Phương pháp đồ thị và sử dụng tính đơn điệu của hàm số

wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin -Học tập -Giải trí

Phương pháp đồ thị và sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Bài viết trước đã nói về phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa. Trong bài
viết này, chúng ta nói về phương pháp đồ thị và phương pháp sử dụng
tính đơn điệu của hàm số giải PT mũ và lôgarit.
Phương pháp đồ thị
PP: Vẽ đồ thị của các hàm số trong phương trình cần giải trên cùng một
hệ trục tọa độ. Sau đó tìm giao điểm của chúng và biện luận, kết luận
nghiệm của phương trình là hoành độ của các giao điểm đó.
Ví dụ 1.
Giải phương trình \
Lời giải. Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng trên
cùng một hệ trục tọa độ . Ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất
có hoành độ . Thử lại ta thấy giá trị này thoả mãn phương trình đã
cho. Mặt khác, là hàm số nghịch biến, là hàm số
đồng biến nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .

Nhận xét. Việc vẽ đồ thị thực chất là để áng khoảng và dự đoán nghiệm
(nếu có) của phương trình. Sau khi dự đoán được nghiệm, ta thử trực
tiếp vào phương trình, nếu thỏa mãn thì kết luận ngay (như lời giải trên)
– khi đó nhờ đồ thị ta biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau bằng đồ thị
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin -Học tập -Giải trí


Hướng dẫn. Giải tương tự ví dụ trên.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit
PP: Sử dụng các tính chất cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit, đó
là

1) Hàm số luỹ thừa đồng biến trên nếu ,
nghịch biến trên nếu .
2) Hàm số lôgarit đồng biến trên
nếu , nghịch biến trên nếu .
3) Các hàm số mũ và hàm số luỹ thừa đều liên tục
trên tập xác định của chúng.
Ví dụ 2.
Giải các phương trình

Lời giải a) Chia cả hai vế của phương trình cho , ta có

Xét . Ta có
.
Do đó đồng biến trên . Mặt khác . Do đó là nghiệm
duy nhất của phương trình.
b) Phương trình tương đương với

Với thì phương trình trên đúng, do đó là nghiệm của
phương trình.
Nếu thì và , do đó .
Phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu thì và , do đó .
Phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin -Học tập -Giải trí

Ví dụ 3.
Giải các phương trình

Lời giải. a) Điều kiện .

Đặt , phương trình đã cho trở thành

Ta có đồng biến trên và nghịch biến trên .
Hơn nữa , đo đó là nghiệm duy nhất của phương
trình.
b) Tương tự. ĐS .
Bài tập tương tự
Bài 1.
Giải các phương trình sau
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
ĐS a) ; b) ; c) ; d) .
Bài 2.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Dễ thấy là nghiệm của phương trình. Nếu
thì

Tương tự khi . Vậy là nghiệm duy nhất.
Bài 3.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình về dạng
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin -Học tập -Giải trí


Nhận thấy là nghiệm. Nếu thì , và

Suy ra , phương trình vô nghiệm. Tương tự khi .
ĐS .