Lý thuyết phương pháp giải hình học 12

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRÀ VINH
TRƯỜNG THPT PHẠM THÁI BƯỜNG





Chuyên đề:

HÌNH HỌC TRONG ÔN THI TỐT NGHIỆP
ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU















2013 - 2014
LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Hình học trong kỳ thi tốt nghiệp không phải là quá khó đối với học sinh trung

bình, học sinh yếu. Nhưng để làm tốt phần hình học đòi hỏi học sinh phải nắm vững
kiến thức hình học không gian: hình chóp, lăng trụ, nón, trụ, cấu, mối quan hệ giữa
đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Sau khi nắm vững các vấn đề được tổng hợp và
một số kỹ năng giải hình học trong kỳ thi tốt nghiệp, các em sẽ tự tin hơn trước các
dạng có trong đề thi.
Hình học trong ôn thi tốt nghiệp, nhất là không gian toạ độ có rất nhiều dạng
toán, nhớ nhiều dạng này đòi hỏi học sinh tốn rất nhiều thời gian.

2
PHẦN I - THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
NHỮNG YÊU CẦU CHUNG:
- Thuộc lòng công thức liên quan như: tỉ số lượng giác, các công thức trong tam giác
vuông
1. Tam giác :
− Diện tích của tam giác
*
1
sin
2
ABC
SABAC
A
A
Δ
=
*
1

2
ABC

SBCAH
Δ
=

C
B
H
− Các tam giác đặc biệt :
o Tam giác vuông :
+ Định lý pitago:
222
B
CABAC=+
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

A
=
=
Ñ
oái
sin
Huyeàn
b
B
a


=
=
Keà

cos
Huyeàn
c
B
a

=
=
Ñ
oái
tan
Keà
b
B
c

C
B
H
+ Diện tích tam giác vuông:
1

2
ABC
SAB
Δ
= AC
o Tam giác cân:

A

+ Đường cao AH cũng là đường trung
tuyến
+ Tính đường cao và diện tích
.tan
A
HBH B
=

1

2
ABC
SBC
Δ
= AH
C
B
H

3
o Tam giác đều
A

+ Đường cao của tam giác đều

==
3
.
2
hAHAB

( đường cao h = cạnh x
3
2
)
+ Diện tích :
2
3
().
4
ABC
SAB
Δ
=

B
C
H
a. Tứ giác
− Hình vuông
+ Diện tích hình vuông :
2
()
ABCD
SA= B
( Diện tích bằng cạnh bình phương)
+ Đường chéo hình vuông

==.2AC BD AB
( đường chéo hình vuông bằng cạnh x
2 )

+ OA = OB = OC = OD
− Hình chữ nhật
+ Diện tích hình chữ nhật :
.
ABCD
SABAD
=

( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và
OA = OB = OC = OD
2/ Thể Tích Khối Chóp:
+ Thể tích khối chóp
=
1

3
VBh
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy
h : là đường cao của hình chóp
h
S
B
A
C
H
A
B
C

D
A
B
C

D

4


Các khối chóp đặc biệt :
− Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy
Và AO
⊥
(BCD)

Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O
+ SO (ABCD)
⊥
A
C
D
M
O
O

C
D
B
A
S

- Vẽ hình: kích thước hình phải cân đối, không quá lớn cũng không quá nhỏ. Thường
là 6 ô tập cho cạnh dài hình bình hành, 3 ô cho cạnh ngắn và 5 ô cho chiều cao SA.
(hoặc SO đối với hình chóp đều)
Vẽ hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
S
B
C
D
A











A
C
D
B

S
A
D

5
B
C

S

S







B
A
C

Vẽ hình chóp đều

B
A
C
B
A
C
B
C
D
A
O
B
C
D
A
S
O
B
C

D
A
S
O
B
C
D
A
S
I
K
O

6








3/ Cách xác định góc
− Góc giữa đường thẳng mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ:
o Tìm hình chiếu d
/
của d lên mặt phẳng (P)
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d
/

