Các vấn đề về Vuông góc - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P2

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
3
a
, SD=
7
a
và SA
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Giải:

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
( )
SA AB
SA ABCD

SA AD
⊥

⊥ ⇒ ⇒

⊥

các tam giác SAB, SAD vuông tại A
Tương tự :
BC AB
BC SB SBC
BC SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại B
CD AD
CD SD SDC
CD SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại D
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).

( ) ( )
SCD ABCD CD
∩ =

( ),
AD ABCD AD CD
⊂ ⊥
, ( ),
SD SCD SD CD
⊂ ⊥

Suy ra:
( )
( )
3 21
( ),( ) ; cos
7
7
21
( ),( ) ar cos
7
AD a
SCD ABCD SDA SDA
SD
a
SCD ABCD SDA
= ∠ ∠ = = =
⇒ = ∠ =

Bài 2:

Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC ñôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung
ñiểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
Giải:

Do SA = SB = SC
⇒
AB = BC = CA
⇒
tam giác ABC ñều
Trong tam giác ABC, gọi H là giao của SJ và CI.
Khi ñó H vừa là trọng tâm vừa là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có ( AJ) ( )
S SCI SH
∩ =
,
do ñó, ñể xác ñịnh góc giữa 2 mp (SAJ) và (SCI),
trước tiên ta xác ñịnh mp vuông góc với SH
Ta có : AH
⊥
BC (1) do tam giác ABC ñều
Lại có SA, SB, SC ñôi một vuông góc nên SA
⊥
(SBC)
⇒
SA
⊥
BC (2)
Từ (1) và (2) ta ñược BC
⊥
(SAH) suy ra BC

⊥
SH (*)
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 02)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo
viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó
làm ñ
ầ
y ñ
ủ

các bài t
ậ
p trong tài li
ệ
u này.

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-

Tương tự ta cũng có
( )
( )
AB CH AB CH
AB SCH
SC SAB AB SC
⊥ ⊥
 
⇒ ⇒ ⊥
 
⊥ ⊥
 

Hay AB
⊥
SH (**)
Từ (*) và (**) suy ra SH
⊥
(ABC)
Mà
( ) ( AJ) AJ
(( AJ),( )) (AJ, )
( ) ( )
ABC S
S SCI CI
ABC SCI CI
∩ =


⇒ ∠ = ∠

∩ =


Do tam giác ABC ñều nên
0 0 0 0
90 90 30 60
CHJ HCJ
∠ = − ∠ = − =

Vậy
0
(( AJ),( )) (AJ, ) 60
S SCI CI CHJ
∠ = ∠ = ∠ =



Bài 3
:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng
3
SA a
=
và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp
sau:
a.

(SAB) và (ABC)

b.

(SBD) và (ABD)
c.

(SAB) và (SCD)
Giải:
a. Gọi O là giao ñiểm của AC và BD
Suy ra:
2
2
a
AO AC= =

Khi ñó
( ) ( )
SAB ABC AB
∩ =

Ta có :
( )
AB SA
AB SAD
AB AD
⊥

⇒ ⊥

⊥


Mặt khác
0
( ) ( )
(( ),( )) ( , ) 90
( ) ( )
SAD SAB SA
SAB ABC SA AD SAD
SAD ABC AD
∩ =

⇒ ∠ = ∠ = ∠ =

∩ =


b.
( ) ( )
SBD ABD BD
∩ =

Ta có
( )
BD SA
BD SAC
BD AC
⊥

⇒ ⊥


⊥


Mặt khác
( ) ( )
(( ),( )) ( , )
( ) ( )
SAC SBD SA
SBD ABD SO AO SOA
SAC ABD AO
∩ =

⇒ ∠ = ∠ = ∠

∩ =


Trong tam giác vuông SOA ta có:
3
tan 6 (( ),( )) arctan 6
2
2
SA a
SOA SBD ABD
AO
a
∠ = = = ⇒ ∠ =

c.
( ) ( ) / / / /

SAB SCD Sx AB CD
∩ =

Mà
( ) ( )
AB SAD Sx SAD
⊥ ⇒ ⊥

Do
( ) ( )
(( ),( )) ( , )
( ) ( )
SAD SAB SA
SAB SCD SA SD ASD
SAD SCD SD
∩ =

⇒ ∠ = ∠ = ∠

∩ =


Trong tam giác vuông ASD:
0 0
1
tan 30 (( ),( )) 30
3 3
AD a
ASD ASD SAB SCD
SA

a
∠ = = = ⇒ ∠ = ⇒ ∠ =

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


Bài 4
: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và
SA
⊥
(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a) Chứng minh BC
⊥
(SAB), CD
⊥
(SAD).
b) Chứng minh (AEF)
⊥
(SAC).
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).

