Tìm hiểu 1 số phương pháp Giải phương trình vô tỉ

A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
I. Cơ sở nghiên cứu.
1. Cơ sở lý luận:
Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc sống xã
hội lồi người nói chung, con người nói riêng. Nó có lí luận thực tiễn lớn lao và
quan trọng, như đồng chí Phạm Văn Đồng đã nói: “Tốn học là mơn thể thao của
trí tuệ, nó giúp chúng ta rèn luyện tính thơng minh và sáng tạo”.
Đại số là một mơn đặc biệt của tốn học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu về môn
đại số chúng ta sẽ thấy được cái khơng gian ba chiều lí thú mà khơng bao giờ vơi
cạn của nó. Chính vì vậy mà dạy tốn không ngừng được bổ xung và đổi mới để
đáp ứng với sự ra đời của nó và nhu cầu của xã hội .Vì vậy mỗi người giáo viên nói
chung phải ln ln tìm tịi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng
với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.
Trong chương trình mơn tốn ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vơ
tỉ khơng nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp
tục học lên ở THPT.
Khi giải tốn về phương trình vơ tỉ địi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức
cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số...Học
sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức
tạp. “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ” giúp học sinh phát triển tư duy,
phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư
tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh.

22


2. Cơ sở thực tiễn:
Phương trình vơ tỉ là loại tốn khó đối với học sinh THCS, nhiều học sinh
khơng biết giải phương trình vơ tỉ như thế nào, chưa nắm vững có những phương
pháp nào. Các bài tốn về phương trình vơ tỉ là một dạng tốn hay và khó, có nhiều
trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu,

các sách tham khảo, sách giáo viên cũng chưa có sách nào đề cập chi tiết cụ thể các
phương pháp giải loại tốn này. Có chăng chỉ là gợi ý chung, sơ lược và đưa ra lời
giải các bài toán một cách rời rạc. Đặc biệt trong sách giáo khoa lớp 9 dạng bài
toán này cũng chưa được đưa vào phân phối chương trình mà chỉ lồng ghép ở phần
bài tập trong chương I căn bậc hai, căn bậc ba. Đây là một vấn đề quan trọng và
bức thiết. Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm một phương pháp dạy học sinh giải
dạng toán này sao cho đạt hiệu quả cao nhất.
Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vơ tỉ là rất thiết
thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy
phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất
lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS.
- Bài kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến:
Lớp

Sĩ số

9A
9B

31
30

Giỏi
SL
%
1
3,2%
2 6,7%

Khá

Trung bình
SL
%
SL
%
3
9,7%
8 25,8%
4 13,3% 6
20%

Yếu
Kém
SL
%
SL
%
14 45,2% 5 16,1%
12 40% 6
20%

II. Mục đích nghiên cứu:
+ Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vơ tỉ trong chương trình
tốn THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng
tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có
phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả.
+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học
phần phương trình vơ tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng
cao chất lượngdạy và học mơn tốn.
+ Nghiên cứu vấn đề này cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy

thành cơng về phương trình vơ tỉ.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường.
22


2. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài.
3. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm.
4. Hệ thơng hố một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ.
IV. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu:
a) Các tài liệu.
b) Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Thụy Lương.
2. Phạm vi nghiên cứu:
Các phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp ở THCS
V. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
2. Phương pháp điều tra, khảo sát.
3. Phương pháp thử nghiệm
4. Phương pháp ttổng kết kinh nghiệm
VI. Giả thuyết khoa học:
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích
học dạng tốn này hơn

B. NỘI DUNG
 Khái niệm về phương trình vơ tỉ:
- Khái niệm: Phương trình vơ tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức
(ở đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn

bậc hai và

căn bậc ba)
 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ:
* Phương trình vơ tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phương
trình vơ tỉ là làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. Sau đây là một số
phương pháp giải phương trình vơ tỉ.
I. Phương pháp nâng lên luỹ thừa:
1. Kiến thức vận dụng:
+ (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2
22


+ (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3
g(x) ≥ 0
f(x) = g(x) ⇔ 
2
f(x) = [ g(x)]

+
+

3

A = m ⇔ A = m3

2. Ví dụ:

 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 + 2 x − 1 = x

(1)

Giải:
Điều kiện căn có nghĩa: 2 x − 1 ≥ 0
⇔x≥

(2)

1
2

(1) ⇔ 2 x − 1 = x − 2
Với điều kiện x − 2 ≥ 0

(3)
(4)

(3) ⇔ 2x - 1 = (x-2)2

(5)

⇔ 2x − 1 = x 2 − 4x + 4
⇔ x 2 − 6x + 5 = 0

Giải ra ta được x1=1 không thoả mãn (4)
x2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phương trình: x = 5

 Ví dụ 2: Giải phương trình: x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2 (1)
Giải:
x − 1 ≥ 0


Phương trình (1) có nghĩa: ⇔ 5 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 (2)
3 x − 2 ≥ 0


(1) ⇔ x − 1 = 3x − 2 + 5 x − 1
Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được
x − 1 = 3x − 2 + 5 x − 1 + 2 (3x − 2)(5 x − 1)
⇔ 2 − 7 x = 2 15 x 2 − 13 x + 2
2 − 7 x ≥ 0
⇔
2
2
4(15 x − 13x + 2) = (2 − 7 x) (3)

Giải (3) ta được: x ≤

2
không thoả mãn (1).
7

- Vậy phương trình vơ nghiệm.

