Dạy học tích cực phần “đạo hàm và ứng dụng” cho sinh viên học viện tài chính theo phương thức đào tạo tín chỉ

1

Dy hc tích cc pho hàm và ng d
cho sinh viên Hc vin Tài chính theo
o tín ch
NXB H. : , 2012 S trang 117 tr. +

Trn Th Minh Nguyt


ng i hc Giáo dc
Lu: Lý luy hc (b môn Toán);
Mã s: 60 14 10
i ng dn: PGS.TS. Nguyn Minh Tun
o v: 2012

Abstract. Tìm hiu v y hc hii tích cc. Nghiên cu v các ni dung
thuc pho hàm và ng dc phn Toán cao cp dành cho sinh viên Hc
vin Tài chính. Tìm hiu thc trng dy và hc ch  này ti Hc vi xut
ng án dy hc các ni dung thuc pho hàm và ng dy
hc hii tích cc nhm nâng cao hiu qu dy và hi hc khi kinh
tng nhi co theo tín ch. Tin hành thc nghi
phi v ra.

Keywords: Toán hc; y hc; o hàm; o tín ch.

Content.
1. Lý do chọn đề tài
i mc hic phát trin giáo d-
i hn rõ rt v ng hoá v loi hình và các hình
thu chu h thng, ci tio và huy

c nhiu ngun lc xã hi.
Chng giáo di hc  mt s  giáo di hc có nhng chuyn
bin tích cc, tng yêu cu phát trin kinh t - xã h  i
hi hc mà tuy o t giáo dn
quan trng vào công cui mi và xây dc.
o theo hc ch tín ch chính là mng trong l i mi giáo
dn 2006-o tiên tin, phù hp va các
c trên th gii nói chung và Vit Nam nói riêng. Trên th i hc hin nay
vn còn nhiu chuyo tín chc s phát
c nhng li th co này. Sinh viên (SV) vn còn nhiu b ng (nht là
sinh  nht) khi phi nâng cao kh  hc ca mình. Ging viên (GV) còn dè dt khi
2

chuyn t ng do niên ch o theo
tín ch.






  c chn là “Dạy học tích cực phần Đạo hàm và ứng dụng cho
sinh viên Học viện Tài chính theo phương thức đào tạo tín chỉ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiu, thit k, xây dy hc các ni dung thuc pho hàm và ng
dy hc hii tích cc nhm nâng cao chng dy và hc ch  này
cho sinh viên Hc vin Tài chính.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiu, nghiên cu v y hc hii tích cc.
- Trc tip tìm hiu, nghiên cu v các ni dung thuc pho hàm và ng d trong

hc phn Toán cao cp dành cho sinh viên Hc vin Tài chính.
- Tìm hiu thc trng dy và hc ch  này ti Hc vin Tài chính.
-  xuy hc các ni dung thuc pho hàm và ng d
pháp dy hc hii tích cc nhm nâng cao hiu qu dy và hi hc khi
kinh tng nhi co theo tín ch.
- Tin hành thc nghii v ra.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Phm vi ni dung nghiên cu kin th tài ch nghiên cu v
v nâng cao hiu qu dy hc phn o hàm và ng dcho sinh viên Hc vin Tài chính.
- Phm vi thi gian, din bin ca s ki xem xét: thc hin th nghim trong vòng 1
tun, trong quá trình thc hin có liên l ly ý kin phn hi và có th chnh sa nu cn thit.
5. Mẫu khảo sát
-  nht Hc vin Tài chính - Hà Ni.
- Các ging viên ging dy môn Toán cao cp  Hc vin Tài chính.
6. Vấn đề nghiên cứu
Làm th nà nâng cao hiu qu dy hc phn o hàm và ng dcho sinh viên Hc
vin Tài chính?
7. Giả thuyết khoa học
Vn dy hc hii tích cc kt hp vi các ni dung, kin thc ca
phn o hàm và ng d thit k, xây dng bài ging và thc gi
nht ca Hc vin Tài chính s c hiu qu dy hc ch  này.
8. Phƣơng pháp chứng minh luận điểm
- Nghiên c



:
3

- D gi, tng kt rút kinh nghiu tra, quan sát, thu thp ý kin

chuyên gia, ging viên.
- c nghim: T chc dy thc nghi nht ca Hc vin
Tài chính.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phn m u, kt lun, khuyn ngh, tài liu tham kho lu kic trình

 lý lun và thc tin.
t s v v dy hc tích cc phn o hàm và ng dng ccho
sinh viên Hc vin Tài chính.
c nghim.

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Đào tạo đại học theo phƣơng thức tín chỉ
1.1.1. Sơ lược về đào tạo theo phương thức tín chỉ
o theo c tín ch, lc t chc tng i hc Harvard, Hoa
k ng ra khp Bc M và th gio theo trit
i hi hc là trung tâm ca T
chc ngân hàng th gio theo c tín ch, không ch có hiu qu
i vc phát trin mà còn rt hiu qu i vn. Tín ch ng
 ng kin tha mt môn hi hc cn pht
khong thi gian nhnh
1.1.2. Vai trò của người dạy và người học trong phương thức đào tạo theo 1.1.2.1. Vai trò của
người dạy
Trong pho truyn thi dy có mt s i
bt nhi bit mi tri thc v môn hi quynh mi
hong dy - hc trong lp h Trong ph o theo tín ch   
trên  mt m i dy phm nhim thêm ít nht ba
vai trò n vn cho quá trình hc tp; (ii) ngi tham gia vào quá trình hc tp; và (iii)
i hc và nhà nghiên cu.

1.1.2.2. Vai trò của người học
Trong pho theo tín chi hc phc tu ki thc s tr
thành người đàm phán tích cc và có hiu qu: (i) vi chính mình trong quá trình hc tp, (ii) vi
mc tiêu hc tp, (iii) vi các thành viên trong nhóm và trong lp hc, và (iv) vi ngi dy.
4

1.1.3. Thực trạng đào tạo tín chỉ trong trường Đại học ở Việt Nam
1.1.3.1. Những lợi thế
a h thng tín ch là kin thc cu trúc thành các hc phnp
hc t chc theo tng hc phu mi hc kc thích
hp vc và hoàn cnh ca h và phù hp vnh chung nhc kin thc theo
mt ngành c la chn các môn hc rt rng rãi, sinh viên có th ghi tên
hc các môn liên ngành nu h thích. Nó cho phép sinh viên ch ng xây dng k hoch hc tp
thích hp nht. Vi vic ch ng ghi tên hc các hc phn khác nhau, sinh viên d dàng thay
i chuyên ngành trong tin trình hc tp khi thy cn thit mà không phi hc li t u. Vi h
thng tín chng có th m thêm ngành hc mi mt cách d dàng, giúp cho vic qut
c hiu qu cao và gim giá thành o.
Sinh viên có th u tín ch 

c k, mc, 


, 

, hoàn c

. 




  nghiên cu  nhà, phát huy t
c t nghiên cthc hc tp ca mình.
1.1.3.2. Những hạn chế
Bên cnh nhng thun li, 

i gian áp di h
o tín ch c l nhng hn ch 

.
















 c l

 s
lp hc, s ging viên. 






 



c, t
nghiên cu, s giáo trình và tài li cho sinh viên t nghiên cu 



 y và trò
c s s áp do theo h thng tín ch.
1.2. Phƣơng pháp dạy học tích cực
Tích cc là mt nét quan trng ca tính cách, theo Kharlanôp: "Tích cc trong hc tp có
t cách ch ng, t giác, có ngh lt, có sáng kin và
y hào hng, nhng trí óc và tay chân nhm nm vng kin tho, vn
dng chúng vào hc tp và thc tiy hc tích cc là nhy hc
ng phát huy tính ch c lp và sáng tng ti vic hong hóa, tích cc hóa
hong nhn thc ci hc.
y hc tích cc có nhi hc t trong hc
tp, ch ng tìm tòi khám phá ni dung hc tp, ch ng gii quyt các v phù hp vi kh
u bit c xung sáng to và t nguyn trình bày, dit các ý kin ca
i dy linh hot, mm do, luôn t i hc tham gia và làm ch hong
nhn thi dy ch i t chng dn quá trình nhn thc.


5

1.2.1. Quan điểm về dạy học tích cực và phương pháp dạy học tích cực
Bn cht ca dy hc tích c cao ch th nhn thc, chính là phát huy tính t giác, ch
ng ci hc. Tích cc là mt nét quan trng ca tính cách, theo Kharlanôp: "Tích cc trong
hc tt cách ch ng, t giác, có ngh lt, có sáng
kiy hào hng, nhng trí óc và tay chân nhm nm vng kin tho,
vn dng chúng vào hc tp và thc tiy tích cc là mc tính quý báu rt cn thit
cho mi quá trình nhn thc, là nhân t quan trng to nên hiu qu dy hc.
y hc tích cc là nhy hng phát huy tính ch
c lp và sáng tng ti vic hong hóa, tích cc hóa hong nhn thc ci
hy hc tích cc có nhn là:
- i hc: t trong hc tp, ch ng tìm tòi khám phá ni dung hc tp, ch
ng gii quyt các v phù hp vi kh u bit c xung sáng to và
t nguyn trình bày, dit các ý kin ca mình. Theo lí thuyt kin ty hc tích
cc chính là giúp i hc t xây dng nhng cu trúc trí tu riêng cho mình v nhng tài liu
hc tp, la chn nhng thông tin phù hp, gia trên vn kin th
cu hin ti, b sung thêm nhng thông tin cn thi  a tài liu mi" (Shuell,
i hc chính là ch th ca quá trình nhn thc.
- i dy: linh hot, mm do, luôn t i hc tham gia và làm ch hot
ng nhn thi dy xây dc nhng có kh i hc t
u khin hong hc tp, cung cp nhng nhim v hc tp có m phù hp vi tng sinh
viên, tu kin cho tc phép la chn, t lp k hoch, t t
ng, t mình hoc h thc hin nhim v hc tp, cui cùng t nht qu
hc tp ca bi dy ch i t chng dn quá trình nhn thc.
- Ni dung bài dng chi tit c th mà sp xp thành các v liên kt
hoc sp x ch   ng sáng to trong cách gii
quyt các v ci hc.
1.2.2. Một số phương pháp dạy học tích cực
1.2.2.1. Phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện
i phát hiviên t chi thoi, trao

i ý kin, tranh lun gia thy vi c lp hoc gia sinh viên vc
cng c, m rng, b sung kin thc tri thc mi, cách nhn thc mi, cách gii quyt vn
 mi.
 này, h thng câu hi phc st hp lí, phù hp vi nhn thc
ca sinh viên, kích thích sinh viên tích cng sinh viên theo mt mnh
c. Cui, ging viên phân tích tng hp ý kin ca sinh viên  kt lun vn
6

 t ra, có th b sung, chnh lí khi cn thit, hp thc hóa nhng tri thc mi, k i. T
i trên lp, v sau, trong quá trình t hc, nhiu khi sinh viên da vào các câu hi
i mà t i thoi vi chính mình.
Ví dụ. 

      
3 1 4 7 .f x x x x x    

Chng minh r
 
'0fx
 nghim phân bit.
+ c ht, vì
 
fx
c bc 4 nên
 
'
fx
c bc ba 
 
'0fx

s có t nghim thc.
+ D th
 
0fx
có bn nghim thc phân bit
7, 4, 1, 3
.  
nh lý Rolle ch 
 
'0fx
có ít nht ba nghim thc phân bit nm trong các
khong
     
7, 4 ; 4,1 ; 1,3  
.
+ T t lun s nghim chính xác c
 
'0fx
.
1.2.2.2. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
y hc phát hin và gii quyt v d khoa hc là nhng kt
qu nghiên cu v trit hc, tâm lí hc, giáo dc hc. Kiu dy hc phát hin và gii quyt v là
kiu dy hc mà ging viên to ra tình hung gi v u khin sinh viên phát hin và gii
quyt vc tri thc, rèn luyc m
Ví dụ. Cho hàm s

 
2
3 4 khi 1,
khi 1.

xx
y f x
ax b x

  


  


Tìm
,ab
 hàm s o hàm ti
1.x 

Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán
Bài toán yêu cầu gì?
u kin ca tham s  hàm s o hàm ti mm.
Bước 2. Xây dựng chương trình giải
Tại điểm
1x 
có thể tính đạo hàm bằng bảng công thức tính đạo hàm cơ bản hay bằng định nghĩa
không?
Không vì trong lân cn cm
1x 
hàm s nhn các giá tr khác nhau.
7

Để tính được đạo hàm của hàm số tại
1x 

ta làm thế nào?
o hàm trái và phi ti
1x 
.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải
Hãy trình bày lời giải chi tiết vào vở
Li gii. Ta có
 
     
2
2
'
0 0 0
1 1 3. 1 4 7
36
1 lim lim lim 6,
x x x
f x f x
xx
f
x x x
  

     
         
  
     
  

 

     
'
0 0 0
1 1 . 1 7
7
1 lim lim lim .
x x x
f x f a x b
ba
fa
x x x
  

     
         


    

  


- Nu
70ba  
thì
 
1fa


.

- Nu
70ba  
thì
 
1f

  
.
- Nu
70ba  
thì
 
1f

  
.
Vy  hàm s o hàm ti
1x 
thì
   
' 1 ' 1ff


hu hn. i

70
6
ba
a
  






6,
1.
a
b







Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải
Tương tự xét xem có tồn tại đạo hàm của hàm số sau tại điểm
1x 
không?
 
2
2 khi 1,
7 4 khi 1.
xx
y f x
xx








Ta có
 
     
 
2
2
'
0 0 0 0
1 1 1 2 3
2
1 lim lim lim lim 2 2,
x x x x
f x f x
xx
fx
x x x
   

       
      
  
      
  
 
     
'

0 0 0
1 1 7. 1 4 3
7
1 lim lim lim 7.
x x x
f x f x
x
f
x x x
  

     
      

   
  

Suy ra
   
' 1 ' 1ff

  
 
'1f
.
1.2.2.3. Phương pháp hướng dẫn sinh viên tự học
ng dc tài liu phc v cho môn hc
ng dn sinh viên t hc, t nghiên cu bài hc
8

T hc, t nghiên cu là hình thc hong ci hc nhm nm vng h
thng tri tha môn hc. Hong t hc, t nghiên cu do chính sinh viên tin hành
 trên lp, ngoài lp hoc  nhà. T hc có liên quan cht ch vi quá trình dy h
c lc coi là chìa khóa vàng ca giáo dc trong thi tri thc nhân lo

Ví dụ. o hàm ca hàm s ti mm.
Cho hàm số
 
y f x
xác định trên miền
X
và
0
xX
. Cho
0
x
số gia
x
sao cho
0
x x X  
. Ta có số gia tương ứng của hàm số tại
0
x
là:
       
00
y x f x f x x f x      

Khi đó, ta gọi đạo hàm của hàm số
 
fx
tại
0
x
là giới hạn (nếu có) của tỷ số giữa số gia
của hàm số tại
0
x
và số gia đối số khi số gia của đối số dần tới 0.
Ký hiệu
       
0 0 0 0
' ; ' ; ;
df dy
f x y x x x
dx dx
.
Vậy
 
         
0
0 0 0 0
0
00
0
' lim lim lim
x x x x
y x f x x f x f x f x

fx
x x x x
    
    
  
  
.
- Gii thing dn sinh viên t nghiên c nng
thi tr li các câu hi sau:
+ Có th minh ha hình h nào? T c bn cht ca gii
hn này là gì?
ng nào phi tìm?
c cn  o hàm ti mm b
+ o hàm ca hàm s
2
1
y
x

tm
0
2x 
.
- T cho din cho sinh viên tho lut qu ca mình.
- Kim tra, nhn xét, phân tích và khnh các kt lusinh viên t kim tra,
u chnh kin thc ca mình.
1.2.2.4. Phương pháp hướng dẫn sinh viên thảo luận nhóm
Tho lu t thích hp vi hiu qu cao
trong hc tp. Trong tho lun nhóm, SV va th hic vai trò ca cá nhân, va th hic
vai trò ca tp thng thi tc mi quan h hai chiu: gia sinh viên  sinh viên và gia sinh

viên  gi tho lun có hiu qu, giáo viên cng dn mt cách c th tc:
Bước 1: Làm vic chung c lp
9

