CÁC CHUYÊN đề TOÁN PHỔ THÔNG tập 1

Diendantoanhoc.net
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF









































Tháng06/2015

Diendantoanhoc.net
Lêi nãi ®Çu



Tài liệu này không phải là tài liệu chính thức của Diễn đàn toán học
(VMF) nhưng do cá nhân tôi là thành viên của trang diễn đàn thảo luận toán
học này nên tôi xin mạo muội ghi xuất xứ là VMF mong quản trò của trang
web bỏ qua yếu tố trên.
Hàng năm mỗi giáo viên trung học phổ thông đều làm một sáng kiến
kinh nghiệm về lónh vực chuyên môn giảng dạy, tuy nhiên lượng kiến thức mà
thầy (cô) dày công bỏ ra nghiên cứu đa phần bò bỏ quên. Hôm nay tôi cố
gắng tổng hợp lại các sáng kiến kinh nghiệm để đưa vào chung thành một tài
liệu “CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN PHỔ THÔNG”. Để tiện cho việc tổng
hợp và theo dõi, tôi chia ra thành nhiều tập với độ dày mỗi tập tầm khoảng
50 trang. Chỉ là việc tổng hợp nội dung các sáng kiến để cho các bạn tham
khảo nên có điều gì sai sót mong các bạn bỏ qua.

Người tổng hợp
CD13


Tập này gồm các nội dung:
+ Một số sai lầm khi giải toán nguyên hàm – tích phân 1
+ Một số sai lầm khi giải toán nguyên hàm – tích phân 2
+ Phương pháp giải một số bài toán xác suất
+ Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức
+ Một số bài toán cực trò hình học toạ độ
+ Giải toán bằng phương pháp toạ độ


Diendantoanhoc.net
MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1

Trongquátrìnhgiảngdạynộidungnguyênhàm–tíchphântôinhậnthấynhiều
họcsinhcònmắcnhữngsailầmkhôngđángcó.Quabàiviếtnàythôngquanhữngvídụ
tôimuốncácemhọcsinhcóthểtựmìnhđiềuchỉnhkỹnănggiảitoánphầnnguyênhàm
–tíchphânđểcókếtquảtốtnhất.
1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
1.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
a, Ví dụ 1: chứng minh rằng
( ) (1 )

  
x
F x x e
 là một nguyên hàm của hàm
( )



x
f x xe
trênR.Từđóhãytìmnguyênhàmcủahàm
( ) ( 1) .

 
x
g x x e

*Một học sinh đã giải như sau:
F’(x)=-e
-x
+(1+x)e
-x
=f(x)vớimọix=>F(x)làmộtnguyênhàmcủahàmf(x)trênR.
     
1 1
    
   
          
   
   
x x x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e c e c
(1 ) .
  
     
x x x

x e e xe

* Phân tích: họcsinhviếtchunghằngsốcchomọiphéptínhnguyênhàm.
* Lời giải đúng:
     
1 2
1 1
    
   
          
   
   
x x x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e c e c


  
x
xe c

vớic=c
1
–c
2
.
b,
Ví dụ 2: Tính
cot

xdx


* Một học sinh đã giải như sau:
cos
cot
sin
 
 
x
I xdx dx
x
. Đặt
2
cos1
sinx sin
cos sinx



 

 
 
 
 
x
du dx
u
x
dv xdx v


2
1 sinx.cos
.sinx 1 0 1???
sinx
sin
      

x
I dx I
x

* Phân tích: họcsinhviếtchunghằngsốcchomọiphéptínhnguyênhàm.
* Lời giải đúng:
 
sinx
cos
cot ln sinx
sin sinx
    
  
d
x
I xdx dx c
x
.
1.2.Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 3: tính
 
3
I 2x 1 dx

 


* Một học sinh đã giải như sau:
 
 
4
3
2x 1
I 2x 1 dx c
4

   


* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
 Họcsinhvậndụngcôngthức
n 1
n
x
x dx c
n 1

 


vớin≠–1.
* Lời giải đúng:
Đặt2x+1=t
 

 
4
4
3
3
2x 1
dt dt t
dt 2dx dx 2x 1 dx t c c
2 2 8 8

          
 



Diendantoanhoc.net
1.3.Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân
Ví dụ 4: tínhtíchphân
 
2
2
2
dx
I
x 1






* Một học sinh đã giải như sau:
   
2
2 2
2 2
2 2
2
dx d(x 1) 1 1 4
I 1
x 1 3 3
x 1 x 1
 

   
     

 
 

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:hàmsố
 
2
1
y
x 1


khôngxácđịnhtại
 
x 1 2;2

   

* Lời giải đúng: Hàm số
 
2
1
y
x 1


 không xác định tại
 
x 1 2;2
   
suy ra hàm
khôngliêntụctrên
 
2;2

,dođótíchphântrênkhôngtồntại.
* Chú ý đối với học sinh: khitínhtíchphân
b
a
f(x)dx

cầnchúýkiểmtraxemhàmsố
y=f(x)cóliêntụctrênđoạn[a,b]không?Nếucóthìápdụngcácphươngphápđược
họcđểtínhtíchphânđãcho,cònnếukhôngthìkếtluậnngaytíchphânđókhôngtồntại.
1.4. Sai lầm khi biến đổi hàm số
Ví dụ 5: Tínhtíchphân

4
2
0
I x 6x 9dx
  


* Một học sinh đã giải như sau:
4
4 4 4
2
2 2
0 0 0
0
(x 3) 1 9
I x 6x 9dx (x 3) dx (x 3)d(x 3) 4
2 2 2

            
  

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Phépbiếnđổi
2
(x 3) x 3;x [0,4]
   
làkhôngtươngđương.
* Lời giải đúng:
 
4 4

2 2
0 0
4
3
2
4 3 4
2
0 0 3
0
3
I x 6x 9dx (x 3) dx
x 3
(x 3) 9 1
x 3d(x 3) (3 x)d(x 3) (x 3)d(x 3) 5
2 2 2 2
    

 
             
 
  

* Chú ý đối với học sinh:
   
2n
2n
f x f x
  
 
(n≥1,nnguyên)

   
b b
2n
2n
a a
f x dx f x dx
   
 
 
,taphảixétdấuhàmsốf(x)trênđoan[a,b]rồidùngtính
chấtđểbỏdấugiátrịtuyệtđối.
1.5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến
Ví dụ 6:Tínhtíchphân
1
2
0
I 1 x dx
 


* Một học sinh đã giải như sau:
Đặtx=sintsuyradx=costdt

Diendantoanhoc.net

1
1 1 1
2 2
0
0 0 0

1 os2 sin2 1 1
1 sin .cos . os . . ( ) sin2
2 2 4 2 4

        
  
c t t t
I t t dt c t dt dt

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhđổibiếnnhưngkhôngđổicận.
* Lời giải đúng:Đặtx=sintsuyradx=cost.dt
   Đổicận:
x 0 t 0;x 1 t
2

     

2 2 2
2
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin2
1 sin .cos . os . . ( )
2 2 4 4

       
  
c t t t
I t t dt c t dt dt

  



* Chú ý đối với học sinh:
Khigặp tíchphândạng
b
2 2
a
I c x dx
 

,nếu tíchphântồn tại thìthôngthườngta
tínhtíchphânbằngcáchđặtx=c.sint(hoặcx=c.cost)đổicận,chuyểnvềtínhtíchphân
theot.
Ví dụ 7:Tínhtíchphân
1
3
4
2
0
x
I dx
1 x




* Một học sinh đã giải như sau:
Đặtx=sintsuyradx=costdt.Đổicân:

1 1
x 0 t 0;x t arcsin
4 4
     

1 1 1
arcsin arcsin arcsin
3 3
4 4 4
3
2
0 0 0
sin t sin t
I cost.dt cost.dt sin t.dt
cost
1 cos t
   

  

Đếnđâyhọcsinhthườngrấtlúngtúngvìsốlẻ,dođócácemkhôngtìmrađượcđápsố.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:khigặptíchphâncủahàmsốcóchứabiểuthức
2
1 x

thôngthườngtađặtx=sint(hoặcx=cost);nhưngđốivớivídụ7,nếulàmtheocách
nàysẽgặpkhókhănkhiđổicận.Cụthểkhix=1/4takhôngtìmchínhxácđượct.
* Lời giải đúng:
 Đặtt=
2 2 2

t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx xdx tdt         

 Đổicận:
1 15
x 0 t 1;x t
4 4
     

15 15
15
2 3
4 4
4
2
1 1
1
(1 t )( tdt) t 15 15 15 2 33 15 2
I (1 t )dt t
t 3 192 4 3 192 3
 
  
           
 
 
 

* Chú ý đối với học sinh: khigặptíchphâncủahàmsốcóchứabiểuthức
2
1 x
,nếu

câncủatíchphânlàgiátrịlượnggiáccủagócđặcbiệtthìtamớitínhtíchphânbằng
cáchđặtx=sint(hoặcx=cost)cònnếukhôngthìtaphảitìmphươngphápkhác.
1.6 Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa
Ví dụ 8:Tínhtíchphân
0
2
1
1
I dx
x 2x 2


 


* Một học sinh đã giải như sau:

Diendantoanhoc.net
0 0
0
2 2
1
1 1
1 1
I dx dx arctan(x 1) arctan0 arctan( 1)
4
x 2x 2 (x 1) 1

 


       
   
 

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:SGKhiệnhànhkhôngcungcấpcôngthức
      
2
1
dx arctanx c
1 x
 



* Lời giải đúng:
0 0
2 2
1 1
1 1
I dx dx
x 2x 2 (x 1) 1
 
 
   
 

Đặtx+1=tant
2
2
1

dx dt (1 tan t)dt
cos t
   
.Đổicận:
x 0 t ;x 1 t 0
4

     

4 4
2
4
2
0
0 0
1
I .(1 tan t)dt dt t
4
1 tan t
 


     

 

* Chú ý đối với học sinh:khigặptíchphândạng
b
2 2
a

1
I dx
c x



,thìtatínhtíchphânbằng
cáchđặtx=c.tant(hoặcx=c.cott).Chúýcôngthức
2 2
2 2
1 1
1 tan t ;1 cot t
cos t sin t
   
.
1.7. Hiểu sai bản chất công thức
Ví dụ 9:Tínhtíchphân
2
x
0
I xe dx



*Một học sinh đã giải như sau: Đặt
x x
u x u' 1
v' e v e
 
 


 
 
 

   
2
2 2
x x 2 x 2 2 2
0 0
0
I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1         


* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhhiểusaibảnchấtcôngthứclấytíchphântừng
phần.
* Lời giải đúng:Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 

   
2
2 2

x x 2 x 2 2 2
0 0
0
I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1         


1.8.Sử dụng sai công thức
Ví dụ 10.
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđườngy=9–x
2
;y=0;x=1;x=4.
*Một học sinh đã giải như sau:diệntíchhìnhphẳngcầntìmlà
4
4
3
2
1
1
x
S (9 x )dx (9x ) 6
3
    


* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhvậndụngsaicôngthứctínhdiệntíchhình
phẳng.
* Lời giải đúng:diệntíchhìnhphẳngcầntìmlà

Diendantoanhoc.net
3 4

4 3 4 3 4
3 3
2 2 2 2 2
1 1 3 1 3
1 3
x x 38
S 9 x dx 9 x dx 9 x dx (9 x )dx (x 9)dx 9x 9x
3 3 3
   
              
   
   
    

2.Một số bài tập tương tự

 
5
2
0
dx
1/
x 4


    
 
1
5
2

2
0
2/ x x 1 dx




2
4
0
dx
3/
cos x


    
1
3 x 2
3
1
x e x
3/ dx
x

 

  

5
2

0
dx
5/
x 3x 2 

   
0
6/ 1 sin2xdx





2
2
2
1
2
1
7/ x 2.dx
x
 

   
3
3 2
0
8/ x 2x x.dx
 




3
2 2
6
9/ tan x cot x 2.dx


 

  
8
2
4
x 16
10/ dx
x




5
3
2
0
2x 2x 3
11/ dx
x 1
 



   
1
3
3
8
0
x dx
12/
1 x



7
3
2
0
x dx
13/
1 x


    
2
2
1
dx
14/
x 1 x



.

Diendantoanhoc.net
MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 2



Mộtsốsailầmcủahọcsinhkhitínhtíchphân
Bài 1:Tínhtíchphân:I=



2
2
2
)1(x
dx

*Sailầmthườnggặp:I=



2
2
2
)1(x
dx
=





2
2
2
)1(
)1(
x
xd
=-
1
1
x
2
2
=-
3
1
-1=-
3
4

*Nguyênnhânsailầm:
Hàmsốy=
2
)1(
1
x
khôngxácđịnhtạix=-1

 
2;2
suyrahàmsốkhôngliêntụctrên
 
2;2
nênkhôngsửdụngđượccôngthứcNewtơn–Leibnitznhưcáchgiảitrên.
*Lờigiảiđúng
Hàmsốy=
2
)1(
1
x
khôngxácđịnhtạix=-1
 
2;2
suyrahàmsốkhôngliêntụctrên
 
2;2
dođótíchphântrênkhôngtồntại.
*Chúýđốivớihọcsinh:
Khitính
dxxf
b
a
)(

cầnchúýxemhàmsốy=f(x)cóliêntụctrên
 
ba;
không?Nếucóthì

ápdụngphươngphápđãhọcđểtínhtíchphânđãchocònnếukhôngthìkếtluậnngay
tíchphânnàykhôngtồntại.
*Một số bài tập tương tự:
Tínhcáctíchphânsau:
1/


5
0
4
)4(x
dx
.   2/
dxxx
2
1
3
2
2
)1( 


.
3/
dx
x

2
0
4

cos
1

    4/
dx
x
xex
x



1
1
3
23
.

