Các vấn đề về Vuông góc - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P1

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-


N
M
D
S
A
B
C
K

Bài 1
: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông
góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD
Giải:

Ta có : AB =
2 5
,
Gọi M là trung ñiểm của BC ,ta có : DM = 1
SD =
2 2

30
SA AD+ =
,
SC =
2 2
29
SA AC+ =

SM =
2 2
33
SC CM+ =

Ta có :
2 2 2
30 1 33 1
cos
2 .
2 30 30
SD MD SM
SDM
SD MD
+ − + −
∠ = = = −
(*)
Góc
ϕ
giữa hai ñường thẳng AC và SD là góc giữa hai ñường thẳng DM và SD hay
ϕ
bù với góc

∠
SDM . Do ñó : cos
ϕ
=
1
30

Vậy
ϕ
= arcos
1
30

Bài 2:

Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung ñiểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN =
3
a
.
Tính góc giữa 2 ñường thẳng AB và CD

Giải:
Gọi P là trung ñiểm AC. Khi ñó MP // AB, NP // CD và MP = NP = a
( , ) ( , )
AB CD MP NP
⇒ ∠ = ∠

Trong tam giác MPN ta có:
2 2 2 2 2
0

2 3 1
os MPN=
2 . 2 . 2
120
MP NP MN a a
c
MP NP a a
MPN
+ − −
∠ = = −
⇒ ∠ =

Vậy
0 0
( , ) 60 ( , ) 60
MP NP AB CD∠ = ⇒ ∠ =



Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc
với AB và AD, SA=
2 3
3
a
. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:
a, DC và SB
b, SD và BC

Giải:

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo
viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó
làm ñ
ầ
y ñ
ủ

các bài

t
ậ
p trong tài li
ệ
u này.

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-

a. Do
/ / ( , ) ( , )DC AB DC SB AB SB
α
⇒ ∠ = ∠ =

Tam giác SAB vuông tại A nên
α
là góc nhọn, khi ñó
0
2 3
3
3
tan 30
2 3
a
SA
AB a
α α
= = = ⇒ =

Vậy
0
( , ) 30
DC SB
∠ =

b. Gọi I là trung ñiểm AB, khi ñó AI=a. Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có AI=AD=a nên là hình
thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a

2
DI a
⇒ =

Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI
Khi ñó
( , ) ( , )SD BC SD DI
β
∠ = ∠ =

Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2 2 2
7
3
a
SI SA AI= + =

Tam giác SAD vuông tại A nên
2
2 2 2
7
3
a
SD SA AD= + =

Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin trong tam giác SDI:
2 2 2 2
2 3
os

2 .
21 42
. . 2
3
SD DI SI a
c SDI
SD DI
a
a a
+ −
∠ = = =
>0
Suy ra
SDI
∠
là góc nhọn và
SDI
∠
=arccos
3
42

Bài 4:
Cho hình lăng trụ tam giác ñều
. ' ' '
ABC A B C
có
1, ' ( 0).
AB CC m m
= = >

Tìm
m
biết rằng góc
giữa hai ñường thẳng
'
AB
và
'
BC
bằng
0
60
.
Giải:
- Kẻ
/ / ' ( ' ')
BD AB D A B
∈

0
( ', ') ( , ') 60
AB BC BD BC⇒ = =

0
' 60
DBC⇒ ∠ =
hoặc
0
' 120 .
DBC∠ =

- Nếu
0
' 60
DBC∠ =

Vì lăng trụ ñều nên
' ( ' ' ').
BB A B C
⊥

Áp dụng ñịnh lý Pitago và ñịnh lý cosin ta có
2
' 1
BD BC m
= = +
và
' 3.
DC =

Kết hợp
0
' 60
DBC∠ =
ta suy ra
'
BDC
∆
ñều.
Do ñó

2
1 3 2.
m m
+ = ⇔ =

- Nếu
0
' 120
DBC
∠ =

Áp dụng ñịnh lý cosin cho
'
BDC
∆
suy ra
0
m
=
(loại).
Vậy
2.
m
=





Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Nguồn :
Hocmai.vn