K metric vi phân kobayashi venturini và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THU THẢO
K-METRIC VI PHÂN KOBAYASHI-VENTURINI
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THU THẢO
K-METRIC VI PHÂN KOBAYASHI-VENTURINI
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC
Thái Nguyên - Năm 2014
1
Mục lục
Mở đầu 1
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Metric vi phân Royden - Kobayashi trên đa tạp
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Bất đẳng thức Holder đối với giả khoảng cách
Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 K-METRIC VI PHÂN KOBAYASHI-VENTURINI
VÀ ỨNG DỤNG 17
2.1 Không gian k - mật tiếp của một không gian phức 17

2.2 k-metric vi phân Kobayashi - Venturini trong không
gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Phép lấy tích phân của k-metric vi phân Kobayashi-
Venturini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của không
gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kết luận 35
Tài liệu tham khảo 36
2
MỞ ĐẦU
Lý thuyết không gian phức hyperbolic gắn liền với giả khoảng cách
Kobayashi được S.Kobayashi xây dựng đầu tiên vào cuối những năm 60 và
là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong
nhiều năm gần đây lý thuyết này đã phát triển mạnh và thu được nhiều
kết quả đặc sắc với các công trình của S.Kobayashi, H.Royden, J.Noguchi,
Năm 1996, S.Venturini [8] đã đưa ra ý tưởng về việc xây dựng một giả
metric vi phân mới trên không gian các phân thớ véc tơ J(X) của các
đường cong chỉnh hình trên một không gian phức X. Dựa vào đó ông đã
chỉ ra một dạng biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên
không gian phức X. Tuy nhiên dạng biểu diễn này không trùng với dạng
biểu diễn gốc của Royden trong trường hợp đa tạp phức. Năm 1999, Đỗ
Đức Thái và Phạm Việt Đức [7] đã đề xuất một cải tiến cách xây dựng của
S.Kobayashi trên các không gian phức trùng với dạng biểu diễn ban đầu
của Royden. Hơn nữa, năm 2007, A. Khalfallah [3] đã chứng minh được
một đặc trưng vi phân cho tính hyperbolic của không gian phức thông qua
metric vi phân Kobayashi-Venturini, đồng thời chỉ ra được tính hyperbolic
tương đương với tính chất Landau của một không gian phức tùy ý.
Mục đích của đề tài này là trình bày về metric vi phân Kobayashi-
Venturini cùng một số ứng dụng của nó trong việc biểu diễn tích phân của
giả khoảng cách Kobayashi đồng thời chứng minh một số đặc trưng cho

tính hyperbolic của các không gian phức.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chương I trình bày một số kiến thức cơ bản để thuận tiện cho việc trình
bày chương sau, cụ thể là: Giả khoảng cách Kobayashi, không gian phức
hyperbolic, metric vi phân Royden-Kobayashi F
M
trên đa tạp phức, bất
3
đẳng thức Holder đối với giả khoảng cách Kobayashi.
Chương II là nội dung chính của luận văn: Trong chương này chúng tôi
trình bày khái niệm và một số tính chất của metric vi phân Kobayashi-
Venturini. Tiếp theo là hai ứng dụng của metric vi phân này trong việc
biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
tùy ý và một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của không gian phức.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm -
Đại học Thái Nguyên dưới dự hướng dẫn của PGS. TS. Phạm Việt Đức.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng
dẫn của mình, PGS. TS. Phạm Việt Đức, người đã đưa ra đề tài và tận
tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác
giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, bộ phận quản
lý Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo
mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn
thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các
bạn trong lớp Cao học Toán k20, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ
bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành
cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014
Tác giả
Phạm Thu Thảo
4
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của
X. Hol(∆, X) là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ = z ∈
C; |z| < 1 vào X, được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm
p
0
= x, p
1
, , p
k
= y của X, dãy các điểm a
1
, a
2
, , a
k
của ∆ và dãy các
ánh xạ f
1
, f
2
, , f
k

trong Hol(∆, X) thỏa mãn
f
i
(0) = p
i−1
, f
i
(a
i
) = p
i
, ∀i = 1, , k.
Tập hợp α = {p
0
, , p
k
, a
1
, , a
k
, f
1
, , f
k
} thỏa mãn các điều kiện trên
được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa
d
X
(x, y) = inf

