Các bài toán có liên quan tới khảo sát hàm số - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P2

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1. Cho hàm số:
3 2 2 2
( 4) ( 4 3) 3
y x m x m m x m m
= + − + − + − + (1)
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ ñều dương.
Giải
b. ðể ñồ thị hàm số (1) cắt Ox tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ ñều dương thì:
3 2 2 2
( 4) ( 4 3) 3 0
x m x m m x m m
+ − + − + − + =
phải có 3 nghiệm dương phân biệt.
2 2
( 1) ( 3) 3 0
x x m x m m
 

⇔ − + − + − =
 
phải có 3 nghiệm dương phân biệt.
2 2
( 3) 3 0
x m x m m
⇔ + − + − =
phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
2
2
2
2 2
3 6 9 0
1 3
3 0
3 1 0
0, 3
1 3
3 0
2 2 0 1 3
1 ( 3).1 3 0
m m
m
b
m
m m
a
m m
c
m

m m
a
m m m
m m m

∆ = − + + >

− < <



− = − >
< − < <


 
⇔ ⇔ ⇔
  
< >
≠ −


 
= − >
 
− − ≠ ⇔ ≠ ±


+ − + − ≠


.
Bài 2. Cho hàm số:
3 2
(2 1) ( 1) 1
y x m x m x m
= − + + − + +
(C
m
)
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể (C
m
) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt, trong ñó 2 ñiểm có hoành ñộ âm.
Giải
b. – ðể (C
m
) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt thì phương trình:
3 2 2
(2 1) ( 1) 1 0 ( 1)( 2 1) 0
x m x m x m x x mx m
− + + − + + = ⇔ − − − − =
phải có 3 nghiệm phân biệt.
2
2 1 0
x mx m
⇔ − − − =
phải có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

khác 1.
2
2
' 1 0
0
0
1 2 .1 1 0
m m m
m
m
m m

∆ = + + > ∀


⇔ ⇔ ⇔ ≠
 
≠
− − − ≠




- ðể 2 ñiểm có hoành ñộ âm ta phải có:
1 2
1 2
0
2 0 0
1
0 1 0 1

x x
m m
m
x x m m
+ <
< <

 
⇔ ⇔ ⇔ < −
  
> − − > < −
 

(Thỏa mãn (1))
ðáp số: m < -1.
Bài 3.
Cho hàm số:
3 2
3 4
y x x
= + −
(C)
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C).
b. Tìm m ñể ñường thẳng d ñi qua I(-1, -2) với hệ số góc m cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt A, I, B sao cho I là
trung ñiểm AB.
Giải
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM ðA THỨC BẬC BA

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Sự tương giao của hàm ña thức bậc ba thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Sự tương giao của hàm ña thức bậc ba. ðể sử dụng hiệu
quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.



Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


b. d có phương trình: y = m(x + 1) – 2
- ðể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt A, I, B thì phương trình:
3 2
3 4 ( 1) 2
x x m x
+ − = + −

3 2
3 4 2 0
x x mx m
⇔ + − − − − =

2
( 1)( 2 2) 0
x x x m
⇔ + + − − =
phải có 3 nghiệm phân biệt.
2
2 2 0
x x m
⇔ + − − =
(*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
2
' 3 0
3
3
3
( 1) 2( 1) 2 0
m
m
m
m
m
∆ = + >
> −


⇔ ⇔ ⇔ > −
 
≠ −
− + − − − ≠



(1)
Gọi A(x
1
; y
1
); B(x
2
; y
2
) (x
1;
x
2
là nghiệm của (*))
ðể I(-1, -2) là trung ñiểm AB ta phải có:
1 2
1 2
1
2
2
2
x x
y y
+

= −




+

= −



1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
2 2
(2)
4 ( 1) 2 ( 1) 2 4 ( 2) 0 .0 0
x x x x x x
m
y y m x m x m x x m
+ = − + = − + = −
− = −
  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∀
   
+ = − + − + + − = − + + = =

  

Kết hợp (1) và (2) => ðáp số: m > -3.
Bài 4.
Cho hàm số:
3 2

1 2
3 3
y x mx x m
= − − + +
(C
m
)
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 0.
b. Tìm m ñể (C
m
) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn ñiều kiện
2 2 2
1 2 3
15
x x x
+ + =

Giải
b. – ðể (C
m
) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x
1
, x
2

, x
3
thì phương trình:
3 2 3 2
1 2
0 3 3 3 2 0
3 3
x mx x m x mx x m
− − + + = ⇔ − − + + =

(
)
(
)
2
1 1 3 2 3 0
x x m x m
 
⇔ − + − − − =
 
phải có 3 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3.

(
)
2

1 3 2 3 0
x m x m
⇔ + − − − =
phải có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác 1 (Chọn x
3
= 1)
2
2
9 6 9 0
0
0
1 (1 3 ).1 2 3 0
m m m
m
m
m m

∆ = + + > ∀


⇔ ⇔ ⇔ ≠
 
≠
+ − − − ≠




(*)
- Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2
15 1 15
x x x x x
+ + = ⇔ + + =

(
)
2
2 2
1 2 1 2 1 2
14 2 14
x x x x x x
⇔ + = ⇔ + − =

( )
2
2
3 1 2( 2 3 ) 14 9 9 1
m m m m
⇔ − − − − = ⇔ = ⇔ = ±
(Thỏa mãn (*))
ðáp số:
1
m
= ±
.

Bài 5.
Cho hàm số:
3 2
3 4
y x x
= − +
(C)
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C)
b. Gọi d là ñường thằng ñi qua ñiểm I(-1,0) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt I,
A, B sao cho AB =
2 2

Giải
b. – Phương trình của d: y = m(x + 1)
- ðể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt I, A, B thì phương trình:
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


3 2 3 2
3 4 ( 1) 3 4 0
x x m x x x mx m
− + = + ⇔ − − + − =

(
)
2
( 1) 4 4 0
x x x m
⇔ + − + − =
phải có 3 nghiệm phân biệt.
2
4 4 0
x x m
⇔ − + − =
(*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
2
' 0
0
9
( 1) 4( 1) 4 0 9 0
m
m
m
m m
∆ = >
>


⇔ ⇔
 
≠
− − − + − ≠ ⇔ − ≠



(1)
Gọi A(x
1
; y
1
); B(x
2
; y
2
) (x
1;
x
2
là nghiệm của (*))
Ta có: AB =
2 2


AB
2
= 8
[
]
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 8 ( ) ( 1) ( 1) 8
x x y y x x m x m x

⇔ − + − = ⇔ − + + − + =

( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
(1 ) 8 (1 ) 4 8
m x x m x x x x
 
⇔ + − = ⇔ + + − =
 

2 2
(1 ) 4 4(4 ) 8
m m
 
⇔ + − − =
 

3 3 2
4 4 8 2 0 ( 1)( 2) 0
m m m m m m m
⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − + + =


m = 1 (Thỏa mãn (1))
ðáp số
: m = 1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn