Mô hình hóa vết nứt phân tán trong dầm bêtông cốt thép bằng phương pháp phần tử hữu hạn

THUYẾT TRÌNH BÀI BÁO CƠ HỌC RẠN NỨT
GVHD: TS. NGUYỄN MINH LONG
NHÓM 1:

Tên bài báo
Mô hình hóa vết nứt phân tán trong dầm Bêtông cốt thép
bằng Phương pháp Phần Tử Hữu Hạn
1. GIỚI THIỆU:
-Bê tông cốt thép trở thành một trong những loại vật liệu kết cấu quan trọng nhất trong thế kỷ vừa qua và ngày càng được sử dụng một cách rộng rãi trong các
lĩnh vực khác nhau của xây dựng. Do khả chịu kéo thấp, nên kết cấu bê tông bị nứt ngay cả khi nó chịu tải trọng ở mức độ thấp, điều này gây ra sự giảm của độ
cứng và làm thay đổi sự phân phối ứng suất ở bên trong , và kết quả là kết cấu bộc lộ trạng thái ứng xử phi tuyến.
-Mô hình vết nứt là chủ đề phức tạp khi liên kết với vấn đề bất liên tục của trường chuyển vị. Trong mô phỏng số cho dầm bê tông cốt thép bằng phương pháp
PTHH, có 3 khuynh hướng khác nhau được phát triển để miêu tả cho vết nứt: mô hình vết nứt đơn, vết nứt phân tán và, mô hình hợp nhất.
-Mô hình vết nứt đơn được dựa trên ý tưởng là tính toán trên một phần của vật rắn vẫn còn liên tục và không bị phá hủy, vì thế trong suốt quá trình hình thành
và phát triển của vết nứt hiện hữu, các cạnh của nó hợp nhất với đường biên của vật rắn .Vết nứt được mô hình hóa bằng trường chuyển vị bất liên tục ở giữa
những phần tử hửu hạn và nó phải phát triển dọc theo biên, việc này gây ra sự hạn chế trong phương lan truyền. Ứng dụng của những mô hình này được giới
hạn trong nghiên cứu những vấn đề bao gồm sự tiến triển của một vài vết nứt, việc áp dụng mô hình này đối với hầu hết các kết cấu bê tông cốt thép còn bị hạn
chế.
1. GIỚI THIỆU
-Trong mô hình vết nứt phân tán, vật liệu bị nứt được xem như liên tục và sự bất liên tục trong trường chuyển vị do vết nứt gây ra được trải rộng băng qua các
phần tử bằng cách thay đổi phương trình cơ bản. Mặc dù nghiên cứu thành công trên hầu hết kết cấu bê tông cốt thép, một trong những khuyết điểm của mô
hình này là rất khó nghiên cứu về tình trạng vết nứt cục bộ cũng như là vấn đề về độ nhạy có liên quan đến sự chia lưới trong phần tử hửu hạn.
- Giai đoạn sau, mô hình vết nứt hợp nhất xuất hiện, nó hợp nhất khía cạnh hữu ích của của 2 khuynh hướng trước: không cần phải định nghĩa lại hệ lưới(nhược
điểm trong mô hình vết nứt đơn) và kết quả thu được độc lập với việc chia lưới phần tử hửu hạn (mô hình vết phân tán). Mô hình này dựa trên khái niệm của sự
hợp nhất bất liên tục trong phần tử hửu hạn tiêu chuẩn.
2. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN:
-Kể từ khi được sử dụng trong kết cấu bê tông cốt thép, phương pháp PTHH mang đến nhiều thuận lợi cho việc miêu tả vết nứt bằng cách thay đổi phương trình
cơ bản (mô hình vết nứt phân tán) thay vì thay đổi lưới phần tử hửu hạn (mô hình vết nứt đơn). Phân tích đầu tiên dựa trên ý tưởng phá hoại dòn, có nghĩa là độ
cứng vật liệu bằng 0 theo hướng của ứng suất kéo lớn nhất khi ứng suất kéo lớn hơn giới hạn chịu kéo.
- Sau đó, người ta thấy rằng có thể đạt được các kết quả tốt hơn ở giai đoạn sau khi ứng suất đạt đỉnh bằng cách áp dụng đường giảm dần của ứng suất. Để miêu
tả cho ứng xử đó, biểu đồ ứng suất- biến dạng được xác định bằng những giá trị thực nghiệm, và sau đó, một vài mô hình được đề xuất (Cedolin e Dei Poli [1],

