)
- Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là
d
a
(hoặc
b

c
)
- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của
mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp
2 hoặc 3lần,…hay bằng
,
5
4
,
3
2
,
2
1
) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần
sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành
chọn phân số trung gian như trên.
Cách 7: Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta được cùng thương thì ta đưa hai phân
số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó.
- Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta cũng đưa hai phân số
về hỗn số để so sánh.
* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số
đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau
Cách 8: Đưa về số thập phân
. Ta chia tử số cho mẫu số rồi so sánh hai thương mới tìm được.
Cách 9: Thực hiện phép chia phân số để so sánh.
*Lấy phân số thứ nhất chia cho phân số thứ hai nếu :
- Nếu thương tìm được bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau;
-Thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai

-Thương tìm được lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai.
V . HỖN SỐ:
Với các số tự nhiên a, b, c khác 0, số có dạng a
c
b
gọi là hỗn số (đọc là: a đơn vị b phần c)
a gọi là phần nguyên của hỗn số.
c
b
gọi là phần phân số của hỗn số. Ta có: a
c
b
= a +
c
b
Chú ý:
- Hỗn số là phân số lớn hơn 1.
- Phân số kèm theo trong hỗn số phải nhỏ hơn 1
Ví dụ: 13 : 5 = 2 dư 3. Ta có:
5
13
= 2
5
3
* Viết hỗn số dưới dạng phân số:Muốn viết hỗn số dưới dạng một phân số lớn hơn 1 , ta nhân phần
nguyên của mẫu số ròi cộng với tử số, kết quả tìm được là tử số của phân số, còn mẫu số vẫn là mẫu số đã
cho.
Ví dụ: 7
×
3 +2 = 23 . Ta có: 7

3
2
=
3
23
II. BÀI TẬP:
Bài 1: 1/ Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau:
a/
25
53
;
2525
5353
và
252525
535353
b/
37
41
;
3737
4141
và
373737
414141
Hướng dẫn
1/ a/ Ta có:
*
2525
5353

=
25.101 25
53.101 53
=
*
252525
535353
=
25.10101 25
53.10101 53
=
b/ Tương tự
2/ Gọi phân số cần tìm có dạng
6
x
x +
(x
≠
-6), theo đề bài thì
6
x
x +
=
11
13
Từ đó suy ra x = 33, phân số cần tìm là
33
39
Bài 2: Điền số thích hợp vào ô vuông
a/

1
2
=
b/
5
7
= =
−
Hướng dẫn
a/
1 2 3 4

2 6 8
4
= = = =
b/
5 10 15 20
7 28
14 21
− − −
= = = = ×××
−
Bài 3. Giải thích vì sao các phân số sau bằng nhau:
a/
22 26
55 65
− −
=
; b/
114 5757

122 6161
=
Hướng dẫn
a/ *
22 21:11 2
55 55:11 5
− − −
= =
; *
26 13 2
65 65:13 5
− −
= =
b/ HS giải tương tự
Bài 4. Rút gọn các phân số sau:
125 198 3 103
; ; ;
1000 126 243 3090
Hướng dẫn
125 1 198 11 3 1 103 1
; ; ;
1000 8 126 7 243 81 3090 30
= = = =
Bài 9: Rút gọn các phân số sau:
a/ 103/3090 ; 7314/18126 ; 68952/148512 ; 121.75.130.169/39.60.11.198
b/ 9/(33 – 6) ; 17.(1993 – 45)/(1993 – 45). (52 – 18) ; 7/( 10
2
+ 6. 10
2
)

Bài 10: Rút gọn các phân số sau:
a/ A = (31995 – 81)/(42660 – 108) => A = 81.(395 – 1)/108.(395 – 1) = 3/4
b/ B = (3.5.7.11.13.37 - 10101)/(1212120 - 41414)
=> B = (5.11.10101 - 10101)/(10101.120 + 10101.4) = 10101.(5.11 - 1)/10101.(120 +
4) = 54/124 = 27/62
Bài 1: a/ Quy đồng mẫu các phân số sau:
1 1 1 1
; ; ;
2 3 38 12
−
b/ Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số sau:
9 98 15
; ;
30 80 1000
Hướng dẫn
a/ 38 = 2.19; 12 = 2
2
.3 BCNN(2, 3, 38, 12) = 2
2
. 3. 19 = 228

1 114 1 76 1 6 1 19
; ; ;
2 228 3 228 38 228 12 288
− −
= = = =
b/
9 3 98 49 15 3
; ;
30 10 80 40 1000 200

= = =
BCNN(10, 40, 200) = 2
3
. 5
2
= 200
9 3 6 98 94 245 15 30
; ;
30 10 200 80 40 200 100 200
= = = = =
Bài 2: Các phân số sau có bằng nhau hay không? a/
3
5
−
và
39
65−
; b/
9
27
−
và
41
123
−

c/
3
4
−

và
4
5−
d/
2
3−
và
5
7
−
Hướng dẫn
- Có thể so sánh theo định nghĩa hai phân số bằng nhau hoặc quy đồng cùng mẫu rồi so sánh
- Kết quả:
a/
3
5
−
=
39
65−
; b/
9
27
−
=
41
123
−
c/
3

