TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 12 TỈNH KIÊN GIANG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
TỈNH KIÊN GIANG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
− −
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 01/11/2011
(Đề thi có 01 trang)




Bài 1 (5 điểm).
1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực :
2 2
2 3 6 11 4
x x x x x x
− + + > − + + −
.
2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :
2 2
2 2
2 7 2

( )( ) 13 6 13
x y y xy
x y x y y x
+ + = +
− − + + =






Bài 2 (5 điểm).
Chứng minh rằng
2
sin
x
x
π
> đúng với mọi
(0; )
2
x
π
∈ .
Từ đó chứng minh rằng
2
2
4
cos 1
x

x
π
≤ − đúng với mọi
( ; )
2 2
x
π π
−
∈ .
Bài 3 (5 điểm).

Cho hình chóp
.
S ABC
có



0
90
SAC SCB ABC
= = =
và
25
, 4 , 3
4
SA cm AB cm BC cm
= = =
. Tính thể
tích khối chóp .

S ABC
.
Bài 4 (5 điểm).
Giải phương trình sau trên tập số thực :
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2)cos
x x x
+ = + .


−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
HẾT
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−

Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT
TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN
Ngày thi 01/11/2011
(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)

BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM

Bài 1.1
(2,5 điểm)
Điều kiện :
0 4
x
≤ ≤
.
BPT đã cho tương đương với BPT
2 2
2 3 6 11 4
x x x x x x
− + − − + > − −


2 2
4( 2) 2( 2)
4
2 3 6 11
x x
x x
x x x x
− − −

⇔ >
− +
− + + − +

2 2
4 2
( 2) 0 2
4
2 3 6 11
x x
x x
x x x x
 
⇔ − + > ⇔ >
 
− +
− + + − +
 

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của BPT đã cho là
2 4
x
< ≤
.



0,5đ

1,0đ


0,5đ

0,5đ
Bài 1.2
(2,5 điểm)
Hệ đã cho được viết lại :
2
2
( ) ( ) ( ) 7
( )( ) 6 13( )
x y x y x y
x y x y x y
+ + − − =
+ − + = −

−





Đặt
,
u x y v x y
= + = −
ta được hệ
2

2 4 3 2
2
7
6 13 7 13 6 0
(1)
(
7
2)
u v vv u v
uv v v v v v
 
= − + ++ − =
+ = − − + − =
 
⇔
 
 
 

2
1
(2) 0( 3)( 2)( 1)
2
3
v v v
v
v
v
=



⇔ =+ −
= −
−
⇔ =




Hệ (1) và (2) có 3 cặp nghiệm : (7 ; 1), (5 ; 2), (
−
5 ;
−
3).
Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm :
7 3
(4;3), ( ; ), ( 4; 1)
2 2
− −
.

1,0đ


0,5 đ


0,5đ

0,5đ
Bài 2
(5 điểm)
Xét hàm số
2
( ) sin
x
f x x
π
= − .
Ta có
/
2
( ) cosf x x
π
= −
và
/
( ) 0
f x
=
có duy nhất nghiệm
0
(0; )
2
x x
π
= ∈ .

.
Dựa vào BBT ta có ngay
2
( ) sin 0, (0; )
2
x
f x x x
π
π
= − > ∀ ∈ .


1,0đ






1,0đ

x

/
( )
f x

( )
f x

0
0
x

2
π

0
−

+
0
0
Trang 2

Vì hàm số
cos
y x

=
và hàm số
2
2
4
1
x
y
π
= − là các hàm số chẵn nên ta chỉ cần chứng
minh
2
2
4
cos 1
x
x
π
≤ − đúng với mọi
[0; )
2
x
π
∈ .

Theo trên,
[0; )
2
x
π

∀ ∈ ta có
2
sin 0
x
x
π
≥ ≥
. Do đó,
2 2
2 2
2 2
4 4
sin cos 1
x x
x x
π π
≥ ⇔ ≤ − .
Mặt khác,
cos 0, [0; )
2
x x
π
> ∀ ∈ nên ta được
2
2
4
cos 1
x
x
π

≤ − đúng với mọi
[0; )
2
x
π
∈ .



1,0đ



1,0đ


1,0đ
Bài 3
(5 điểm)
∆ABC vuông tại B nên
2 2
5
AC AB BC
= + =
.
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC).
Vì AC vuông góc đoạn xiên SA nên AC vuông góc hình chiếu HA.

Tương tự, BC ⊥ HC. Suy ra HC song song AB.
Do đó,



HCA CAB
= . Vì vậy,
ACH BAC
∆ ∆
∼
.
Vì
AH AC
BC BA
= nên
15
4
AH
=
. Suy ra,
2 2
5
SH SA AH
= − =
.

Ta có
3
1 1 1
. . . . 10
3 3 2
SABC ABC
V S SH AB BC SH cm

= = = .


H
C
S
A
B

0,5đ

1,0đ


1,0đ
1,0đ

1,0đ


0,5đ

Bài 4
(5 điểm)
ĐK
sin 0
x x k
π
≠ ⇔ ≠
. Đặt

cos
t x
=
, −1 < t < 1
PT đã cho trở thành :
4 3 2
2 2 (2 3 2) (4 2 3) (2 3 2) 2 2 0
t t t t
+ + − − − + + =

Vì t = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho
2
t

ta được
2
2
1 1
2 2( ) (2 3 2)( ) 3 4 2 0
t t
t t
+ + + − + − =
(1)
0,5đ

1,0đ


0,5đ

Trang 3
Đặt
1
y t
t
= −
ta được
2 2
2
1
2
t y
t
+ = +

(1) trở thành
2
3
2
2 2 (2 3 2) 3 0
2
2
y
y y
y


= −


+ + + = ⇔

= −



Với
3
2
y
= −
ta được
2
t
= −
(loại ) và
1
2
2 3
t x k
π
π
= ⇔ = ± +

Với
2
2

y = −
ta được
2
t
= −
( loại ) và
2
2
2 4
t x m
π
π
= ⇔ = ± +

Vậy nghiệm PT là
2
3
x k
π
π
= ± +
và
2
4
x m
π
π
= ± +
.

0,5đ


1,0đ




0,5đ


0,5đ


0,5đ

HẾT