Bazant và Gambarova [2], Gupta và Maestrini [3], Vecchio [4]).
2. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN
-Mặc dù đã được áp dụng thành công để mô tả ứng xử của kết cấu bê tông cốt thép khi đưa ra mô hình vết nứt tốt, khi sử dụng để mô phỏng kết cấu có ứng xử
chịu ảnh hưởng lớn do vết nứt (bê tông không cốt thép hoặc dầm cao), những mô hình đó bộc lộ một số khuyết điểm. Một trong ngững khuyết điểm là độ nhạy
của hệ lưới gây ra do việc không xem xét đến một số quan điểm của Cơ học rạn nứt. Vì thế, cần thiết phải áp dụng quan điểm của Cơ học rạn nứt một cách trực
tiếp trong việc phân tích kết cấu bê tông, tạo ra một loạt các mô hình mới (Bazant and Cedolin [5], Bazant and Oh [6], Feestra and de Borst [7]).
- Rots and Blaauwendraad [8] đưa ra nghiên cứu so sánh giữa hai mô hình vết nứt đơn và vết nứt phân tán. Nghiên cứu này đưa ra ý tưởng chia mô hình vết nứt
phân tán thành mô hình cố định và mô hình xoay. Trong mô hình cố định, hướng của vết nứt không thay đổi trong suốt quá trình tính toán , trong khi đó, với
mô hình xoay, hướng của vết nứt có thể thay đổi, dựa trên hướng chính. Có một phương án trung gian, đó là khái niệm mô hình vết nứt phân tán cố định đa
chiều.
Có những mô hình dựa trên lý thuyết dẻo, là mô hình có thể biểu diễn tốt những giai đoạn trước đỉnh và sau khi đạt giá trị lớn nhất, bao gồm một mô hình cơ
bản và một tiêu chuẩn phá hủy được đưa ra bởi Ottosen [9] and Pramono and Willam [10]
- Có những mô hình dựa trên lý thuyết dẻo, là mô hình có thể biểu diễn tốt những giai đoạn trước đỉnh và sau khi đạt giá trị lớn nhất, bao gồm một mô hình cơ
bản và một tiêu chuẩn phá hủy được đưa ra bởi Ottosen [9] and Pramono and Willam [10]
2. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN
3. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG DIANA
- Chương trình DIANA– phiên bản 9.1 được dùng để đánh giá sự làm việc của những mô hình vết nứt phân tán khác nhau. DIANA là một phần mềm phần tử
hửu hạn dựa trên phương pháp chuyển vị để phân tích phi tuyến kết cấu bê tông, nó được phát triển từ năm 1972 bởi Delft University of Technology tại Hà Lan.
- Mô hình vết nứt phân tán được định nghĩa thông qua sự kết hợp của ba yếu tố: tiêu chuẩn phá hoại (hằng số hay tuyến tính), sự chuyển cắt qua vết nứt (toàn
bộ, hằng số hay là biến số) và ứng xử mềm hóa của vật liệu (giòn, tuyến tính, đa tuyến tính hay phi tuyến). Để tạo khả năng kết hợp của mô hình vết nứt với ứng
xử dẻo của vật liệu, biến dạng tổng ε, được tách thành 2 phần, một là biến dạng đàn hồi, ε
e
, hai là biến dạng nứt ε
cr
. Trong định nghĩa của mô hình cơ bản , tiêu
chuẩn để bắt đầu một vết nứt mới và mối quan hệ ứng suất – biến dạng cần phải được thiết lập.
- Để bắt đầu một vết nứt, cần có hai yêu cầu sau: ứng suất chính phải lớn hơn ứng suất giới hạn, và trong trường hợp có một vết nứt trước đó, góc giửa vết nứt
hiện hữu và ứng suất kéo chính phải lớn hơn góc vết nứt ban đầu . Về mô hình ứng suất biến dạng, mối quan hệ ứng suất- biến dạng trong hướng vuông góc với
vết nứt được biểu thị bởi:
3. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG DIANA