Bước 2: Làm vic theo nhóm
Bước 3: Tho lun, tng kc lp
Ví dụ: Sau khi ging dng dn sinh viên tho lun nhóm v i
các dng bài tp áp dnh lý.
Tình hung này cn có s i, thng nht ý kin theo tng nhóm và c l
viên cng c c tri thc v nh lý Lagrange và có k i quyt các bài tn
ng dng cnh lý.
1.3. Cơ sở thực tiễn
1.3.1. Phần Đạo hàm và ứng dụng ở Học viện Tài chính
i dung pho hàm và ng dng; mu; phân
phu.
1.3.2. Những thuận lợi và khó khăn khi giảng dạy và nghiên cứu phần Đạo hàm và ứng dụng
1.3.2.1. Những thuận lợi
- c hc hu ht các ni dung này  c ôn luyn rt nhi
i hc, vì th n kin thc lý thuyt và k u này tu kin
d ình t hc và nghiên cu.
- Có rt nhiu tài liu, sách tham kho vit v o hàm tu kin thun li cho sinh viên
trong quá trình nghiên cu tài liu phc v cho ni dung hc tp.
1.3.2.2. Những khó khăn
-  nht ci hng gp rt nhic tp 
bi hc, yêu cu ca môn h
hc  bc hc này có nhiu khác bit so vi bc bit các em phu làm quen vi
hình tho tín ch,  c t hc và t nghiên cu cc phát huy t
-  nhng v i vt v 
i hc, nhic s chú tâm vào vic hc ngay t u.
- Ni dung pho hàm và ng dng nói riêng và hc phn toán gii tích nói chung hu ht

c làm quen  ph a môn hc này  bi hc ch n (ch
không ph ch ng.
- Mc dù các c hc ni dung này rt k  ph i dung khó,
a  ph thông mi ch dng li  vio hàm theo các quy tc và mt s ng dng ca
 kho sát hàm s, tìm cc trc li,  i hc, không ch dng li  vic thc
n mà các bài tt nhiu bài tp cn s sáng
to ca sinh viên ch a thi gian phân phi
ng dy và hc tp.

10

CHƢƠNG 2
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC TÍCH CỰC PHẦN ĐẠO HÀM VÀ
ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN HỌC VIỆN TÀI CHÍNH
2.1. Xác định phƣơng hƣớng
c nhng thun la hình tho tín ch và ca môn h nâng cao
hiu qu dy hc phn Đạo hàm và ứng dụng cc t hc và t nghiên cu
ca sinh viên. Vì th cn kết hợp ng dy tích cPhương pháp đàm thoại
phát hiện, phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp hướng dẫn sinh viên tự học,
phương pháp hướng dẫn sinh viên thảo luận nhóm…  ng viên s i t chu
phi các hong c thc hic m xut mi gi dy tín
ch ni dung này có quy trình g
Bước 1. Trên lp - toàn lp (5 - 10 phút) cui tit hc
- Ging viên nêu bn cht v cn nghiên cu.
- Gii thiu các tài liu cng dc.
- Nêu mt s câu hi có tính cht gi m - Giao nhim v.
Bước 2.  nhà - cá nhân
- c và nghiên cu tài liu, hoàn thành nhim v giáo viên giao.
- V u - hi nào? V u - vì sao?
Bước 3. Trên lp - nhóm

- Sinh viên tho lun nhóm, thc hin các nhim v c giao.
- Ging viên ng dn, làm vic vi tng nhóm, tng thành viên.
Bước 4. Trên lp - toàn lp
- Các nhóm trình bày v u và nêu nhng thc mc (cách thc rng).
- Các nhóm khác, các thành viên lng nghe và b sung.
- Ging viên vng tài khoa hc có nhim v: gic mc, h thng và cht
li các ni dung, m rng nâng cao các kin thc cn tip thu, gn lý lun vi thc ting dn
cho bài h
Bước 5.  nhà - cá nhân
- Mi t son li ni dung bài hc bng ngôn ng riêng ca mình.
- Làm các bài tp, bài thu hoch theo yêu cu ca ging viên.
Vnh   bày kt qu thit k dy hc hai
ni dung trong phn Đạo hàm và ứng dụng thup dy cho sinh viên n
th nht ti Hc vin Tài chính.
2.2. Giáo án dạy học phần Đạo hàm
* Mu:
11

- Sinh viên nm vnnh lý v o hàm.
- Sinh viên hiu và nm vc bo hàm o hàm, khái nim
o hàm cp cao. T n dng tính thành tho o hàm ca các hàm s ng g
tha, hàm hu t, hàm vô tng giác, hàm siêu vit, ).
y hc:
- i phát hin.
- Tho lun nhóm.
- ng dn sinh viên t hc.
2.2.1. Phương pháp dạy học lý thuyết
Vì thi gian phân pht ít và ni dung này sinh viên c tii 
ph thông nên vic dy li lý thuyt là rging viên phát tài liu, yêu cng
dn sinh viên t c, t nghiên cu giáo trình và tài liu   sinh viên nm vng kin thc phn

này trên lp chúng tôi s di phát hin, sinh viên cn tr li h thng các câu
h
Hãy phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số f(x) tại một điểm.
Từ định nghĩa rút ra lưu ý nào?
Áp dụng tính đạo hàm của hàm số
2
1
y
x

tại điểm
0
2x 
.
Nêu định nghĩa đạo hàm trái, đạo hàm phải của hàm số tại một điểm.
Phát biểu định lý về điều kiện cần và đủ để hàm số có đạo hàm tại một điểm.
Ví dụ. Cho hàm số

