CÁC DẠNG TOÁN LỚP 9 THI VÀO LỚP 10

Các dạng toán
ôn thi vào lớp 10
1
Dạng 1
Bài 1 Cho biểu thức
x 2 1
A ( ):
x 1 x x x 1
= +

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2
2
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x

1.
Rút gọn
x 2 1 x 2 1
A ( ): ( ):
x 1 x x x 1 x 1 x 1
x( x 1)
= + = +


2
( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2
A .
1
x( x 1) x( x 1) x
+ + +

= = =

b. Khi x= 3-2
2
=
2
( 2 1)
Bài 2: Cho
biểu thức
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3

=
ữ
+

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của xthì A >
1
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
Bài giải:
a) ĐKXĐ x
0;x 9

( )
( ) ( )
x 3 x 3
1 1 3

A :
x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
+

= =
ữ
+

+
.
x 3
3

=
( ) ( )
6
x 3 x 3 +
.
x 3
3

A =
2
x 3+
b) A >
( )
1 2 1 2 1 3 x
0 0
3 3 3

x 3 x 3
3 x 3

> > >
+ +
+
3 x 0 >
( vì 3(
( x 3) 0)+ >

x 9 x 9 < <
Kết quả hợp với ĐKXĐ:
0 x 9
thì A > 1/3.
c)
2
A
x 3
=
+
đạt giá trị lớn nhất khi
x 3+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà
( )
min
x 3 3 x 3 3 x 0 x 0+ + = = =
lúc đó A
Max
=

2
x 0.
3
=
2
( ) ( )
2
5 2 2 2 1
3 2 2 2 5 2 2
A 1 3 2
1
2 1
( 2 1)
+
+
= = = = +


Bài 3: Cho biểu thức
3 1 1
P :
x 1
x 1 x 1

= +
ữ

+ +

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
x 12 1
.
P
x 1
+
=

Bài giải:
a) ĐKXĐ x
0;x 1
P =
( ) ( ) ( )
3 1 3 x 1 x 1
.
1
x 1
x 1 x 1 ( x 1) x 1

+ +

+ =

+
+ +

=

( ) ( )
( ) ( )
x 2 x 1
x 2
x 1
x 1 x 1
+ +
+
=

+
b)
( ) ( )
5 x 2 5
P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5.
4 4
x 1
+
= = + = + =

x 13 x 168 = =
(TMĐK)
c)
x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16
M . .
P
x 1 x 1 x 2 x 2 x 2
+ + + +
= = = =
+ + +

=
16 16
x 2 x 2 4
x 2 x 2
+ = + +
+ +
ta có
16
x 2 2 16 2.4 8
x 2
+ + = =
+
min
16
M 8 4 4 M 4 x 2
x 2
= = + =
+

( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
x 2 16 x 2 4 x 2 4 0
x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK)
+ = + + + =
+ = = =
Vậy M
min
= 4
x 4 =

.
Bài 4: Cho biểu thức:
2 x x 3x 3 2 x 2
D : 1
x 9
x 3 x 3 x 3

+
= +
ữ ữ

+

a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D < -
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Dạng 2
Bài 1 :Cho biểu thức:
a 2 a a a
P 1 : 1
a 2 a 1

+
= +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm a
z
để P nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
3
a) ĐKXĐ: a
0;a 1
( ) ( )
( ) ( )
a a 2 a a 1
a 1
P 1 1 a 1 : a 1
a 2 a 1 a 1

+


= + = + =

+ +

b)
a 1 2
P 1
a 1 a 1

= =
+ +

để P nhận giá trị nguyên thì

2
a 1+
nhận giá trị nguyên dơng.
a 1 +
thuộc ớc dơng của
2.
a 1 1 a 0
a 1
a 1 2

+ = =




=
+ =



a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)
Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
Bài 2: Cho biểu thức
( ) ( )
1 1
B
2 x 3 1 2 x 3 1
=
+ + +
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ
x 3;x 2
B =
( ) ( )
( )
( ) ( )
x 3 1 x 3 1
1 1 2 1
2 x 3 1 2 x 2 x 2
2 x 3 1 2 x 3 1
+ + +
= = =
+ + +
+ + +
b) B nhận giá trị nguyên khi
1
x 2+
nhận giá trị nguyên.
x 2 +


Ư(1)
x 2 1 x 1
x 2 1 x 3
+ = =

+ = =

thoả mãn điều kiện
Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên
Bài 3: Cho biểu thức:
( )
2
2 x 1
x x 2x x
P
x x 1 x x 1

+
= +
+ +
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị nguyên.
Dạng 3
Bài 1: Cho biểu thức:
( )
2
1 1 x 1
P :
x x 1 x

1 x
+

= +
ữ



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
4
Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x
1
( )
( )
( )
( )
2
2
1 x
1 1 x 1 1 x 1 x
P : .
1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
1 x


+ +

= + = =

+



b) P > 0
1 x
0 1 x 0
x

> >
( vì
x 0)>

x 1 x 1. < <
Kết hợp với ĐKXĐ:
0 x 1< <
thì P > 0
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1 a 1 a 2
P :
a 1 a a 2 a 1

+ +

=
ữ
ữ

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 3 : Cho biểu thức:
( )
2
1 x
x 2 x 2
P .
2
x 1 x 2 x 1


