Vật lí Laser - Ma trận truyền tia trong môi trường tương tự thấu kính

MA TRẬN BIẾN ĐỔI CHÙM TIA
TRONG MÔI TRƯỜNG TƯƠNG
TỰ THẤU KÍNH
Học viên: Đào vân Thuý
Lớp: CH.Vật lý ứng dụng k18


Nội dung
•
Lý do khảo sát.
•
Ma trận ABCD.
•
Chùm Gauss.
•
Môi trường tương tự thấu kính.
•
Ma trận biến đổi chùm tia trong môi
trường tương tự thấu kính.
•
Sự lan truyền tia gần trục.

Lý do khảo sát.
•
Khảo sát sự lan truyền chùm tia laser trong sợi quang loại GI.
•
Sự lan truyền của chùm laser có công suất cao khi truyền qua môi
trường có thể làm cho chiết suất của môi trường thay đổi
n(r)
n

1
n
2
n
2
n
2
Sù truyÒn ¸nh s¸ng trong sîi GI

Ma trận ABCD
121
MMMMM
nntot −
=
1 1
,x
θ
112
112
θθ
θ
DCx
BAxx
+=
+=
Trong đó
Ta có thể viết lại
2 2
,x
θ

Ví dụ: một tia truyền qua hệ
quang học gồm không gian tự do
có hiệu quang lộ là d và thấu kính
có tiêu cự f:




Chùm Gauss
( )
( )












−+−+−







=
2
22
0
0
21
2
yexpuz)y,,(
ω
ϕ
ω
ω
k
i
R
ik
xkzixu
Sự phân bố biên độ của chùm Gauss lan
truyền gần trục quang học có dạng tổng
quát:
Trong đó:
0
ω
A
=
:bán kính cổ chùm .(tọa độ tại
đó z = 0)
)(
2

z
ω
:Độ rộng của chùm tại tọa độ z
dọc theo phương truyền.
R: bán kính cong của mặt sóng.

Môi trường tương tự thấu kính






+−=






−=
)y(
2
1
1
2
1
1nz)y,,(
222
0

22
0
xnrxn
αα

Ma trận biến đổi chùm tia trong môi
trường tương tự thấu kính
Đầu tiên ta xét một lớp vô cùng mỏng của môi trường có độ dày là
Lớp mỏng đó có lộ trình quang học rút gọn là
z
δ
0
n
z
δ
Ma trận truyền tia của của lớp mỏng đó phải bằng tích của hai ma trận:










=
10
1
)(

0
n
z
zT
δ
δ










− 1
01
)(
2
0
zn
zR
δα
δ
và ma trận
Đồng thời lớp mỏng đó cũng là một môi trường có chiết suất thay
đổi

)()()( zRzTzM

δδδ
=










10
1
0
n
z
δ










−
1

01
2
0
zn
δα












−
−
1
)(1
2
0
0
2
zn
n
z
z
δα

δ
αδ
=
=

Đặt k
=






=
2
sin2,
0
θ
αδα
zn

M























−






−
=
1
2
sin2
2
sin2
1cos2
)(

θ
θ
θ
δ
k
k
z

z
δ
)( zM
δ
Ta xem môi trường này gồm p hệ quang học có ma trận truyền tia
ghép lại. Vậy ma trận truyền tia với lớp có độ dày hữu hạn L = p.

là:

)()( zMLM
p
δ
=
=
p
M













−−
−+
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
sin
)1sin(sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin)1sin(
ppDpC
pBpDp
M = có vết của ma trận A+D =2cos. Tức là ma trận này có giá trị
riêng dạng e mũ và có định thức bằng 1 thì theo lý thuyết ma trận ta
có:
Thế A, B, C, D vào ta suy ra được



















−
+






−
−
−
θ

θθ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
θ
sin
)cos1(sin
cos
2
cos
sin
)
2
cos(
sin
sin
)cos1(sin
cos
p
p
pk
k
pp
p
=
p

M

z
δ
∞
z
δ
Khi
-> 0 còn p -> sao cho p = L = const thì
θ θ
α
-> 0 còn p =
L = const







2
θ
-> 1. vậy cuối cùng ta có:
θ
θ
sin
)cos1(
−
có thể bỏ qua còn cos
Khi đó:











−
θθ
θ
θ
ppk
k
p
p
cossin
sin
cos
0
0
sin
cos
sin cos
L
L
n
n L L

α
α
α
α α α
 
 
 
 
−
 
=
M(L)
=
α
π
2
Cứ mỗi khoảng L =
Ma trận lại sẽ quay về ma trận đơn
vị.
α
π
Khi L = ma trận sẽ trùng với ma trận truyền tia của hệ tiêu điểm xa có hệ số
khuếch đại ngang bằng -1.
α
0
1
n
f =
α
π

2
Khi L = ma trận sẽ trùng với ma trận truyền tia giữa hai mặt phẳng tiêu điểm
của hệ thấu kính có tiêu cự
Nhận xét

Sự lan truyền tia gần trục
=






=






0
0
V
)(
)(
)(
x
zM
zV
zx

















−
y
V
x
zzn
n
z
z
0
0
0
0
cossin
sin

cos
ααα
α
α
α
Đối với tia vào gần trục bất kì ta có ma trận biến
đổi tia:
zn
zxzx
o
αα
α
sin-xV(z)
)cos()(
0
0
=
=
Nếu tia truyền song song với trục thì ta có:


θ
o
n
zV
z
)(
)(
=
θ

Trong đó V = nsin suy ra
Hay
)sin()(
0
zxz
ααθ
−=
Từ đây ta suy ra rằng:
Khi z =

2
3
,
2
α
π
α
π
thì x(z) = 0 đây là vị trí tại cổ chùm.

2
,
α
π
α
π
)(z
θ
Khi z =
thì = 0, tức là tia song song với trục quang học.

n(r)

KẾT THÚC
Cảm ơn sự chú ý của Thầy và các bạn