B
C
A
O
B
C
A
O
B
C
A
S

K
I
O
S
B
C
D
A
Góc giữa SC và đáy
B
C
D
A
S
O
Góc giữa SC và đáy
S
Góc giữa SC và đáy
B
A
C
B
C
A
S
I
K
O
Góc giữa SA và đáy

7








Góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ :
o Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
o Tìm trong (P) đường thẳng a
⊥
(d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b
⊥
(d)
o Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b






S
B
A
C
Góc giữa SC
và (SAB)
D

Góc giữa
(SBC) và đáy
B
A
S
D
A
S
O
Góc giữa mặt
bên và đáy
C
B
C
S
C
B
Góc giữa
(SBC) và đáy
S
B
C
A
O
I
Góc giữa mặt
bên và đáy
S
Góc giữa (SBC)
và đáy

C
B
A
A

8
Mặt cầu ngoại tiếp
A
D
S
S

S
B
A

O
I
c







C
B
A
C

B
C
Hình chóp đều








- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
+ SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông đáy
+ Mặt phẳng trung trực đoạn SA (hoặc cạnh bên khác) cắt SO tại I
⇒ I là tâm
mặt cầu cần tìm.
+ Bán kính mặt cầu:
.SK SA
RSI
SO
==

- Trình bày: thường là có câu thể tích
+ Ghi công thức thể tích
+ Tính diện tích đáy
+ Tính chiều cao rồi tính diện tích, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (cùng
khối chóp.
A
K
I

O
S
A
K
I
O
S
C
B
D
B
C

9
BÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết
SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60
o
.
a. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
b. Tính thể tích hình chóp
2. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 120
0
, tính thể tích của khối
chóp S.ABC theo a. (TNPHƯƠNG TRÌNH 2009)
3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc
với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
o
. Tính thể tích hình

chóp.
4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông
góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60
o
.
a. Tính thể tích hình chóp SABCD.
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết
SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60
o
.
a. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
b. Tính thể tích hình chóp
6. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc
với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
o
. Tính thể tích hình
chóp
7. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a
biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30
o
. Tính thể
tích hình chóp.
8. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, góc
0
120
, biết )ABC( và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45
o
. Tính thể
tích khối chóp SABC.

BAC =
SA ⊥
9. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA
⊥
(ABCD), SC hợp với đáy một góc 45
o
và AB = 3a, BC = 4a Tính thể tích
khối chóp.

10
10. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng
60
o
và SA ⊥ (ABCD),biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể
tích khối chóp SABCD.
11. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB
= BC = a, AD = 2a, SA
⊥ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60
o
Tính thể
thích khối chóp SABCD.
12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B,
2aAC =
và
3aSB = . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC.
13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA
⊥ (ABC), góc
0
60

ACB = aBC =
3aSA = . Gọi M là trung điểm của SB. Cm (SAB) ⊥ (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.

14. Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng
minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều
ABC.Tính thể tích chóp đều SABC
15. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a.
a. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
b. Tính thể tích khối chóp SABCD.
16. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC).Suy ra thể tích hình chóp
MABC
17. Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60
o
.
Tính thể tích hình chóp.
18. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là
45
o
.
a. Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC.
b. Tính thể tích hình chóp SABC
19. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một
góc 60
o
. Tính thể tích hình chóp SABC.