+
=
ữ
+ +

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P <
1
2
Bài 4: Cho biểu thức:
x 3 6 x 4
P
x 1
x 1 x 1

= +

+
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
b) Tìm x để P <
1
2
Bài 5: Cho biểu thức:
1 a a 1 a a
B a a
1 a 1 a

+
= +
ữ ữ
+

a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B
b)Tìm a để B < 7- 4
3
Bài 6: Cho biểu thức:
a 1 1 2
K :
a 1
a 1 a a a 1


=
ữ
ữ

+


a) Rút gọn biểu thức K
b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2
2
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0
Dạng 4
5
Bài 1 : Cho biểu thức:
x 1 1
A :
x 1 x x x 1

=
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A.
x m x=
có nghiệm.
Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x
1
( )
( )
( )
2

x 1 1 x 1 1
A : :
x 1 x x x 1 x 1 x 1
x x 1
x 1
x 1 x 1
.
1
x
x 1 x



= =
ữ







= =

b) A < 0
x 1
0 x 1 0
x

< <

(vì
x 0
<
)
x 1 <
kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1 thì
A < 0
c) P.t: A.
x 1
x m x . x m x x 1 m x(1)
x

= = =
( )
x 1 m x x x m 1 0(*) = + + =
Đặt
x t=
>0 ta có phơng trình
( ) ( )
2
t t m 1 0 *+ + =
để phơng trình (1) có nghiệm thì ph-
ơng trình (*) phải có nghiệm dơng.
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì:
( )
( )
1 4 m 1 0
m 1 0
= + +

+ <


5
4m 5 0
m
m 1
4
m 1 0
m 1


+



>

+ >


>

Vậy m>-1 và m
1

thì pt A
x m x=

có
nghiệm.
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1
P 1 .
x 1 x x

= +
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25
c) Tìm x để P.
( )
2
5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ = + +
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1

6
( )
1 1 x 1
P 1 .
x 1 x x x 1
x x 1


ữ

= + =
ữ
ữ





( )
2
1
P
x 1
=

b) Khi x= 25
( )
2
1 1
P
16
25 1
= =

c)
( )
( )
( ) ( )
2
2 2

2
P. 5 2 6. x 1
1
x 2005 2 3 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3
x 1
+
= + + + = + +


2 3 x 2005 2 3 + = + +

x 2005 =
TMĐK
Vậy x = 2005 thì P.
( )
2
5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + +
Dạng 5
Bài 1: Cho biểu thức
1 1 1
A . 1
x 1 x 1 x

= + +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
b)Tính giá trị của A khi x=
1

4
.
c)Tìm giá trị của x để
A A.>
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x
1
.
( ) ( )
1 1 1 x 1 x 1 x 1
A . 1 .
x 1 x 1 x x
x 1 x 1
+ + +

= + + =
ữ ữ
+

+
=
( )
( ) ( )
2 x x 1
2
A
x 1
x 1 x 1 x
+
=

+
b) Khi x =
1 2 2
A 4
1
4
1
1
1
2
4
= = =


c)
2
A 0 0 A 1 0 1.
x 1
> < < < <

( )
2
0 x 1 0 x 1 1
x 1
2 2 x 3
1 1 0 0
x 1 x 1 x 1
+ < > >

+ < > >

x 3 0
x 9
x 1 0

>

>

>


Vậy x > 9 thì
A A>
Bài 2: Cho biểu thức:
( )
x 2 x 1
A
x 1
x x 1

=


7
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì
A A>

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x
1
.
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
x 2 x 1 x 1
x 2 x 1 x 1
A
x 1 x
x x 1 x x 1 x x 1
+

= = = =


b) Khi x=36
36 1 5
A
6
36

= =
c)
x 1
A A A 0 0 x 1 0
x

> < < <
(vì
x 0>
)
x 1 x 1 < <
Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì
A A>
Chuyên đề tam thức bậc hai
A.lý thuyết
I. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số
nghiêm phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+bx+c=0(a

0)
2
b 4ac
=
.Nếu b =2b
'
thì
'

= b
'
2
- ac
1. Phơng trình có nghiệm khi .

Ta có thể xét hai trờng hợp:
+Trờng hợp 1:
- Nếu a = 0, b

0 phơng trình có nghiệm x=
c
b

.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0
0


hoặc
{
'
a 0
0


2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi .

{
a 0
0

>

hoặc
{
'
a 0
0

>
3.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=
hoặc
{
'
a 0
0

=
4. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<
hoặc
{

'
a 0
0

<
Ví dụ1:
Cho phơng trình 2x
2
-(4m+3)x+2m
2
-1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình.
8
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có2nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:

=(4m+3)
2
-4.2(2m
2
-1)=24m+17.
a.Phơng trình có nghiệm khi .

{
a 0
0

{
2 0
24m 17 0

+

m

17
24


b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi.

