Một số dạng bài tập giải bằng phương pháp cần và đủ - phần 1

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
I. Ví dụ minh hoạ:
VD: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất.

2x 2y y 1
2y 2x x 1
2 2 2 m 1
2 2 2 m 1



   


   



Giải: Trước hết cần
m 1 0 m 1   

Đặt:
x
y
u2
v2








, điều kiện u, v > 0. Hệ được biến đổi về dạng:
 
 
2
2
22
2 2 2
2
u v 1 m(1)
u v 2v 1 m
u v 2u 1 m
v u 1 m(2)

  

   



   

  




(I)
Điều kện cần: Giả sử hệ có nghiệm (u
0
;v
0
) suy ra (v
0
;u
0
) cũng là nghiệm của hệ. Vậy để hệ có
nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là u
0
=v
0
.
Khi đó:
 
2
22
0 0 0 0
u u 1 m 2u 2u m 1 0       
(1)
Ta cần (1) phải có nghiệm duy nhất
1
0m
2
    

Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là
1

m
2


Điều kiện đủ: Với
1
m
2

hệ có dạng:
 
 
2
2
2
2
1
u v 1
2
1
v u 1
2

  




  



(II)
   
22
2 2 2 2
22
u v 1 u 1 v 1 2u 2u 2v 2v 1 0
2 2 1
u 2 v 2 0 u v
2 2 2
            
   
        
   
   
   

Nhận xét rằng
1
uv
2
  
thoả mãn hệ (II) suy ra x = y = - 1



Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi
1
m
2


.
II. Bài tập
Bài 1. Tìm tham số m để phương trình:
1,
4
2
x 1 x m  
có nghiệm
2,
4
4
x 13x m x 1 0    
có đúng một nghiệm
3,
 
 
3
21
2
log x 4mx log 2x 2m 1 0    
có nghiệm
Bài 2. Tìm tham số m để bất phương trình:
1,
 
2
m1
m2
log x 3 1




đúng với mọi
xR

2,
xx
m.2 2 3 m 1   
có nghiệm
3,


2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0     
có nghiệm
x 0;1 3




Bài 3. Tìm tham số m để hệ phương trình:
1,
2x y m 0
x xy 1
  







có nghiệm duy nhất
2,
2x x 1 2 x 1
2
7 7 2010x 2010
x (m 2)x 2m 3 0
   

  


    


có nghiệm
3,
   
my
22
2
x 1 n 1 2
m nxy x y 1

   



  


có nghiệm với mọi
nR




Bài 4. Chứng minh rằng hệ
x
2
y
2
y
e 2007
y1
x
e 2007
x1











có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x >
0, y > 0

Bài 5. Xác định m để bpt:
   
2 2 2
2x x 2x x 2x x
9 2 m a .6 m 1 .4 0
  
    
nghiệm đúng với mọi
thỏa mãn
x1

Bài 6. Xác định m để pt
   
22
3 3 3 3
log x.log x 2x 3 mlog x 2log x 2x 3 2m 0       

có 3 nghiệm phân biệt.