4
−
>
4
5−
d/
2
3−
>
5
7
−
Bài 4: Tìm tất cả các phân số có tử số là 15 lớn hơn
3
7
và nhỏ hơn
5
8
Hướng dẫn
Gọi phân số phải tìm là
15
a
(a
0≠
), theo đề bài ta có
3 15 5
7 8a
< <
. Quy đồng tử số ta được
15 15 15

35 24a
< <
Vậy ta được các phân số cần tìm là
15
34
;
15
33
;
15
32
;
15
31
;
15
30
;
15
29
;
15
28
;
15
27
;
15
26
;

15
25

Bài 7: Quy đồng mẫu các phân số sau:
a/
17
20
,
13
15
và
41
60
b/
25
75
,
17
34
và
121
132
Hướng dẫn
a/ Nhận xét rằng 60 là bội của các mẫu còn lại, ta lấy mẫu chung là 60.
Ta được kết quả
17
20
=
51
60

13
15
=
52
60

41
60
=
41
60
b/ - Nhận xét các phân số chưa rút gọn, ta cần rút gọn trước ta có

25
75
=
1
3
,
17
34
=
1
2
và
121
132
=
11

12
Kết quả quy đồng là:
4 6 11
; ;
12 12 12
Bài 9: Quy đồng mẫu số
a/ 3/8 ; 19/120 ; 8/15 b/ 5/12 ; 3/8 ; 23/24
c/ 1/2 ; 2/3 ; 5/6 ; 9/10
f/ 4/5 ; 3/10 ; 5/12 ; 19/30 ; 1/3 ; 5/6 ¾
g/ 1/7 ; 1/6 ; 9/14 ; 5/12 ; 16/21 ; 1/3 ; 7/8
Bài 1: 1/ Viết các phân số sau đây dưới dạng hỗn số:
33 15 24 102 2003
; ; ; ;
12 7 5 9 2002
2/ Viết các hỗn số sau đây dưới dạng phân số:
1 1 2000 2002 2010
5 ;9 ;5 ;7 ;2
5 7 2001 2006 2015
3/ So sánh các hỗn số sau:
3
3
2
và
1
4
2
;
3
4
7

và
3
4
8
;
3
9
5
và
6
8
7
Hướng dẫn:
1/
3 1 4 1 1
2 ,2 ,4 ,11 ,1
4 7 5 3 2002
2/
76 244 12005 16023 1208
, , , ,
15 27 2001 2003 403
Bài 2: Tìm 5 phân số có mẫu là 5, lớn hơn 1/5 và nhỏ hơn
2
1
5
.
Hướng dẫn:
1 2 3 4 5 6 2 7
, , , , 1
5 5 5 5 5 5 5 5

< < =
Bài 8: Tính tổng của các phân số > 1/8 , < 1/7 và có tử là 3 (3/22 + 3/23 = 135/506)
Bài 9: Viết mỗi phân số sau đây thành tổng của 2 phân số tối giản có mẫu khác nhau?
a/ 7/15 (1/15 + 6/15 = ……) b/ 13/27 (1/27 + 12/27 = …… )
Bài 14: Tính
a/ 2/7 + 1/9 + 1/7 + 5/9 + 8/14 (1.2/3)
b/ 3/17 + 2.11/34 + ½ (3)
c/ 2/3 + 4/37 + 5/111 + 260/1443 (1)
d/ 5/6 + 4/15 + 6/18 + 3/45 e/ 5/12 + 3/5 + 1/7 f/ 3/4 + 4/9 + 25/36 + 13/18 + 1/72
Bài 21: Tìm x biết: a/
7 1
25 5
x
−
= +
b/
5 4
11 9
x = +
−
c/
5 1
9 1 3
x −
+ =
−
Hướng dẫn
a/
2
25

x =
b/
1
99
x =
c/
8
9
x =
Bài 23: Có 9 quả cam chia cho 12 người. Làm cách nào mà không phải cắt bất kỳ quả nào thành 12
phần bằng nhau?
Hướng dẫn
- Lấu 6 quả cam cắt mỗi quả thành 2 phần bằng nhau, mỗi người được ½ quả. Còn lại 3 quả cắt làm
4 phần bằng nhau, mỗi người được ¼ quả. Như vạy 9 quả cam chia đều cho 12 người, mỗi người
được
1 1 3
2 4 4
+ =
(quả). Chú ý 9 quả cam chia đều cho 12 người thì mỗi người được 9/12 = ¾ quả
nên ta có cách chia như trên.
Bài 25: Tính theo cách hợp lí:
a/
4 16 6 3 2 10 3
20 42 15 5 21 21 20
− −
+ + + + + +
b/
42 250 2121 125125
46 186 2323 143143
− −