 
2
2 khi 1,
7 4 khi 1.
xx
y f x
xx








Xét đạo hàm của hàm số trên tại điểm
1.x 

Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng.
Áp dụng tính đạo hàm của hàm số
x
ya
trên

.
Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần để hàm số khả vi tại một điểm.
Chia nhóm, yêu cầu sinh viên áp dụng định lý trên để giải một số ví dụ sau (mỗi nhóm một ví dụ).
Ví dụ 1. Xét sự khả vi của hàm số
 
y f x x
tại điểm
0
0x 
.
Ví dụ 2. Cho hàm số

 
1
khi 0,
0 khi 0.
x
fx
x

x









12

Kiểm tra tính liên tục và tính đạo hàm của hàm số trên tại
0
0.x 

Ví dụ 3. Cho hàm số

 
2
3 4 khi 1,
khi 1.
xx
y f x
ax b x

  


  



Tìm
,ab
để hàm số trên khả vi tại
1.x 

Yêu cu các nhóm c i din lên trình bày câu tr li ca mình, t ging viên nhn xét và chnh
sa li.
Qua các ví dụ trên, yêu cầu sinh viên đưa ra nhận xét.
Nêu ý nghĩa hình học của đạo hàm.
Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. Ging viên , sinh viên t vit các
ng vào bng sau:
Bảng 2.1
Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
 
y f x

 
''y f x

Tập xác định
x


1
.x






c
(hng s)
0


sin x

cosx



cosx

sin x



tan x

2
1
cos x

\
2
k









cot x

2
1
sin x


 
\ k



x
a

 
01a

ln
x
aa



log
a
x

 
01a

1
lnxa

 
0,

arcsin x

2
1
1 x

 
1,1

13

arccos x

2
1
1 x




 
1,1

arctan x

2
1
1 x



arccot x

2
1
1 x






Ý nghĩa của bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản.
Các phép tính với đạo hàm hữu hạn. Cách vận dụng các tính chất vào bài toán tính đạo hàm.
Trình bày cách tính đạo hàm của hàm số cho bởi nhiều biểu thức của các hàm sơ cấp khác nhau.
Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số sau trên


 
2
2 1 khi 1,
2 khi 1.
xx
y f x
xx







Áp dụng bảng đạo hàm của hàm sơ cấp cơ bản và đạo hàm hàm kép, tính đạo hàm của hàm số
 
 
vx
y u x


trong đó
 
ux
và
 
vx
là các hàm số khả vi theo
x

và
 
0ux
.
Nêu khái niệm về đạo hàm cấp cao của một hàm số.
2.2.2. Phương pháp dạy học bài tập
Các bài tp o hàm rng và phong phú, có nhng bài tp ch cn s dng kin th
bn v o hàm là có th giu ht các bài tp o hàm  i hc tp trung khai thác
khía cnh lý thuyt ch n tính toán, vì vi t sinh viên
rèn luyn và phát triphát huy kh  hc, t nghiên cu ci s t
chu phi ca ging viên. Nhim v ca ging viên là giúp sinh viên áp d
tính o hàm vào vic tính o hàm ca tng loi hàm s no hàm ca mt hàm
s bu kin ca tham s  mt hàm s o hàm, kh vi ti mt
m, trên mt kho Trong phn này chúng tôi thc hin các gi dy tín ch có quy trình gm
 
2.2.2.1. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa
Bước 1. Trên lp - toàn lp (5 - 10 phút) cui tit hc
- Ging viên nêu bn cht v cn nghiên cu: Vn dng  to hàm ca hàm s
tm.
- Gii thiu các tài liu cc (Giáo trình, các sách tham kho, ng dc.
- Phát tài liu và giao nhim v cho sinh viên:
+ Tính o hàm b ti mm ca hàm s cho bi mt biu thc gii tích.
14

o hàm bi mm ca hàm s cho vi nhiu biu thc gii tích
khác nhau.
* Các bài tp
Bài 2.1. (Tính o hàm ca hàm cho bi mt biu thc gii tích)
a. Tính
 

0f


 
3
f x x
.
b. 
 
0
fx


   
cot , f x x x x k

   
.
Bài 2.2. (Tính o hàm ca hàm cho bi nhiu biu thc gii tích)
a. 
 
2
2
, 1,
1
, 1.
x
x e khi x
fx
khi x

e










Tính
 
1.f


b. 
 
 
1 cos , khi 0,
ln 1 , khi 0.
xx
fx
x x x




  


Tính
   
0 , 0ff
 

.
c. 
2
2
cos khi 0,
()
0 khi 0.
xx
fx
x
x









Chng t rng hàm s o hàm trên toàn

. T ãy xét s liên tc ca hàm
()fx



trên

.