Bài 2:Tínhtíchphân:I=



0
sin1 x
dx

*Sailầmthườnggặp:Đặtt=tg
2
x
thìdx=
2

1
2
t
dt

;
xsin1
1

=
2
2
)1(
1
t
t





 x
dx
sin1
=


2
)1(
2

t
dt
=



2
)1(2 t
d(t+1)=
1
2
t
+c

I=



0
sin1 x
dx
=
1
2
2


x
tg


0
=
1
2
2



tg
-
10
2
tg

dotg
2

khôngxácđịnhnêntíchphântrênkhôngtồntại.
*Nguyênnhânsailầm:
Đặtt=tg
2
x
x
 

;0
tạix=

thìtg
2

x
khôngcónghĩa.
*Lờigiảiđúng:


Diendantoanhoc.net
I=



0
sin1 x
dx
=






































0
0
2
0
42
42
cos
42
2

cos1
x
tg
x
x
d
x
dx
=tg
2
44










tg
.
*Chúýđốivớihọcsinh:
Đốivớiphươngphápđổibiếnsốkhiđặtt=u(x)thìu(x)phảilàmộthàmsốliêntụcvà
cóđạohàmliêntụctrên
 
ba;
.
*Một số bài tập tương tự:

Tínhcáctíchphânsau:
1/


0
sin x
dx
     2/



0
cos1 x
dx

Bài 3:TínhI=


4
0
2
96xx
dx
*Sailầmthườnggặp:
I=


4
0
2

96xx
dx=
     
 
4
2
9
2
1
2
3
333
4
0
4
0
2
4
0
2




x
xdxdxx

*Nguyênnhânsailầm:
Phépbiếnđổi
 

33
2
 xx
vớix
 
4;0
làkhôngtươngđương.
*Lờigiảiđúng:
I=


4
0
2
96xx
dx
=
           
 

3
0
4
3
4
0
4
0
2
3333333 xdxxdxxdxdxx


=-
   
5
2
1
2
9
2
3
2
3
4
3
2
3
0
2



 xx
.
*Chúýđốivớihọcsinh:
    
xfxf
n
n

2

2

 
Nnn  ,1

I =
  


b
a
n
n
xf
2
2
 
dxxf
b
a

ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
 
ba;
 rồi dùng tính chất tích
phântáchIthànhtổngcácphânkhôngchứadấugiátrịtuyệtđối.
Một số bài tập tương tự:
1/I=




0
2sin1 x
dx;   2/I=


3
0
23
2 xxx
dx
3/I=








2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx  4/I=



3
6
22
2cot


xgxtg
dx
Bài 4:TínhI=



0
1
2
22xx
dx

*Sailầmthườnggặp:
I=
 
 
 
4
011
11
1
0

1
0
1
2







arctgarctgxarctg
x
xd


Diendantoanhoc.net
*Nguyênnhânsailầm:
Họcsinhkhônghọckháiniệmarctgxtrongsáchgiáokhoahiệnthời.
*Lờigiảiđúng:
Đặtx+1=tgt
 
dtttgdx
2
1 

vớix=-1thìt=0
vớix=0thìt=
4



KhiđóI=
 




4
0
4
0
4
0
2
4
1
1




tdt
ttg
dtttg

*Chúýđốivớihọcsinh:
Cáckháiniệmarcsinx,arctgxkhôngtrìnhbàytrongsáchgiáokhoahiệnthời.Học
sinhcóthểđọcthấymộtsốbàitậpápdụngkháiniệmnàytrongmộtsáchthamkhảo,vì
cácsáchnàyviếttheosáchgiáokhoacũ(trướcnăm2000).Từnăm2000đếnnaydocác
kháiniệmnàykhôngcótrongsáchgiáokhoanênhọcsinhkhôngđượcápdụngphương

phápnàynữa.Vìvậykhigặptíchphândạng


b
a
dx
x
2
1
1
tadùngphươngphápđổibiếnsố
đặtt=tgxhoặct=cotgx;



b
a
dx
x
2
1
1
thìđặtx=sinthoặcx=cost
*Một số bài tập tương tự:
1/I=


8
4
2

16
dx
x
x
    2/I=
dx
x
xx



1
0
2
3
1
322

3/I=


3
1
0
8
3
1 x
dxx

Bài 5:

Tính:I=


4
1
0
2
3
1
dx
x
x

*Suyluậnsailầm:Đặtx=sint,dx=costdt
 


dt
t
t
dx
x
x
cos
sin
1
3
2
3


Đổicận:vớix=0thìt=0
vớix=
4
1
thìt=?
*Nguyênnhânsailầm:
Khigặptíchphâncủahàmsốcóchứa
2
1 x
thìthườngđặtx=sintnhưngđốivớitích
phânnàysẽgặpkhókhănkhiđổicậncụthểvớix=
4
1
khôngtìmđượcchínhxáct=?
*Lờigiảiđúng:Đặtt=
2
1 x

dt=
xdxtdtdx
x
x


2
1

Đổicận:vớix=0thìt=1;vớix=
4
1

thìt=
4
15


Diendantoanhoc.net
I=


4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
 
 
 





















4
15
1
4
15
1
4
15
1
3
2
2
3
2
192
1533
3
2

192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt

*Chúýđốivớihọcsinh:Khigặptíchphâncủahàmsốcóchứa
2
1 x
thìthườngđặtx
=sinthoặcgặptíchphâncủahàmsốcóchứa1+x
2
thìđặtx=tgtnhưngcầnchúýđến
cậncủatíchphânđónếucậnlàgiátrịlượnggiáccủagócđặcbiệtthìmớilàmđượctheo
phươngphápnàycònnếukhôngthìphảinghĩđếnphươngphápkhác.
*Một số bài tập tương tự:
1/tínhI=
dx
x
x


7
0
2

3
1
  2/tínhI=


2
1
2
1xx
dx


Bài 6:tínhI=




1
1
4
2
1
1
dx
x
x

*Sailầmthườngmắc:I=
 
 



















1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1

1
1
1
1
dx
x
x
x
x
x
x

Đặtt=x+
dx
x
dt
x







2
1
1
1

Đổicậnvớix=-1thìt=-2;vớix=1thìt=2;

I=



2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2





=(ln
2t
-ln
2t
)

2
2
2
2
2
2
ln




t
t

=ln
22
22
ln2
22
22
ln
22
22










*Nguyênnhânsailầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x





làsaivìtrong
 
1;1
chứax=0nênkhôngthể
chiacảtửcảmẫuchox=0được
*Lờigiảiđúng:
xéthàmsốF(x)=

12
12
ln
22
1
2
2


xx
xx

F
’
(x)=
1
1
)
12
12
(ln
22
1
4
2
2
2







x
x
xx
xx

DođóI=




1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2



xx
xx
ln
2
1
1
1


22
22



*Chúýđốivớihọcsinh:Khitínhtíchphâncầnchiacảtửcảmẫucủahàmsốchoxcần
đểýrằngtrongđoạnlấytíchphânphảikhôngchứađiểmx=0.

Diendantoanhoc.net
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT


Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản
Cácbàitoántínhxácsuấtđơngiảnkhôngcónghĩalàbàitoándễ.Ởđâytôimuốn
đềcậpđếncácbàitoánchỉsửdụngcôngthứcđịnhnghĩaxácsuấtcổđiểnmàkhôngcần
dùngđếnquytắccộng,quytắcnhânxácsuất

Bài toán 1.
ChomộtlụcgiácđềuABCDEF.ViếtcácchữcáiA,B,C,D,E,Fvao6thẻ.Lấy

ngẫunhiênhaithẻ.Tìmxácsuấtsaochođoạnthẳngmàcácđầumútlàcácđiểmđược
ghitrên2thẻđólà:
a) Cạnhcủalụcgiác.
b) Đườngchéocủalụcgiác.
c) Đườngchéonối2đỉnhđốidiệncủalụcgiác.
(Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11)
Phân tích
Đâycóthểcoilàmộtbàitoánđếm:đếmtổngsốcạnhvàđườngchéocủamộtlục
giácđều.Chúngtađãbiếttừ6điểmphânbiệtsaochokhôngcó3điểmnàothẳnghàng
cóthểtạorađược đoạnthẳng.
Dođónếugọi:
 làbiếncố“Đoạnthẳngmàcácđầumútlàcácđiểmđượcghitrênhaithẻlà
cạnhcủalụcgiác”
 làbiếncố“Đoạnthẳngmàcácđầumútlàcácđiểmđượcghitrênhaithẻlà
đườngchéocủalụcgiác”
 làbiếncố“Đoạnthẳngmàcácđầumútlàcácđiểmđượcghitrênhaithẻlà
đườngchéonốihaiđỉnhđốidiệncủalụcgiác”
Vàtacó 



Bài toán 2.
Xếpngẫunhiênbabạnnamvàbabạnnữngồivàosáughếkêtheohàngngang.
Tìmxácsuấtsaocho:
a) Namnữngồixenkẽnhau.

Diendantoanhoc.net
b) Babạnnamngồicạnhnhau.
(Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11)
Phân tích:

Đâytuylàmộtbàitoánxácsuấtnhưngthựcchấtnólạilàmộtbàitoánđếmtrongtổ
hợp.Đólàtậphợpcủacácbàitoántổhợpnhỏquenthuộcnhưsau:
(1) Cóbaonhiêucáchxếp3bạnnamvà3bạnnữvào6ghếkêtheohàngngang
(Đápsố: cách).
(2) Cóbaonhiêucáchxếp3bạnnamvà3bạnnữvà6ghếkêtheohàngngang,biết
rằngnamnữngồicạnhnhau,
(Đápsố: cách).
(3) Cóbaonhiêucáchxếp3bạnnamvà3bạnnữvà6ghếkêtheohàngngang,biết
rằngbabạnnamngồicạnhnhau.
(Đápsố:4. cách)
Nhưvậybàitoántrênđượcgiảinhưsau
Lời giải:
Gọi làbiếncố“Xếp3họcsinhnamvà3họcsinhnữvào6ghếkêtheohàngngang
mànamvànữxenkẽnhau”
Và làbiếncố“Xếp3họcsinhnamvà3họcsinhnữvào6ghếkêtheohàngngang
mà3bạnnamngồicạnhnhau”
Tacó 
Suyra


Nhưvậyphầnlớncácbàitoándạng1làcácbàitoánsửdụngcôngthứcvàkĩthuật
củatoántổhợp.Đốivớicácbàitoánnhưvậythìhọcsinhchỉcầnphảinắmvữngcông
thứcvềtổhợpvàđịnhnghĩaxácsuất.
Bêncạnhđó,cónhữngbàitoánchỉcầndùngphươngphápliệtkê.
Bài toán 3.
 Gieomộtconsúcxắc,cânđốivàđồngnhất.Giảsửconsúcxắcsuấthiệnmặtb
chấm.Xétphươngtrình 
Tínhxácsuấtsaochophươngtrìnhcónghiệm.
(Bài4trang74sách Đại số và giải tích 11)
Lời giải:

Kýhiệu“consúcxắcsuấthiệnmặtbchấm”làb:

Diendantoanhoc.net
Khônggianmẫu: 
GọiAlàbiếncố:“Phươngtrìnhcónghiệm”
Tađãbiếtphươngtrình cónghiệmkhi 
Dođó 

Tuynhiên,phươngphápliệtkêchỉcóhiệuquảkhisốphầntửcủabiếncốlànhỏ.Nếusố
phầntửlớnthìviệcliệtkêtrởnênkhókhănvàdễxétthiếuphầntử
Bài toán 4.
 Trênmộtcáivònghìnhtròndùngđểquaysổsốcógắn36consốtừ01đến36.
Xácsuấtđểbánhxesaukhiquaydừngởmỗisốđềunhưnhau.Tínhxácsuấtđểkhiquay
hailầnliêntiếpbánhxedừnglạiởgiữasố1vàsố6(kểcả1và6)tronglầnquayđầuvà
dừnglạiởgiữasố13và36(kểcả13và36)tronglầnquaythứ2.
Phân tích:Rõrànglàtrongbàitoánnàytakhôngthểsửdụngphươngphápliệtkêvìsố
phầntửcủabiếncốlàtươngđốilớn.Ởđâytasẽbiểudiễntậphợpdướidạngtínhchất
đặctrưngđểtínhtoán.
GọiAlàbiếncốcầntínhxácsuất


Có6cáchchọni,ứngvớimỗicáchchọnicó25cáchchọnj(từ13đến36có25số)dođó
theoquytắcnhân 

Tacùngxétmộtbàitoánkháthúvịsau:
Bài toán 5
Gieomộtđồngtiềncânđốiđồngchấtliêntiếpchođếnkhilầnđầutiênxuấthiệnmặt
ngửahoặccả6lầnxuấthiệnmặtsấpthìdừnglại.
a) Môtảkhônggianmẫu.
b) Tínhxácsuất:

A:“Sốlầngieokhôngvượtquába”
B:“Sốlầngieolànăm”
C:“Sốlầngieolàsáu”
Phân tích:Đốivớibàitoánnàyrấtnhiềuhọcsinhlúngtúngkhôngbiếtcáchxácđịnh
khônggianmẫuvìhọcsinhvốnquenvớicácbàitoánchotrướcsốlầngieo.Bàitoánnày
trướchếtphảixácđịnhđượcsốlầngieo.Giáoviêncóthểgợiýchohọcsinhbằngcác
câuhỏinhư:

Diendantoanhoc.net
o Nếukhôngcógiảthiết“cả6lầnxuấthiệnmặtsấpthìdừnglại”thìtaphảigieo
đồngtiềnbaonhiêulần?
o Nếukếthợpvớigiảthiết“cả6lầnxuấthiệnmặtsấpthìdừnglại”thìtaphảigieo
đồngtiềntốiđabaonhiêulần?
Tấtnhiênvớicâuhỏiđầutiênhọcsinhkhôngthểđưaramộtconsốcụthểvìnếu
gieo100lầnvẫncóthểlàcả100lầnđềuxuấthiệnmặtsấpdođóvẫnchưathểdừnglại
nhưnghọcsinhđãhìnhdungradạngcácphầntửđầutiên.Vớicâuhỏithứhaihọcsinh
cóthểtrảlờiđượcsốlầngieotốiđalà6.Từđóhọcsinhcóthểxácđịnhđượckhônggian
mẫu.
Lời giải
a) Khônggianmẫu 
b) Tacó:



Sauđâytôixintrìnhbàyphươngphápgiảimộtsốbàitoánbằngcáchsửdụngcácquy
tắctínhxácsuấtđãhọc.
Dạng 2: Biến cố đối
Trongtoánhọc,cónhữngbàitoánkhitínhtoántrựctiếprấtdàidòngvàphứctạp.
Khiđóphươngphápgiántiếplạirấthiệuquảvàchotacáchlàmngắngọn.Phươngpháp
sửdụngbiếncốđốilàmộtphươngphápnhưvậy

Bài toán 6
Gieođồngtiềnxucânđốiđồngchất3lần.Tínhxácsuấtcủacácbiếncố:
a) BiếncốA:“Trong3lầngieocóítnhấtmộtlầnxuấthiệnmặtngửa”.
b) BiếncốB:“Trong3lầngieocócảhaimặtsấp,ngửa”.
Phân tích:
Họcsinhcóthểgiảiquyếtbàitoántheođịnhhướnglà:ítnhất1lầnxuấthiệnmặt
ngửathìcó3khảnăngcóthểxảyralà:1lầnxuấthiệnmặtngửa,hailầnxuấthiệnmặt
ngửa,balầnxuấthiệnmặtngửa.
Dovậyhọcsinhsẽgiảibàitoánnhưsau:


Suyra


Diendantoanhoc.net
Tuynhiênlàmnhưvậydàivàrấtdễbỏquêntrườnghợp.Tuynhiênnếuđểýrằng
biếncốđốicủabiếncốAlàbiếncố :“Khôngcólầnnàoxuấthiệnmặtngửa”.Dođó
bàitoánnàysẽđượcgiảinhưsau:
Lời giải
Khônggianmẫu 
a) TacóbiếncốđốicủabiếncốAlàbiếncố:
:“Khôngcốlầnnàoxuấthiệnmặtngửa”
Vàtacó 
b) Tươngtựtacó:

Bài toán 7.
Gieongẫunhiênmộtconsúcsắccânđốiđồngchấthailần.Tínhxácsuấtcủacác
biếncốsau:
a) BiếncốA:“Tronghailầngieoítnhấtmộtlầnxuấthiệnmặtmộtchấm”
b) BiếncốB:“Tronghailầngieotổngsốchấmtronghailầngieolàmộtsốnhỏ

hơn11”
Phân tích:Đốivớibàitoánnàydùngphươngphápsửdụngbiếncốđốilàphươngpháp
tốiưubởilẽnếutínhtrựctiếptaphảixétrấtnhiềutrườnghợp
o ĐốivớibiếncốA
 Mặtmộtchấmxuấthiệnlầnthứnhất
 Mặtmộtchấmxuấthiệnlầnthứhai
 Hailầngieođềuxuấthiệnmặtmộtchấm(khảnăngnàylạinằmtrongcả
haikhảnăngtrên)
o ĐốivớibiếncốB.Tổngsốtronghailầngieolàmộtsốnhỏhơn11tứclàcó10
khảnăngxảyra:1,2,…,10
Lời giải:
Khônggianmẫu 
a) Tacóbiếncốđối 

b) Tacó:

Diendantoanhoc.net


Phươngphápsửdụngbiếncốđốilàmộtphươngpháphay,tuynhiênđểvậndụng
đượcphươngphápnàyhọcsinhcầnnắmđượchaiyếutố:
o Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”, “tất
cả”…hoặctínhchẵn,lẻ,vônghiệm,cónghiệm,…nếutínhkiểubùgọnhơnthìta
dùngbiếncốđối
o Xácđịnhtốtmệnhđềphủđịnhvàphéptoánlấyphầnbùcủamộttậphợpđểtránh
xácđịnhsaibiếncốđối.
Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân
Bài toán 8.
Gieođồngthờihaiconsúcsắc.Tínhxácsuấtsaocho:
a) Haiconsúcsắcđềuxuấthiệnmặtchẵn.

b) Tíchsốchấmtrên2consúcsắclàsốchẵn.
Phân tích:
a) Đốivớibàitoánnàyphầnlớnhọcsinhđềugiảibằngcáchđếmsốphầntửcủa
biếncố.họcsinhtrungbìnhthườngliệtkêphầntửvàđếmtrựctiếp.Tấtnhiênlàcách
giảinàyrấtdàivàcóthểlàmsótphầntửdẫntớigiảisai.Họcsinhkháhơnthìsửdụng
tínhtoánđểđếmsốphầntửnhưsau:
Tacó 
Chọn làbiếncố“Haiconsúcsắcđềuxuấthiệnmặtchẵn”
Dođó 
Có3cáchchọn ,vớimỗicáchchọn tacó3cáchchọn .Dođócó9cách
chọn 