{
a 0
0

>


{
2 0
24m 17 0
17
m
24

+ >

>
c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=

2 0
24m 17 0
17
m
24

+ =


=


d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<
{

2 0
24m 17 0
17
m
24

+ <

<
Ví du 2 :
Cho phơng trình mx
2
-2(m-1)x+(m-4)=0 .Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình.
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:
Ta có :a

0

m
0
,
'

= b
'2
-ac=

( )
2
(m 1)
-m(m-4)=m
2
-2m+1-m
2
+4m=2m+1
a.Phơng trình có nghiệm khi .
+Trờng hợp 1:
- Nếu a=0

m=0 ,phơng trình có nghiệm x=
c
b

m 4
2(m 1)


=2.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0
0



{

m 0
2m 1 0

+

m 0
1
m
2






b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi.
9

{
a 0
0

>


{
m 0 m o
2m 1 0 1
m
2

+ >





c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=

{
m 0
2m 1 0

+ =

m 0
1
m
2

=

d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<

{
m 0 m 0
2m 1 0 1
m
2

+ <
<




II . Hệ thức vi- ét và ứng dụng.
1. Hệ thức vi- ét
Nếu x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+bx+c=0(a

0) thì x
1
+ x
2
=
b
a

và x
1
.x
2
=
c
a
3.áp dụng để xác định dấu các nghiệm
Cho phơng trình ax
2
+bx+c=0(a

0)
cú 2 nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm .
Ta lp bng xột du sau:
Du nghim x
1
x
2
1 2
S x x= +
1 2

P x x=

iu kin chung
trỏi du

m
P < 0
0 0 ; P < 0.
cựng du,


P > 0
0 0 ; P > 0
cựng dng, + + S > 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S > 0
cựng õm


S < 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ :
Cho phơng trình x
2
+(2m+2)x+m
2
-4=0
Có hai nghiệm trái dấu
Có hai nghiệm cùng dấu
Có hai nghiệm dơng
Có hai nghiệm âm

Giải :

= b
2
- 4ac = (2m+2)
2
- 4(m
2
-4) = 4m
2
+ 8m + 4 - 4m
2
-16 = 8m -12
* Có hai nghiệm trái dấu
10
x
1
.x
2
=
c
a
= m
2
- 4 = (m+1)(m-1)<0
-Trờng hợp 1. -1< m <1
-Trờng hợp 2. m <-1 và 1 < m
*Có hai nghiệm cùng dấu
{
'

1 2
0 ( 0)
x .x 0

>

2
1 2
8m 12 0
c
x .x m 4 0
a

= = >




3
m
2
m 2;m 2

< >




m>2
*Có hai nghiệm dơng

{
'
1 2 1 2
0( 0)
x x 0;x .x 0

+ > >

2
1 2 1 2
8m 12 0
b c
x x (2m 2) 0;x .x m 4 0
a a


+ = = + > = = >




3
m
2
m 1;m 2;m 2

< < >

m>2
*Có hai nghiệm âm khi
{
'
1 2 1 2
0( 0)
x x 0;x .x 0

+ < >
2
1 2 1 2
8m 12 0
b c
x x (2m 2) 0;x .x m 4 0
a a
=

+ = = + < = = >





3
m
2
m 1;m 2;m 2

> < >




m>2
4.áp dụng để xác định hai số biết tổng S và P của chủng
-Nếu hai số x
1
,x
2
sao cho x
1
+x
2
=S, x
1
.x
2
=P thì x
1
,x
2
là nghiệm phơng trình
x
2
-Sx+P=0
Ví dụ:
Tìm hai số, biết tổng của chủng là 15 và tích của chủng là 54.
Giải :

Nếu hai số phải tìm là x
1
,x
2
sao cho x
1
+x
2
=S =15, x
1
.x
2
=P=54 thì x
1
,x
2
là nghiệm phơng
trình
x
2
-15x+54=0

=(-15)
2
-4.54=225-216=9;

=3

x
1

=
15 3
9
2
+
=
; x
2
=
15 3
6
2

=
Vậy hai số cần tìm là 9 và 6.
b.Bài tập
Bài tập 1.
Cho phơng trình (m-4)x
2
-2mx+m-2=0,trong đó m là tham số
a.Giải phơng trình khi m=3.
b.Tìm m để phơng trình có nghiệm x=
2
.
11
c.Tìm m để
-phơng trình có nghiệm kép
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Giải :
a.với m=3 ta có -x

2
-6x+1=0
'

=(-3)
2
+1=10;
'

=
10
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x
1
=-3-
10
; x
2
=-3+
10
b. Phơng trình có nghiệm x=
2
,thay vào phơng trình ta có
(m-4)2-2
2
m+m-2=0

m=10(3+2
2

)
c Phơng trình có nghiệm kép khi
{
'
a 0
0

=
{
2
m 4
' m (m 4)(m 2) 0

= =


m 4
4
m
3

=



Ta có x
1
= x
2
=

'
b
a

=
4
m 1
3
4
m 4 2
4
3
= =


-Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
{
'
a 0
0

>

m 4
4
m
3

>

Công thức tính nghiệm của phơng trình là x
1
=
4
m m
3
m 4
+

; x
2
=
4
m m
3
m 4


Bài tập 2.
Giải và biện luận phơng trình
a.2x
2
- (2-k)x=k(k-2).
b.(2k-1)
2
x
2
-4kx+1=0.