+ + +
Hướng dẫn
a/
4 16 6 3 2 10 3
20 42 15 5 21 21 10
− −
+ + + + + +

1 8 2 3 2 10 3
5 21 5 5 21 21 20
1 2 3 8 2 10 3 3
( ) ( )
5 5 5 21 21 21 20 20
− −
= + + + + + +
− −
= + + + + + + =
b/
42 250 2121 125125
46 186 2323 143143
21 125 21 125 21 21 125 125
( ) ( ) 0 0 0
23 143 23 143 23 23 143 143
− −
+ + +
− − − −
= + + + = + + + = + =
Bài 26: Tính:
a/
7 1 3

3 2 70
−
+ −
b/
5 3 3
12 16 4
− +
−
ĐS: a/
34
35
b/
65
48
Bài 27: Tìm x, biết:
a/
3
1
4
x− =
b/
1
4
5
x + =
c/
1
2
5
x − =

d/
5 1
3 81
x + =
ĐS: a/
1
4
x =
b/
19
5
x = −
c/
11
5
x =
d/
134
81
x = −
Bài 28: Tính tổng các phân số sau:
a/
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 2003.2004
+ + + +K
b/
1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 2003.2005
+ + + +K
Hướng dẫn

a/ GV hướng dẫn chứng minh công thức sau:
1 1 1
1 ( 1)n n n n
− =
+ +
HD: Quy đồng mẫu VT, rút gọn được VP.
Từ công thức trên ta thấy, cần phân tích bài toán như sau:
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 2003.2004
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 3 4 2003 2004
1 2003
1
2004 2004
+ + + +
= − + − + − + + −
= − =
K
b/ Đặt B =
1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 2003.2005
+ + + +K
Ta có 2B
2 2 2 2
1.3 3.5 5.7 2003.2005
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) ( )
3 3 5 5 7 2003 2005
1 2004

1
2005 2005
+ + + +
= − + − + − + + −
= − =
K
Suy ra B =
1002
2005
Bài 29: Hai can đựng 13 lít nước. Nếu bớt ở can thứ nhất 2 lít và thêm vào can thứ hai
9
2
lít, thì can
thứ nhất nhiều hơn can thứ hai
1
2
lít. Hỏi lúc đầu mỗi can đựng được bao nhiêu lít nước?
Hướng dẫn
- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để dể dàng thấy cách làm.
- Ta có: Số nước ở can thứ nhất nhiều hơn can thứ hai là:
1 1
4 2 7( )
2 2
l+ + =
Số nước ở can thứ hai là (13-7):2 = 3
( )l
Số nước ở can thứ nhất là 3 +7 = 10
( )l
Bài 31: Tính tổng các phân số sau đây 1 cách nhanh chóng nhất.
a/ 1/5.6 + 1/6.7 + 1/7.8 + ….+ 1/24.25 b/ 2/1.3 + 2/3.5 + 2/5.7 + ….+ 2/99.101

c/ 3/1.3 + 3/3.5 + 3/5.7 + ….+ 3/49.51 d/ 1/7 + 1/91 + 1/247 + 1/475 + 1/775 + 1/ 1147
Hướng dẫn
Ta dễ dàng chứng minh được công thức sau: a/n.(n +a) = 1/n - 1/(n + a). Áp dụng ct trên để
tính.
a/ 4/25 b/ 100/101 c/ 1.8/17 d/ 6/37
Bài 32: CMR:
∀
n
∈
N

ta có: 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 …+ 1/(2n + 1).(2n + 3) = (n +1)/(2n + 3)
Bài 33: Tính tổng
a/ 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + …+ 1/18.19 + 1/19.20
b/ 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132
Bài 34: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể. Vòi 1 chảy trong 8h, vòi 2 chảy trong 6h đầy bể. Vòi 3
tháo trong 4h thì bể cạn. Bể đang cạn nếu mở cả 3 vòi thì sau 1h chảy được bao nhiêu phần bể?
(1/24 bể)
Bài 1: Thực hiện phép nhân sau:
a/
3 14
7 5
×
b/
35 81
9 7
×
c/
28 68
17 14

×
d/
35 23
46 205
×
Hướng dẫn
a/
6
5
b/
45
c/
8
d/
1
6
Bài 2: Tìm x, biết:
a/ x -
10
3
=
7 3
15 5
×
b/
3 27 11
22 121 9
x + = ×
c/
8 46 1

23 24 3
x× − =
d/
49 5
1
65 7
x− = ×
Hướng dẫn
a/ x -
10
3
=
7 3
15 5
×
7 3
25 10
14 15
50 50
29
50
x
x
x
= +
= +
=
b/
3 27 11
22 121 9

x + = ×
3 3
11 22
3
22
x
x
= −
=
c/
8 46 1
23 24 3
x× − =
8 46 1
.
23 24 3
2 1
3 3
1
3
x
x
x
= −
= −
=
d/
49 5
1
65 7

x− = ×