α
{
k

i=1
ρ
∆
(0, a
i
), α ∈ Ω
x,y
},
trong đó Ω
x,y
là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X và
ρ
∆
là khoảng cách Bezgman-Poincare trên đĩa đơn vị ∆.
Khi đó d
X
: X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
Tổng
k

i=1
ρ
∆
(0, a
i

) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình
α. Nếu X không liên thông ta định nghĩa d
X
(x, y) = ∞ với x, y thuộc các
5
thành phần liên thông khác nhau.
1.1.2 Định lý
Nếu f : X → Y là các ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức
thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa
là
d
X
(x, y) ≥ d
Y
(f(x), f(y)), ∀x, y ∈ X.
Hơn nữa, d
X
là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mỗi ánh
xạ chỉnh hình f : ∆ → X là giảm khoảng cách.
Chứng minh.
Tính giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi là hiển nhiên,
vì nếu α là dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm x và y trong X thì f ◦ α
cũng là dây chuyền chỉnh hình nối f(x), f(y) trong Y .
Bây giờ ta chứng minh tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi.
Lấy hai điểm x, y tùy ý trong X. Gọi
α = {f
i
∈ Hol(∆, X), a
i
∈ ∆, i = 1, , k}

là dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Giả sử d

là giả khoảng cách
trên X có tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ tới
X. Ta chứng minh d
X
≥ d

.
Gọi p
i
∈ X, i = 0, , k là các điểm thỏa mãn f
i
(0) = p
i−1
, f
i
(a
i
) = p
i
.
Khi đó ta có
d

(x, y) ≤
k

i=1
d


(p
i−1
, p
i
) =
k

i=1
d

(f
i
(0), f
i
(a
i
)) ≤
k

i=1
ρ
∆
(0, a
i
).
Theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có
d

(x, y) ≤ d

X
(x, y).
Vậy định lý được chứng minh.
6
1.1.3 Ví dụ
a) d
∆
= ρ
∆
với ∆ là đĩa đơn vị trong C.
b) d
C
m
= 0.
1.1.4 Định lý
Đối với bất kỳ các không gian phức X, Y ta có
d
X×Y
((x, y), (x

, y

)) = max{d
X
(x, x

), d
Y
(y, y


)},
với x, x

∈ X và y, y

∈ Y .
1.1.5 Định lý
Giả sử X là không gian phức. Khi đó giả khoảng cách Kobayashi
d
X
: X × X → R là hàm liên tục.
1.2 Không gian phức hyperbolic
1.2.1 Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa
Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d
X
là khoảng cách trên X,
tức là
d
X
(p, q) = 0 ⇔ p = q ∀p, q ∈ X.
1.2.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic
i) Giả sử X, Y là các không gian phức, thì X × Y là không gian
hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
ii) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu Y
là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian
con của một không gian hyperbolic là hyperbolic.
7
iii) +) Đĩa ∆
r

và đa đĩa ∆
m
r
là hyperbolic.
+) Mọi miền bị chặn trong C
m
là hyperbolic.
+) C
m
không là hyperbolic, vì d
C
m
= 0.
1.2.3 Định lý (Barth)
Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì d
X
sinh ra tô pô tự nhiên của X.
1.2.4 Bổ đề Eastwood
Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức.
Giả sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y ∈ Y có lân cận U của y sao
cho π
−1
(U) là hyperbolic.
Khi đó X là hyperbolic.
1.2.5 Mệnh đề
Giả sử X là không gian phức và π : X

→ X là ánh xạ phủ chỉnh
hình của X. Khi đó
i) Nếu p, q ∈ X và p


, q

∈ X

với π(p

) = p và π(q

) = q, thì
d
X
(p, q) = inf
q

{d
X

(p

, q

)},
trong đó infimum được lấy với mọi q

∈ X

thỏa mãn π(q

) = q;

ii) X

là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic.
1.3 Metric vi phân Royden - Kobayashi trên đa tạp
phức
1.3.1 Định nghĩa
8
Cho M là một đa tạp phức m chiều và T M là phân thớ tiếp xúc của
M. Một ánh xạ F : T M → R
+
được gọi là metric vi phân trên M nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) F (0
x
) = 0, trong đó 0
x
là véc tơ không của T
x
M;
ii) Với mọi ξ
x
∈ T
x
M và a ∈ C thì F (aξ
x
) = |a| F (ξ
x
).
Hơn nữa, nếu F liên tục và F (ξ
x

) = 0, ∀ξ
x
∈ T
x
M thì F được gọi là
metric Finsler trên T M.
Xét ánh xạ F
M
: T M → R được xác định như sau: với bất kì ξ
x
∈ T
x
M,
đặt
F
M
(ξ
x
) = inf{
1
r
; ∃f ∈ Hol(∆
r
, M); f(0) = x, f
∗
(
∂
∂
z
|

0
) = ξ
x
}.
Khi đó ta có: Ánh xạ F
M
: T M → R
+
xác định như trên là một metric
vi phân.
1.3.2 Định nghĩa
Metric vi phân F
M
được gọi là metric vi phân Royden-Kobayashi trên
đa tạp phức M.
1.3.3 Các tính chất của F
M
1.3.3.1 Định lý
Cho M, N là hai đa tạp phức và f : M → N là một ánh xạ chỉnh
hình. Khi đó ta có f
∗
F
N
≤ F
M
, tức là với mọi ξ
x
∈ T
x
M

