Phương pháp giải hình học giải tích trong không gian

Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK
Tel: 0500812457 phone: 0989966850

Phơng pháp giải hình học giải tích trong không gian
Hình học giải tích trong không gian luôn có trong các đề thi vào đại học, tốt nghiệp trung học
phổ thông, bài viết này là tổng ợp tất cả các dạng của đề thi. Mong bài viết này có thể giúp
cho các bạn có thể học tốt và làm bài hình học giảI tích đợc tốt hơn trong các kì thi.
A,Lý thuyết:

Quy tắc hình hộp: ABCDABCD là hình hộp thì :
' 'AB AD AA AC+ + =
uuur uuur uuur uuuur

3 vectơ đồng phẳng:
, ,a b c
r r r
đồng phẳng khi :
Hoặc
,x y
sao cho
c xa yb= +
r r r
Hoặc
, 0a b c

=

r r r

Tích vô hớng của 2 vectơ: cho
1 2 3
( , , )a a a a
r

1 2 3
( , , )b b b b
r
Ta có :
( )
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 3 2 1
2 3 3 1 1 3
, , , , ,
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b


= =
ữ


r r

Tính chất:
+,
,a b
r r
cùng phơng

, 0a b

=

r r
+,
,a b a



r r r
và
,a b b



r r r
+,
, . .sin( , )a b a b a b

=

r r r r r r
+,
, ,a b b a

=

r r r r

Hệ quả:
+,
1
,
2
ABC
S AB AC

=

V
uuur uuur
+,
,
ABCD
S AB AD

=

Y
uuur uuur
(diện tích hình bình hành)
+,
' ' ' '
, . '
ABCDA B C D
V AB AD AA

=

uuur uuur uuur
(thể tích hình hộp)
+,
1
, .
6
ABDCD
V AB AC AD

=

uuur uuur uuur
(thể tích tứ diện)
+,
, ,a b c
r r r
đồng phẳng
, . 0a b c

=

r r r

, ,a b c
r r r
không đồng phẳng
, . 0a b c

r r r
Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK

1
Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK
Tel: 0500812457 phone: 0989966850

+, Góc của 2 mặt phẳng :
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C z D
A x B y C z D


+ + + =
+ + + =
là:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
A A B B C C

cos
A B C A B C

+ +
=
+ + + +
B, Phơng pháp giải:
I,Mặt phẳng:

PTTQ(phơng trình tổng quát) mặt phẳng(mp)
( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và có VTPT(vectơ
pháp tuyến)
( , , )n A B C
r
là:

0 0 0
( ) : ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z

+ + =
hay :
( ) : 0Ax By Cz D

+ + + =
với

0 0 0
( )D Ax By Cz= + +


PTMP(phơng trình mặt phẳng)
( )

qua
( , 0,0) ; (0, , 0) ; (0,0, )A a ox B b oy C c oz
có ph-
ơng trình(pt) là:

( ) : 1
x y z
a b c

+ + =


Kết quả:
+,
2 2
0
( ) / / 0
0
A
ox D
B C

=

+

+,
2 2
0
( ) / / 0
0
B
oy D
A C

=





+

+,
2 2
0
( ) / / 0
0
C

oz D
A B

=





+

+,PTMT toạ độ oxy: z=0
+,PTMT toạ độ oxz: y=0
+,PTMT toạ độ oyz: x=0
Vị trí tơng đối của mặt thẳng và mặt phẳng:

Cho
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C z D
A x B y C z D


+ + + =
+ + + =
Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK

2
Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK
Tel: 0500812457 phone: 0989966850


o
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
( ) / /( )
A B C D
A B C D

= =

o
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
A B C D
A B C D

= = =

o
1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 0A A B B C C

+ + =

o

1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
A A B B C C
cos
A B C A B C

+ +
=
+ + + +
Phơng trình chùm mặt phẳng:
Tập hợp các mặt phẳng
( )

chứa đờng thẳng
( ) ( )

= I
đợc gọi là chùm mặt phẳng xác
định bởi mp
( )

và mp

( )

. Nếu
1 1 1 1
( ) : 0A x B y C z D

+ + + =
và
2 2 2 2
( ) : 0A x B y C z D

+ + + =
thì phơng trình mặt phẳng
( )

là:

1 1 1 1 2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D

+ + + + + + + =
(*) với
2 2
0m n+
phơng trình (*) có thể viết lại:
( ) ( ) 0m n

+ =
Các vấn đề: Viết PTMP(phơng trình mặt phẳng):
1. PTMP

( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và có VTPT
( , , )n A B C
r
+,Xác định
0 0 0 0
( , , )M x y z
của mp
+,Xác định VTPT
( , , )n A B C
r
+,áp dụng công thức :
0 0 0
( ) : ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z