11
20. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h,góc ở đỉnh của mặt bên
bằng 60
o
. Tính thể tích hình chóp.
21. Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45
o
và khoảng
cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp.
22. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60
o
. Tính
thề tích hình chóp.
23. Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và đường cao bằng a/2.
a. Tính sin của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt bên (SAB ).
b. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối chóp đã cho.
Khối chóp có mặt bên vuông góc đáy

24. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
aAB = , 3aAC = , mặt
bên SBC là tam giác cân tại S vớ
a2SC
i
SB
=
=
và vuông góc với mặt phẳng
đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết

a2SB
và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD.
SA ==
26. Cho hình chóp
.SABCDcó đáyABCD là hình chữ nhật. Mặt bênSA B là tam giác
đều cạnh là
a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
(
)
mp ABCD .
Biết
()
mp SAC hợp với
(
)
mp ABCD một góc bằng
0
30 . Tính thể tích khối
chóp
. đã cho. SABCD
27. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi
với và
SADΔ vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với
mp ABCD . Tính thể tích khối chóp .SABCD.

22AC BD a==
()
28. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
2
. Biết rằng
SABΔ
đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với
mp ABCD
. Tính thể tích khối chóp
.SABCD
.
,DAB CD aA==
(
,B a=
)
29. Cho hình chóp
.SABCDcó đáyABCD là hình vuông
cạnh
a ,
)
mp , SB= , góc giữa đường thẳngSC và mặt
phẳng đáy bằng
0

45 . Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.
.
() (
SAB mp AB⊥ CD SA
SABCD

12
Khối lăng trụ - hộp
30. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh
bên AA’=
2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng
trụ ABC.A’B’C’
31. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ΔABC vuông tại A, AC = a, góc
ACB bằng 60
0
. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 30
0
. Tính thể tích
khối lăng trụ đã cho.
32. Đáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh
bên hình lăng trụ và mặt đáy bằng
0
30 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên
mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình
lăng trụ.
33. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng
BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60

0
; tam giác ABC vuông tại C và

BAC = 60
0
.
Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm
của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
34. cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’
cách đều 3 điểm A,B,C và cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0

a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b. Tính thể tích của khối chóp A.BCC’B’ và khoảng cách từ A đấn mặt phẳng
(BCC’B’)
c. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’
35. Cho hình lăng trụ đứng có đáy
AB là tam giác vuông cân
tại
A có cạnh
.'''ABC A B C C
2BC a= và biết . Tính thể tích khối lăng trụ. '3AB a=
Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều có cạnh bên bằng
4
và đường
chéo bằng . Tính thể tích khối lăng trụ này.
.' ' ' 'ABCD A B C D a
5a
36 Cho lăng trụ đứng có đáy
AB là tam giác vuông tạiA , góc .'''ABC A B C C

n
0
30 ,ACB = '3AA a=
, .
2AC a=
a/ Tính thể tích khối lăng trụ .
.'''ABC A B C
b/ Mặt phẳng
(
)
'ABC chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Tính
thể tích của mỗi khối đa diện.
.' ' 'ABC A B C

13
3- HÌNH NÓN, TRỤ, CẦU
Các công thức hình nón
xq
2
tp
2
non
SRl
SRlR
1
VR
3
=π
=π +π
=πh

Các công thức hình trụ
xq
2
tp
2
non
S2Rl
S2Rl2R
VRh
=π
=π +π
=π

Các dạng bài tập hình nón
1- Hình nón sinh ra bởi quay tam giác vuông
2- Hình nón có thiết diện qua trục: tam giác đều, tam giác vuông cân.
3- Hình nón có góc ở đỉnh

BÀI TẬP MẶT NÓN
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi
quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo
thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b/ Tính thể tích của khối nón
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

14
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng
120
0
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy
bằng
α .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón
bằng 2 a
2
. Tính thể tích của hình nón π
Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60
0
và diện tích đáy bằng 9 . Tính thể tích
của hình nón
π
Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc
vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện
này
Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến
mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông
cân có cạnh huyền bằng
2a
a)
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b)
Tính thể tích của khối nón
c)
Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo
với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60
0
. Tính diện tích tam giác SBC


15
BÀI TẬP MẶT TRỤ
Bài 1:
Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a)
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b)