F
N
(f
∗
(ξ
x
)) ≤ F
M
(ξ
x
).
Đặc biệt, nếu f là song chỉnh hình thì f
∗
F
N
= F
M
.
1.3.3.2 Mệnh đề
Cho M
1
, M
2
là các đa tạp phức. Khi đó với bất kì ξ
x
+ η
y
∈ T
x
M

1
+
T
y
M
2
ta có
9
F
M
1
×M
2
(ξ
x
+ η
y
) = max{F
M
1
(ξ
x
), F
M
2
(η
y
)}.
1.3.3.3 Mệnh đề
Cho M là một đa tạp phức. Giả sử π :

˜
M → M là một phủ chỉnh
hình của M. Khi đó ta có F
˜
M
= π
∗
F
M
.
Đối với một đa tạp phức M thì nói chung ta không biết được tính liên
tục của F
M
, nhưng ta có kết quả sau được chứng minh bởi Royden [5].
1.3.3.4 Định lý
Giả sử M là một đa tạp phức. Khi đó, giả metric vi phân Royden-
Kobayashi F
M
: T M → R
+
là hàm nửa liên tục trên, tức là với bất kì
ξ ∈ T M và ε > 0 tùy ý, tồn tại lân cận U của ξ trong T M sao cho
F
M
(η) < F
M
(ξ) + ε với mọi η ∈ U.
1.3.3.5 Định lý
Cho H : T M → R
+

là metric vi phân thỏa mãn
f
∗
H ≤ F
∆
với ∀f ∈ Hol(∆, M) (*)
Khi đó H ≤ F
M
. Nói cách khác, metric vi phân Royden-Kobayashi
là metric lớn nhất trong số các metric vi phân thỏa mãn (*).
Kết quả sau của Royden [5] là một biểu diễn tích phân của giả khoảng
cách Kobayashi trên đa tạp phức thông qua metric vi phân Royden-Kobayashi.
1.3.3.6 Định lý
Giả sử M là một đa tạp phức. Khi đó với ∀x, y ∈ M ta có
d
M
(x, y) = inf
γ
{

b
a
F
M
(γ

(t)
)dt}
10
trong đó infimum được lấy với tất cả các đường cong γ : [0, 1] → M

trơn từng khúc nối x với y trong M.
Để chứng minh định lý trên ta cần một số kết quả sau:
1.3.3.7 Định nghĩa
Cho γ : [a, b] → M là một đường cong trơn từng khúc.
Ta định nghĩa độ dài L
M
(γ) của γ bởi
L
M
(γ) = {

b
a
F
M
(γ

(t))dt, ở đó γ(t) = γ
∗
(
∂
∂
t
|
t
).
Do F
M
: T M → R
+

là nửa liên tục trên nên tích phân Lơbe nói trên là
tồn tại và hữu hạn.
Với hai điểm x, y tùy ý thuộc M, đặt
d

M
(x, y) = inf{L
M
(γ)},
ở đó infimum được lấy với tất cả các đường cong trơn từng khúc nối x với y.
1.3.3.8 Nhận Xét
Dễ dàng chứng minh được d

M
là giả khoảng cách trên M, nghĩa là
∀x, y, z ∈ M
d

M
(x, x) = 0,
d

M
(x, y) = d

M
(y, x),
d

M

(x, z) ≤ d

M
(x, y) + d

M
(y, z).
Sau đây là một số tính chất cơ bản của giả khoảng cách d

M
.
1.3.3.9 Mệnh đề
Cho M, N là các đa tạp phức và f : M → N là một ánh xạ chỉnh
hình. Khi đó d

N
(f(x), f(y)) ≤ d

M
(x, y), ∀x, y ∈ M.
Đặc biệt, nếu f là song chỉnh hình thì d

N
(f(x), f(y)) = d

M
(x, y).
11
Chứng minh.
Giả sử γ : [a, b] → M là một đường cong lớp C

∞
từng khúc với γ(a) =
x, γ(b) = y.
Khi đó, f ◦ γ : [a, b] → N là một đường cong lớp C
∞
từng khúc nối
f(x) với f(y).
Theo Định lý 1.3.3.1, F
N
(f
∗
y) ≤ F
M
(γ) suy ra
F
N
((f
∗
y))

≤ F
M
(γ).
Ta có d

N
(f(x), f(y)) ≤ d

M
(x, y).