Trong đó f
t
là cường độ kéo của bê tông, và biến y là hàm đặc trưng cho biểu đồ mềm hóa của vật liệu. Biến dạng giới hạn ε
ult
được giả định là hằng số, có thể
tính được từ cường độ kéo bê tông f
t
, năng lượng phá hủy G
f
và diện tích phần tử (được đặc trưng bởi chiều dài tương đương h):

Trong đó :
Năng lượng phá hủy G
f
được tính toán bằng 2 cách: cách đầu tiên dựa vào mô hình CEB-FIP [11] và cách thứ hai dựa vào quy luật của nhánh mềm hóa và
nhánh tái bền của bê tông. Khả năng khác được dùng trong quy luật hóa mềm-tái bền với mô hình lưu biến trong lý thuyết dẻo. Trong số các mô hình vết nứt
phân tán có sẵn trong DIANA, có các mô hình sau: cố định , đa chiều và mô hình xoay. Trong bài báo này, chỉ mô hình vết nứt phân tán đa chiều được sử dụng.
3. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG DIANA
3.1 Mô hình vết nứt phân tán đa chiều
- Mô hình vết nứt phân tán đa chiều được biết đến như ứng xử trung gian giữa mô hình cố định và mô hình xoay. Mô hình này cho phép có nhiều vết nứt đi qua
cùng 1 điểm và căn cứ vào tham số gọi là “góc giới hạn”, ta có thể thu được mô hình cố định hoặc mô hình xoay. Tham số này mô tả góc giữa vết nứt có sẵn và
một vết nứt khác được hình thành tại cùng một điểm và giá trị tiêu chuẩn của nó là 60
0
. Nếu tham số này được thay đổi thành 90
0
thì ta thu được mô hình cố
định, nếu thay đổi đến 0
0
thì ta thu được mô hình xoay.
- Trong bài này, sử dụng tham số tiêu chuẩn định nghĩa trong DIANA. Mô hình vết nứt phân tán đa chiều cho thấy một vài sự khác nhau trong mối quan hệ đến

mô hình cố định, một trong số đó là: Các mô hình bê tông khác nhau cho ứng suất kéo, phương án có gia tăng hay không độ cứng theo phương ngang và khả
năng sử dụng mô hình ứng suất biến dạng có nguồn gốc từ lý thuyết dẻo. Ứng xử của bê tông chịu ứng suất kéo có thê được định nghĩa bằng 2 hình thức khác
nhau: hằng số và tuyến tính.
3. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG DIANA
•
Hằng số: thừa nhận giá trị độ bền chịu kéo là hằng số và xem một vết nứt bắt đầu xuất hiện nếu ứng suất kéo chính lớn nhất lớn hơn độ bền chịu kéo của
bê tông.
•
Tuyến tính: thừa nhận biến thiên tuyến tính và xem một vết nứt mới bắt đầu xuất hiện nếu ứng suất kéo chính lớn hơn giá trị nhỏ nhất giữa f
t
và
f
t
(1+σ
lateral
/f
c
), trong đó σ
lateral
là ứng suất ngang chính và f
c
là độ bền chịu nén của bê tông.
- Trong mô hình vết nứt phân tán, tham số β được sử dụng, đây là tham số giảm độ cứng theo phương ngang của vật liệu được gọi là “ hệ số lực cắt dự trữ”. Do
đó độ cứng chống cắt có thể được trình bày như sau:
- Tham số β có giá trị từ 0 đến 1. Khi giá trị này tiến tới 0, độ cứng chống cắt của bê tông đạt được là rất nhỏ và trong trường hợp ngược lại, khi giá trị này bằng
1, độ cứng chống cắt bằng vô hạn và nó sẽ ngăn cản sự hình thành vết nứt theo hướng này. Dựa trên đề nghị từ các nguồn nghiên cứu khác, các ví dụ số trong
bài báo này được phân tích bằng cách sử dụng hệ số β =0.2. Trong mô hình vết nứt phân tán đa chiều có thể sử dụng tiêu chuẩn dẻo cho vật liệu như: Tresca,
von Mises, Mohr-Coulomb hoặc Drucker-Prager, và có thể chọn ứng xử kéo của bê tông có nhánh giảm bề. Một số các quy tắc làm mềm khác nhau của các vật
liệu có sẵn trong DIANA là: giòn, tuyến tính, phi tuyến được đề nghị bởi Moelands-Reinhardt và Hordijk, xem Hình 1.
- Ứng xử giòn được đặc trưng bởi sự giảm của ứng suất tổng sau khi đạt đến tiêu chuẩn phá hủy. Ứng xử này có thể được mô tả bằng biểu thức sau đây:

3. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG DIANA
3. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG DIANA
- Trong trường hợp mô hình mềm tuyến tính, quan hệ ứng suất biến dạng trong vết nứt được định nghĩa theo biểu thức sau:
- Hai mô hình phi tuyến khác vẫn có thể áp dụng được. Mô hình mềm hóa của Moelands-Reinhardt sử dụng quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng được
trình bày trong phương trình sau đây với hệ số c
1
được lấy với giá trị không đổi là 0.31:
- Một mô hình phi tuyến khác được đưa ra trong DIANA là mô hình của Hordijk, nó sử dụng quan hệ hàm số mũ giữa ứng suất pháp chịu kéo và biến dạng, với
hệ số c
1
và c
2
được lấy giá trị tương ứng là 3.0 và 6.93 theo phương trình sau:
3. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG DIANA
- Mô hình đa chiều có sẵn trong DIANA được đặc trưng bởi mô hình hóa vật liệu kết hợp mô hình vết nứt phân tán (giòn, tuyến tính, hàm số mũ…) với mô hình
chảy dẽo chịu nén, trong đó nó có thể sử dụng mô hình phá hủy truyền thống như: Tresca, Von Mises, Mohr-Coulomb hoặc Drucker-Prager.
- Mô hình ứng suất biến dạng cho cốt thép là mô hình đàn dẽo hoàn hảo. Bằng cách sử dụng mô hình này, ứng suất trong cốt thép có thể được xác định bởi
phương trình (9) và (10), trong đó f
y
là ứng suất chảy dẽo, E
s
là module đàn hồi, và ε
s
là biến dạng cốt thép:
3. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG DIANA
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
- VecTor2 là một phần mềm phần tử hữu hạn sử dụng trong phân tích kết cấu bê tông cốt thép 2 chiều, nó được phát triển bởi trường đại học Toronto từ năm
1990. Phần mềm đã được phát triển song song với việc thực hiện một loạt các thử nghiệm kiểm tra để dự đoán tốt hơn ứng xử của nhiều loại kết cấu bê tông cốt
thép.
- Cơ sở lý thuyết của VecTor2 là lý thuyết MCFT- lý thuyết trường nén được hiệu chỉnh, được phát triển bởi Vecchio và Collins [12] và mô hình DSFM- mô hình

trường ứng suất phân nhiễu loạn, được phát triển sau đó bởi Vecchio [4]. Những công thức này là các mô hình phân tích để dự đoán phản ứng của các phần tử
bê tông cốt thép, xem phần bê tông bị nứt như một vật liệu trực hướng với các vết nứt phân tán xoay. Các khái niệm chính của MCFT và DSFM sẽ được giải
quyết trong các phần kế tiếp.
4.1. Lý thuyết trường nén được hiệu chỉnh (MCFT)
- MCFT là một mô hình phân tích đại diện các ứng xử của kết cấu bê tông cốt thép 2 chiều được rời rạc hóa bằng các phần tử màng chịu tác dụng của ứng suất
pháp và ứng suất tiếp, như Hình 2. Mô hình này đánh giá ứng suất và biến dạng trung bình (trong khu vực giữa các vết nứt) và ứng suất và biến dạng cục bộ
của bê tông và cốt thép, cũng như chiều rộng và hướng của các vết nứt trong suốt quá trình gia tải, dựa trên thông tin này, mode phá hủy của phần tử có thể
được xác định.
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
- Việc mô hình hóa phần tử bê tông nứt được thực hiện bằng cách sử dụng vật liệu trực hướng và một mô hình vết nứt phân tán xoay. Nói cách khác, bê tông
nứt được xử lý như một môi trường liên tục với các vết nứt phân tán cắt ngang phần tử màng. Các vết nứt phân tán có thể bị thay đổi hướng và luôn luôn có
mối liên hệ với sự thay đổi hướng của trường ứng suất chính. MCFT được dựa trên 3 nhóm quan hệ:
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
* Quan hệ tương thích đối với biến dạng trung của bê tông và cốt thép.
* Quan hệ cân bằng của ứng suất trung trong bê tông và cốt thép.
* Quan hệ về ứng suất biến dạng của bê tông đã nứt và cốt thép.