Giải :
a.Phơng trình đã cho có thể viết 2x
2
-(2-k)x-k(k-2)=0

=(2-k)
2
+8k(k+2)=4-4k+k
2
+8k
2
+16k=9k
2
+12k+4=(3k+2)
2
0
với mọi k.
Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi k .
b Nếu 2k-1=0 hay k=
1
2
thì -4kx+1=-2x+1=0,ta có nghiệm x=
1
2
.
- Nếu 2k-1

0 hay k

1

2
thì ta tìm đợc
'

=(-2k)
2
-(2k-1)
2
=4k
2
-4k
2
+4k-1=4k-1

0
Tức là k

1
4
,phơng trình có nghiệm.
12
Vậy với k >
1
4
và k

1
2
phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x

1
=
2
2k 4k 1
(2k 1)
+

;x
2
=
2
2k 4k 1
(2k 1)


Với k =
1
4
phơng trình có một nghiệm kép x
1
= x
2
=-
'
b
a
=
2
2
1

2k
2
2
1
(2k 1)
( 1)
2


= =


Với k <
1
4
thì phơng trình vô nghiệm
Bài tập 3.
Cho phơng trình x+7x-5=0.Không giải phơng trình hãy tính .
a.Tổng và tích của hai nghiệm
b.Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm
c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm
d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm
e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm
Giải :
Ta thấy rằng phơng trình đã cho luôn có nghiệm vì các hệ số avà c khác dấu.
a.Tổng của hai nghiệm là S=x
1
+x
2
=-7 và tích của hai nghiệm là P= x

1
.x
2
=-5.
b. Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là
2 1
1 2 1 2
1 1 x x 7 7
x x x .x 5 5
+
+ = = =

c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x ( 7) 2( 5) 49 10 59+ = + = = + =
d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm là
2 2 2
1 2 1 2 1 2
(x x ) x x 2x .x = + =
59+10=69.
e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm là
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 3x .x (x x ) ( 7) 3( 5)( 7) 343 105 448.+ = + + = = =
Bài tập 4.
Cho phơng trình 2x
2
+(2p-1)x+p-1=0
a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .

b.Tìm p để cả hai nghiệm đều dơng.
c.Tìm một hệ thức không phụ thuộc vào p.
Giải :
a.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi

=(2p-1)
2
- 4.2(p-1)=(2p-3)
2
> 0

p
3
2

b.Phơng trình có hai nghiệm đều dơng ta giải hệ phơng trình
1 2
1 2
b
1 2p 1
x x 0
0 p
a
2 2
c p 1 p 1
x .x 0 0
a 2


+ = >

> <
>
= > >









Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào của p để cả hai nghiệm đều dơng.
13
c. Do S=
1 2
1 2p
x x
2

+ =
và P=
1 2
x .x
=
p 1
2

nên ta có :S+2P=
1 2p

2

+
2p 2 1
2 2

=
Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào p là
1 2 1 2
1
x x 2x .x
2
+ + =
Bài tập 5.
Cho phơng trình x
2
- mx + m-1=0 với m là tham số .
a.Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b.Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm .Tìm giá trị nhỏ nhất của A=
2 2
1 2
x x+
.
Giải .
a.Ta có
2 2 2

m 4(m 1) m 4m 4 (m 2) 0 m = = + =
,vậy phơng trình luôn có nghiệm
với mọi m .
b. A=
2 2
1 2
x x+
=
2 2
1 2
x x+
+2x
1
x
2
-2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= m

2
-2(m-1)= m
2
-2m+2=
m
2
-2m+1+1=(m-1)
2
+1

1

m

A nhỏ nhất bằng 1 khi (m-1)
2
=0

m=1
Bài tập 6.
Cho phơng trình x
2
- 2x + m =0 với m là tham số .
a.Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
đều là số dơng.
b. Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1

,x
2
thỏa mãn :
1 2
2 1
x x 10
x x 3
+ =
Giải:
a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng là :
{
'
0
S 0,P 0
>
> >

{
{
1 m 0 m 1
2 0,m 0 m 0
0 m 1
> <
> > >
< <
b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
'

=1-m > 0

m<1(1)
Khi đó S=x
1
+x
2
=2 và P= x
1
.x
2
= m nên :
1 2
2 1
x x 10
x x 3
+ =

2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
x x 10 (x x ) 2x x 10
x .x 3 x x 3
+ +
= =
2
S 2P 10 4 2m 10
P 3 m 3

= =
Điều kiện m
0

(2)
Ta có 3(4-2m)=-10m

4m=-12

m=-3 thỏa mãn (1),(2).
Bài tập 7.
Cho phơng trình x
2
+ 2(m+1)x + m
2
=0 ,với m là tham số .
a.Giải phơng trình khi m=2 .
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
c.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm
bằng (-2).
Giải:
a.Khi m=2 thay vào phơng trình ,ta có x
2
+ 6x + 4=0
14

'
=3
2
-4=5,

=
5
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x
1
= -3+
5
, x
2
=-3-
5
.
b.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
'

=(m+1)
2
- m
2
=2m+1>0

m >
1
2

c.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2).
- Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
'

>0

m >
1

2

- Theo hệ thức Vi- ét ta có
{
1 2
1 2
2
1 2
1 2
b
x x
x x 2(m 1)
a
c
x .x m
x .x
a
(1)

+ =
+ = +
=
=




- Theo giá thiết , phơng trình có một nghiệm bằng (-2) , giả sử x
1
=-2 .Từ hệ phơng trình (1)

ta có
2
2
2
x 2(m 1) 2
m
x
2
(2)
= + +
=



-Từ hệ phơng trình (2), rút gọn hai vế ta có m
2
+4m=0

m(m+4)=0

{
m 0
m 4
=
=
Với m=-4 (loại),m=0 (thỏa mãn) điều kiện m >
1
2

.

Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng
(-2).
Bài tập 8.
Cho phơng trình (m+1)x
2
+ 5x + m
2
-1=0 ,với m là tham số .
a.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có
một nghiệm bằng 4.
Giải:
a.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi
{
{
2
1 2
a 0 m 1 0 m 1 m 1
c m 1 0 m 1
m 1
x .x 0
0
a
m 1
+
< <

= <
<
+

b.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4.
-áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
15
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =
=




1 2
2
1 2
5

x x
m 1
m 1
x .x
m 1
(I)
+ =
+

=
+



Thay giá trị x
1
=4 vào (I) ta có m
2
+16m+35=0

m
1
=-8+
29
;m
2
=-8-
29
Các giá trị m
1

, m
2
đều thỏa mãn điều kiện m<1 và m

-1
Vậy m=-8+
29
;m=-8-
29
phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có
một nghiệm bằng 4.
Bài tập 9.
Cho phơng trình (m+1)x
2
- 2(m-10x + m-3 =0 ,với m là tham số .
a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m khác (-
1).
b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
c. Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm đó có nghiệm
này gấp đôi nghiệm kia .
Giải :
a.Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi
{
{
{
' 2
a 0 m 1 0 m 1
4 0
0 (m 1) (m 1)(m 3) 0
+

>
> + >

Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

-1.
b Theo câu a ,ta đã có

>0 với mọi giá trị m

-1
-Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

1 2
c
x .x 0
a
= >

m 3
0
m 1

>
+

{
{
m 3 0
m 1 0

m 3 0
m 1 0
>
+>
<
+<

{
{
m 3
m 1
m 3
m 1
>
>
<
<

m 3
m 1
>
<
Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi m>3 hoặc m<-1
c.Theo câu a ,b phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

>0 và
1 2
c
x .x 0
a

= >
ta có m>3
hoặc m<-1.
Mặt khác theo hệ thức Vi-ét ta có :

1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =
=




1 2
1 2
2(m 1)
x x
m 1
m 3
x x
m 1
(I)

+ =
+

=
+



Với giả thiết cho x
1
=2x
2
,thay vào (I) ta có
16
1
2
1
2(m 1)
3x
m 1
m 3
2x
m 1

=
+

=
+

2
2(m 1) m 3
3(m 1) 2(m 1)


=

+ +

Rút ra ta đợc : m
2
- 2m- 35 = 0

m
1
=-5 ;m
2
=7 .Với giá trị m
1
;m
2
đều thỏa mãn điều kiện
m >3 và m <-1.
Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi m=-5
hoặc m=7.
Bài tập 10.
Cho phơng trình m(x

2
-4x+3)+2(x-1)=0
a.Giải phơng trình khi m=-
1
2
.
b. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c.Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên.
Giải:
a.Với m=-
1
2
.Ta có x
2
-8x+7=0
Có a+b+c = 1+(-8)+7 = 0

x
1
=1;x
2
=
c
a
=7.
b.Phơng trình đã cho trở thành : mx
2
-2(m-1)x+3m-2=0 (1)
+ Với m=0 ,(1)

2x-2=0

x=1.
+ Với m

0 :
' 2 2 2 2
4m 4m 1 3m 2m m 2m 1 (m 1) = + + = + =

0
m
.
Vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c.Ta có m(x
2
-4x+3)+2(x-1)= (x-1)
[ ]
m(x 3) 2 0 + =

Xét phơng trình m(x-3)+2 = 0
Để phơng trình có hai nghiệm thì m

0 khi mx-3m+2=0

x=
3m 2
m

=3-
2

m
.
Để phơng trình có hai nghiệm nguyên thì 2
M
m hay m=

1;m=
2

Bài tập 11.
Cho phơng trình x
2
- (m+2)x+2m = 0 (1)
a.Giải phơng trình khi m=-1
b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn (x
1
+x
2
)
2
- x
1
.x
2

5.

Giải:
a.Với m=-1 .Ta có x
2
- x-2 = 0 Có a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0

x
1
=-1,x
2
=2
b. Ta có:

=(m+2)
2
-4.2m=m
2
+ 4m + 4- 8m = m
2
- 4m + 4 = ( m- 2)
2

0
m

. Vậy phơng
trình có nghiệm
m
.
Ta có (x
1

+x
2
)
2
- x
1
.x
2
=m
2
+2m+4

5

m
2
+2m+ 1+3

5

m
2
+2m+ 1

5-3

(m+1)
2

2

-
2

m+1

2

-1-
2

m

2
-1
Bài tập 12.
Cho phơng trình x
2
- px + p-1 = 0
a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của p .
17
b.Tính theo p giá trị biểu thức M=x
1
2
+x
2
2
- 6x
1

.x
2
.
c.Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Giải:
a.Ta có
2 2
p 4p 4 (p 2) 0 p = + =
.Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có nghiệm với
mọi giá trị của p .
b.Ta có M=x
1
2
+x
2
2
- 6x
1
.x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
.x
2

- 6x
1
.x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-8x
1
.x
2
= p
2
- 8(p-1) = p
2
- 8p + 8 = p
2
- 8p + 16 - 8 = (p-4)
2
- 8.
c.M=(p-4)
2
- 8