Nếu f đẳng cấu thì
d

M
(x, y) ≥ d

N
(f(x), f(y))
≥ d

M
(f
−1
(f(x)), f
−1
(f(y))) = d

M
(x, y)
Vậy Mệnh đề được chứng minh.
1.3.3.10 Mệnh đề
Cho M
1
, M
2
là hai đa tạp phức. Khi đó ta có
d

M
1

×M
2
((x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
)) = max{d

M
i
(x
i
, y
i
); i = 1, 2},
với mọi x
1
, y
1
∈ M
1
; x
2
, y
2
∈ M

2
.
1.3.3.11 Mệnh đề
Cho M là một đa tạp phức, giả sử π :
˜
M → M là phủ chỉnh hình
của M. Cho x, y ∈ M là các điểm tùy ý và lấy ˜x ∈
˜
M sao cho π(˜x) = x.
Khi đó ta có
d

M
(x, y) = inf{d

˜
M
(˜x, ˜y); ˜y ∈
˜
M, π(˜y) = y}.
Chứng minh.
Từ Mệnh đề 1.3.3.9 ta có
d

M
(x, y) ≤ inf{d

˜
M
(˜x, ˜y); ˜y ∈

˜
M, π(˜y) = y}.
12
Giả sử γ : [a, b] → M là đường cong từng khúc nối x và y. Giả sử
˜γ : [a, b] →
˜
M là phép nâng của γ thỏa mãn ˜γ(a) = ˜x. Đặt ˜y
0
= ˜y(b). Khi
đó ta có L
M
(γ) = L
˜
M
(˜γ). Từ đó ta có
inf{d

˜
M
(˜x, ˜y); ˜y ∈
˜
M, π(˜y) = y} ≤ d

˜
M
(˜x, ˜y
0
) ≤ L
˜
M

(˜γ) = L
M
(γ)
Từ d

M
(x, y) = inf{L
M
(γ)}, ta có
d

M
(x, y) ≥ inf{d

˜
M
(˜x, ˜y); ˜y ∈
˜
M, π(˜y) = y}.
Mệnh đề được chứng minh.
1.3.3.12 Ví dụ
i) d

C
m
= 0.
ii) d

∆
(x, y) = ρ

∆
(x, y).
iii) d

∆
m
((x
i
), (y
i
)) = max{d
∆
(x
i
, y
i
); 1 ≤ i ≤ m}, với (x
i
), (y
i
) ∈ ∆
m
.
iv) d

∆
m
là một hàm liên tục.
1.3.3.13 Mệnh đề
Cho M là một đa tạp phức. Khi đó giả khoảng cách

d

M
: M × M → R
+
là hàm liên tục.
Chứng minh.
Giả sử {x
n
}
∞
n=1
và {y
n
}
∞
n=1
là những dãy các điểm của M hội tụ lần
lượt tới x, y ∈ M. Theo bất đẳng thức tam giác ta có


d

M
(x
n
, y
n
) − d
M

(x, y)


≤ d

M
(x
n
, x) − d

M
(y
n
, y).
Từ đó để chứng minh Mệnh đề này ta chỉ cần chứng minh d

M
(x
n
, x) → 0
khi n = ∞.
13
Giả sử U là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh x và song chỉnh
hình với ∆
m
, m = dim M. Theo Ví dụ 1.3.3.12, iii) và Định lý 1.3.3.9 ta
có ngay d

U
là liên tục.

Từ đó ta có d

M
(x
n
, x) ≤ d

U
(x
n
, x) → 0, khi n → ∞.
Mệnh đề được chứng minh.
Chứng minh Định lý 1.3.3.6
Ta phải chứng minh d
M
= d

M
∗) Chứng minh d
M
(x, y) ≥ d

M
(x, y).
Xét ({f
i
}, {z
i
}, i = 1, , n) là một dây chuyền chỉnh hình nối x với y;
f

i
: ∆ → M, z
i
∈ ∆,
f
0
(0) = x, f
i
(z
i
) = f
i+1
(0), 0 ≤ i ≤ n − 1, f
n
(z
n
) = y
Theo Ví dụ 1.3.3.12 ta có
n

i=0
d

∆
(0, z
i
) ≥
n

i=0

d

M
(f
i
(0), f
i
(z
i
)) ≥ d

M
(x, y).
Vậy d
M
(x, y) ≥ d

M
(x, y).
∗) Chứng minh d
M
(x, y) ≤ d

M
(x, y).
Với ε > 0 tùy ý, xét γ : [0, 1] → M là một C
∞
- đường cong liên tục
từng khúc nối x với y sao cho


1
0
(F
M
γ(t))dt < d

M
(x, y) + ε.
Do F
M
là nửa liên tục trên nên với mọi phân hoạch 0 = t
0
< t
1
< <
t
s
= 1 tồn tại hàm h : [0, 1] → R
+
thỏa mãn
i) h(t) > F
M
(γ(t)) ≥ 0
ii) h|
[t
j−1
,t
j
]
, 1 ≤ j ≤ s là liên tục và có thể thác triển liên tục lên [t

j−1
, t
j
]
iii)