Bước 2.  nhà - cá nhân
- c và nghiên cu tài liu, hoàn thành nhim v giáo viên giao.
- V u - hi nào? V u - vì sao?
Bước 3. Trên lp - nhóm
- Sinh viên tho lu tr li các câu hc giao v nhà.
- Ging viên ng dn, làm vic vi tng nhóm, tng thành viên.
Bước 4. Trên lp - toàn lp
- Các nhóm trình bày các kt qu o lun và thng nht ca nhóm mình và nêu nhng thc mc.
- Các nhóm khác, các thành viên lng nghe và b sung.
15

- Ging viên vng tài khoa hc có nhim v: Gic mc, h thng và cht
li các ni dung, m rng nâng cao các kin thc cn ting dn cho bài hc mi.
* Giảng viên hệ thống và chốt lại các nội dung như sau:
1) Lời giải bài 2.1.
a) Ta có
 
0 0,f 

 
   
3
3
2

0 0 0
0
01
' 0 lim lim lim
0
x x x
f x f
x
f
xx
x
  


    

.
Vy hàm s o hàm vô hn ti
0x 
và
 
' 0 0f 
.
b) S d
 
0
fx

bit
   

cot , f x x x x k

   
.
Cho
0
x
mt s gia
x


     
0 0 0 0 0 0
cot cot cot coty x x x x x x x x x x               

 
   
00
0 0 0 0
sin
sin
sin .sin sin .sin
x x x
x
xx
x x x x x x
  

     
   

.

 
00
1 sin
.1
sin .sin
yx
x x x x x


   
.

 
 
0
2
00
00
0
1 sin 1
' lim lim . 1 1
sin .sin
sin
xx
yx
fx
x x x x x
x

   


    

   

.
Hay ta có:
 
2
2
1
cot ' 1 cot
sin
x x x
x
    
,
 
xk


.
Lời giải bài 2.2.
a) Ta có
 
1
1,f
e




 
   
11
11
1
1 lim lim 0,
11
xx
f x f
ee
f
xx






  



 
   
2
2
2

2
1 1 1
1
1
1
1 lim lim lim
1 1 1
  


  




  
  
x
x
x x x
x
xe
f x f
e
ee
f
x x x

16

 
2
2
2
""
11
1 0 1
lim lim 2 2 0.
10
x
L
x
xx
ex e
ex xe
e x e




   




Vy
 
10f



.
b) Trong khong
 
,0
ta có
   
1 cos ' sinf x x f x x   
.
Trong khong
 
0,
ta có
     
1
ln 1 ' 1
11
x
f x x x f x
xx

      

.
 
       
0 0 0
0 ln 1 ln 1
' 0 lim lim lim 1 0,
0

x x x
f x f x x x
f
x x x
  

  
   

    




 
   
2
0 0 0 0
0
1 cos
2
' 0 lim lim lim lim 0.
02
thay
VCB
x x x x
x
f x f
xx
f

x x x
   

   


    


Vy
 
' 0 0f 
. T 

 
sin khi 0,
' 0 khi 0,
khi 0.
1
xx
f x x
x
x
x













Xét
 
   
0 0 0
0
' ' 0
1
1
'' 0 lim lim lim 1,
01
x x x
x
f x f
x
f
x x x
  

  




    




 
   
00
' ' 0
sin 0
'' 0 lim lim 1.
0
xx
f x f
x
f
xx





  


Vy
   
 
'' 0 1 '' 0 1 '' 0f f f

     
.

c) Vi
0x 
ta có
2
2 2 2
( ) cos ( ) 2 cos 2sinf x x f x x
x x x

   

()fx
o hàm vi mi
0x 
.
Ti
0x 
ta có
(0) 0f 
và
00
( ) (0) 2
lim lim cos 0
0
xx
f x f
x
xx






17

(vì
x
là VCB khi
0x 
và
22
cos 1, 0 cosx
xx
   
ng b chn khi
0x 

nên
2
cosx
x

0x 
).
Vy
()fx
kh vi ti
0x 
và
(0) 0f



.
22
2 cos sin khi 0,
()
0 khi 0.
xx
fx
xx
x










Khi
0x 
thì
22
( ) 2 cos sinf x x
xx


p nên nó liên tc.
Ti

0x 
ta có
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
lim ( ) lim 2 cos sin lim 2 cos lim sin lim sin
x x x x x
f x x x
x x x x x
    


    


.
Gii hn này không tn ti, vy
0
lim ( )
x
fx




()fx

n loi 2 ti
0x 
. Vy hàm s
liên tc vi mi

0x 
n loi 2 ti
0x 
.
2) Nhận xét
T hai bài tp trên, ging viên tng kt li các dn o hàm b và
t u sinh viên rút ra c tin hành ca các dng vi mi loi
yêu cu khác nhau c bài.
Bước 5.  nhà - cá nhân
- Mi sinh viên t son li ni dung bài hc bng ngôn ng riêng ca mình.
- Làm các bài tp, chun b bài mi theo yêu cu ca ging viên.
Các mc sau có c:
2.2.2.2. Tìm tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm, trên khoảng cho trước
2.2.2.3. Xét sự khả vi của hàm số không chứa tham số
2.2.2.4. Tìm tham số để hàm số khả vi tại điểm, trên khoảng cho trước
2.3. Giáo án dạy học Ứng dụng của đạo hàm
2.3.1. Phương pháp dạy học lý thuyết
2.3.1.1. Các tính chất của hàm số khả vi trên khoảng
 
,ab
(với
, ab
là các số thực hữu hạn và
ab
)
2.3.1.2. Quy tắc L’Hospital
2.3.2. Phương pháp dạy học bài tập
18

2.3.2.1. Lớp các bài tập ứng dụng định lý Rolle

2.3.2.2. Lớp các bài tập ứng dụng định lý Lagrange
2.3.2.3. Lớp các bài tập ứng dụng quy tắc L'Hospital

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích, tổ chức, kế hoạch và nội dung thực nghiệm sƣ phạm
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
Ma thc nghinh giá tính kh thi và tính hiu qu c
nâng cao hiu qu dy hc pho hàm và ng dng cho sinh viên Hc vi
trong lu
3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm
3.1.2.1. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm
*) Thời gian thực nghiệm sư phạm: T n 09/9/2010.
*) Địa điểm tham gia thực nghiệm sư phạm: Hc vin Tài chính, Hà Ni.
3.1.2.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm
*) Giảng viên dạy thực nghiệm sư phạm: hai ging viên dy thc nghim  Hc vin Tài
chính là tác gi lu Kim Cúc.
*) Lớp thực nghiệm sư phạm và lớp đối chứng:
Chúng tôi chng thc nghii chng là sinh viên ca 4 lp tín ch
K50  Hc vi1.1 là 2 lp thc nghim, 11.2 và
41.2 là 2 li ch m bo tính ph bin ca các mu, sinh viên trong các lc chn
hu hu có hc lc môn Toán t trung bình tr lên, các lp thc nghii chng có hc lc

- Tác gi lum nhn dy 2 lp 11.1 và 11.2, mi lp có 83 sinh viên.
- Gi m nhn dy 2 l
có 72 sinh viên.
- Tng s sinh viên  các lp thc nghim là 153 sinh viên. Tng s sinh viên  các li chng là
155 sinh viên.
3.1.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm
Bươ

́
c 1. 



 

 c nghi







 , c
nghim.
Bươ
́
c 2. c nghim, 



, quan , rút kinh nghi

u qu, 
thi c




c nghim.
19

Bươ
́
c 3. 

, 











 : Cho sinh viên làm bài kim tra sau khi
thc nghim (c lp thc nghim và li chng cùng làm m bài vi cùng thi gian kim tra).
3.1.4. Nội dung thực nghiệm sư phạm
Ni dung thc nghim là dy hc mt s tit thuc pho hàm và ng dng và kim tra
m ng hp hiu qu c xut trong lu
3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm
3.2.1. Bài kiểm tra đánh giá
 bài kim tra 45 phút cho các lp thc nghim và li chng vi n
sau:
Bài 1. m) Cho hàm s
 

2
sin
khi 0,
4 khi 0.
ax
x
fx
x
x b x









Tìm
, ab
 hàm s kh vi trên toàn trc s.

Bài 2. m) Cho
1m 
và các s thc
, , a b c
tha mãn
0.
21
a b c

m m m
  


Chng minh rng  
2
0ax bx c  
có ít nht mt nghim thuc khong
 
0,1
.
Bài 3. m) S dng quy ti hn sau:
a.
 
0
ln
lim ,
1 2ln sin
x
x
I
x




b.
0
lim .
x

x
x
Jx




Đáp án.
Bài 1. Nu
0x 
thì
   
4 4.f x x b f x

   

f
kh vi trên khong
 
;0
.
Nu
0x 
thì
   
22
2
sin 2 sin cos sina x ax x x a x
f x f x
xx



  
nên
f
kh vi trên
khong
 
0;
.

 
fx
kh vi trên
R

khi và ch khi
f
kh vi ti
0.x 

20


   
00ff



hu hn (1) và

 
fx
liên tc ti
0x 
(2).
Ta có
 
0fb
.
Li có
       
00
2 lim lim 0
xx
f x f x f


  


 
2
00
sin
lim lim 4
xx
ax
x b b
x



   


0.b

Vi
0b 
ta có

 
   
00
0
4
0 lim lim 4,
00
xx
f x f
x b b
f
xx






  


 
   
2
2
2
0
0 0 0
sin
0
sin
0 lim lim lim .
0
thay
b
x x x
ax
b
f x f
a x b
x
fa
x x x x
  


  





    




Vy
(1) 4,
(2)
0.
a
b









Kết luận. Vi
4; 0ab
thì hàm s  vi trên toàn trc s.
Bài 2. T gi thit c bài, lp hàm s
 
21
.
21

m m m
a b c
f x x x x
m m m

  


Vì
1m 
nên
 
fx
liên tn
 
0,1
và kh vi trên khong
 
0,1
.
Mt khác ta có
   
0 0; 1 0
21
a b c
ff
m m m
    

(theo gi thit).

Vy hàm
 
fx
va lng thi thu kin cnh lý Rolle trên
 
0,1
nên
tn tm
 
0
0,1x 
sao cho
 
0
'0fx
.
21

Hay
11
0 0 0
0
m m m
ax bx cx

  


 
12

0 0 0
0
m
x ax bx c

   


2
00
0ax bx c   
, (do
 
0
0,1x 
nên
1
0
0, 1
m
xm

  
).
T u phi chng minh.
Bài 3. Ta có
a.
 