Tính thể tích của khối trụ
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a)
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b)
Tính thể tích của khối trụ
c)
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính
diện tích của thiết diện được tạo nên
Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
a)
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b)
Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c)
Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa
đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa đường
thẳng AB và trục của hình trụ
Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O
’
, bán kính R, chiều
cao hình trụ là R
2.
a)
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b)
Tính thể tích của khối trụ

Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.
a)
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b)
Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c)
Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn
đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ

Bài tập Mặt cầu
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mặt phẳng (ABC),
Δ
ABC
vuông tại B và
AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

16
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a)
Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b)
Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông
góc với mặt phẳng đáy (ABC) và
SA = a 2 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a, tam giác SAD
vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc mặt đáy (ABCD). Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = SB = 2a,
SC =
2a 5 . Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân AB = AC = a, mặt
bên SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC). Xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

17
PHẦN II – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I- VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
a- Công thức và nắm vững các khái niệm:
- Véctơ:
()()()
22
(, ,)
BABABA
BA BA BA
AB x x y y z z
2
A
BAB x x y y z z
=− − −
== −+−+−
uuur
uuur

-

Vectơ chỉ phương: song song hoặc nằm trên (chữ nghiêng là cách nói để học
sinh dễ nhớ)
-
Véctơ pháp tuyến: vuông góc
-
Phương trình mặt phẳng
0
)0z
⎪
=
⎨

0000
00
(, ,)
()()(
(,,)
Mxyz
Ax x By y Cz
nABC
⎧
⇒−+−+−
=
⎪
⎩
r
-
Phương trình đường thẳng
0
0

0000
0
(, ,)
(,,)
x
xat
Mxyz
yy
uabc
zz ct
bt
=
+
⎧
⇒=
=
⎪
⎩
⎪
⎧
⎪⎪
+
⎨⎨
=
+
⎩
r

-

2331
12

2331
12
a, , ,
aaaa
aa
b
bbbb
bb
⎛⎞
⎡⎤
=
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
rr
b- Một số kỹ năng quan trọng:
1
2
u
u
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
r
r

là cặp véctơ chỉ phương =>
12
nu,u
⎡
⎤
=
⎣
⎦
rrr
véctơ pháp tuyến
1
2
n
n
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
r
r
là cặp véctơ pháp tuyến =>
12
un,n
⎡
⎤
=
⎣
⎦
rrr

véctơ chỉ phương


Chỉ phương
Pháp tuyến
Chỉ phương
Pháp tuyến
Son
g
son
g

Giải thích: 2 đối tượng (đường, mặt) khi đề bài cho song song, pháp tuyến của
đối tượng này cũng là pháp tuyến của đối tượng kia, chỉ phương của đối tượng này
cũng là chỉ phương của đối tượng kia.
Chỉ phương
Pháp tuyến
Pháp tuyến
Chỉ phương

Vuông góc


18
Giải thích: 2 đối tượng (đường, mặt) khi đề bài cho vuông góc, pháp tuyến của
đối tượng này là chỉ phương của đối tượng kia, chỉ phương của đối tượng này là
pháp tuyến của đối tượng kia.
Nếu học sinh không nắm vững nội dung trên, rất khó giải các bài tập, thông
thường để giải các bài tập về phương trình đường và mặt học sinh thường phải nhớ
các dạng:

Như vậy nếu hoc sinh nắm vững các kỹ năng trên thì không cần phải nhớ khá
nhiều dạng bài tập mà vẫn giải được.
Dạng 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
- Phương trình đường thẳng
0
0000
0
0
(, ,)
cp: ( , , )
x
xat
Qua M x y z
yy bt
vecto u a b c
zz ct
=
+
⎧
⎧
⎪⎪
⇒=+
⎨⎨
=
⎪
⎩
⎪
=
+
⎩

r


CÁC DẠNG PHỔ BIẾN
Bài toán viết phương
trình đường thẳng
Có vectơ cho
trước
Quan hệ
với
đường
thẳng cần
tìm
Trở
thành
véctơ của
đường
thẳng cần
tìm
Véctơ cần có
để viết được
phương trình
Song song đường thẳng
(d)
u
r

Song song
u
r

u
r

Vuông góc với mặt
phẳng cho trước
()
α

n
r

Vuông
góc
u
r

u
r

Vuông góc với 2 đường
thẳng cho trước (d
1
); (d
2
)
(nếu 2 đường thẳng song
song thì thay hoặc
bởi
1

u
1
ur
uur
2
u
2
M
M
uuuuuur
)
1
u
u
r

2
u
uur

(
)
12
M
M
u
uuuuur

Vuông
góc

Vuông
góc
1
n
u
r

2
n
u
ur

12
,unn
⎡⎤
=
⎣⎦
ruruur

Song song với 2 mặt
phẳng cho trước
1
()
α
;
2
()
α

1

n
u
r

2
n
u
ur

Song song
Song song
1
n
u
r

2
n
u
ur

12
,unn
⎡⎤
=
⎣⎦
ruruur


19

Vuông góc với đường
thẳng (d) và song song
với mặt phẳng
()
α

u
r

n
r

Vuông
góc
Song song
1
n
u
r

2
n
u
ur

12
,unn
⎡⎤
=
⎣⎦

ruruur


Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ Qua M(2; 0; –3) và song song
với đường thẳng d: .
12
33
4
=+
⎧
⎪
=− +
⎨
⎪
=
⎩
xt
yt
zt
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
đối tượng cần
tìm
Trở thành
véctơ của đối
tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình

(2,3,4)=
r
u

Song song
(2,3,4)=
r
u (2,3,4)=
r
u

Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc
với mặt phẳng (
α): x + y – x + 5 = 0.
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
đối tượng cần
tìm
Trở thành
véctơ của đối
tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình
(1,1, 1)=−
r
n

Vuông góc

(1,1, 1)
=
−
r
u (1,1, 1)=−
r
u

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1;
3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α).
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
đối tượng cần
tìm
Trở thành
véctơ của đối
tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình
(0, 1, 1)=−−
uuur
AB

Vuông góc
(0, 1, 1)
=
−−

r
n
(0, 2,1)=−
uuur
AC

Vuông góc
(0, 2,1)=−
r
n
(3,0,0)=−
r
u
Bài 4:Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các
mặt phẳng (
α): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
đối tượng cần
tìm
Trở thành
véctơ của đối
tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình

20
1

(6,2,2)=
uur
n

Song song
1
(6,2,2)=
u
ur
n

2
(3,5,2)=−−
uur
n

Song song
2
(3,5,2)
=
−−
u
ur
n

(6,18, 36)=−
r
u
Bài 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d:
11

213
2
+
−−
==
xyx
và mặt phẳng
(P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
Δ đi qua điểm
A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d.
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
đối tượng cần
tìm
Trở thành
véctơ của đối
tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình
(2,1,3)=
r
u
Vuông góc
1
(2,1,3)=
u
ur
n

(1, 1, 1)=−−
r
n
Song song
2
(1, 1, 1)
=
−−
u
ur
n
(2,5, 3)=−
r
u

Dạng 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
- Phương trình mặt phẳng

0000
000
(, ,)
()()()
vecto pt ( , , )
Qua M x y z
Ax x By y Cz z
co n A B C
⎧
⎪
⇒−+−+−=
⎨

=
⎪
⎩
r
0
CÁC DẠNG PHỔ BIẾN
Bài toán viết phương
trình mặt phẳng
Có vectơ cho
trước
Quan hệ
với
đường
thẳng cần
tìm
Trở
thành
véctơ của
đường
thẳng cần
tìm
Véctơ cần có
để viết được
phương trình
Song song mặt phẳng
()
α

n
r

Song song
n
r

n
r

Vuông góc với đường
thẳng cho trước (d)
u
r

Vuông
góc
n
r

u
r

Vuông góc với 2 mặt
phẳng cắt nhau cho
trước
1
()
α
;
2
()