1
0
F
M
(γ(t))dt <

1
0
(h(t))dt < d

M
(x, y) + ε.
Do tích phân

1
0
(h(t))dt là tích phân Riemann nên tồn tại δ > 0 sao
cho với mỗi phân hoạch 0 = s
0
≤ s
1
≤ ≤ s
k
= 1 mà

14
max{|s
j
− s
j−1
| ; j = 1, 2, , k} < δ
và với mỗi p
j
∈ [0, 1] ; 1 ≤ j ≤ k mà |p
j
− s
j
| < δ thì ta có
n

i=1
h(p
j
)(s
j
− s
j−1
) < d

M
(x, y) + ε.
lấy p bất kỳ thuộc [t
j−1
, t
j

] , 1 ≤ j ≤ s.
Nếu γ

(p) = O
γ(p)
Gọi (U, Φ, ∆
m
) là một bản đồ địa phương quanh γ(p) của M sao cho
Φ(γ(p)) = 0. Khi đó đặt
F = Φ
−1
: ∆
m
→ U(⊂ M)
Nếu γ

(p) = O
γ(p)
Khi đó có ánh xạ chỉnh hình f : ∆
r
→ M sao cho
f

(0) +
¯
f

(0) = γ

(p)

F
M
(γ

(p)) = 2.F
M
(f

(0))
F
M
(f

(0)) <
1
r
<
1
2
h(p)
Bởi một kết quả của Royden với r đủ nhỏ, tồn tại ánh xạ chỉnh hình
F : ∆
r
×∆
m−1
→ M mà song chỉnh hình quanh một lân cận của 0 và thỏa
mãn
1
r
<

1
2
h(p), F (0) = γ(p)
F
∗
(
∂
∂z
1
|
0
) + F
∗
(
¯
∂
∂z
1
|
0
) = γ

(p).
Vậy trong mọi trường hợp đều tồn tại lân cận I
p
của p và một ánh xạ
α : I
p
→ ∆
r

× ∆
m−1
lớp C
∞
từng khúc sao cho
α(p) = 0, F ◦ α = γ|
I
p
.
Với s ∈ I
p
thì
α(s) = O(|s − p|
2
) hoặc α(s) = (s − p, 0, , 0) + O(|s − p|
2
).
Do d

∆
r
(s, s

) = log
r+|β|
r−|β|
, ở đó β =
r
2
(s−s


)
r
2
−¯s.s

, nên tồn tại một đoạn I

p
⊂ I
p
sao cho p ∈ I

p
, độ dài của I

p
nhỏ hơn δ và
d

∆
r
×∆
m−1
(α(s), α(s

)) ≤ (1 + ε).
2
r



s − s



15
với s, s

∈ I

p
. Từ mệnh đề 1.3.3.11 ta có
d

∆
r
×∆
m−1
= d
∆
r
×∆
m−1
.
Do cách chọn hàm h và ánh xạ F ta có
d
M
(γ(s), γ(s

)) = d

M
(F (α(s), F (α(s

))) ≤ d
∆
r
×∆
m−1
(α(s), α(s

))
≤ d

M
(F (α(s), F (α(s

))) ≤ d
∆
r
×∆
m−1
(α(s), α(s

))
≤ (1 + ε) |s − s

| .h(p).
Do [t
j−1
, t

j
] compact nên tồn tại một số dương η < δ sao cho với mỗi
cặp s, s

∈ [t
j−1
, t
j
], nếu |s − s

| < η thì tồn tại p ∈ [t
j−1
, t
j
] để s, s

∈ I

p
.
Xét phân hoạch 0 < s
0
< s
1
< < s
k
= 1, s
j
−s
j−1

< η. Lấy p
j
∈ [0, 1]
sao cho s
j
, s
j
− 1 ∈ I

p
j
. Khi đó ta có
d
M
(x, y) = d
M
(γ(0), γ(1))
≤
k

j=1
d
M
(γ(s
j−1
), γ(s
j
))
≤
k


j=1
(1 + ε)(s
j
− s
j−1
).h(p
j
)
≤ (1 + ε)(d

M
(x, y) + ε).
Cho ε → 0 ta được d
M
(x, y) ≤ d

M
(x, y).
Vậy Định lý được chứng minh.
1.4 Bất đẳng thức Holder đối với giả khoảng cách
Kobayashi
Định lý sau được gọi là bất đẳng thức Holder đối với giả khoảng cách
Kobayashi trên đa tạp phức M [8].
1.4.1 Định lý
Nếu M là một đa tạp phức và d là một khoảng cách sinh bởi một
metric Hermit trơn nào đó trên M, thì với mỗi tập con compact tương
đối H ⊂ M, có hằng số c ∈ [0, +∞) sao cho
d
M