Tôithấyrằngđâylàmộtlờigiảihợplý,tuynhiênbàitoánnàycóthểđượcgiải
quyếtmộtcáchđơngiảnhơnkhitasửdụngquytắcxácsuất.Chonêngiáoviêncóthể
gợimở,dẫndắthọcsinhđểđitớigiảibàitoántheođịnhhướngnàynhưsau:
GọiAlàbiếncố“Consúcsắcthứnhấtxuấthiệnmặtchẵn”

Diendantoanhoc.net
Blàbiếncố“Consúcsắcthứhaixuấthiệnmặtchẵn”
Xlàbiếncố“Haiconsúcsắcđềuxuấthiệnmặtchẵn”
Thấyrằng và làhaibiếncốđộclậpvà  
(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)
Dovậytacó:

b) Gọi làbiếncố“Tíchsốchấmtrên2consúcsắclàsốchẵn”
Có3khảnăngxảyrađểtíchsốchấmtrênconsúcsắclàsốchẵn:
 Consúcsắcthứnhấtxuấthiệnmặtchẵn,consúcsắcthứhaixuấthiệnmặtlẻ.
 Consúcsắcthứnhấtxuấthiệnmặtlẻ,consúcsắcthứhaixuấthiệnmặtchẵn.
 Cảhaiconsúcsắccùngxuấthiệnmặtchẵn.
Vàtacó “Tíchsốchấmtrên2consúcsắclàsốlẻ”chỉcó1khảnănglàcảhaicon

súcsắcđềuxuấthiệnmặtlẻ.
Nhưvậymộtlầnnữatalạithấyưuthếcủabiếncốđối.
Tacó và , độclậpnêntacó:

Vàdođó

Bàitoántrêntađãsửdụngquytắcnhânxácsuất.Muốnsửdụngđượcquytắcnhânphải
khẳngđịnhđượchaibiếncốlàđộclập.Vậyhaibiếncốthườngđộclậptrongcácphép
thửnào?Tấtnhiênởđâytôikhôngthểnêutấtcảmàchỉđưaramộtsốtrườnghợpquen
thuộc
o Gieohaiđồngtiềnhoặcgieođồngtiềnhailầnthìbiếncốxảyratrong
lầngieonàyđộclậpvớibiếncốxảyratronglầngieokia.Tươngtựđốivớicon
súcsắc.
o Haixạthủbắnsungthìsựbắntrúnghaytrượtcủangườinàykhông
ảnhhưởngtớingườikia.Dođócácbiếncốliênquanđếnngườinàyđộclậpvới
biếncốliênquanđếnngườikia.Tươngtựđốivớimộtngườibắnhaiphátsung
o Cóhaicáihòmđựngbóng.Lấytừmỗihòmramộtquảbóngthìbiến
cốlấyrabóngcủahòmnàysẽđộclậpvớibiếncốlấyrabóngởhòmkia.Tương
tựđốivớibàitoánlấybi,lấycầu 
Chúýrằng:NếuAvàBđộclậpthì và ; vàB;Avà cũngđộclập

Diendantoanhoc.net
Cũnggiốngnhưquytắccộngvàquytắcnhântrongtoántổhợp,đốivớibiếncố
xảyrakhảnăngnàyhoặckhảnăngkiathìtasửdụngquytắccộngxácsuất.Còn
vớibiếncốthựchiệnlientiếphaihànhđộngthìtadùngquytắcnhân
Bài toán 9.
Tronghòmcó10chitiết,trongđócó2chitiếthỏng.Tìmxácsuấtđểkhilấyngẫu
nhiên6chitiếtthìcókhôngquá1chitiếthỏng.
Phân tích:Trong6chitiếtthìcókhôngquá1chitiếthỏngnghĩalàkhôngcóchitiếtnào
hỏnghoặccómộtchitiếthỏng.Bàitoánnàykhôngthểgiảitheodạng1màphảisửdụng

phéptínhxácsuất.Đâylàbàitoándùngquytắccộngxácsuất
Lời giải
Gọi làbiếncố“Trong6chitiếtlấyrakhôngcóchitiếtnàohỏng”
làbiếncố“trong6chitiếtlấyracó1chitiếthỏng”
làbiếncố“Trong6chitiếtlấyracókhôngquá1chitiếthỏng”
Khiđó .Do và xungkhắcnhaunên

Sốcáchlấyra6chitiếttừ10chitiếtlà 

Có8chitiếtkhôngbịhỏngnên

Sốcáchlấy5chitiếttừ8chitiếtbịhỏnglà 
Sốcáchlấy1chitiếttừ2chitiếthỏnglà 
Theoquytắcnhântacó

Dovậytacó:



Bài toán 10
Cóhaihộpcùngchứacácquảcầu.Hộpthứnhấtcó7quảcầuđỏ,5quảcầuxanh.
Hộpthứhaicó6quảcầuđỏ,4quảcầuxanh.Từmỗihộplấyrangẫunhiên1quả
cầu.
a) Tínhxácsuấtđể2quảcầulấyracùngmàuđỏ.

Diendantoanhoc.net
b) Tínhxácsuấtđể2quảcầulấyracùngmàu.
Phân tích:Bàitoánnàyvẫncóthểgiảitheodạng1,tuynhiênviệcgiảirấtdàidòngvà
phứctạp.Nếusửdụngphốihợpquytắccộngvàquytắcnhânthìviệcgiảiquyếtbàitoán
trởnênđơngiảnhơnrấtnhiều.

Lời giải
a) Gọi:
 Alàbiếncố“Quảcầulấyratừhộpthứnhấtmàuđỏ”
Blàbiếncố“Quảcầulấyratừhộpthứhaimàuđỏ”
Xlàbiếncố“Haiquảcầulấyracùngmàuđỏ”
Tacó  ,  
MặtkhácAvàBđộclậpnên

b) Gọi:
Ylàbiếncố“Haiquảcầulấyracùngmàuxanh”
Zlàbiếncố“Haiquảcầulấyracùngmàu”
Tacó 
Mặtkhác và độclậpnên

Thấyrằng nên

Nhữngbàitoánsửdụngquytắccộngxácsuấtvàquytắcnhânxácsuấtlàcácbàitoán
luôntínhđượcxácsuấtcủabiếncốcơsở(cácbiếncốcầntínhxácsuấtbiểudiễnquacác
biếncốnày).Chúngtađểýcácxácsuấtsau:
o Khigieomộtđồngtiềnxucânđối,đồngchấtthì
 Xácsuấtxuấthiệnmặtsấplà 
 Xácsuấtxuấthiệnmặtngửalà 
o Khigieomộtconsúcsắccânđốiđồngchấtthì
 Xácsuấtxuấthiệntừngmặtlà 
 Xácsuấtxuấthiệnmặtcósốchấmlàchẵn: 