+ + =
2. PTMP
( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và có cặp VTCP(vectơ chỉ phơng)
,a b
r r
(với

, 0a b
r r r
có giá song song hoặc nằm trên mp
( )

)
+,Tìm VTPT
,n a b

=

r urr
+,
( )

là mp qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và có VTPT
n
r
3. PTMP
( )

qua 3 điểm không thẳng hàng A,B,C
+,Tìm
,AB AC
uuur uuur
+,Tìm VTPT
,n AB AC

=

r uuur uuur
+,
( )

là mp qua A và có VTPT
n
r
4. PTMP
( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và
( )

vuông góc với 2 mp
( )

và
( )

cắt nhau
+,Tìm VTPT của
( )

và

( )

là
1
n
ur
và
2
n
uur
+,Tìm VTPT của
1
2
( ) : ,n n n


=

r r uur
Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK

3
Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK
Tel: 0500812457 phone: 0989966850

+,

( )

là mp qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và có VTPT
n
r
5. PTMP
( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và qua giao tuyến 2mp cắt nhau là
1 1 1 1 1
( ) : 0A x B y C z D

+ + + =
và
2 2 2 2 2
( ) : 0A x B y C z D

+ + + =
+,
( )

có dạng :
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D+ + + + + + + =

(*) với
2 2
0m n+
+,
( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
thế vào phơng trình (*)
+,Rút ra m theo n

chọn m,n rồi thế vào phong trình (*)
6. PTMP
( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và
( )

vuông góc với đờng thẳng (d)
+,Tìm VTCP
u
r
của (d)
+,
( )

là mp qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và có VTPT
n
r
=
u
r
7. PTMP
( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và
( )

chứa đờng thẳng (d)
TH1: (d) có dạng tổng quát
+, Tìm PTMP
( )

ta dùng công thức chùm mp.
TH2: (d) có dạng chính tắc
Cách 1:
+, Chuyển phơng trình (d) về dạng phơng trình tông quát
+,Dùng công thức chùm mp
Cách 2:
+,Tìm

( )A d
và có VTCP
u
r
của (d)
+,Tìm
0
u AM=
r uuuuur

,n u v

=

r r r

+,
( )

là mp qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và có VTPT
n
r

8. PTMP
( )

chứa đờng thẳng

1
( )d
và
( )

//
2
( )d
+,Tìm
1
( )A d
và có VTCP
1
u
ur
của
1
( )d
+,Tìm VTCP
2
u
uur
của
2
( )d
+,Tìm
1 2
,n u u

=

r ur uur
+,
( )

là mp qua A và có VTPT
n
r
II,Đờng thẳng:


PTTQ(phơng trình tổng quát):
1 1 1 1
2 2 2 2
0
( ) :
0
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


VTCP(vectơ chỉ phơng):
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ,

B C C A A B
u
B C C A A B

=
ữ

r
Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK

4
Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK
Tel: 0500812457 phone: 0989966850

Đặc biệt:
+,phơng trình trục ox:
0
0
y
z
=


=

+,phơng trình trục oy:

0
0
x
z
=


=

+,phơng trình trục oz:
0
0
x
y
=


=


PTTS(phơng trình tham số): (d) qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và có VTCP
( , , )u a b c
r
:
(d) :
0
0

0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +


PTCT(phơng trình chính tắc): (d) :
0 0 0
x x y y z z
a b c

= =
Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng phẳng:

Cho
1 1 1
1
1 1 1
( ) :
x x y y z z
d
a b c

= =
qua
1 1 1
( , , )A x y z
và có VTCP
1
1 1 1
( , , )u a b c=
r

2 2 2
2
2 2 2
( ) :
x x y y z z
d
a b c

= =
qua
2 2 2
( , , )B x y z
và có VTCP
2
2 2 2
( , , )u a b c=
r

o

1 2
( ),( )d d
chéo nhau

1 2
, ,u u AB
ur uur uuur
không đồng phẳng

1 2
, . 0u u AB



ur uur uuur

o
1 2
( ),( )d d
đồng phẳng

1 2
, ,u u AB
ur uur uuur
đồng phẳng

1 2
, . 0u u AB

=

ur uur uuur

1 2
( ),( )d d
đồng phẳng
1 2
, . 0u u AB

=

ur uur uuur

o

1 2
( ),( )d d
cắt nhau



1 2
,u u
ur uur
không cùng phơng
1 1 1 2 2 2
: : : :a b c a b c

1 2
,u u
ur uur
cùng phơng

o

1 2
( ),( )d d
song song



2 2 2 1
( , , ) ( )B x y z d


Cao Văn Dũng
K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN
Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK

5