(x, y) ≤ cd
H
(x, y), ∀x, y ∈ H.
16
Kết quả trên được mở rộng bởi Venturini [8] trong trường hợp không
gian phức X.
1.4.2 Định lý
Cho X là không gian phức. Giả sử U ⊂ X là tập con mở và F :
U → C
n
là phép nội xạ chỉnh hình. Khi đó, với mỗi p
0
∈ U có lân cận
V ⊂ U sao cho
d
X
(p, q) ≤ c |F (p) − F (q)|
α
, ∀p, q ∈ V .
với α và c là các hằng số nào đó thỏa mãn 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ c ≤ +∞.
17
Chương 2
K-METRIC VI PHÂN
KOBAYASHI-VENTURINI
VÀ ỨNG DỤNG
Nội dung của chương này là trình bày về k-metric vi phân Kobayashi-
Venturini và một số ứng dụng của nó trong việc đưa ra một số tiêu chuẩn
cho tính hyperbolic của không gian phức và biểu diễn tích phân của giả
khoảng cách Kobayashi.
2.1 Không gian k - mật tiếp của một không gian

phức
Giả sử X là không gian phức, p ∈ X. Ta xét các mầm các ánh xạ chỉnh
hình ϕ : ∆
r
→ X thỏa mãn ϕ(0) = p. Trong một hệ tọa độ chỉnh hình địa
phương, mỗi ϕ như vậy đều khai triển thành chuỗi hội tụ
ϕ(z) = ϕ
(0)
+ ϕ
(1)
z + ϕ
(2)
z
z
2
2!
+ ,
trong đó ϕ
(k)
là đạo hàm bậc k tại z = 0 và ϕ
(0)
= p.
Hai mầm ϕ và ˜ϕ được gọi là mật tiếp bậc k, kí hiệu ϕ ≡
k
˜ϕ, nếu
ϕ
(0)
= ˜ϕ
(0)
, ϕ

(1)
= ˜ϕ
(1)
, , ϕ
(k)
= ˜ϕ
(k)
.
18
Quan hệ trên là quan hệ tương đương, mỗi lớp tương đương được gọi là
một tia bậc k xác định bởi mầm ϕ tại p và kí hiệu là j
k
(ϕ)
p
(hoặc [ϕ]
k
).
Các tia bậc k còn được gọi là véc tơ mật tiếp bậc k hay véc tơ k - mật tiếp.
Ký hiệu tập hợp tất cả các tia bậc k tại p là J
k
(X)
p
.
Đặt
J
k
(X) =

p∈X
J

k
(X)
p
và gọi là không gian các tia bậc k của không gian phức X (còn gọi là không
gian k - mật tiếp của không gian phức X).
Ta định nghĩa một tác động của C lên các tia như sau:
Giả sử ϕ : ∆
r
→ X là một ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn ϕ(0) = p, với
t ∈ C ta đặt
ϕ
t
(z) = ϕ(tz)
và định nghĩa
tj
k
(ϕ)
p
= j
k
(ϕ
t
)
p
.
Hơn nữa, nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức
thì f cảm sinh ánh xạ f
∗
: J
k

(X) → J
k
(Y ) trên các tia bậc k.
Nhận xét.
i) Với k = 1, X là một đa tạp phức thì J
1
(X) = T X.
ii) J
k
(X) là phân thớ chỉnh hình trên X, nhưng với k ≥ 2 nó không là
phân thớ véc tơ.
2.2 k-metric vi phân Kobayashi - Venturini trong
không gian phức
2.2.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, điểm p ∈ X là véc tơ k-mật tiếp
ξ ∈ J
k
(X)
p
. Ta định nghĩa
K
k
X
(p, ξ) = inf{
1
r
; ∃ϕ ∈ Hol(∆, X)
19
sao cho ϕ(0) = p và j
k

(ϕ)
p
= rξ}.
Khi đó hàm K
k
X
: J
k
(X) → [0, +∞) được định nghĩa như trên gọi là
k-metric vi phân Kobayashi - Venturini trong không gian phức X.
Nhận xét.
Khi X là đa tạp phức và k = 1 thì
J
1
(X) = T X và K
1
X
= F
X
.
2.2.2 Một số tính chất của K
k
X
i) K
k
X
(0
p
) = 0, ∀p ∈ X.
ii) K

k
X
(p, λξ) = |λ| .K
k
X
(p, ξ), ∀λ ∈ C, ∀ξ ∈ J
k
(X)
p
.
iii) Nếu F : J
k
(X) → [0, ∞) là hàm tùy ý thỏa mãn
F (f(0), f
∗
0
(η)) ≤ K
k
∆
(0, η)
với mọi f ∈ hol(∆, X) và mọi η ∈ j
k
(∆, 0), thì
F (p, ξ) ≤ K
k
X
(p, ξ), ∀p ∈ X, ∀ξ ∈ J
k
(X)
p

