một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô ti
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (417.65 KB, 12 trang )
- -
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ là phƣơng trình, bất phƣơng trình có ẩn
dƣới dấu căn thức là các bài toán về phƣơng trình bất phƣơng trình siêu việt, cũng
nhƣ phƣơng trình, bất phƣơng trình lƣợng giác thƣờng đƣa về phƣơng trình, bất
phƣơng trình vô tỉ để giải. Chính vì thế việc khảo sát phƣơng trình , bất phƣơng
trình vô tỉ là rất cần thiết.
Trong những năm gần đây, phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ thƣờng xuất
hiện trong các đề thi Đại học- Cao đẳng và đề thi Học sinh giỏi. Do đó, việc biên
soạn một hệ thống các bài tập và phƣơng giải cho dạng toán này sẽ giúp ích cho
học sinh khi ôn luyện để thi học sinh giỏi và thi vào các trƣờng đại học –Cao đẳng
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Một trong những trọng tâm của đổi mới chƣơng trình và sách giáo khoa giáo
dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phƣơng pháp dạy học, thực hiện việc dạy
học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hƣớng
dẫn của giáo viên nhằm phát triển tƣ duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành
phƣơng pháp và nhu cầu tự học, bồi dƣỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin và niềm
vui trong học tập cho học sinh.Tiếp tục tận dụng các ƣu điểm của phƣơng pháp
truyền thống và dần dần làm quen với những phƣơng pháp dạy học mới.
Khi giải một bài toán, học sinh thƣờng cố gắng tìm ra một phƣơng pháp tối
ƣu, đẹp nhất, chặt chẽ, chính xác nhất trong nhiều cách giải bài toán đó.
Với cách học đó giúp các em tích lũy đƣợc nhiều kinh nghiệm giải toán và giải toán
sáng tạo. Để bổ sung cho học sinh phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình
vô tỉ tôi giới thiệu đề tài:
“Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ”
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1. Thuận lợi:
Đa số học sinh đều thích học môn Toán, các em học Toán để chuẩn bị cho
các kì thi Tốt nghiệp phổ thông, Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Ngoài ra,
đƣợc sự động viên, quan tâm và giúp đỡ của Ban Giám Hiệu cũng nhƣ của đồng
nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đề tài này.
2. Khó khăn:
Học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trƣờng, điều kiện kinh tế
khó khăn, ngoài thời gian học ở trƣờng các em còn phải làm giúp gia đình. Đa số
điểm đầu vào của học sinh còn thấp, vì thế cũng có phần khó khăn cho việc lĩnh hội
kiến thức.
- -
2
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Một số phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ khi giải bằng phƣơng pháp thông
thƣờng sẽ gặp rất nhiều khó khăn, vì có nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa
nhiều dấu căn khá phức tạp.
Ở đây tôi nêu ra ba phƣơng pháp để giải phƣơng trình , bất phƣơng vô tỉ là phƣơng
pháp biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ và phƣơng pháp vectơ.
1) Phương pháp biến đổi tương đương
Khi giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ ,đầu tiên ta phải đặt điều kiện
cho bài toán có nghĩa sau đó tìm cách tách căn thức và khử nó, có một số phép biến
đổi tƣơng đƣơng quan trọng sau :
Giả sử k là một số nguyên dƣơng
2
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
k
k
f x g x
f x g x
gx
21
21
( ) ( ) ( ) ( )
k
k
f x g x f x g x
22
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
kk
f x g x
f x g x
fx
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
kk
f x g x f x g x
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình x -
2x 3 0
(1)
Giải : ta có x -
2x 3
= 0
22
0
00
3
1
2x 3 2x 3
3
x
xx
x
x
xx
x
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình
1 8 3x 1x
(2)
- -
3
Giải: (2)
2
2
2
2
1 0 1
3
1 3x 1 8 3x 1 0
3x 4x 1 31 2x
4x 2 2 ( 1)(3x 1) 64
1 31
32
3x 4x 1 961 124x 4x
1 31
8
32
128x 960 0
x
x
x
x
x
x
x
x
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình 2
2 2 1 1 4x x x
(3)
KD -2005
Giải:
Điều kiện : x
-1 , (3)
2
2 ( 1 1) 1 4 2( 1 1) 1 4
1 2 3
x x x x
xx
Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình
2 2 2
3x 2 4x 3 2 5x 4x x x
(4)
Giải : Điều kiện
2
2
2
3x 2 0
4
4x 3 0
1
5x 4 0
x
x
x
x
x
Nếu x
4
Ta viết (4) dƣới dạng
( 1)( 2) ( 1)( 3) 2 ( 1)( 4)
( 1)( 2 3) 2 1 4
2 3 2 4
2 4 4 3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x
Vì x
4
nên vế trái dƣơng còn vế phải âm bất phƣơng trình nghiệm đúng
Vậy x
4
Nếu x
1
Ta viết (4) dƣới dạng
(1 )(2 ) (1 )(3 ) 2 (1 )(4 )
1 ( 2 3 ) 2 1 4
x x x x x x
x x x x x
Khả năng 1: x=1 là nghiệm
- -
4
Khả năng 2 : x<1 thì (4)
2 3 2 4
2 4 4 3
x x x
x x x x
Vế trái âm, vế phải dƣơng , (4) vô nghiệm
Vậy x=1 hoặc x
4
Bài tập:
1/ Giải các phƣơng trình
33
3 2 3 2
2
/ 34 3 1
/ (1 ) 2(1 )
3
/ 2 1 2 1
2
/ 5 5
a x x
b x x x x
x
c x x x x
d x x
2/ Giải bất phƣơng trình
22
42
2
/ ( 3) 4 9
/ 2 1
/ 2x 1 1
/ 2x 6x 1 2
a x x x
b x x x
c x x
dx
2) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình.
Đối với phƣơng pháp này ta có thể đƣa về hệ hai ẩn khác ẩn của phƣơng trình
hoặc có thể chỉ đặt một ẩn và ẩn còn lại của hệ là ẩn của phƣơng trình ban đầu.
a) Đặt một ẩn phụ.
Ta tìm phƣơng pháp chung để giải các phƣơng trình dạng
2
ax b cx dx e
và
3
32
ax b cx dx ex f
Dạng 1 :
2
1
( 0, 0, )ax b mx c x d a m m
a
.
Xét hàm số
2
1
()f x x cx d
a
.
Ta có
2
'( )f x x c
a
,
'( ) 0
2
ac
f x x
.
Đặt
2
ac
ax b y
, ta đƣa phƣơng trình dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình
2
55xx
.
Làm nháp: Xét hàm số
2
( ) 5f x x
.
Ta có
'( ) 2 , '( ) 0 0f x x f x x
.
- -
5
Giải
Đặt
5 ( 0)x y y
, ta đƣợc hệ phƣơng trình
2
2
5
5
xy
yx
Hệ này là hệ đối xứng loại 2.
Giải hệ ta đƣợc
1 21
2
1 21
2
x
y
(loại) hoặc
1 21
2
1 21
2
x
y
hoặc
1 17
2
1 21
2
x
y
hoặc
1 17
2
1 21
2
x
y
(loại)
Vậy phƣơng trình có hai nghiệm
1 21 1 17
,
22
xx
.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình
2
1 61 29
3
3 36 6
x x x
.
Làm nháp: Xét hàm số
2
29
( ) 3
6
f x x x
.
Ta có
1
'( ) 6 1, '( ) 0
6
f x x f x x
.
Giải
Đặt
1 61 1 1
()
3 36 6 6
x y y
, ta đƣợc hệ phƣơng trình
2
2
35
35
y y x
x x y
Suy ra
22
3( ) ( ) ( )(3 3 2) 0y x y x x y x y y x y x
hoặc
32
3
x
y
.
*Với
yx
, ta có
2
5
35
3
y y x
.
- -
6
*Với
32
3
x
y
, ta có
22
3 2 3 126
3 5 9 6 13 0
39
x
x x x x x
.Từ đây ta tìm
đƣợc
y
và kết luận nghiệm của phƣơng trình.
Dạng 2 :
2
1
( 0, 0, )ax b cx dx e a c a
c
.
Xét hàm số
2
()f x cx dx e
.
Ta có
'( ) 2f x cx d
,
'( ) 0
2
d
f x x
c
.
Đặt
2ax b cy d
, ta đƣa phƣơng trình dạng 2 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình
2
9 5 3 2 3x x x
.
Làm nháp: Xét hàm số
2
( ) 3 2 3f x x x
.
Ta có
1
'( ) 6 2, '( ) 0
3
f x x f x x
.
Giải
Đặt
1
9 5 3 1( )
3
x y y
, ta đƣợc hệ phƣơng trình
2
2
3 2 3 2
3 2 3 2
y y x
x x y
Từ đây ta có thể dễ dàng giải tiếp .
Dạng 3 :
3
32
1
( 0, 0, )ax b cx dx ex f a c a
c
.
Xét hàm số
3 2 2
( ) '( ) 3 2 ''( ) 6 2f x cx dx ex f f x cx dx e f x cx d
.
''( ) 0
3
d
f x x
c
.
Đặt
3
3
d
ax b y
c
, ta đƣa pt dạng 3 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 4: Giải phƣơng trình
3
3
1 2 2 1xx
.
Làm nháp: Xét hàm số
3
11
()
22
f x x
.
Ta có
2
3
'( ) , ''( ) 3 , ''( ) 0 0
2
f x x f x x f x x
.
- -
7
Giải
Đặt
3
21yx
, ta đƣợc hệ phƣơng trình
3
3
12
12
xy
yx
Trừ hai phƣơng trình của hệ vế theo vế, ta đƣợc :
33
22x y y x
22
22
( )( 2) 0
2 0( )
yx
y x y xy x
y xy x VN
Thay
xy
vào phƣơng trình ban đầu ta đƣợc :
3
2 1 0xx
15
1,
2
xx
.
Dạng 4 :
3
32
1
( 0, 0, )ax b cx dx ex f a c a
c
.
Xét hàm số
3 2 2
( ) '( ) 3 2 ''( ) 6 2f x cx dx ex f f x cx dx e f x cx d
.
''( ) 0
3
d
f x x
c
.
Đặt
3
3ax b cy d
, ta đƣa pt dạng 4 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 5: Giải phƣơng trình
3
32
4
81 8 2 2
3
x x x x
.
Làm nháp: Xét hàm số
32
4
( ) 2 2
3
f x x x x
.
Ta có
2
42
'( ) 3 4 , ''( ) 6 4, ''( ) 0
33
f x x x f x x f x x
.
Giải
Đặt
3
81 8 3 2xy
, ta đƣợc hệ phƣơng trình
32
32
4
32
3
4
32
3
y x x x
x y y y
Đáp số :
3 2 6
0;
3
xx
.
- -
8
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Giải các phƣơng trình sau :
1)
2
22xx
2)
2
4 3 5x x x
3)
3
3
2 3 3 2xx
;
4)
2
3 1 4 13 5x x x
5)
2
1 4 5x x x
6)
2
19
77
7 28
x x x
.
b) Đặt hai ẩn phụ.
Khi biểu thức dƣới dấu căn có mối liên hệ với nhau, ta đặt hai ẩn phụ để đƣa về
hệ phƣơng trình.
Ví dụ 6: Giải phƣơng trình
22
3 2 1x x x x
Giải
Đặt
2
3u x x
và
2
2 ( , 0)v x x u v
, ta đƣợc hệ phƣơng trình :
2 2 2
11
2
1
5 2 0
u v u v
u
v
u v v v
hoặc
1
2
u
v
(loại)
Đáp số :
15
2
x
.
Ví dụ 7: Giải phƣơng trình
33
34 3 1xx
Giải
Đặt
3
34ux
và
3
3vx
, ta đƣợc hệ phƣơng trình :
3 3 2 2 2 2
1 1 1
37 ( )( ) 37 ( 1) ( 1) 37
u v u v u v
u v u v u uv v v v v v
2
1
4
3
12 0
uv
u
v
vv
hoặc
3
4
u
v
.
Khi đó
3
3
34 3
34
x
x
hoặc
3
3
34 3
34
x
x
Giải ra đƣợc
30, 61xx
.
Ví dụ 8:Giải phƣơng trình
3
2 3 2 3 6 5 8 0xx
(ĐH Khối A- 2009)
Giải
Đặt
3
32ux
và
6 5( 0)v x v
, ta đƣợc hệ phƣơng trình :
- -
9
32
3 2 2
8 2 8 2
2 3 8
33
5 3 8
15 4 32 40 0 ( 2)(15 26 20) 0
uu
uv
vv
uv
u u u u u u
2
4
u
v
.Giải hệ
3
3 2 2
6 5 4
x
x
ta đƣợc
2x
.
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Giải các phƣơng trình
1/
2
49
7 7 ( 0)
28
x
x x x
.ĐS:
5 2 6
4
x
2/
4
4
47 2 35 2 4xx
.ĐS:
17; 23xx
.
3/
3
31xx
.ĐS:
1; 2 2xx
.
4/
2
64x x x
.ĐS:
3 17 5 13
;
22
xx
5/
3
2 1 1xx
.ĐS:
1; 2; 10.x x x
6/
32
5 1 2( 2)xx
.ĐS:
5 37
2
x
.
3) Vận dụng kiến thức vectơ để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ
Một số kiến thức vận dụng :
●
u v u v
●
( 0)u v u v u kv k
●
u v u v
●
( 0)u v u v u kv k
●
. . ( 0)u v u v u kv k
Ví dụ 9: Giải phƣơng trình
22
2 5 6 10 5x x x x
Giải
Phƣơng trình
22
( 1) 4 ( 3) 1 5xx
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
,chọn các vectơ có tọa độ nhƣ sau :
( 1;2)ux
( 3;1)vx
Ta có :
(2;1)uv
5uv
- -
10
22
( 1) 4 ( 3) 1u v x x
Vì
( 0)u v u v u kv k
nên
1
25
3
x
x
x
.
Vậy nghiệm của phƣơng trình là
5x
.
Ví dụ 10: Giải phƣơng trình
22
2 10 6 13 41x x x x
Giải
Phƣơng trình đã cho
22
( 1) 9 (3 ) 4 41xx
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
,chọn các vectơ có tọa độ nhƣ sau :
( 1;3)ux
(3 ;2)vx
Ta có :
(4;5)uv
41uv
22
( 1) 9 ( 3 ) 4u v x x
Vì
( 0)u v u v u kv k
nên
1 3 7
3 2 5
x
x
x
.
Vậy nghiệm của phƣơng trình là
7
5
x
.
Ví dụ 11: Giải phƣơng trình
23
(3 ) 1 5 2 40 34 10x x x x x x
Giải
Điều kiện:
5
1
2
x
.
PT
23
(3 ) 1 5 2 40 34 10x x x x x x
2
(3 ) 1 5 2 [(3 ) 1](4 )x x x x x
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
,chọn các vectơ có tọa độ nhƣ sau :
(3 ;1)ux
( 1; 5 2 )v x x
Ta có :
. (3 ) 1 5 2u v x x x
2 2 3
. (3 ) 1. 4 40 34 10u v x x x x x
Vì
. . ( 0)u v u v u kv k
nên
32
31
2 17 49 46 0 2
1 5 2
x
x x x x
xx
.
Vậy nghiệm của phƣơng trình là
2x
.
- -
11
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Giải các phƣơng trình
1/
3 4 8 6 1 1x x x x
.
ĐS:
5 10x
2/
22
8 816 10 267 2003x x x x
.
ĐS:
56
31
x
3/
2
2 4 6 11x x x x
. ĐS:
3x
4/
22
2 5 2 10 29x x x x
ĐS:
1
5
x
5/
2 1 2 1 2x x x x
.
6/
22
2 2 2 2 2 2x x x x
ĐS:
0x
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Qua thƣc tế giảng dạy, nếu học sinh nắm đƣợc những vấn đề lý thuyết cơ
bản về hình học và đại số- nhận dạng đƣợc các loại bài tập –phƣơng pháp giải từng
loại bài tập có hệ thống nhƣ trên thì sẽ giúp cho các em giải quyết đƣơc bài toán
giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ trong các đề thi Đại học-Cao đẳng một
cách nhanh chóng.
- Kết quả cho thấy: đa số HS biết ứng dụng và giải đƣợc các bài toán về giải
phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Sáng kiến kinh nghiệm góp phần thiết thực vào việc ôn thi đại học của học
sinh. Nó giúp học sinh thấy đƣợc cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả
khi nắm vững phƣơng pháp.
Tôi rất mong đƣợc hội đồng chuyên môn nhà trƣờng góp ý, bổ sung để đề tài
đƣợc hoàn thiện hơn và có thể triển khai áp dung rộng rãi để giảng dạy cho học
sinh lớp 12 chuẩn bị thi Đại học-Cao đẳng.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận đƣợc sự góp ý chân thành của
đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn nhà trƣờng để đề tài hoàn thiện hơn.
- -
12
Xác nhận cuả thủ trƣởng đơn vị
Thanh Hóa, ngày 25/5/2013
Tôi xin cam đoan trên đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
ngƣời khác.
Lê Văn Thảo