Giải:

a. Vì
( ) , ( )
SA ABCD SA BC BC AB BC SAB
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥

( ) , ( )
SA ABCD SA CD CD AD CD SAD
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥

b. ( ),
SA ABCD SA a
⊥ =
, các tam giác SAB, SAD vuông cân
⇒
FE là ñường trung bình tam giác SBD
FE BD
⇒


, ( )
BD AC FE AC SA ABCD BD SA FE SA
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

( ), ( ) ( ) ( )
FE SAC FE AEF SAC AEF
⊥ ⊂ ⇒ ⊥

c.
( )

SA ABCD
⊥
nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
SCA
ϕ
⇒ = ∠

0
1
tan 45
2 2
SA a
AC
a
ϕ ϕ
⇒ = = = ⇒ =

Bài 5
: Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), ñáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA = a
6
. Gọi
AH, AK lần lượt là ñường cao của các tam giác SAB và SAD.
1) Chứng minh : ∆ SAD ; ∆ SDC là những tam giác vuông.
2) Chứng minh: AK
⊥
(SDC) ; HK
⊥
(SAC)

3) Tính góc giữa ñường thẳng SD và mặt phẳng (SAC).

Giải:

1). C/m: ∆ SAD là tam giác vuông.
Ta có : SA
⊥
(ABCD) ; AD ⊂ (ABCD)
⇒ SA
⊥
AD
⇒ ∆ SAD vuông tại A.
C/m: ∆ SDC là tam giác vuông.
Ta có : SA
⊥
(ABCD) ; DC⊂(ABCD)
⇒ DC
⊥
SA
DC
⊥
AD (do ABCD vuông)
⇒ DC
⊥
(SAD)
SD ⊂ (SAD)
⇒ DC
⊥
SD
⇒ ∆ SDC vuông tại D.

2). C/m: AK
⊥
(SDC)
Ta có: DC
⊥
(SAD) ; AK ⊂ (SAD)
⇒

AK
⊥
DC
AK
⊥
SD (giả thiết)
⇒ AK
⊥
(SDC) (ñpcm)
C/m: HK
⊥
(SAC)
Ta có : ∆ SAB = ∆ SAD (c-g-c)
⇒SB=SD
Mà H, K là hình chiếu của A lên SB, SD
S
B
C
D
A

H

K
o

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về góc


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


⇒
SH SK
SB SD
=
⇒ HK // BD (1)
Xét tam giác cân SBD
OB=OD (O là tâm hvuông ABCD)
⇒SO
⊥
BD (2)
Từ (1),(2) ⇒ HK
⊥
SO (*)
Mặt khác: AO
⊥

BD (3)
Từ (1),(3) ⇒ HK
⊥
AO (**)
Từ (*),(**) HK
⊥
(SAO)
Hay HK
⊥
(SAC) (ñpcm)
3). Tính góc giữa SD và mp (SAC).
Ta có: SO
⊥
OD
⇒ SO là hình chiếu của SD trên mp (SAC)
⇒ góc giữa SD và mp (SAC) là góc hợp bởi SD và SO.
DO=
2
2
a
, SD=
7
a

⇒Sin
DSO
∠
=
2
1

2
7 14
a
DO
SD
a
= =

Vậy
DSO
∠
= arcsin
1
14

Bài 6:
Cho hình chóp ñều S.ABCD, ñáy có cạnh bằng a và có tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung ñiểm
SA;BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60
0
.Tính MN, SO, góc giữa MN và mặt phẳng (SAO)
Giải:
Gọi P là trung ñiểm AO. Khi ñó MP // SO và SO
⊥
(ABCD).
Do ñó (MN;(ABCD)) =
∠
MNP = 60
0

Trong

∆
NCP , theo ñịnh lý hàm số Cosin ta có:
2
2 2 2 0
5
2 . . os45
2
a
NP CN CP CN CP c= + − =
Trong tam giác vuông MNP ta có
0
5
os60 2
PN
MN a
c
= =

và
0
15 15
.tan 60 2
8 2
PM PN a SO MP a= = ⇒ = =

Gọi H là trung ñiểm OC. Suy ra NH // BD mà BD
⊥
(SAC), do ñó (MN;(SAC)) =
∠
NMH.

Ta có
1 2 5
,
2 4 2
a
NH OB MN a= = =
. Suy ra trong tam giác vuông MNH ta có
1
sin
2 5
NH
NHM
MN
∠ = =

Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) là 1 góc có giá trị
α
thỏa mãn
1
sin ;0
2
2 5
π
α α
= ≤ ≤


Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về góc

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


Bài 7:
Cho hình vuông ABCD và tam giác ñều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là
trung ñiểm AB. CMR: SI
⊥
(ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)
Giải:
Sử dụng tính chất 2 mp vuông góc ta có:

( )
( ) ( ) ( )
SI SAB
SAB ABCD AB SI ABCD
SI AB
⊂


∩ = → ⊥


⊥


Khi ñó, I là hình chiếu của S lên (ABCD) suy ra SC có hình chiếu lên (ABCD) là IC
( ,( )) ( , )
SC ABCD SC IC SCI
⇒ ∠ = ∠ = ∠
( do tam giác SIC vuông tại I nên góc SCI là góc nhọn)
SI là ñường cao của tam giác ñều ABC nên
3
2
a
SI =
Trong tam giác vuông ICB:
2
2 2 2
5
4 2
3
15
2
tan
2
5
2
a a
IC IB BC a
a
SI
SCI
CI
a
= + = + =

⇒ ∠ = = =

Vậy
15
( ,( )) arctan( )
2
SC ABCD SCI∠ = ∠ =


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn