Proceedings VCM 2012 45 điều khiển ổn định thích nghi ISS cho ổ đỡ từ tích cực hai bậc tự do

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 339


Mã bài: 75
Điều khiển ổn định thích nghi ISS cho ổ đỡ từ tích cực hai bậc tự do
được mô tả dưới dạng phương trình Euler - Lagrange
ISS adaptive control for two degree of freedom active magnetic bearing
which are modeled the system in Euler – Lagrange equation
Phạm Văn Thiêm
Nguyễn Thị Thanh Quỳnh
Nguyễn Doãn Phước
ĐH KTCN Thái Nguyên ĐH KTCN Thái Nguyên ĐHBK Hà Nội

Tóm tắt
Hệ thống ổ đỡ từ tích cực (AMB) sử dụng các lực từ để hỗ trợ chuyển động của trục quay mà không cần có tiếp xúc
cơ học. Do vậy, đây là hệ mất ổn định cố hữu nên cần thiết phải có một vòng điều khiển phản hồi để ổn định hóa hệ
thống. Các công trình nghiên cứu trước đây chủ yếu mô hình hóa hệ AMB dựa trên hệ không gian trạng thái tuyến
tính, phi tuyến [1,2,4]. Với mô hình đó việc xét đến ảnh hưởng của nhiễu tương đối khó khăn [4,5]. Chính vì vậy
trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu cách mô hình hóa hệ thống dưới dạng mô hình Euler – Lagrange (EL), sau đó
sử dụng phương pháp điều khiển ổn định thích nghi ISS để điều khiển hệ AMB khi có xét tới ảnh hưởng của nhiễu,
kết quả của phương pháp rất khả quan thể hiện qua các kết quả mô phỏng, qua đó mở ra khả năng ứng dụng vào thực
tế .
Abstract
The Active Magnetic Bearing (AMB) system uses the magnetic forces to support the movement of spindle without
mechanical contacting. This system is instable, so a feedback loop is necessary to stabilize the system. Formerly, the
other projects [1,2,4] have been modeled the AMB 2 DOF system in linear and nonlinear state space which is difficult
to consider disturbances in inputs [4,5] Therefore, this paper presents the modeling of the system in Euler – Lagrange
(EL) equation and applies ISS adaptive stabilization control for AMB system with current disturbances. The result of
this method is so satisfactory through the presentation result and it’s likely to be applied to the reality.

Ký hiệu

Ký hiệu Đơn vị Ý nghĩa
D C G
, ,


ma trận của mô hình


t
h


tạp nhiễu
F

N

l
ực điện từ

x y
N N
,


t
ổng momen th
ành ph
ần xung
quanh hai trục

x y
,
tương ứng

m

kg

trọng lượng rotor
rt
l

m

kho
ảng cách giữa gốc

c
ố định
và tâm khối rotor
i j k
J J J
, ,

kgm
2

momen quán tính trên tr
ục
i j k

, ,

i
K

N A
/

tỷ số lực điện từ - dòng điện
s
K

N A
/

tỷ số lực điện từ - chuyển vị


v t


tín hiệu bù nhiễu
K K
1 2
,


hai ma tr
ận đối xứng xác định
dương

x y
,
j j

rad

các v
ị trí góc nghi
êng tr
ục
k

so
với trục
z
khi chiếu lên các tr
ục
x
và
y

q


tham s
ố bất định

Chữ viết tắt
AMB Active Magnetic Bearing
EL Euler - Lagrange

ISS Input – State Stable

1. Phần mở đầu
Theo tài liệu [1], hệ thống AMB có ưu thế hơn vòng bi
cơ sử dụng trong động cơ điện làm việc trong các môi
trường đặc biệt. Do sử dụng các lực từ để hỗ trợ cho
chuyển động của trục quay mà không cần có tiếp xúc cơ
học nên công nghệ vòng bi từ mới này tạo ra một số các
ưu điểm nổi bật so với các loại vòng bi cơ thông thường.
Tuy vậy, đây là hệ thống mất ổn định cố hữu nên cần
thiết phải có một vòng điều khiển phản hồi để ổn định
hóa hệ thống. Thiết kế bộ điều khiển là công việc trọng
tâm trong thiết kế hệ thống AMB. Ở tài liệu [2], người ta
đã ứng dụng phương pháp tách kênh theo Falb-Wolovich
để thiết kế bộ điều khiển. Tuy nhiên đây lại là phương
pháp điều khiển tuyến tính, hơn nữa ở đó chưa xét tới các
yếu tố nhiễu


t
h
tác động. Do vậy, bài báo này sẽ giải
340 Phạm Văn Thiêm, Nguyễn Thị Thanh Quỳnh, Nguyễn Doãn Phước


VCM2012
quyết những hạn chế nêu trên bằng cách tổng hợp bộ điều
khiển trực tiếp với mô hình phi tuyến có để ý tới nhiễu
tác động.
2. Nội dung chính

2.1 Mô hình hóa hệ AMB
Hình 1 mô tả một trục rotor quay tại tốc độ góc
rm
w

xung quanh trục
k
. Hệ quy chiếu tĩnh gồm ba trục vuông
góc
x
,
y
và
z
. Hệ quy chiếu quay gồm ba trục vuông
góc
i
,
j
và
k
. Đầu cuối của trục rotor được gắn cố định
tại vị trí gốc của các trục tọa độ. Trục rotor của bộ AMB
có dạng trụ cứng, với chiều dài là
rt
l
. Dưới chế độ làm
việc bình thường, trục
k
và trục

z
gần như thẳng hàng
Khi ta xem xét chuyển động quay hình nón quanh trục
z

(chỉ có hiệu lực với các góc bé trong chuyển động quay
không gian ba chiều),
x
q
và
y
q
lần lượt là các vị trí góc
của góc nghiêng trục
k
so với trục
z
khi chiếu lên các
trục
x
và
y
.
i
J
và
k
J

lần lượt là moment quán tính

quanh trục quay
i
và
k
. Moment quán tính trên trục
j

bằng với moment quán tính trên trục
i
do cấu trúc đối
xứng của trục rotor. Nếu bỏ qua độ uốn cong của trục, ta
có các phương trình vi phân mô tả sự cân bằng moment
của chuyển động như sau [1].

i x rm k y x
i y rm k x y
J J N
J J N
q w q
q w q


  




 




 
 
(1)


k rt
rt x rm rt y x
i i
k rt
rt y rm rt x y
i i
J l
l l N
J J
J l
l l N
J J
q w q
q w q



   







 





 
 
(2)
Thành phần thứ nhất ở vế phải của hai phương trình trên
là các moment sinh ra do hiệu ứng hồi chuyển
(Gyroscopic effects). Các thành phần này có ảnh hưởng
lớn khi AMB làm việc với tốc độ quay lớn.





Ta có độ dịch chuyển của rotor theo phương
x
và
y
là:


rt y rt y y
rt x
rt x x
x l x l
y l

y l
sin cos
sin
cos
q q q
q
q q




 

 

 
 
 
 
 








(3)
và

rt y y y y
rt x x x x
x l
y l
2
2
cos sin
cos sin
q q q q
q q q q

 

 

 


 

 

  

 

 


 


 

(4)
Tổng các đại lượng moment thành phần xung quanh hai
trục
x
và
y
sẽ là:
x xg xi xd y rt s rt
rt
y yg yi yd x rt s rt
rt
mgh
N N N N y F l K yl
l
mgh
N N N N x F l K xl
l

     
     
(5)
trong đó
xg
N
và
yg
N

,
xi
N

và
yi
N
,
xd
N

và
xd
N
lần
lượt là các thành phần moment do trọng lượng
m
, dòng
điện
i
và chuyển dịch tương ứng lên các trục
x
và
y
.
Thay (5) vào (4) ta được phương trình động lực học như
sau:





i rt x rm k rt y s rt rt y
i rt y rm k rt x s rt rt x
J l J l mgh K l y l F
J l J l mgh K l x l F
2 2
2 2
q w q
q w q
    
   









 
 

(6)
Mối quan hệ vector lực điện từ biểu diễn cho bộ AMB là
[6]:

y
s i
x

F
F K q K i
F
 




   






 
,
trong đó


T
q y x
,
 vector độ dịch chuyển của rotor,


T
y x
i i i
,  vector dòng điều khiển cho AMB.

y sy
s i
x sx
iy y
ix x
y
F K
F K q K i
F K
x
K i
K i
0
0
0

0
      

 
   

 

 

 

 


 

 

 
 

 
   
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

(7)
Thay (6) vào (5), chia cả hai vế cho
i rt
K l
2

i rm k
rt x rt y y

i rt i rt i rt
i rm k
rt y rt x x
i rt i rt i rt
J J
mgh
l l y i
K l K l K l
J J
mgh
l l x i
K l K l K l
2 2 2
2 2 2
w
q q
w
q q





  







  





 
 


(8)

Tiếp theo thay (3), (4) vào (8) và biến đổi:
i i x rm k
y
i rt x i rt i rt y i rt
i rm k
x
i rt y i rt y i rt x i rt
J J J
mgh
y y x y i
K l K l K l K l
x
J
J J
mgh
i y
x x y x i
K l K l K l K l

2
2 3 3 2 2
2
2 3 3 2 2
2 sin
cos cos cos
sin
2
cos cos cos
q w
q q q
q
w
q q q





   









   






  
  

Viết lại dưới dạng mô hình EL có để ý tới nhiễu


t
h

tác
động, ta được:








D q q C q q q g q u t
,
h
   
  

(9)
trong đó:
H.
1

a): Các h
ệ tọa độ tĩn
h và quay c
ủa AMB

(b): Các hình chiếu tương ứng lên xoz và yoz
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 341


Mã bài: 75
   
 
i
i rt x
i rt
i
i rt
i rt y
i x rm k
i rt x i rt y
y
x
rm k
i rt

J
mgh
y
K l c
K l
D q g q
J
mgh
x
K l
K l c
J J
y
K l c K l c
i
u C q q
i
J
K l
2
2
2
2
3 3 2
2
0
os
, ,
2
0

os
sin
os os
, ,
q
q
q w
q q
w
 
 












 












 































 
 
 
 




 






 


i y
x i rt y
J
x
c K l c
2 3 3

sin
os os
q
q q
 































 


Vì
x y
,
q q
rất nhỏ nên có thể giả thiết
x y
q q
 . Khi đó ta
có:
   
T
x x
x
x
x rt x
D q D q y
c
l
'
2 3
sin sin
1

0;
os
cos cos
q q
q
q
q q
    
 









 



 




i x
i rt x
i

i rt y
T
J
y
K l
D q
J
x
K l
C q q C q q
3 3
3 3
2 sin
0
cos
2
0
cos
, ,
q
q
q



 
 




























 



 
(10)

Việc mô hình hóa hệ dưới dạng EL (9), (10) có những ưu
điểm sau:
Thứ nhất, việc mô hình hóa hệ AMB dưới dạng hệ
phương trình EL thuận tiện để áp dụng các phương pháp
điều khiển hiện đại như Li-Stoline, ISS, thích nghi động
học đảo
Thứ hai, khi mô hình hệ AMB không xét đến việc xấp xỉ




q q
sin
x y x y
như tài liệu [1]. Do vậy, so với mô hình
đã có ở tài liệu [1], mô hình được xây dựng trong bài báo
có mức độ chính xác cao hơn.
Thứ ba, Với mô hình (9) đã biểu diễn được các thành
phần phi tuyến trong hệ AMB, vậy không thể áp dụng
phương pháp tách kênh theo Falb-Wolovich [2].
Thứ tư, trong [2] không xét đến các tạp nhiễu tác động
lên đầu vào của hệ mà trong bài báo này xét đến. Các tạp
nhiễu này có thể do các tín hiệu ngoại sinh tác động vào
hệ hoặc có thể do thành phần sai lệch mô hình gây ra,
như vậy, nếu hệ có sai lệch mô hình ta có thể dồn vào
phần nhiễu


t
h

, hoặc ta sẽ bù phần sai lệch này bằng
các kỹ thuật như dùng mạng neural để ước lượng phần
sai lệch sau đó bù, hoặc ta có thể dùng một cơ cấu hiệu
chỉnh thích nghi theo nhiễu.
2.2 Thiết kế bộ điều khiển thích nghi ISS
Theo tài liệu [3], hệ Euler – Lagrang bậc
n
, và có nhiễu


t
h
tác động là hệ:








n
D q q C q q q g q u t q, ,h    
  

(11)
Giả thiết rằng các tham số của mô hình (11) trên là đã
biết. Khi đó, với bộ điều khiển phản hồi trạng thái:









d
u D q v t K e K e q
C q q q g q
1 2
,
 
     
 
 
 
 
 

trong đó,


v t
được xem như thành phần bù nhiễu,
d
e q q
 
là sai lệch giữa tín hiệu chủ đạo mong muốn



d
q t
và quỹ đạo


q t
thực của hệ, cũng như
K K
1 2
,
là
hai ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn, hệ kín sẽ
có mô hình sai lệch:







d
q v t K e K e q D q t
1
1 2
h

     
  








d
q q K e K e v t D q t
1
1 2
h

      
  

I
x x p Ax Bp
K K I
1 2
   
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 

 
 
   

(12)
trong đó

e
x
e
 











 


Để cho sai lệch


e t
bị chặn và tiến về một lân cận mong

muốn đủ nhỏ của gốc
0
, ta chọn
K K
1 2
,
dựa vào định lý
sau:
Định lý [3]: Xét hệ sai lệch (12) có


i
K diag k
1 1
 ,


i
K diag k i n
2 2
, 1,2, ,
  là hai ma trận đường chéo
với các phần tử trên đường chéo thỏa mãn
i i
k k i n
2
2 1
0, 1,2, ,
   . Ký hiệu



i i
i
k k
1 2
max ,l  và


i i i
i
k k k
2 2
1 2 1
min ,d   . Nếu
thành phần bù nhiễu


v t
được chọn để có


p t t
,
m
 
thì sai lệch (12) sẽ có miền hấp dẫn:


n
x x

2
}
lm
d
    (13)
Như vậy với tín hiệu bù nhiễu


v t
cũng như hai ma trận
K K
1 2
,
được chọn thỏa mãn định lý trên, mọi quỹ đạo


x t
của hệ sai lệch (12) cũng bị chặn và có hướng tiến
về lân cận gốc

xác định bởi (13).
Với định lý trên ta thấy thông qua việc chọn hai ma trận
xác định dương
K K
1 2
,
cũng như tín hiệu bù nhiễu


v t

một cách thích hợp, ta luôn có được sai lệch


x t

bị
chặn và tiến về một lân cận Ω đủ nhỏ của gốc
0
. Ngoài
ra, vì µ là số dương hữu hạn, nên ta cũng luôn luôn tìm
được hai ma trận
K K
1 2
,
thích hợp để lân cận

nhỏ tùy
ý, chẳng hạn như
i n
n
k k a
k k ab
1 1
21 2
0

   
  

trong đó
b a
1
 
sẽ có
342 Phạm Văn Thiêm, Nguyễn Thị Thanh Quỳnh, Nguyễn Doãn Phước


VCM2012




ab a b a a
2 2
, min , 1l d   
Do đó, khi chọn
a

, thì với
a a
ab
a
2
lim lim 0
l
d
 
 

sẽ có lân cận Ω (còn gọi miền hấp dẫn ISS) nhỏ tùy ý:


a
lim 0

 
Áp dụng định lý trên cho hệ EL (9), (10) ta có bộ điều
khiển ISS cho ổ đỡ từ
 
i
d
i rt x
i
d
i rt y
d d
d d
i x rm k
i rt x i rt y
i y
rm k
i rt x
J
y y
K l cos
u v t K
J
x x
K l cos

y y y
K
x x x
J sin J
y
K l cos K l cos
J sin
J
K l cos K
2
1
2
2
3 3 2
2
2
0
2
0
q
q
q w
q q
q
w
q
 
 
 


 

  
 

  
 

 


 

 

 
 
 
 
 

   


   

 

   





   

   
 


  
  

d
i rt
d
i rt
i rt y
mgh
y
y
K l
x mgh
x
x
K l
l cos
2
2
3 3
q

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 




2.3 Tính toán mô phỏng
Chọn tham số cho ổ đỡ từ như ở bảng sau:
Trọng lượng rotor (kg)
m
12.4


Khoảng cách giữa gốc cố định v
à
tâm khối rotor của AMB
rt
l h
0.21
 

Moment quán tính trên trục
k
(kg.m
2
)
k
J
3
6.88 10

 
Moment quán tính trên trục
i
và

j
(kg.m
2
)
i j
J J
1
2.22 10

  
Tốc độ của rotor (RPM)
10000

Tỷ số lực điện từ-dòng điện (N/A)

i
K
102.325

Tỷ số lực điện từ-chuyển vị (N/m)

s
K
5
4.65 10
  

Gia tốc trọng trường (kg.m/s2)
g
9.81



Chọn
a
50

và


v t
thỏa mãn điều kiện:

       
p t v t D q t
1
h m

  

ta có bộ điều khiển
 
i
d
i rt x
i
d
i rt y
d d
d d
i x rm k

i rt x i
J
y y
K l
u v t
J
x x
K l
y y y
x x x
J J
y
K l K
2
2
3 3
2
0
50 0
cos
2
0 50
0
cos
50.49 0
0 50.49
sin
cos
q
q

q w
q
 
 
 

   

 

   

  
 

   


 

   

   
 
 
 
 

     



     

 

     




     

     
 

  
  

rt y
d
i rt
i y
d
rm k
i rt
i rt x i rt y
mgh
y
l
y

K l
J
x mgh
J
x
x
K l
K l c K l c
2
2
2
2 3 3
cos
sin
os os
q
q
w
q q
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 




Hình 2 mô tả quỹ đạo bám của hệ AMB khi có bộ điều
khiển với
a
50

, sau một khoảng thời gian khoảng
s
0.1

bộ điều khiển đưa hệ AMB về tâm của rotor. Tín hiệu

điều khiển để hệ bám theo được tín hiệu đặt được mô tả
trong hình 3 và được minh chứng bằng sai lệch quỹ đạo
bám theo hai phương
x y
,
như hình 6. Hình 5 cho thấy
sai lệch


e t
và đạo hàm của sai lệch


de t
tiến về lân
cận gốc tọa độ trong một khoảnh thời gín đủ ngắn khoảng
s
0.06
chứng tỏ sự hội tụ của thuật toán.
.
H.2 Quỹ đạo bám của AMB

H.3 Dòng điện điều khiển
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 343


Mã bài: 75

H.4 Vận tốc dài của hệ AMB

H.5 Sai lệch e(t) và vận tốc de(t)


H.6 Sai lệch quỹ đạo bám

3. Kết luận
Để mô tả chính xác hơn cho mô hình của AMB hai bậc tự
do bài báo đã sử dụng phương pháp chuyển về biểu diễn
mô hình AMB dưới dạng hệ EL, trong mô hình này đã kể
đến tính phi tuyến và các nhiễu loạn đầu vào tác động lên
hệ. Với mô hình được biểu diễn dưới dạng EL chúng tôi
dễ dàng sử dụng phương pháp điều khiển ổn định thích
nghi ISS để điều khiển hệ AMB hai bậc tự do ổn định tại
gốc tọa độ của trục với sai lệch theo hai phương x và y là
nhỏ tùy ý bằng cách thay đổi chỉ hai thông số trong bộ
điều khiển ISS. Ưu điểm của phương pháp đã thể hiện
qua mô phỏng với những kết quả khả thi góp phần mở ra
hướng ứng dụng điều khiển ABM trong thực tế.

Tài liệu tham khảo
1. Akira Chiba, Tadashi Fukao,Magnetic Bearings
and Bearingless Drives, Elsevier, 2005.
2. Quân,T.L., Minh,T.X.: Điều khiển tách kênh
động cho vòng bi từ chủ động 2 bậc tự do bằng
phương pháp phản hồi trạng thái. VCCA-2011,
trang 359-363, 2011.
3. Phước,N.D.: Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến.
NXB Bách Khoa, 2012
4. Jian Ye, Sun Yanhua, Yulie, LQR Control Hybird
Foil – Megnetic Bearing, 12

th
Interbational
Symposium on Magnetic Bearing, August, 2010.
5. Schweitzer G, Active Magnetic Bearing –
Chances and Limitations, Int. Centre for
Magnetic Bearings, CH-8092, Zurich.
6. Nguyen, Q.Địch: Control of 6 Degrees of
Freedom Salient Axial-Gap Self-bearing Motor-
Ritsumeikan, Nhật Bản, 2010
Phạm Văn Thiêm học chuyên ngành Điều khiển tự động
tại Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại
học Thái Nguyên khóa 2004-2009.
Nhận bằng Thạc sĩ Khoa học chuyên
ngành Điều khiển và Tự động hóa tại
Đại học Bách khoa Hà Nội, khóa
2010-2012. Là giảng viên tại bộ môn
Đo lường – Điều khiển, Đại học Kỹ
thuật công nghiệp, Đại học Thái
Nguyên từ năm 2009 đến nay.
Nguyễn Thị Thanh Quỳnh học chuyên ngành Tự động
hóa Xí nghiệp Công nghiệp tại Đại học Kỹ thuật Công
nghiệp, Đại học Thái Nguyên khóa
2002-2007. Nhận bằng Thạc sĩ Khoa
học chuyên ngành Điều khiển và Tự
động hóa tại Đại học Bách khoa Hà
Nội, khóa 2009-2011. Là giảng viên tại
bộ môn Đo lường – Điều khiển, Đại
học Kỹ thuật công nghiệp, Đại học Thái
Nguyên từ năm 2007 đến nay
Nguyễn Doãn Phước, tốt nghiệp Đại học Tổng hợp kỹ

thuật Dresden năm 1981. Từ 1981-1982 là kỹ sư nghiên
cứu và phát triển của VEB Robotron,
CHDC Đức. Từ 1983-1988 là cán bộ
nghiên cứu Viện 481 (Viện Hạt nhân
Quân đội). Năm 1989-1990 là cán bộ
nghiên cứu Viện Năng lượng nguyên
tử Quốc gia. Từ 10.1990 đến 11.1993
là nghiên cứu sinh tại Viện Lý thuyết
các hệ thống điều khiển, trường Đại
học Tổng hợp kỹ thuật Dresden,
CHLB Đức và bảo vệ học vị Dr Ing. năm 1994. Năm
1994-1996 là cán bộ nghiên cứu Viện Fraunhofer
Dresden, CHLB Đức. Từ 1997 đến nay là cán bộ giảng
dạy của Đại học Bách khoa Hà Nội và được phong học
hàm PGS năm 2003. Lĩnh vực nghiên cứu là lý thuyết
các hệ động học phi tuyến.