- Một số các giả thuyết đã được thừa nhận trong việc xây dựng MCFT như sau: cốt thép phân bố đều, ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng phân bố đều, liên kết bám
dính hoàn toàn giữa bê tông và cốt thép, vết nứt phân bố đều và vết nứt xoay, hướng của ứng suất và biến dạng chính là trùng nhau
4.1.1 Phương trình tương thích trong lý thuyết MCFT
- Phương trình hệ tương thích MCFT được thiết lập từ biến dạng trung bình trong các thành phần bê tông và cốt thép như Hình 3. Dựa trên giả thuyết bám dính
hoàn hảo, biến dạng trung bình trong bê tông (ε
c
) bằng với biến dạng trung bình của thép (ε
s
). Một số thành phần và hướng cốt thép có thể được xem xét trong
MCFT, với việc xem xét phần tử màng trực giao với cốt thép như Hình 2, phương trình tương thích viết dưới dạng:
- Với một giá trị biến dạng cắt γ
xy
, ta có thể tính được biến dạng kéo chính trung bình và biến dạng nén chính trung bình của BT, cũng như xác định hướng của

trục biến dạng và ứng suất kéo chính trung bình bằng cách sử dụng vòng tròn Mohr :
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
4.1.2 Phương trình cân bằng trong MCFT
- Xét sơ đồ vật thể tự do của phần tử màng trong Hình 4, thông qua cân bằng lực theo phương x
và y, ứng suất pháp tác dụng lên tấm σ
x
, σ
y
phải cân bằng với ứng suất pháp trong bê tông f
cx
,
f
cy
và với ứng suất của thép f
sx
& f
sy

- Cân bằng moment thì ứng suất cắt tác dụng lên tấm là τ
xy
bằng với ứng suất cắt trung bình
trong bê tông τ
cxy
. Do đó, phương trình cân bằng cho ứng suất trung bình có thể được biểu
diễn bằng phương trình sau, với ρ
sx
và ρ
sy
là hàm lượng cốt thép theo phương x và y:
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2

- Do bê tông bị nứt là trực hướng với ứng suất chính, vòng tròn Mohr có thể được sử dụng để lập mối quan hệ giữa ứng suất trung bình của bê tông f
cx
, f
cy
và
ứng suất kéo chính trung bình của bê tông f
c1
:
4.1.3 Liên hệ ứng suất biến dạng trong MCFT
- Dùng 30 tấm 890x890x70 mm đem thí nghiệm và kết quả đã được phân tích và phát triển mô hình ứng suất biến dạng để có thể mô tả ứng xử của của bê tông
đã nứt khi chịu nén và chịu kéo.
- Quan hệ ứng suất biến dạng của bê tông chịu nén lập ra mối liên hệ giữa ứng suất nén chính f
c2
và biến dạng nén chính ε
c2
. Thí nghiệm trên các tấm đã cho
thấy rằng cường độ chịu nén và độ cứng giảm đi khi biến dạng kéo chính ε
c1
tăng lên. Hiện tượng này, được gọi là hiện tượng mềm hóa, được tích hợp thông
qua giảm độ cứng trong đường cong ứng suất- biến dạng của bêtông:
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
- Thành phần tử số là một hàm parabol của Hognestad, được xác định bằng thí nghiệm bê tông chịu nén đơn trục, thông thường được sử dụng cho bê tông
cường độ thường. ε
0
tương ứng với biến dạng do f
c
’gây ra, được xác định từ kết quả nén đơn trục.
- Mẫu số phản ánh hiệu ứng giảm bền. Đối với bê tông chịu kéo, trước tiên cần phải xác định giá trị cường độ gây nứt đơn trục của bê tông f
t
’ và giá trị biến