 Ví dụ 3: Giải phương trình x + 1 − x − 2 = 1 (1)
22


Giải:
Điều kiện: x ≥ 2

(2)

Viết PT (1) dưới dạng
x +1 =

x − 2 +1

(3)

Hai vế của (3) khơng âm, bình phương hai vế ta được
x +1 = x − 2 +1+ 2 x − 2
⇔ 2= 2 x−2 ⇔

x − 2 = 1 ⇔ x − 2 = 1 ⇔ x = 3 thoả mãn điều kiện (2)

- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3
3. Lưu ý:
+ Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK
x+1 ≥ x − 2 (Đk này luôn đúng)
+ Nếu biến đổi (1) thành x − 2 = x + 1 − 1 rồi bình phương hai vế ta phải đặt ĐK:
x +1 ≥ 1 ⇔ x ≥ 0

 Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 x + 1 = 2 − 3 7 − x

(1)

Giải:
(1) ⇔ 3 x + 1 + 3 7 − 2 x = 2
⇔ (3 x + 1 + 3 7 − x ) 3 = 2 3

⇔ 3 ( x + 1)(7 − x) = 0

Giải (1) ⇔ ( x + 1)(7 − x) = 0
⇔ x1 = −1; x 2 = 7

Vậy x1 = -1; x2 = 7 là nghiệm của phương trình
Chú ý:
- Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương.
- Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạn
chế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn.

 Ví dụ 5: Giải pt: x 2 − 4 x + 4 + x = 8 (1)
Giải:
( x − 2) 2 + x = 8
⇔ x−2

+x =8

+ Nếu x ≥ 2 thì x − 2 + x = 8 ⇔ x = 5
22


+ Nếu x < 2 thì 2 − x + x = 8 vô nghiệm
- Vậy x = 5 là nghiệm của pt
4. Bài tập tương tự:
Giải các pt sử dụng phép bình phương.
1) x2-4x =8 x − 1
2) 2 x 2 + 8 x + 6 + x 2 − 1 = 2x+2

(x = 4 + 2 2 )

7
7
+ x− 2 = x
2
x
x
x + 1 - x + 2 = x + 5 - x + 10
x2 −

3)
4)

(x = 2)
(x = -1)

* HD: Sử dụng phép lập phương:
1)

3

x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3

(x = 4; 2)

2)

3

x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x

(x = 0; ±

3)

3

x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1

(x = - 1)

4) 3 1 + x + 3 1 − x =1

(x =

5
)
2

28
)
27

II. Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
1.Kiến thức vận dụng :
f(x) nêu f(x) ≥ 0
f(x) 2 = f(x) = 
− f(x) nêu f(x) < 0

+)

+) Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Ví dụ:

 Ví dụ 6: Giải phương trình : x + 2 − 4 x x − 2 + x + 7 − 6 x − 2 = 1 (1)
Giải:
Điều kiện : x-2 ≥ 0 hay x ≥ 2

(2)

⇔ ( x − 2 − 2) 2 + ( x − 2 − 3) 2 = 1
⇔

x−2 −2 +

x − 2 −3 =1

- Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
- Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b , dấu “=” xảy ra khi a,b > 0.
Khi đó

x −2 −2 + 3− x −2 ≥

Dấu “=”xảy ra khi:

(

)(

x −2 −2+3− x −2 =1

(3)

)

x − 2 − 2 3 − x − 2 ≥ 0 (4)

Giải (4) ta được: 6 ≤ x ≤ 11 Thoả mãn (2)
- Vậy nghiệm của phương trình (1)là : 6 ≤ x ≤ 11
22


3. Chú ý :
+ Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai
viết được thành bình phương của một biểu thức.
+ Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên.
4. Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
1)

x 2 + 2x + 1 + x 2 − 2x + 1 = 2

( x ≥ 1)

2)

x + x2 −1 − x − x2 −1 = 2

( x = 2)

3)

x + 2 + 3 2x − 5 + x − 2 − 2x − 5 = 2 2

5

 ≤ x ≤ 3
2


III. Phương pháp đặt ẩn phụ:
1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới:

 Ví dụ 7: Giải phương trình x 2 − 5 x + 13 = 4 x 2 − 5 x + 9 (1)
Giải:
5  11

2
Ta có : x − 5 x + 9 =  x −  + > 0


Đặt:

2

4

x 2 − 5x + 9 = y ≥ 0 ⇒ x 2 − 5x + 9 = y 2

Khi đó (1) ⇔ y2 + 4 = 4y
⇔ y=2

⇔ x 2 − 5x + 5 = 4
⇔ x 2 − 5x + 5 = 0

5+ 5
x =
2
⇔ 5− 5

x =
2


1
2

 Ví dụ 8: Giải phương trình: x + x + + x +

1
=2
4

(1)

Giải:
Điều kiện: x ≥ 4
Đặt:

x+

(2)

1
= y≥0
4

⇒ x = y2 −

1
4

1
4

1
2

Khi đó (1) trở thành y 2 − + ( y + ) 2 = 2

22



− 2 2 −1
〈0
y =
2
2

⇔ 4y + 4y − 7 = 0 ⇔


2 2 −1
y =
2


Trường hợp y =

− 2 2 −1
< 0 (loại)
2

⇒ x = 2 − 2 , thoả mãn điều kiện (2)

- Vậy nghiệm của phương trình là : x = 2 − 2

 Ví dụ 9: Giải phương trình:

3

x + 1 + 3 x + 3 + 3 x + 3 = 0 (1)

Giải:
Đặt:

x+2 = y

(1) ⇔ 3 y 3 − 1 + 3 y 3 + 1 = − y
Lập phương hai vế ta có : y 3 = y 3 y 6 − 1
y = 0
⇔ 2

6
y = 3 y −1


(+) Nếu: y = 0 ⇔ 3 x + 2 = 0 ⇔ x = −2
(+) Nếu y 2 = 3 y 6 − 1 ⇔ y 6 = y 6 − 1 , vơ nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là : x = -2
2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
a. Dạng: ax + b = r (ux + v) + dx + e

(1)

Với a, u, r ≠ 0
Đặt u. y + v = ax + b
Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng :
u ( x − y )(ruy + rux + 2ur + 1) = 0

 Ví dụ 10: Giải phương trình: 2 x + 15 = 32 x 2 + 32 x − 20 (1)
Giải:
Điều kiện: 2 x + 15 ≥ 0 ⇔ x ≥

− 15
2

Khi đó: (1) ⇔ 2 x + 15 = 2(4 x + 2) 2 − 28 (2)
Đặt: 4 y + 2 = 2 x + 15

(3)

22

Điều kiện: 4 y + 2 ≥ 0 ⇔ y ≥

−1
2

Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4)
(4y + 2)2 = 2x + 15 (5)

Từ (3) ta có :

( 4x + 2) 2 = 2y + 15
Từ (4) và (5) có hệ: 
2
(4y + 2) = 2 x + 15

(4)
(5)

Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0
+) Nếu: x-y = 0 ⇔ x = y thay vào (5) ta được : 16x2 + 14x-11 =0
1

x = 2
⇔
 x = − 11

8


với x = −

11
, loại
8

+) Nếu 8x + 8y + 9 = 0
⇔ 8 y = −8 x − 9 , Thay vào 9 (4) ta được: 64x2 + 72x-35 = 0


− 9 − 221
(loai)
x =
16
⇔

− 9 + 221
x =
16

- Vậy nghiệm của phương trình là: x1 =

1
− 9 + 221
; x2 =
2
16

b) Dạng:

3

ax + b = r (ux + v ) 3 + dx + e

(1)

Đặt uy + v = 3 ax + b
(1) đưa được về dạng: u ( y − v)(rP 2 + rPQ + rQ 2 + 1) = 0
Trong đó:

P = uy + v

; Q = ux + v

 Ví dụ 11: Giải phương trình: 3 3x − 5 = 8 x 3 − 36 x 2 + 53x − 25

(1)

Giải:
(1) ⇔ 3 3x − 5 =(2x-3)3-x+2

(2)

Đặt :2y-3= 3 3x − 5
⇔ 3 x − 5 = (2 y − 3) 3
(3)
khi đó (2) ⇔ 2 y + x − 5 = (2 x − 3) 3

(4)
22

3 x − 5 = (2 y − 3) 3

Từ (3),(4) có hệ : 
2 y + x − 5 = (2 x − 3) 3


Trừ vế với vế ta được :
( x − y )( P 2 + Q 2 + PQ + 1) = 0

(5)

Trong đó : P = 2 y − 3
Q = 2x − 3
∀x, y

Vì: P 2 + Q 2 + P.Q + 1 > 0
Do đó :(5) ⇔ x = y

Thay vào (3) ta được:

(x-2).(8x 2 -20+11) = 0
⇔ x1 = 2 ; x2 = 5 + 3 ; x3= 5 − 3
2
2

c. Một số dạng khác:

 Ví dụ 12: Giải phương trình: 3 x − 2 + x + 1 = 3

(1)

Giải :
Điều kiện: x ≥ −1 (2)
Đặt:

3

x − 2 = y ⇒ x − 2 = y3
x +1 = z ≥ 0 ⇒ x +1 = z2

⇒ z2 − y2 = 3

Với điều kiện (2) thì (1) đưa về hệ:
y + z = 3
 2
2
z − y = 3
z ≥ 0


y = 1
z = 2

Giải hệ này ta được: 
Từ đó suy ra:

x = 3 là nghiệm của phương trình (1)
1

1

=2
 Ví dụ 13: Giải phương trình: x +
2 − x2

(1)

Giải:
x ≠ 0

Điều kiện: 

− 2 < x < 2

Đặt: 2 − x 2 = y > 0 ⇒ x 2 + y 2 = 2

22


x 2 + y 2 = 2

Ta có hệ: (1)  1 1
x + y = 2


Đặt: x + y = S ; xy = P
 P = 1, S = 2
S 2 − 2 P = 2

⇔
(1) ⇔ 
 P = − 1 , S = −1
S = 2P

2


+ Trường hợp 1: Ta được x=y=1; Trường hợp 2:

−1 + 3
x =

2

y = −1− 3

2


- Vậy x = 1; x =

hoặc


−1 − 3
x =

2


y = −1+ 3

2


−1− 3
là nghiệm của phương trình.
2

3. Chú ý:
* Giải phương trình vơ tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều bài
tốn khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận
xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phương trình, liên quan giữa các
ẩn
* Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình.
4. Bài tập áp dụng:
1) x 2 + 2 x − 9 = 6 + 4 x + 2 x 2
2) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 4
3) x + 1 − 2 x + x + 4 − 4 x = 1

(Đặt x − 1 = y ≥ 0; x = 5 )

4) 3 x 3 + 8 = 2 x 2 − 6 x + 4

(Đặt: x + 2 = a, x 2 − 2 x + 4 = b )

5) 5 x 3 + 1 = 2( x 2 + 2)

(Đặt: a = x + 1 ; b = x 2 − x + 1 ; x = 5 ± 37 )

6)
7)
8)

x
3

1
1
+ 1− = x
x
x

2

(Đặt: x − 1 = a; 1 − 1 = b; x = 1 + 5 )
x

x

2

2 − x + x −1 = 1

(Đặt 3 2 − x = a; x − 1;2;10 )

3 x + 1 = −4 x 2 + 13x − 5

(Đặt 2 y − 3 = 3x + 1, x = 1; 11 ; 11 + 37 )

9) x 2 − 4 x − 3 = x − 5
10)

(Đặt x = y;1 ≤ x ≤ 4 )

x 3 + 2 = 33 3 − 2

4
8
(Đặt x + 5 = y − 2, x = −1; 5 + 29 )
2

(Đặt 3x − 2 = y, x = 1;−2)

22


IV. Phương pháp bất đẳng thức:
1. Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phương trình vơ
nghiệm:
* Phương trình: f(x) = g(x)
Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lượt là: S1, S2 mà S1 giao với S2 bằng rỗng thì
phương trình vơ nghiệm.

 Ví dụ 14: Giải phương trình:

x − 3 − 7 x − 3 = 5 x − 2 (1)

Giải:
Điều kiện: x ≥ 3

Với điều kiện này thì:

x − 3 < 7x − 3

Khi đó vế trái của (1) âm, cịn vế phải dương do đó phương trình (1) vơ nghiệm
2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
* Phương trình F(x) = G(x) (1)
Nếu: F(x) ≥ K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a
G(x) ≤ K, dấu đẳng thức sảy ra khi x=b
(k,a,b là các hằng số)
+) a = b ⇒ (1) có nghiệm là: x = a
+) a ≠ b ⇒ (1) vơ nghiệm

 Ví dụ 15: Giải phương trình: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 (1)
Giải:
Vế trái: 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 ≥ 4 + 9 = 5
Vế phải: 4-2x –x2 = 5- (x+1)2 ≤ 5
Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x = -1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều
là đẳng thức.
- Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình.

 Ví dụ 16: Giải phương trình: 6 − x + x + 2 = x 2 − 6 x + 13

(1)

Giải:
Sử dụng bất đẳng thức: a1b1 + a 2 b2 ≤ a1 2 + a 2 2 . b1 2 + b2 2
a

a

1
2
(Với dấu “=” xảy ra khi b = b )
1
2

Vế trái: 6 − x + x + 2 ≤ 12 + 12 . 6 − x + x − 2 = 4
22


Dấu “=” xảy ra khi x=3
- Vậy phương trình vơ nghiệm.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
* Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh được các trường hợp khác của ẩn khơng
là nghiệm của phương trình .

 Ví dụ 17: Giải phương trình: 3 x − 2 + x + 1 = 3

(1)

Giải:
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình.
+ Với x > 3 thì 3 x − 2 > 1, x + 1 < 2 ⇒ vế trái của (1) lớn hơn 3
+ Với -1 ≤ x < 3 thì

3

x − 2 > 1, x + 1 < 2 ⇒ vế trái của (1) nhỏ hơn 3

- Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
4. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức khơng chặt .

 Ví dụ 18: Giải phương trình:

x
4x − 1

+

4x − 1
=2
x

(1)

Giải:
Điều kiện: x >

1
4

(2)

Sử dụng bất đẳng thức:

a b
+ ≥2
b a

Với a,b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Do đó:

x
4x − 1

+

4x − 1
≥2
x

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 4 x − 1
⇔ x 2 − 4x + 1 = 0
⇔ x = 2± 3

Thoả mãn (2)
- Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 ± 3
5. Bài tập áp dụng:
1) x − 4 + 6 − x = x 2 − 10 x + 27

(x = 5)

2) 3x 2−12 x + 6 + y 2 − 4 y + 13 = 5

(x = y = 2)

3) x 2 + 6 = x − 2 x 2 − 1

(Vô nghiệm)

4) x − 1 + x + 3 + 2. ( x − 1)( x 2 − 3x + 5) = 4 − 2 x
22


5)

16
x−3

+

4
y −1

+

1225
z − 665

V. Phương pháp đưa phương trình về hệ phương trình:
1. Ví dụ:
x+2 − x−6 =2

 Ví dụ 19: Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện x ≥ 6.
Đặt a = x + 2 , b =

x − 6 ; a, b khơng âm.

Ta có hệ:
a − b = 2
a − b = 2
a = 3  x + 2 = 3 x + 2 = 9

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ x = 7 (TM)
 2
x − 6 =1
a − b 2 = 8 a + b = 4 b = 1
 x − 6 =1



Vậy x = 7 là nghiệm của phương trình.

 Ví dụ 20: Giải phương trình:

3

x −1 − 3 x − 3 = 3 2

Giải:
Đặt a = 3 x − 1 ; b = 3 x − 3 , từ đó ta có hệ phương trình.
3
3



a − b = 3 2
a − b = 3 2
a − b = 2
a − b = 2
⇔ 2
⇔
⇔
 3
3
2
3
(a − b) 2 + 3ab = 3 4
ab = 0
a − b = 2 a + ab + b = 4



a = 3 2
b = − 3 2
⇔
hoặc 
b = 0
a = 0
b = − 3 2
- Nếu 
suy ra x = 1
a =0


a = 3 2
- Nếu 
suy ra x = 3
b=0

Vậy nghiệm của phương trình là S = {1 ; 3}

 Ví dụ 21: Giải phương trình:

3

x+

1
1
+
− x =1
2
2

Giải:
Điều kiện x ≤

1
2
22


Đặt a = 3 x +

1
1
;b=
− x ; (b ≥ 0), từ đó ta có hệ.
2
2

a + b = 1
a + b = 1
a + b = 1
⇔ 3
⇔ 3
 3
2
2
2
a + b = 1 a + (1 − a) = 1 a + a − 2a = 0
a = 0
a = 1
a = −2
⇔
hoặc ⇔ 
hoặc ⇔ 
b = 1
b = 0
b = 3
Từ đó ta tính được giá trị của x là

1
1

17
;- ;2
2
2

Vì b và x đều thỏa mãn điều kiện nên tập nghiệm phương trình là:
S={

1
1
17
;- ;- }
2
2
2

 Ví dụ 22: Giải phương trình: -x2 + 2 = 2 − x
Giải:
Điều kiện x ≤ 2.
Đặt y = 2 − x ≥ 0, từ đó ta có hệ:
− x 2 + 2 = y  x 2 + y = 2
x 2 + y = 2
x 2 + y = 2
⇔
⇔
hoặc 
 2
− y + 2 = x x 2 − y 2 = x − y x − y = 0
x + y = 1


x 2 + y = 2  x = y = 1
⇒
Nếu 
x−y=0
 x = y = −2


1± 5
x =
x + y = 2
2
⇒
Nếu 

1± 5
x + y = 1
y = 2

2

Đối chiếu với ĐK ta suy ra tập nghiệm của phương trình là: S = {1 ;

1− 5
}
2

 Ví dụ 23: Giải phương trình: x3 + 1 = 2 3 2x − 1
Giải:
Đặt y =

3

(1)
x 3 + 1 = 2y x 3 + 1 = 2y
⇔ 3
, từ đó ta có hệ:
 3
2x − 1
3
 y + 1 = 2x x − y = 2(x − y) (2)
(2) ⇔ (x − y)(x 2 + xy + y 2 ) = 0
⇔ x − y=0⇒ x = y
22


Thay vào (1) ta được:

x = 1
x3 - 2x + 1 = 0 ⇔ 
x = 1 ± 5


2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1 ;

1± 5
}
2

 Ví dụ 24: Giải phương trình: x.3 35 − x 3 .(x + 3 35 − x 3 ) = 30
Giải:
Đặt y =

3

35 − x 3 , từ đó ta có hệ:

xy(x + y) = 30 xy(x + y) = 30
xy(x + y) = 30 xy = 6
⇔
⇔
⇔
 3
x + y 3 35
(x + y)3 − 3xy(x + y) = 35 (x + y)3 = 125
x + y = 5


x = 2
x = 3
⇔
hoặc 
y = 3
y = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2 ; 3}
2. Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau :
1) x 2 − x + 5 = 5
2)

3

x −1 + 3 x − 3 = 3 2

3)

3

x − 2 + 3 x + 3 = 3 2x + 1

4)

3

− x −1 + x + 2 =1

5) x 2 + 3 (16 − x 3 ) 2 = 8
4
4
6) (x + 3) + (x + 5) = 2

VI. Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình vơ tỉ:
1. Phương pháp :
Xét đẳng thức A c = B , với A, B∈Q, c∈ N nhưng khơng là số chính
phương.
A
, vơ lí vì
B
Do đó AB = 0 suy ra A = B = 0.
2. Một số ví dụ :

Khi đó , nếu AB

0 thì

c=

 Ví dụ 25: Tìm các số hữu tỉ m, n thỏa mãn:

c ∈ I còn

m+ n=

A
∈Q .
B

2
22


Giải:
Điều kiện m, n ≥ 0. Bình phương hai vế ta được.
( m + n ) 2 = 2 ⇒ m + n + 2 m.n = 2
⇔ 2 m.n = 2 − m − n ⇒ (2 m.n ) 2 = ( 2 − m − n) 2
⇔ 4mn = 2 + (m + n) 2 − 2 2 (m + n)
Vì (m-n)2 > 0 nên khơng tồn tại m,n thỏa mãn.

 Ví dụ 26: Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình:
2 3−3= x 3 − y 3
Giải:

Điều kiện x ≥ y ≥ 0. Bình phương hai vế ta được.
2 3 − 3 = 3 x − 2 3 xy + 3 y



2 xy = x + y + 3 − 2



4 xy − ( x + y − 2) 2 − 3 = 2 3 ( x + y + 3 − 2)

Từ đó x + y = 2 ; xy =

3
3
1
⇔x= ;y=
(vì x ≥ y)
4
2
2

 Ví dụ 27: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm hữu tỉ.

x + y 3 = 1+ 3
Giải:
Bình phương hai vế ta được.
(x + y 3 ) 2 = 1 + 3
⇔ x 2 + 3y 2 + 2 3xy = 1 + 3
⇔ x 2 + 3y 2 − 1 = 3 (1 − 2xy)

1
⇔ xy = ; x 2 + 3y 2 − 1 = 0
2
⇒ xy ≠ 0 và y =

1 2
3
;x + 2 −1= 0
2x
4x

Vậy phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ.
22


 Ví dụ 28: Chứng minh rằng khơng tồn tại x, y∈ Q, n∈N thỏa mãn đẳng thức :

(x + y 3)

n

= 1+ 3

Giải:
Với n = 1 ta đã giải trong ví dụ 3
Xét với n > 1 khi triển khai đa thức ta được: A + B 3 = 1 + 3 , với A, B 
Q. cũng không có nghiệm hữu tỉ.

 Ví dụ 29: Tìm các số hữu tỉ a và b biết 2 là nghiệm của phương trình:
x3 + ax2 + bx – 4 = 0

Giải: Thay x = 2 ta được:
2 2 + 2a + b - 4 = 0
⇔ 2 (b + 2) = 4 − 2a ⇒ b + 2 = 0 ; 4 – 2a = 0 ⇔ a = 2 ; b = -2
3. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình:

x + y = 2− 3
Bài 2 : Chứng minh số : 99999 + 11111 3 không thể viết dưới dạng

( A + B 3 ) , trong đó A, B∈ N.
2

Bài 3 : Cho đẳng thức : a + b 2 + c3 2 = 0 , với a, b,c ∈ Q.
Chứng minh rằng a = b = c =0
VII. Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vơ tỉ:
1. Sai lầm thường gặp:
* Khi giải phương trình vơ tỉ cần tránh những sai lầm sau:
+ Khơng chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức.
+ Khơng đặt điều kiện có nghĩa của căn thức.
* Để giải phương trình vơ tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững.
+ Các phép biến đổi căn thức.
+ Các phép biến đổi biêủ thức đại số.
+ Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình.
+ Các kiến thức về bất đẳng thức...
2.Ví dụ:

 Ví dụ 30: Giải phương trình: (x+3) = 0 (1)
- Lời giải sai: Ta có (1)  
22

* Nhận xét: Rõ ràng x = -3 không là nghiệm của phương trình trên.
- Ghi nhớ rằng: A = 0 

 Ví dụ 31: Giải phương trình: = x+2.
= x+2  

- Lời giải sai:






* Nhận xét: Rõ ràng x = -3 khơng là nghiệm của phương trình trên.
- Ghi nhớ rằng: = B 

 Ví dụ 32: Giải phương trình: = 1
- Lời giải sai:

= 1  =1

 =  
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = -7 là nghiệm của phương trình trên.

- Ghi nhớ rằng:




A 
=
B 



−A
khi A ≤ 0 ; B < 0
−B
A
khi A ≥ 0 ; B > 0
B

Như vậy lời giải trên đã bỏ sót trường hợp A ≤ 0; B< 0 nên mất nghiệm x = -7.

 Ví dụ 33: Giải phương trình: 2. + = +
- Lời giải sai: Ta có

2. + = +



2. + = +



=  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
* Nhận xét: Ta thấy ngay x = 2 khơng là nghiệm của phương trình trên.

- Ghi nhớ rằng: + = + 

 Ví dụ 34: Giải phương trình: + = 2
- Lời giải sai:

+ =2

. + .=2.
 + = 2 ( Căn thức có nghĩa khi x ≥ 3)
Khi đó ta có:
=> + > 2
Do đó phương trình vơ nghiệm.
22


* Nhận xét: Ta dễ thấy x = 0 là nghiệm phương trình. Việc chia hai vế cho đã làm
mất nghiệm này.
- Ghi nhớ rằng:

 A . B khi A ≥ 0 ; B ≥ 0

A.B = 
 − A . − B khi A < 0 ; B < 0


Do đó lời giải cần bổ xung thêm trường hợp = 0  x = 0 và khi x < 0

đưa

phương trình về dạng: . + . = 2 .

Vì ≥ 0 ta chia cả hai vế cho ta được: + = 2
Với x < 0 thì: =>

+ <2

Do đó với x < 0 khơng thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy
nhất x = 0.

 Ví dụ 35: Giải phương trình: = x+2

(1)

- Lời giải sai: (1)  = x+2  2x-1 = x+2  x = 3.
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.
* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = -

1
cũng là nghiệm của phương trình (1).
3

- Ghi nhớ rằng: = B 
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót điều kiện B≥ 0 nên xét thiếu trường hợp A = -B

 Ví dụ 36: Giải phương trình: = x2-7x+12

(2)

- Lời giải sai: (2)  = (x-3)(x-4)
 (x-3) = (x-3)(x-4)
 (x-3)( - x + 4) = 0


Xét trường hợp: = x- 4 

  x = 7.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 7.
* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = 2 cũng là nghiệm của phương trình (2).
khi A = 0
0

- Ghi nhớ rằng: = = A B khi A > 0

− A B khi A < 0

Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A ≤ 0.

 Ví dụ 37: Giải phương trình: =
- Lời giải sai: (3) 

(3)

x − 1 ≠ 0

 x2 + x − 2 = x −1


=  

22

x ≠ 1

 x + 1 ≥ 0

x 2 + x − 2 = (x + 1) 2


x ≠ 1

x ≥ −1
x = −3


Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
* Nhận xét: Dễ thấy lời giải trên sai ngay từ đầu khi trục căn thức ở mẫu, đưa bình
phương ra khỏi căn bậc hai mà không đặt trong dấu giá trị tuyệt đối.
 AB
khi A ≥ 0 ; B ≥ 0

 B
- Ghi nhớ rằng: = = 
− AB khi A < 0 ; B < 0


B
Do đó mất trường hợp A< 0 ; B < 0 nên sót nghiệm x = -3.

 Ví dụ 38: Giải phương trình: (x+5) = x+2

(4)

- Lời giải sai: (4)  = x+x






Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = -14 cũng là nghiệm của phương trình (4).
 AB khi A ≥ 0 ; B > 0

- Ghi nhớ rằng: B = 
− AB khi A < 0 ; B < 0

Do đó mất trường hợp A< 0 ; B < 0 nên sót nghiệm x = -14.

C. KẾT LUẬN
I.

Bài học kinh nghiệm:
Phương trình vơ tỷ là một dạng tốn khơng thể thiếu được trong chương

trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo
khoa thì chưa đủ, vì vậy địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm
tịi sáng tạo thường xun bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề
này.
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phương
trình vơ tỷ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phương trình vơ

tỷ: các dạng phương trình vơ tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phương trình vơ tỷ
22


với các dạng phương trình khác, đồng thời phải nắm vững các phương pháp giải
phương trình vơ tỷ.
Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức
nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi ra cịn giúp bản
thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các
vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình.
Qua thời gian nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng
dạy trên lớp tôi nhận thấy:
+ Với phương pháp dạy trước khi áp dụng sáng kiến học sinh rất sợ khi gặp
loại tốn “ giải phương trình vơ tỉ ” thậm chí có học sinh cịn khơng cần đọc đề bài
cứ nhìn thấy loại tốn này là bỏ qua.
+ Sau khi tơi vận dụng phương pháp đã nêu trên thì hầu hết các em đã cảm
thấy khơng cịn sợ loại tốn này nữa và có học sinh cịn cảm thấy thích thú với loại
tốn này. Kết quả cụ thể tơi thu được là:
- Bài kiểm tra khảo sát sau khi áp dụng sáng kiến:
Lớp

Sĩ số

9A
9B

31
30

II.

Giỏi
Khá
Trung bình
SL
%
SL
%
SL
%
4 12,9% 8 25,8% 14 45,2%
3
10% 10 33,3% 12 40%

Yếu
Kém
SL
%
SL
%
5 16,1% 0
0%
5 16,7% 0
0 %

Kết luận chung và đề xuất, kiến nghị:
Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học

sinh khá và giỏi người giáo viên phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu.
Các bậc cha mẹ học sinh cần quan tâm hơn nữa đến việc học tập cuả con em

mình.
Các trường và phịng giáo dục và đào tạo tổ chức thêm các chuyên đề, ngoại
khóa để chúng tơi có điều kiện trao đổi và học hỏi thêm kinh nghiệm quý báu của
các đồng nghiệp.
Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu
tham khảo ... tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. ”Một số phương pháp giải
phương trình vô tỷ” là một tài liệu giúp học sinh học tập và tiếp thu dạng toán này
một cách tự nhiên, chủ động và nhẹ nhàng hơn, phần nào nâng cao năng lực tư duy,
sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phương trình vơ tỷ cho học sinh.
22


Trong quá trình nghiên cứu, với thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm giảng dạy
cũng chưa nhiều không thể tránh khỏi thiếu sót, hạn chế rất mong được sự giúp đỡ,
góp ý của đồng nghiệp để tài liệu này ngày một hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thụy Lương, ngày
XÁC NHẬN CỦA TỔ

tháng

năm 201

NGƯỜI VIẾT

Nguyễn Xuân Thưởng
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

MỤC LỤC
A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.........................................................................................1

I.Cơ sở nghiên cứu.................................................................................................1
2.Cơ sở thực tiễn:...............................................................................................2
II.Mục đích nghiên cứu:.........................................................................................2
III.Nhiệm vụ nghiên cứu:.......................................................................................2
IV.Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:....................................................................3
V.Phương pháp nghiên cứu:..................................................................................3
VI.Giả thuyết khoa học:.........................................................................................3
B. NỘI DUNG...........................................................................................................3
I. Phương pháp nâng lên luỹ thừa: ........................................................................3
1. Kiến thức vận dụng:.......................................................................................3
2. Ví dụ:.............................................................................................................4
Chú ý:.................................................................................................................5
4. Bài tập tương tự:............................................................................................6
II. Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.............6
1.Kiến thức vận dụng :.......................................................................................6
2. Ví dụ:.............................................................................................................6
22


3. Chú ý : ...........................................................................................................7
4. Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:..................................................7
III. Phương pháp đặt ẩn phụ:.................................................................................7
1.Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới:........................................................7
2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:..............................................................8
3. Chú ý:...........................................................................................................11
4. Bài tập áp dụng:...........................................................................................11
IV. Phương pháp bất đẳng thức:..........................................................................12
1. Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phương trình vơ nghiệm:......12
2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:................................................................12
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:..............................................................13

4. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt...................13
5. Bài tập áp dụng:...........................................................................................13
V. Phương pháp đưa phương trình về hệ phương trình:......................................14
1.Ví dụ:............................................................................................................14
VI.Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình vơ tỉ:................................16
VII. Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vơ tỉ:..............................18
1. Sai lầm thường gặp:.....................................................................................18
2.Ví dụ:............................................................................................................18
C. KẾT LUẬN.........................................................................................................21
I.Bài học kinh nghiệm:.........................................................................................21
II.Kết luận chung và đề xuất, kiến nghị:..............................................................22

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 9 tập 1- Nhà xuất bản giáo dục - Nhóm tác giả: Tơn Thân,
Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung , Ngô Hữu Dũng , Lê Văn Hồng, Nguyễn
Hữu Thảo.
22


2. Sách bài tập Toán 9 tập 1- Nhà xuất bản giáo dục - Nhóm tác giả: Tơn Thân, Vũ
Hữu Bình, Trần Phương Dung , Ngơ Hữu Dũng , Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu
Thảo.
3. Sách giáo viên Toán 9 tập 1- Nhà xuất bản giáo dục – Nhóm tác giả: Tôn Thân,
Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận.
4. Toán phát triển lớp 9 tập 1- Nhà xuất bản giáo dục – Tác giả Nguyễn Đức Tấn.
5. Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 9 mơn đại số - Nhà xuất bản giáo dục – Nhóm tác
giả Tô Thân, Đỗ Quang Thiều.
6. Một số vấn đề phát triển tốn 9 mơn đại số - Nhà xuất bản giáo dục - Nhóm tác
giả: Tơn Thân,Vũ Hữu Bình.
7. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9- Nhà xuất bản giáo dục – Tác giả

Bùi Văn Tuyên.
8. Toán học tuổi thơ 2 các số: 24, 30, 83, 90.

22