.
iv) Cho hai không gian phức X và Y , ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(X, Y ),
khi đó
K
k
Y
(f(p), f
∗
p
(ξ)) ≤ K
k
X
(p, ξ), ∀p ∈ X, ∀ξ ∈ J
k
(X)
p
.
Các tính chất trên dễ dàng được suy ra từ định nghĩa của K
k
X
. Ta biết
rằng trên một đa tạp phức M metric vi phân Royden - Kobayashi F
M
là hàm nửa liên tục trên trên phân thớ T M (xem 1.3 chương 1). Đối với
k-metric vi phân Kobayashi - Venturini K
k
X
thì ta có kết quả yếu hơn.
2.2.3 Mệnh đề
Với mỗi k ∈ Z

+
, k-metric vi phân Kobayashi - Venturini
K
k
X
: J
k
(X) → [0, +∞) là hàm Borel.
Chứng minh.
20
Chọn khoảng cách δ trên X cảm sinh tô pô của X và thỏa mãn hai điều
kiện sau:
a) Bất kì tập con δ - bị chặn của X là compact tương đối trong X.
b) Bất kì ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(∆
r
, X) là một ánh xạ Lipschitz
địa phương ứng với khoảng cách δ trên X và khoảng cách Euclid trong ∆
r
.
Với mọi λ > 0, r > 0 kí hiệu F
λ
(r) là họ các ánh xạ chỉnh hình ϕ ∈
Hol(∆
r
, X) thỏa mãn
δ(ϕ(z), ϕ(w)) ≤ λ |z − w| , ∀z, w ∈ ∆
r
.
Tương tự như khi xây dựng k-metric vi phân Kobayashi-Venturini, ∀p ∈
X, ∀ξ ∈ J

k
(X)
p
, ta định nghĩa K
k
λ
(p, ξ) là infimum của tập hợp các số
thực có dạng
1
r
sao cho có ánh xạ chỉnh hình ϕ ∈ F
λ
(r) thỏa mãn ϕ(0) =
0, j
k
(ϕ)
p
= ξ.
Khi đó
K
k
λ
≥ K
k
X
và K
k
λ
≥ K
k

λ

nếu λ < λ

(1)
Trước hết ta chứng minh rằng ∀p ∈ X, ξ ∈ J
k
(X)
p
ta có
K
k
X
(p, ξ) = inf
λ>0
K
k
λ
(p, ξ) = lim
λ→+∞
K
k
λ
(p, ξ) (2)
Thật vậy, vì ϕ là một ánh xạ Lipschitz địa phương , với ϕ ∈ Hol(∆
r
, X), ∀ε >
0 tồn tại λ sao cho
ϕ|
∆(r−ε)

∈ F
λ
(r − ε).
Tiếp theo ta chứng minh với mọi λ > 0, hàm K
k
λ
là nửa liên tục dưới.
Thật vậy, giả sử ngược lại K
k
λ
không là nửa liên tục dưới với λ > 0 nào
đó. Khi đó tồn tại dãy {P } ⊂ X hội tụ với p ∈ X và dãy {ξ} ⊂ J
k
(X)
p
hội tụ tới ξ ∈ J
k
(X)
p
và số r > 0 sao cho
K
k
λ
(p, ξ) >
1
r
,
K
k
λ

(p
v
, ξ
v
) >
1
r
, ∀v ∈ N (3)
Theo định nghĩa của K
k
λ
tồn tại dãy các ánh xạ {ϕ
v
} ⊂ F
λ
(r
n
) với
r
n
> r, ϕ
v
(0) = p
v
và j
k
(ϕ
v
)
p

= ξ
v
.
21
Vì khoảng cách δ thỏa mãn điều kiện a) và dãy {ϕ
v
(0) = p
v
} là δ bị
chặn trong X, do đó ∀ε > 0 tồn tại tập compact H
ε
⊂ X sao cho
ϕ
v
(∆
r
) ⊂ H
ε
, ∀v ∈ N.
Hơn nữa, họ F
λ
(r) là đồng liên tục, do đó theo định lí Ascoli-Arzela tồn
tại ϕ ∈ F
λ
(r) và dãy con của dãy {ϕ
v
|
∆
r
} hội tụ đều tới hàm ϕ trên các

tập con compact của ∆
r
.
Vì ϕ(0) = p và j
k
(ϕ)
p
= ξ nên
K
k
λ
(p, ξ) ≤
1
r
.
Điều này mâu thuẫn với (3).
Từ (1) và (2) suy ra
K
k
X
(p, ξ) = inf
m∈N
K
k
m
(p, ξ), ∀p ∈ X, ∀ξ ∈ J
k
(X)
p
. (4)