Diendantoanhoc.net
 Xácsuấtxuấthiệnmặtsốchấmlàlẻ: 
 Xácsuấtxuấthiệnmặtsốchấmlàsốchiahếtcho3: 
Đốivớicácphépthửkhácthìtuỳtheotừngbàitoántasẽtínhđượcxácsuất

này.Vàcũngcónhiềubàitoánchotrựctiếpxácsuât.Bàitoánsaulàmộtvídụ
Bài toán 11
Có2lôhàng.Ngườitalấyngẫunhiêntừmỗilôhàngmộtsảnphẩm.Xácsuấtđểđược
sảnphẩmchấtlượngtốtởtừnglôhànglầnlượtlà .Hãytínhxácsuấtđể:
a) Trong2sảnphẩmlấyracóítnhấtmộtsảnphẩmcóchấtlượngtốt.
b) Trong2sảnphẩmlấyracóđúng1sảnphẩmcóchấtlượngtốt.
Phân tích:Đâylàbàitoánchotrướcxácsuấtnênchắcchắntaphảisửdụngphéptoán
tínhxácsuấtđểgiảiquyết.Biếncốcơsởsẽlà“Lấyđượcsảnphẩmtốttừlôhàngthứ
nhất”và“Lấyđượcsảnphẩmtốttừlôhàngthứhai”
Lời giải:
Gọi “Lấyđượcsảnphẩmtốttừlôhàngthứnhất”
“Lấyđượcsảnphẩmtốttừlôhàngthứhai”
Khiđótacó:


a) Gọi làbiếncố“Trong2sảnphẩmlấyracóítnhấtmộtsảnphẩmcóchấtlượng
tốt”.
Suyra 
Dobabiếncố làđộclậpnêntacó


b) Gọi làbiếncố“Trong2sảnphẩmlấyracóđúngmộtsảnphẩmcóchấtlượng
tốt”.
Suyra 
Do xungkhắcvàbiếncố vàB;Avà độclậpnêntacó


Diendantoanhoc.net

Bài toán 12

Mộtphòngđượclắphaihệthốngchuôngbáođộngphòngcháy,mộthệthốngbáo
khithấykhóivàmộthệthốngbáokhithấylửaxuấthiện.Quathựcnghiệmthấyrằngxác
suấtchuôngbáokhóilà ,chuôngbáolửalà vàcả2chuôngbáolà .Tính
xácsuấtđểkhicóhỏahoạnítnhấtmộttrong2chuôngsẽbáo.
Phân tích:Biếncốcầntínhxácsuấtlàchuôngbáokhóibáohoảhoạnhoặcchuôngbáo
lửabáolửasẽbáohoảhoạn.Dođóbàitoánnàychắcchắnlàdùngquytắccộng.Tuy
nhiênhaibiếncốcơsởlạikhôngxungkhắc.Trongtrườnghợpnàytaphảisửdụngquy
tắccộngmởrộng
Lời giải
Gọi làbiếncố“Chuôngbáokhithấykhói”
làbiếncố“Chuôngbáokhithấylửa”
làbiếncố“Ítnhấtmộttronghaichôngbáokhihỏahoạn”
Theogiảthiếtbàitoántacó 
Dođótacó:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
 1/Từcỗbài52con,rútngẫunhiên3con.Tínhxácsuấtđể
 a/Cóítnhấtmộtconát
 b/CóđúngmộtconK
 c/Cả3concósốkhácnhauđềuthuộctậphợp{2,3,…10}
 2/Trongmộtchiếchộpcó5bóngtrắng,6bóngxanh,7bóngđỏlấyngẫunhiên4
quảbóng.Tìmxácsuấtđểcó4quảbóngcóđủ3mầu.
 3/Gieongầunhiênconsúcsắccânđốiđồngchất2lần:Tínhxácsuấtcủacácbiến
cố:
 a/A:“Cóítnhấtmộtmặtlẻ”
 b/B:“Cómộtmặtchẵnvàmộtmặtlẻ”
 c/C:“Tổngsốchấmhaimặtlàmộtsốchẵn”
 4/Gieongẫunhiênmộtconsúcsắccânđốiđồngchất3lần,tínhxácsuấtđể:
 a/Cóítnhấtmộtlầnxuấthiệnmặt6chấm
 b/Tổngcácsốchấmtrên3mặtlàsốlẻ

 5/Trongmộthộpcó10chiếcthẻđượcđánhsố0,1,2,….9.Lấyngầunhiênlien
tiếp4thẻvàxếpcạnhnhautheothứtựtừtráisangphảitìmxácsuấtđể4thẻxếpthành1
sốtựnhiênsaochotrongđóchỉmộtchữsố1
 6/Mộtmáybaycó5độngcơ,trongđócó3độngcơởcánhphảivà2độngcơở
cánhtrái.Mỗiđộngcơởcánhphảicóxácsuấtbịhỏnglà0,1,cònmỗiđộngcơởcánh
tráicóxácsuấthỏnglà0,05.Cácđộngcơhoạtđộngđộclậpvớinhau.Tínhxácsuấtđể
máybaythựchiệnchuyếnbauantoàntrongcáctrườnghợpsau:
 a/Máybaybayđượcnếucóítnhấthaiđộngcơlàmviệc
 b/Máybaybayđượcnếucóítnhấtmỗiđộngcơtrênmỗicánhlàmviệc

Diendantoanhoc.net
 7/Mộtbàithitrắcnghiệmgồm12câuhỏi.Mỗicâuhỏicó5câutrảlời,trongđó
chỉcómộtcâuđúng.Mỗicâutrảlờiđúngđược4điểm,mỗicâutrảlờisaibịtrừ1điểm
.Mộthọcsinhkémlàmbàibằngcáchchọnhúhoạmộtcâutrảlời.Tínhxácsuấtđể:
 a/Họcsinhđóđược13điểm
 b/Họcsinhđóđượcđiểmâm
 8/Trongmộtlớphọccó6bóngđèn,mỗibongxácsuấtbịcháylà0,25.Lớphọc
cóđủánhsángnếucóítnhất5bóngđèn.Tínhxácsuấtđểlớphọckhôngđủánhsáng
 9/Mộtđoàntầucó4toađỗởmộtsânga.Có4hànhkháchtừsângalêntầu,mỗi
ngườiđộclậpvớinhauvàchọnngẫunhiên1toa.Tínhxácsuấtđể1toacó3người,1toa
cómộtngườivà2toacònlạikhôngcóai.
 10/Có30tấmthẻđánhsốtừ1đến30chọnngầunhiênra10tấmthẻtínhxácsuất
để:
 a/Tấtcả10tấmthẻđềumangsốchẵn
 b/Cóđúng5sốchiahếtcho3
 c/ Có5tấmthẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang sốchẵn trongđó chỉ mộttấmthẻ
mangsốchiahếtcho10.
11/Từmộthộpcó7quảcầuxanh,6quảcầuđỏ.Lấyngẫunhiên5quả.Tínhxác
suấtcủacácbiếncố:
a) A:“Trong5quảlấyracócảhaimầu”

b) B:“Trong5quảlấyracóítnhất2quảmàuđỏ”
12/Xácsuấtđể mộtxạthủ bắnbiatrúngđiểm10là ;trúng điểm9là ;
trúngđiểm8là vàíthơnđiểm8là .Xạthủấybắnmộtviênđạn.Tìm
xácsuấtđểxạthủđượcítnhất9điểm.