α

1
n
u
r

2
n
u
ur

Vuông
góc
Vuông
góc
1
u
u
r

2
u
u
ur

12
,nuu
⎡⎤
=

⎣⎦
ruruur


21
Song song với 2 đường
thẳng cho trước (d
1
); (d
2
)
(nếu 2 đường thẳng song
song thì thay hoặc
bởi
1
u
1
ur
uur
2
u
2
M
M
uuuuuur
)
1
u
u
r

2
u
u
ur

Song song
Song song
1
u
u
r

2
u
u
ur

12
,nuu
⎡⎤
=
⎣⎦
ruruur

Song song với đường
thẳng (d) và vuông góc
với mặt phẳng
()
α

u
r

n
r

Vuông
góc
Song song
1
u
u
r

2
u
u
ur

12
,nuu
⎡⎤
=
⎣⎦
ruruur

Bài 1: Cho điểm M(2; –1; 3) và mặt phẳng (α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0. Lập
phương trình tổng quát của mặt phẳng (
β) đi qua M và song song với mặt phẳng (α).

Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
mặt phẳng cần
tìm
Trở thành
véctơ của mặt
phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình mặt phẳng
(2, 1,3)=−
r
n
Song song
(2, 1,3)=−
r
n (2, 1,3)=−
r
n
Bài 2: Cho điểm M(0; –1;2) và đường thẳng (d) có phương trình . Lập
phương trình mặt phẳng (
β) đi qua M và vuông góc với (d)
2
1
3
=+
⎧
⎪
=− −

⎨
⎪
=
⎩
xt
y
zt
t
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
mặt phẳng cần
tìm
Trở thành
véctơ của mặt
phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình mặt phẳng
(1, 1, 3)=−
r
u
Vuông góc
(1, 1, 3)=−
r
n (1, 1, 3)=−
r
n
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các
mặt phẳng : 2x – z + 1 = 0 và

y = 0.
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
mặt phẳng cần
tìm
Trở thành
véctơ của mặt
phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình mặt phẳng
1
(2,0, 1)=−
uur
n
Vuông góc
1
(2,0, 1)
=
−
u
ur
u
2
(0,1,0)=
uur
n
Vuông góc
2

(0,1,0)=
u
ur
u
12
,(1,0,
⎡⎤
==
⎣⎦
2)
r
uuruur
nuu


22
Bài 4
: Hãy lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và
song song vơi trục Oz.
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
mặt phẳng cần
tìm
Trở thành
véctơ của mặt
phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được
phương trình mặt phẳng

(2,4,1)=− −
uuuur
MN
Chứa
1
(2,4,1)
=
−−
u
ur
u

(0,0,1)=
r
k
Song song
1
(0,0,1)=
u
ur
u

12
, (4, 2,0)
⎡⎤
==−
⎣⎦
r
uuruur
nuu

Bài 5: ViếT phương trình mặt phẳng (α) chứa (d):
22
1
3
=
+
⎧
⎪
=
−−
⎨
⎪
=
⎩
xt
yt
z

và vuông góc (
β): x + y + 2z –10 = 0.
Véctơ của đối
tượng cho
trước
Quan hệ với
mặt phẳng cần
tìm
Trở thành
véctơ của mặt
phẳng cần tìm

Véctơ cần có để viết được
phương trình mặt phẳng
1
(2, 1,0)=−
uur
u
Chứa
1
(2, 1,0)=−
u
ur
u

(1,1, 2)=
r
n
Vuông góc
2
(1,1, 2)=
u
ur
u

12
,(2,4,
⎡⎤
==−−
⎣⎦
3)
r

uuruur
nuu


II- HÌNH CHIẾU – ĐIỂM ĐỐI XỨNG
1- Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng – Điểm đối xứng
a/ Hình chiếu của điểm lên trục toạ độ, lên mặt phẳng toạ độ
Hình chiếu của M(a,b,c) lên:
- Trục Ox: M’(a,0,0)
- Trục Oy: M’’(0,b,0)
Ghi chú: thấy “chữ gì” thì ghi lại vị trí đó, còn lại ghi 0”
- Trục Oz: M’’’(0,0,c)
- Mặt Oxy: M’(a,b,0)
- Mặt Oxz: M’(a,0,c)
- Mặt Oyz: M’(0,b,c)
a/ Điểm đối xứng qua trục toa độ, mặt phẳng toạ độ
Điểm đối xứng của M(a,b,c) qua:
- Trục Ox: M’(a,-b,-c)

23
- Trục Oy: M’’(-a,b,-c)
- Trục Oz: M’’’(-a,-b,c)
Ghi chú: thấy “chữ gì” thì ghi lại vị trí đó, còn lại đổi dấu”
- Mặt Oxy: M’(a,b,-c)
- Mặt Oxz: M’(a,-b,c)
- Mặt Oyz: M’(-a,b,c)
2/ Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng bất kỳ - Điểm đối xứng
a/ Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) – Điểm đối xứng

Cách giải:

- Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc (P)
- Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P), suy ra hình chiếu cần tìm
- Dùng công thức trung điểm để tìm toạ độ điểm đối xứng
ứng dụng:
- Tìm hình chiếu của điểm lên mặt
- Xác định tâm của đường tròn giao (mặt phẳng và mặt cầu)
- Tìm toạ độ tiếp điểm
b/ Hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d) – Điểm đối xứng
Cách giải
:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc (d)
- Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d), suy ra hình chiếu cần tìm
- Dùng công thức trung điểm để tìm toạ độ điểm đối xứng
ứng dụng:
- Tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng
- Toạ độ chân đường cao của tam giác
III- MẶT CẦU
1- Phương trình mặt cầu
- Mặt cầu có tâm và bán kính
Xác định tâm I(a;b;c) và bán kính R của mặt cầu .Khi đó phương trình là:
(x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
.
- Mặt cầu qua nhiều điểm

24
Viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng : x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0,Tìm hệ số
a,b,c,d
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a/ (S) có tâm là I(1;2;3) và bán kính R=5
b/ (S) có tâm I(-1;2;3) và đi qua điểm M(1;0;1).
c/ Có đường kính là AB với A(6;2;-5),B(-4;0;7)
d/ Có tâm I(3;-5;-2) và tiếp xúc với mp(P):2x-y-3z+11=0
Bài 2: Trong không gian cho tứ diện ABCD biết A(1;1;1),B(1;2;1),C(1;1;2),D(2;2;1).
a/ Hãy lập phương trình của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
b/ Tìm tâm và bán kính .

Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ dộ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0),
C(1;1;1) và mạt phẳng (P): x+y+z-2=0.Viết phương trìnhy mặt cầu đi qua 3 điểm
A,B,C và có tâm thuộc mp (P).
Bài 4: Trong không gian cho mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 và đường thẳng
1
():
11 1
x
yz

d
−
==
−

1/ Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mp (P) với các
mặt phẳng toạ độ .Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết A,B,C là giao điểm tương
ứng của (P) với các trúc Ox,Oy,Oz ,D là giao điểm của (d)với mặt phẳng Oxy.
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qau 4 điểm A,B,C,D .Xác định toạ độ tâm và bán
kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
Bài 5: Trong không gian cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2),D(4;-1;2).
1/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng .
2/ Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy .Hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A’,B,C,D.
3/ Víêt phương trình tiếp diện (P) của (S) tại A’.
Bài 6: Trong không gian cho 3 điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng
(P):x+y+z-2=0 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc
mặt phẳng (P).
Bài 9:Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2) .

25