-8,vậy M đạt giá trị nhỏ nhất M=-8 khi (p-4)
2
=0

p-4=0

p=4.
Bài tập 13.
Chứng minh rằng nếu các hệ số của hai phơng trình bậc hai x
2
+p
1
x+q
1
=0 và
x
2
+p
2
x+ q
2
=0 ,liên hệ với nhau bởi hệ thức p
1
p
2
=2(q
1
+q
2
) thì ít nhất một trong hai ph-
ơng trình trên có nghịêm.
Giải
Gọi phơng trình x

2
+p
1
x+q
1
=0 (1) và x
2
+p
2
x+ q
2
=0 (2)
Ta có
1

=p
1
2
-4 q
1
;
2

=
2
2
p
-4 q
2
;

1

+
2

= p
1
2
-4 q
1
+
2
2
p
-4 q
2
= p
1
2
+
2
2
p
- 4(q
1
+ q
2
).
Vì 2(q
1

+q
2
)= p
1
p
2

4(q
1
+ q
2
) = 2p
1
p
2
.
Do đó
1

+
2

= p
1
2
+
2
2
p
- 4(q

1
+ q
2
)= p
1
2
+
2
2
p
-2p
1
p
2
=
( )
2
1 2
p p 0
Điều này chứng tỏ ít nhất một trong hai biệt thức
1

hoặc
2

phải >0 .Vậy ít nhất một trong
hai phơng trình có nghiệm.
Bài tập 14.
Chứng minh rằng phơng trình ax
2

+ bx + c = 0 có nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau
a) a( a + 2b + 4c ) < 0
b) 5a + 3b + 2c = 0
Giải:
Ta có
2
b 4ac =
.
a) a( a + 2b + 4c ) = a
2
+2ab+4ac < 0

a
2
+b
2
+2ab < b
2
-4ac

b
2
-4ac > ( a+b)
2

0



0,phơng trình có nghiệm .

b) 5a + 3b + 2c = 0

10a
2
+6ab+4ac=0

(3a+b)
2
+ a
2
= b
2
-4ac

0



0,phơng trình
có nghiệm .
Bài tập 15.
Chứng minh rằng nếu hai phơng trình bậc hai x
2
+p
1
x+q
1
=0 và x
2
+p

2
x+ q
2
=0 có nghiệm
chung thì : (q
1
- q
2
)
2
+(p
1
-p
2
)(q
2
p
1
-q
1
p
2
)=0.
Giai:
Hai phơng trình có nghiệm chung
{
2
1 1
2
2 2

x p x q 0
x p x q 0
+ + =
+ + =
có nghiệm
Đặt y=x
2
,ta có
{
1 1
2 2
y p x q 0
y p x q 0
+ + =
+ + =
18
-Nếu p
1

p
2
,giải hệ phơng trình ta có x=
2 1
1 2
p p
p p


và y=
1 2 1 2

2 1
q p p q
p p


.Do y=x
2
suy ra
1 2 1 2
2 1
q p p q
p p


=(
2 1
1 2
p p
p p


)
2
,khai triển biến đổi ta có :(q
1
-q
2
)
2
+( q

1
-q
2
)( q
2
p
1
-q
1
p
2
)=0.
-Nếu p
1
=p
2
ta có hệ
{
1 1
1 2
p x y q
p x y q
+ =
+ =
Hệ này có nghiệm ,suy ra q
1
=q
2
.Do đó đẳng thức cần
chứng minh có dạng 0 = 0, hiến nhiên đúng.

Chuyên đề:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
A) tóm tắt lý thuyết
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ ohơng trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa lợng đã biết.
c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phơng trình bậc nhất một ẩn, hệ ph-
ơng trình hay phơng trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế
B) Các dạng toán
Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
Nững kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số :
( v= + ab 10a b ới 0<a 9; 0 b 9;a,b N)
+ Biểu diễn số có ba chữ số :
( vabc 100a 10b c ới 0<a 9; 0 b,c 9;a, b,c N)= + +
+ Tng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x
2
+ y
2
+ Bình phơng của tổng hai số x, y là: (x + y)
2
.
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:
1 1
x y

+
.
19
Ví dụ 1: Mộu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu
của nó thêm 1 đơn vị thì đợc một phân số mới bằng
1
2
phân số đã cho. Tìm phân số đó?
Giải:
Gọi tử số của phân số đó là x (đk:
x 3
)
Mẫu số của phân số đó là x + 3.
Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì
Tử số là x + 1
Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4
Đợc phân số mới bằng
1
2
ta có phơng trình
x 1 1
x 4 2
+
=
+
.
2(x 1) x 4
x 2( Thoả mãn điều kiện của bài toán)
2
Vậy phân số ban đầu đã cho là

5
+ = +
=
Ví dụ 2: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số
thu đợc cũng viết bằng hai chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại. Hãy tìm số đó?
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (
(0 < x 9, x N)
Chữ số hàng đơn vị là y (0<y 9,y N)
Vì tng 2 ch số là 9 ta có x + y = 9 (1)
Số đó là
xy 10x y= +
Số viết ngợc lại là
yx 10y x= +
Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ta có
xy 63 yx 10x y 63 10y x
9x 9y 63(2)
+ = + + = +
=
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
x y 9 x y 9 2x 2
9x 9y 63 x y 7 x y 9
+ = + = =