dạng kéo tương ứng, ε
cr
bằng các công thức sau :
E
c
: Độ cứng tiếp tuyến ban đầu của bê tông, được xác định bằng công thức:
- Trước khi nứt, trạng thái đàn hồi tuyến tính trong bê tông chịu kéo. Do đó, sau khi nứt, ứng suất kéo có thể tồn tại trong bê tông giữa các vết nứt do lực dính
tương tác giữa bê tông và cốt thép. Để mô hình hóa hiện tượng này,MCFT đề xuất công thức sau:
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
- Đối với cốt thép chịu nén và chịu kéo, MCFT sử dụng mối quan hệ song tuyến tính để liên kết ứng suất và biến dạng trung bình. Việc mô hình hóa vết nứt
trong DIANA đã được thực hiện bằng cách này.
E
s
: modul đàn hồi; F
s
yield
: giới hạn chảy của thép
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
4.1.4. Điều kiện về nứt cục bộ trong Lý thuyết về trường nén sửa đổi (MCFT)
Nếu cho trước một biến dạng trung bình thỏa điều kiện tương thích, thì có thể sử dụng mối liên hệ về ứng suất biến dạng để xác định ứng suất trung bình trong
bê tông và cốt thép, cũng như ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng vào kết cấu. Tuy nhiên, không nên bỏ qua khả năng kết cấu có thể bị ảnh hưởng bởi sự
dẻo cục bộ của cốt thép tại vết nứt hay sự phá hoại trượt dọc theo vết nứt. Để xét đến những khả năng này, lý thuyết về trường nén sửa đổi đưa ra các giới hạn về
ứng suất cục bộ tại vết nứt và ứng suất kéo trung bình của bê tông.
Trường ứng suất trong BTCT sẽ khác nhau khi được tính toán dựa trên giá trị trung bình tại khu vực nằm giữa các vết nứt và khi tính toán cục bộ tại vết nứt.
Để hiểu rõ hơn về vấn đề này, Hình 5(a) mô tả các ứng suất trung bình tại mặt cắt nằm giữa các vết nứt và Hình 5(b) trình bày ứng suất cục bộ tại bề mặt tự do
của vết nứt. Lập phương trình cân bằng tĩnh học giữa ứng suất cục bộ và ứng suất trung bình theo phương vuông góc với vết nứt, ta có kết quả sau:

trong đó: f
scrx
và f

scry
là ứng suất cục bộ trong cốt thép tại vết nứt
θ
nx
và θ
ny
là góc giữa phương pháp tuyến vết nứt và cốt thép.
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
Xét công thức (27), ứng suất kéo trung bình của bê tông phải được giới hạn bởi sự chảy dẻo của cốt thép như sau:
Trong mặt phẳng chính không có ứng suất cắt và do đó Hình 5(a) không có ứng suất cắt. Tuy nhiên, do cốt thép thường nằm xiên góc với vết nứt nên tại mặt
phẳng nứt sẽ tồn tại ứng suất cắt cục bộ τ
ci
. Thông qua phương trình tĩnh học của ứng suất trung bình và ứng suất cục bộ theo phương tiếp tuyến với bề mặt vết
nứt, ứng suất cắt cục bộ có thể được xác định bằng công thức sau:
Tuy nhiên, ứng suất cắt cục bộ bị giới hạn bởi tác động khóa chèn cốt liệu, tác động này giảm đi khi bề rộng vết nứt (w) tăng lên và khi kích thước cốt liệu (a)
giảm đi. Dựa trên nghiên cứu về cơ chế khóa chèn của cốt liệu được phát triển bởi tác giả Walraven, Lý thuyết về trường nén sửa đổi thiết lập một giới hạn đối
với ứng suất cắt trên vết nứt:
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
4.2 Mô hình trường ứng suất nhiễu loạn (DSFM)
DSFM là sự mở rộng của MCFT với mục đích để xử lý những khiếm khuyết của MCFT. Ví dụ như trong các cấu kiện có ít cốt thép, khi đó sự trượt dọc theo vết
nứt là đáng kể, sự xoay của trường ứng suất có khuynh hướng tạo ra một sự khác biệt nào đó với sự xoay của trường biến dạng. Trong những trường hợp này,
nếu tính toán theo MCFT với giả thiết là phương của ứng suất chính và biến dạng chính là trùng nhau thì độ cứng và cường độ tính được là dư. Mặt khác, các
cấu kiện trong đó phương chính của trường ứng suất và biến dạng có không trùng nhau thì tính theo MCFT thông thường giá trị cường độ và độ cứng được ước
lượng thiếu.
DSFM về khái niệm là tương tự như MCFT, tuy nhiên nó mở rộng MCFT ở nhiều khía cạnh. Trước tiên, DSFM mở rộng phương trình tương thích của MCFT
để xét đến sự trượt tại vết nứt. Hơn nữa, DSFM tách biệt hướng của ứng suất chính và biến dạng chính. Bằng cách tính toán một cách rõ ràng biến dạng trượt
tại vết nứt, DSFM loại bỏ việc phải kiểm tra ứng suất cắt.Những sự thay đổi về tính toán mối liên hệ ứng suất- biến dạng của bê tong và cốt thép cũng được giới
thiệu.
4.2.1 Mối quan hệ tương thích trong DSFM
Mặc dù MCFT thừa nhận rằng phương của ứng suất chính và biến dạng chính trùng nhau, nhiều thí nghiệm thực nghiệm chứng tỏ rằng giả thiết này không

phải luôn luôn đúng sau khi xuất hiện vết nứt. Các kết quả thực nghiệm chứng tỏ rằng trường biến dạng chính thông thường sẽ phải thay đổi hướng của nó ở tốc
độ lớn hơn trường ứng suất chính.
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
Hiện tượng này có thể được cho là thuộc tính của cách thức xác định trường ứng suất và biến dạng.
Biến dạng đo được là tổng các biến dạng trung bình trong bê tông đã nứt (Hình 2) và biến dạng trượt
gây ra do sự trượt dọc theo vết nứt như trong Hình 6.
Đề mô tả ứng xử này, DSFM định nghĩa biến dạng tổng ε
x
, ε
y
và γ
xy
là tổng của biến dạng thực
trong bê tông ε
cx
, ε
cy
và γ
cxy
và biến dạng trượt ε
x
s

, ε
y
s
và γ
xy
s
.

4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
Biến dạng thực chính chịu kéo trong bê tông (ε
c1
) và biến dạng thực chính chịu nén trong bê tông (ε
c2
) có thể được tính toán dựa trên vòng tròn Mohr:

Thành phần biết dạng trượt tại vết nứt ε
x
s

, ε
y
s
và γ
xy
s
có thể được tính toán từ biến dạng trượt trung bình tại vết nứt γ
s
. Nó bằng biến dạng trượt tại vết nứt δ
s

chia cho khoảng cách trung bình giữa các vết nứt, s, dựa theo công thức sau:


Phương chính của biến dạng thực trong bê tông θ và phương chính của ứng suất trong bê tông θ
σ
so với trục x có thể được xác định từ vòng tròn Mohr với các
thanh phần biến dạng của bê tông như sau:
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2

Phương chính của biến dạng thực trong bê tông θ và phương chính của ứng suất trong bê tông θ
σ
so với trục x có thể được xác định từ vòng tròn Mohr với các
thanh phần biến dạng của bê tông như sau:

Tương tự, phương chính của trường biến dạng tổng θ
ε
có thể được xác định từ các thành phần biến dạng tổng:

Mặc dù trong phương pháp DSFM, có thể sử dụng nhiều thành phần và hướng cốt thép, nếu xét đến phần tử màng gia cường trực hướng và giả thiết sự kết dính
là hoàn toàn thì biến dạng trung bình trong thành phần cốt thép theo phương x và y sẽ bằng với biến dạng tổng:
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2
4.2.2 Phương trình cân bằng trong DSFM
Xét phần từ màng có cốt thép trực giao, mối quan hệ cân bằng của DSFM được xác định giống như phần trước của MCFT, đó là

Tương tự, công thức DSFM cũng kết hợp các mối quan hệ cân bằng ứng suất cục bộ tại vết nứt

Ứng suất kéo trung bình của bê tông phải giới hạn bởi ứng suất chảy dẻo của bê tông cốt thép trải qua nứt

Tuy nhiên, giống với MCFT, ứng suất kéo không chịu giới hạn của ứng xuất cắt vết nứt, bởi vì biến dạnttổng hợp DSFM phụ thuộc vào độ trượt do cắt, thay vì
áp đặt giới hạn ứng suất tương ứng với phá hoại trượt do cắt.
4. MÔ HÌNH VẾT NỨT PHÂN TÁN TRONG VecTor2