Diendantoanhoc.net
SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I. Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1. Tính chất 1:
0)(
2
2
 aa
.Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
0a
.
2. Tính chất 2:
baba 
.Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
a
và
b
cùngchiều.
3. Tính chất 3:
baba 
.Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
a
và
b

cùngphương.
II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1. Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1.
ChotamgiácABC,chứngminhrằng:cos2A+cos2B+cos2C
2
3

.
* Hướng giải quyết của bài toán:Đểsửdụngđượccáctínhchấtcủavéctơvàobàitoán
nàythìcôngthứcnàocóchứavectơvàcóchứacảcôsin.Vậyđósẻlàtíchvôhướngcủa
haivectơ,đólà:

 
. os ,
OAOB OA OB c OA OB

     
,
 
. os ,
OB OC OB OC c OB OC

     

 
. os ,
OAOC OA OC c OA OC

     

vàkhiđónếutagọiRlàbánkínhcủađường
trònngoạitiếptamgiácABCthì
R OA OB OC
  
  
.Từđó,tanghĩtớiviệcdùngtính
chất1đểchứngminh.Cụthểnhưsau:
* Giải:
GọiO,RlầnlượtlàtâmvàbánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.
Tacó:

2 2 2
2
2
2 2
2
( ) 2( . . . ) 0
3 3
3 2 (cos2 cos 2 cos2 ) 0 os2 os2 os2
2 2
OA OB OC OA OB OC OAOB OB OC OC OA
R
R R A B C c A c B c C
R
        
           
           

Suyrađiềuphảichứngminh.
Ví dụ 2.

ChotamgiácABC.Chứngminhrằng:
6cosA.cosB.cosC

cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C(1).
* Hướng giải quyết bài toán.Tathấytrongbiểuthứccầnchứngminhxuấthệntổng
cácbìnhphương.Vìthếcóthểsửdụngđượctínhchất1.Nhưngởbàitoántrênchúngta
cầnlưuý,phảixétcáctrườnghợpcủatamgiácABC.Vìởbàitoántrênkhôngnóiđólà
tamgiácnhưthếnào.Cụthể,talàmbàitoánnàynhưsau:
* Giải:
NếutamgiácABClàtamgiáctù(cómộtgóctù)thì(1)hiểnnhiênđúngvìkhiđó
vếtráiâm,cònvếphảidương.
NếutamgiácABCkhôngphảilàtamgiáctùthìtrênmặtphẳngtađặtcácvectơ
OPONOM ,,
saocho:
cos ; cos ; cosOM A ON B OP C
  
  
và
ˆ ˆ
ˆ
( , ) ; ( , ) ; ( , )
OM ON C ON OP A OP OM B
  
     

     

Ápdụngtínhchất(1),tacó:

Diendantoanhoc.net
0)(
2
 OPONOM

0.2.2.2
222
 MOOPOPNOONMOOPONOM

0)cos.cos.coscos.cos.coscos.cos.(cos2coscoscos
222
 CBACBACBACBA
2 2 2
os os os 6cos cos cosc A c B c C A B C
   
.Điềuphảichứngminh.
2. Sử dụng tính chất 2.
*
baba 
.Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
a
và
b
cùngchiều
Tathườngsửdụngphươngphápnàykhigặpcácbàitoánchứngminhbấtđẳng
thứccóchứatổngcủacáccănbậchaimàbiểuthứctrongdấucănbậchaicóthểđưavề

tổngcủacácbìnhphương.
Ví dụ 1:Chứngminhrằng:

1
2
 aa
+
1
2
 aa

2(1)vớimọiathuộcR.
* Hướng giải quyết bài toán: 
BàitoánnàynếuđơnthuầnchỉsửdụngviệcchứngminhBĐTthôngthườngthìsẻ
rấtkhóđốivớihs,vìbàitoáncóhaicănbậchainênviệcbiếnđổisẻrấtkhó.Nhưngnếu
chúýcácđốitượngtrongbàitoánvàbiếtkhaitháctínhchất2nêutrênthìbàitoántrở
nêndểdànghơn.Cụthể,gvchỉchohshướngsuynghĩsau:
Hai biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành tổng các bình phương.
2
2
2
1 3
1
2 2
a a a
 
 
    
 
 

 
 
 
 và
2
2
2
1 3
1
2 2
a a a
 
 
    
 
 
 
 
 
. Từ đó, ta có thể đặt:
1 3
;
2 2
u a
 
 
 
 
 


;
1 3
;
2 2
v a
 
 
 
 
 

, đến đây sử dụng tính chất 2 ta được diều phải chứng
minh.Cụthểnhưsau:
* Giải:BĐT(1)

22
)
2
3
()
2
1
( a
+
22
)
2
3
()
2

1
(  a

2
TrongmặtphẳngtoạđộOxyđặt:
)
2
3
;
2
1
(  au

;
)
2
3
;
2
1
( av 


Áp dụng tính chất 2, ta có:
2 2
2 2
1 3 1 3
2
2 2 2 2
u v a a u v

   
   
         
   
   
   
   
   
   

2 2
1 1 2
a a a a
      
.Điềuphảichứngminh.
Ví dụ 2.Chứngminhrằng:
22
yxyx 
+
22
zyzy 
+
22
xzxz 
)(3 zyx 
vớix,y,z>0.
*Hướng giải quyết bài toán:Bàitoánnàyvềcơbảnkhôngkhácgìnhiềusovớibài
toántrước.Nêntalàmnhưsau:
Giải:TrongmặtphẳngtoạđộOxytađặt:
);

2
3
;
2
( y
y
xu 

);
2
3
;
2
( z
z
yv 

);
2
3
;
2
( x
x
zw 


Từtínhchất
wvuwvu



tacó:

2 2 2 2 2 2
3 3 3
w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
y z x
u v x y y z z x
           
  