= = + =

x 1
(thoả mãn điều kiện)

y 8
=



=

Vy s phải tìm là 18.
Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phơng của nó là 85.
Giải
Gọi số bé là x (
x N
). Số tự nhiên kề sau là x + 1.
Vì tổng các bình phơng của nó là 85 nên ta có phơng trình: x
2
+ (x + 1)
2
= 85
2 2 2
2
2 2
x x 2x 1 85 2x 2x 84 0
x x 42 0
b 4ac 1 4.1.( 42) 169 0 169 13
+ + + = + =
+ =
= = = > = =
Phơng trình có hai nghiệm
1
2

1 13
x 6(thoả mãn điều kiện)
2
1 13
x 7(loại)
2
+
= =

= =
Vy hai số phải tìm là 6 và 7.
20
Bài tập:
Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì đợc 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?
Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng
2
5
số thứ nhất thì bằng
1
6
số thứ hai.
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai
chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị.
Bài 4: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.
Bài 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phơng của số tạo bởi chữ số
hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đó.
Đáp số:
Bài 1: Số đó là 19;
Bài 2: Hai số đó là 15 và 36
Bài 3: Số đó là 61

Bài 4: Hai số đó là 10 và 15 hoặc -10 và -15;
Bài 5: Số đó là 32.
Dạng 2: Toán chuyển động
Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đờng là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:
S = v.t;
s s
v ;t
t v
= =
.
Gọi vận tốc thực của ca nô là v
1
vận tốc dòng nớc là v
2
tì vận tốc ca nô khi xuôi dòng nớc là
v = v
1
+ v
2
. Vân tốc ca nô khi ngợc dòng là v = v
1
- v
2

Ví dụ1: Xe máy thứ nhất đi trên quảng đờng từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút. Xe máy thứ
hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km.
Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?
Giải:
Gọi vận tốc x thứ nhất là x (km/h), đk: x>3;

Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h).
Trong 3 giờ 20 phút (=
10
3
giờ) xe máy thứ nhất đi đợc
10
x(km)
3
Trong 3 giờ 40 phút (=
11
3
giờ) xe máy thứ nhất đi đợc
11
(x 3)(km)
3

Đó là quảng đờng tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phơng trình
10 11
x (x 3) x 33
3 3
= =
(thoả mãn điều kiện bài toán).
Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là 33 km/h. Vận tốc của xe máy thứ hai là 30 km/h.
Quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km.
Ví dụ 2: Đoạn đờng AB dài 180 km . Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy
gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D
cách A là 60 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy ?
Giải
Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), đk: x > 0.
Gọi vận tốc của xe máylà y(km/h), đk: y > 0.

21
Thời gian xe máy đi để gặp ô tô là
80
y
(giờ)
Quảng đờng ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là
100
y
(giờ)
ta có phơng trình
100 80
x y
=
(1)
Quảng đờng xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là
60
y
(giờ)
Quảng đờng ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là
120
y
(giờ)
Vì ô tô đi trớc xe máy 54 phút =
9
10
nên ta có phơng trình
120 60 9
(2)
x y 10
=

.
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
100 80 100 80
0
x y x y
120 60 9 40 20 3
x y 10 x y 10

= =





= =


Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận tốc của xe máy là 40 km/h.
Ví dụ 3: Một ô tô đi trên quảng đờng dai 520 km. Khi đi đợc 240 km thì ô tô tăng vận tốc
thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đờng còn lại. T ính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời
gian đi hết quảng đờng là 8 giờ.
Giải:
Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), đk: x>0.
Vận tốc lúc sau của ô tô là x+10 (km/h).
Thời gian ô tô đi hết quảng đờng đầu là
240
x
(giờ)
Thời gian ô tô đi hết quảng đờng đầu là
280

x 10+
(giờ)
Vì thời gian ô tô đi hết quảng đờng là 8 giờ nên ta có phơng trình
2
240 280
8 x 55x 300 0
x x 10
+ = =
+
2 2
b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 0 4225 65 = = = > = =
Phơng trình có hai nghiệm
+
= = = =
1 2
55 65 55 65
x 60(TMDK);x 5(loai)
2 2
Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.
Bài tập:
22
100 80
60 12
0
x y x 50
x 10
(thoả mãn điều kiện)
100 80
160 80 12 y 40
0

x y
x y 10


=
=


=




=


=
=



1. Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phút ô tô thứ hai cũng khởi
hành từ A đi cùng hớng với ô tô thứ nhất với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau mấy giờ thì ô tô gặp
nhau, điểm gặp nhau cách A bao nhiêu km?
2. Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngợc dòng 30 km. Biết thời gian đi xuôi dòng lâu hơn
thời gian ngợc dòng là 30 phút và vận tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngợc dòng là 5
km/h.
Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng?
3. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 150 km. Biết vận tốc
ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trớc ô tô thứ hai

là 30 phút. Tính vânl tốc của mỗi ô tô.
4. Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngợc
dòng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất
10 giờ mới xuôi hết dòng sông.
5. Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành
từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải
đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc của mỗi xe?
6. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km. Cùng lúc đó một bè nứa trôi
tự do từ A đến B. Ca nô đến B thì quay lại A ngay, thời gian cả xuôi dòng và ngợc dòng hết
15 giờ. Trên đờng ca nô ngợc về A thì gặp bè nứa tại một điểm cách A là 50 km. Tìm vận
tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc?
Đáp án:
1.
3
4 (giờ)
8
2. 20 km/h
3. Vn tốc của ô tô thứ nhất 60 km/h. Vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h.
4. 25 km/h
5.
6. Vận tốc của ca nô là 15 km/h. Vận tốc của dòng nớc là 5 km/h.
Dạng 3: Toán làm chung công việc
Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm đợc
1
x
công việc.
- Xem toàn bộ công việc là 1
Ví dụ 1:
Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3