Vì các K
k
m
(p, ξ) là hàm nửa liên tục dưới nên từ (4) ta có K
k
X
là hàm
Borel trên J
k
(X).
Vậy mệnh đề được chứng minh.
2.2.4 Định nghĩa
Giả sử X là không gian phức, cho γ : [a, b] → X, [a, b] ⊂ R là một đường
cong giải tích thực. Với mỗi t ∈ [a, b], tồn tại một và chỉ một mầm hàm
chỉnh hình ϕ
t
∈ Hol(C, X), ϕ
t
(0) = γ(t) thỏa mãn với ε > 0 đủ nhỏ và
s ∈ (−ε, ε) thì γ(t + s) = ϕ
t
(s).
Khi đó ta định nghĩa, với mỗi k ∈ Z
+
,
j
k
γ(t) = [ϕ
t
]

k
∈ J
k
(X)
γ(t)
.
Rõ ràng ánh xạ
[a, b]  t → j
k
γ(t) ∈ J
k
(X)
là ánh xạ liên tục.
2.2.5 Định lý
22
Giả sử γ : [a, b] → X là một đường cong giải tích thực. Khi đó tồn
tại một hằng số c, 0 ≤ c ≤ +∞ chỉ phụ thuộc vào γ, sao cho
d
X
(γ(t), γ(t

)) ≤ c


t − t



, ∀t, t


∈ [a, b] (1)
và với mọi k ∈ Z
+
K
k
X
(γ(t), j
k
γ(t)) ≤ c, ∀t ∈ [a, b] . (2)
Chứng minh.
Chọn t
0
∈ [a, b] và giả sử ϕ
0
: ∆
r
0
→ X là một ánh xạ chỉnh hình thỏa
mãn
γ(t
0
+ s) = ϕ
0
(s), ∀s ∈ (−r
0
, r
0
)
Nếu t, t


∈ (t
0
− r
0
, t
0
+ r
0
) ∩ [a, b] thì theo tính giảm khoảng cách của d
X
ta có
d
X
(γ(t), γ(t

)) = d
X
(ϕ(t − t
0
), ϕ(t

− t
0
))
≤ d
∆
r
0
(t − t
0

, t

− t
0
).
Từ đó ta có
d
X
(γ(t), γ(s)) ≤ c
0
|t − s| , ∀t, s ∈ (t
0
−
r
0
2
, t
0
+
r
0
2
) ∩ [a, b] , (3)
trong đó c
0
chỉ phụ thuộc vào r
0
.
Hơn nữa với mỗi
t ∈ (t

0
−
r
0
2
, t
0
+
r
0
2
) ∩ [a, b] ,
ánh xạ
ϕ
t
: ∆
r
0
2
→ X
xác định bởi
ϕ
t
(s) = ϕ(t + s), ∀s ∈ ∆
r
0
2
.
thỏa mãn
γ(t + s) = ϕ

t
(s), ∀s ∈ (t −
r
0
2
, t +
r
0
2
) ∩ [a − t, b − t] .
23
Vì vậy, với mọi k ∈ Z
+
ta có
K
k
X
(γ(t), j
k
γ(t)) ≤
2
r
0
. (4)
Từ (3) và (4) ta nhận được (1) và (2) bằng cách chọn hằng số c một
cách thích hợp.
Vậy định lý được chứng minh.
2.2.6 Định nghĩa
Cho γ : [a, b] → X là một đường cong giải tích thực, với mỗi k ∈ Z
+

,
ta định nghĩa
L
k
X
(γ) =

b
a
K
k
X
(γ(t), j
k
(γ(t))dt.
Theo Mệnh đề 2.2.3 thì L
k
X
(γ) được định nghĩa như trên là hoàn toàn
xác định, vì K
k
X
là hàm Borel không âm.
Từ Định lý 2.2.5 ta có {L
k
X
(γ)}
∞
k=1
là dãy tăng bị chặn các số thực

không âm.
Đặt
L
X
(γ) = sup
k>1
L
k
X
(γ) = lim
k→+∞
L
k
X
(γ).
Các định nghĩa trên đều có thể mở rộng đến các đường cong liên tục,
giải tích thực từng khúc.
Cho hai điểm p, q bất kì của X. Do tính liên thông của X tồn tại một
đường cong giải tích thực từng khúc γ : [a, b] → X nối p và q sao cho
γ(a) = p, γ(b) = q. Khi đó ta định nghĩa
d

X
(p, q) = inf
γ
{sup
k≥1

b
a

K
k
X
(γ(t), j
k
(γ(t))dt, γ ∈ Ω
p,q
}.
Ta có hàm d

X
: X × X → R được định nghĩa như trên là hàm giả
khoảng cách trên X.