Đề thi HSG Toán lớp 12 NH 07-08 của Q Nam

Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Quảng Nam Năm học 2007 -2008
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 18/12/2007
Câu 1 (3 điểm): Giải bất phương trình sau :
( )
4
1 2 0
1
x
x
x
−
− + ≥
−
Câu 2 (3 điểm): Giải hệ phương trình sau :
2 2 2
3 2
2 0
2 3 6 12 13 0
x y x y
x x y x

− + =


+ + − + =


Câu 3 (3 điểm): Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn :

3 3
, , 1
1 1
x x
f f x x R x
x x
− +
   
+ = ∈ ≠
 ÷  ÷
+ −
   
Câu 4 (3 điểm): Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
x
2
– 4xy + 6y
2
– 2x – 20y = 29.
Câu 5 (3 điểm): Tìm số hạng tổng quát u
n
của dãy số (u
n
) thỏa mãn điều kiện sau:
( )
1 2
1
2 *
3
2 1
, , ,

. ,
n n n
u a u b a R b R
u u u n N
+ +
+ +

= = ∈ ∈


= ∀ ∈


Câu 6 (3 điểm): Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy điểm D và E
sao cho DE song song với cạnh BC và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ∆ABC.
Chứng minh rằng: DE ≤
1
8
( AB + BC + CA).
Câu 7 (2 điểm): Đặt x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, với a, b, c là các
số nguyên tố. Cho biết x
2
= y và hiệu
z y−
là bình phương của một số
nguyên tố. Xác định tất cả giá trị của a, b, c.
=====/Hết/=====
ĐỀ THI CHÍNH THỨC