giờ, ngời thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành đợc 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi ngời hoàn thành công việc trong bao lâu?
Giải:
Ta có 25%=
1
4
.
Gọi thời gian một mình ngời thứ nhất hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ)
Gọi thời gian một mình ngời thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ)
Trong một giờ ngời thứ nhất làm đợc
1
x
công việc
Trong một giờ ngời thứ hai làm đợc
1
y
công việc.
23
Hai ngời cùng làm thì xong trong 16 giờ. Vậy trong 1 giờ cả hai ngời cùng làm đợc
1
16
công việc.
Ta có phơng trình:
1 1 1
(1)
x y 16
+ =
Ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì 25%=
1
4

công việc. Ta có
phơng trình
3 6 1
x y 4
+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
1 1 1 3 3 3 1 1 1
x y 16 x y 16 x y 16
3 6 1 3 6 1 3 1
x y 4 x y 4 y 16

+ = + = + =





+ = + = =


x 24
(thoả mãn điều kiện)
y 48
=



=

.
Vy nếu làm riêng thì ngời thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ. Ngời thứ hai hoàn
thành công việc trong 48 giờ.
Ví dụ 2:
Hai thợ cùng đào một con mơng thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng
thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội
phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc?
Giải :
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 0; giờ)
Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)
Mỗi giờ đội 1 làm đợc
1
công việc
x
Mỗi giờ đội 2 làm đợc
1
công việc
x 2+
Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút =
11 35
2
12 12
=
(giờ) xong.
Trong 1 giờ cả hai đội làm đợc
12
35
công việc
Theo bài ra ta có phơng trình
2

1 1 12
35x 70 35 12x 24x
x x 2 35
+ = + + = +
+
2 2
12x 46x 70 0 6x 23x 35 0 = =
Ta có

2
1 2
( 23) 4.6.( 35) 529 840 1369 0 1369 37
23 37 23 37
Vậy ph}ơng trình có hai nghiệm x 5(thoa mãn); x 2(loại)
12 12
= = + = > = =
+
= = = =
Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ.
Chú ý:
+ Nếu có hai đối tợng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lợng này
hơn, kém đại lợng kia ta nên chọn một ẩn và đa về phơng trình bậc hai.
+ Nếu thời gian của hai đại lợng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai ẩn
làm thời gian của hai đội rồi đa về dạng hệ phơng trình để giải.
Ví dụ 3:
24
Hai ngời thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc. Nếu ngời thứ nhất
làm trong 4 ngày rồi nghỉ ngời thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi ng-
ời làm một mình thì bao lâu xong công việc?
Giải:

Gọi thời gian để một mình ngời thứ nhất hoàn thành công việc là x (x>2; ngày)
Gọi thời gian để một mình ngời thứ hai hoàn thành công việc là y (x>2; ngày).
Trong một ngày ngời thứ nhất làm đợc
1
x
công việc
Trong một ngày ngời thứ hai làm đợc
1
y
công việc
Cả hai ngời làm xong trong 2 ngày nên trong 1 ngày cả hai ngời làm đợc
1
2
công việc. Từ
đó ta có pt
1
x
+
1
y
=
1
2
(1)
Ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi ngời thứ hai làm trong 1 ngày thì xong công việc ta có
pt:
4 1
1
x y
+ =

(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt
1 1 1
1 1 1
x y 2 x 6
x y 2
(thoả mãn đk)
4 1 y 3
3 1
1
x y
x 2


+ =
+ =


=




=


+ =
=

Vậy ngời thứ nhất làm một mình xong công việc trong 6 ngày. Ngời thứ hai làm một mình
xong công việc trong 3 ngày.
Bài tâp:
1. Hai ngời thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ. Nếu ngời thứ nhất làm
trong 4 giờ, ngời thứ hai làm trong 7 giờ thì đợc 1/3 công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình
thì mất bao lâu sẽ xong công việc?
2. Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì
tổ hai đợc điều đi làm việc khác. Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi
nếu mỗi tổ làm riêng thhì bao lâu xong công việc đó?
3. Hai đội công nhân cùng đào một con mơng. Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ
xong công việc. Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3
ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?
4. Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít. ậ mỗi binmhf có một
vòi nớc chảy vào và dung lợng nớc chảy trong một giờ là nh nhau. Ngời ta mở cho hai vòi
cùng chảy vào bình nhng sau 2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp tục mở
lại. Để hai bình cùng đầy một lúc ngời ta phải tăng dung lợng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ.
Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy đợc bao nhiêu lít nớc.
Kết quả:
1) Ngời thứ nhất làm một mình trong 54 giờ. Ngời thứ hai làm một mình trong 27 giờ.
2) Tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ. Tổ thứ hai làm một mình trong 15 giờ.
3) Đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày. Đội thứ hai làm một mình trong 3 ngày.
4) Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy đợc 75 lít.
Dạng 4: Toán có nội dung hình học:
25