0 0 0
1

ln sin 1 1
lim lim lim . .
cos
1 2ln sin 2cos 2
2
sin
L
x x x
xx
x
I
x
x x x
x
  
  

   
   



   

b.
ln
ln
0
lim ln .
ln ln

0 0 0
lim lim lim ,
xx
x x x x
x
xe
x x x e x A
x x x
J x e e e e


  
  
    


ln
0
lim ln . .
xx
x
A x e




Xét gii hn:
 
0 0 0 0
2

1
ln
lim ln lim lim lim 0.
11
L
x x x x
x
x
x x x
x
x
   
   


    





Vy,
ln 0
0
lim 1
xx
x
ee




và
0
lim ln
x
x


 
.
ln
0
lim ln .
xx
x
A x e


   

0
A
Je
.
3.2.2. Phân tích kết quả thực nghiệm
3.2.2.1. Đánh giá định lượng
Kt qu kic chúng tôi phân loi và thng kê trong bng sau:
T n 10: Gii, T n cn 8: Khá, T n cn 7: Trung bình, T n cn 5: Yu, T n
cn 3: Kém.
Vì có hai ging viên tin hành thc nghi so sánh kt qu.

Nhóm 1. Kt qu ca hai lp 11.1 (lp thc nghim 1 gm 83 sinh viên) và 11.2 (l i
chng 1 gm 83 sinh viên) do tác gi luging dy.

22

Bảng 3.1
Bảng kết quả điểm số của lớp thực nghiệm 1 và lớp đối chứng 1
Kt qu

Lp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
S
bài
%
S bài
%
S bài
%
S
bài
%
S
bài
%
Thực
nghiệm 1

23
27.7
33
39.8
19
22.9
7
8.4
1
1.2
Đối chứng
1
16
19.3
28
33.7
26
31.3
10
12.1
3
3.6

Biểu đồ 3.1
Biểu đồ cột về kết quả điểm số của lớp thực nghiệm 1 và lớp đối chứng 1

Nhóm 2. Kt qu ca hai lp 41.1 (lp thc nghim 2 gm 70 sinh viên) và 41.2 (li chng 2
gm 72 sinh viên) do ging viên  Kim Cúc ging dy.
Bảng 3.2
Bảng kết quả điểm số của lớp thực nghiệm 2 và lớp đối chứng 2

Kt qu
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
23


Lp
S
bài
%
S bài
%
S bài
%
S
bài
%
S
bài
%
Thực
nghiệm 2
14
20
20
28.5
24

34.3
10
14.3
2
2.9
Đối chứng
2
11
15.2
19
26.4
26
36.1
12
16.7
4
5.6

Biểu đồ 3.2
Biểu đồ cột về kết quả điểm số của lớp thực nghiệm 2 và lớp đối chứng 2

3.2.2.2. Đánh giá định tính
Các ý kin nha ging viên tham gia thc nghim, ý kin ca sinh
viê





 c nghi


ng thú, lôi cun sinh viên vào
quá trình t  c kin thn, có k n dng vào vic gii
toán; h thng câu hi dn dt hc bipháp dy hc này rt phù hp vi dy hc
i hc. Nó giúp sinh viên tích c ng viên có nhng
bài ging hay, hiu qu.
3.2.2.3. Những kết luận ban đầu rút ra được từ kết quả của thực nghiệm sư phạm
 gi t qu u ca quá trình thc nghim trên
tng s 308 sinh viên K50 ca Hc vin tài chính. Hiu qu ca thc nghic phn
24

ánh khá rõ nét qua kt qu bài kim tra ca sinh viên. T kt qu y ni lên mt s m

- So sánh kt qu ca lp thc nghim 1 vi li chng 1: S sinh viên m t 5 tr
lên ca lp thc nghim 1 là 75/83, chim 90.4%; ca li chng 1 là 70/83, chim 84.3%. Tuy
ng sinh viên m kim tra t yêu cm t 5 tr lên) là g c 2 l
quan sát bi ct 3.1 ta d dàng nhn thy t l ph sinh viên m kim tra loi gii và
khá ca lp thc nghin li chng 1, còn t l phm s sinh viên m
kim tra loi trung bình, yu, kém ca lp thc nghim 1 li thu so vi lp i chng 1u
này cho thy kt qu m kim tra ca lp thc nghim 1 tn lp i chng 1.
- So sánh kt qu ca lp thc nghim 2 vi lp i chng 2: S sinh viên m t 5 tr lên
ca lp thc nghim 2 là 58/70, chim 82.9%; ca li chng 2 là 56/72, chii vi
hai lng sinh viên m kit yêu cm t 5 tr lên) là g c
2 lp và qua bi ct 3.2 có th thy t l ph sinh viên m kim tra loi gii và
khá ca lp thc nghii chng 2, còn t l ph sinh viên m kim
tra loi trung bình, yu, kém ca lp thc nghim 2 li thp i li chng 2. Tuy nhiên,
s chênh lch là không nhiu này cho thy kt qu m kim tra ca lp thc nghim 2 có tt
i chng 2 y hc mi áp dng
cho hai lp này không có nhiu hiu qu.
- i vi ging viên  i trc tip ging dy hai lp thc

nghii chng 2, tác gi lut s lý gii v hiTuy
c bn lp mà chúng tôi tin hành thc nghiu là sinh viên chính quy ca Hc vin Tài
chính, tuy nhiên, hai lp thc nghii chng 1 u thuc khoa Tài chính ngân hàng, là khoa
có s ng sinh viên rm khong sinh viên toàn Hc vin) và là khoa rt
mnh trong Hc vin. Hc sinh  vào Hc viu có nguyn
vng hc ti khoa này và khoa K  sinh viên c hc tp tu là nhng sinh
viên u vào thi i hc c t hc, t nghiên cu ca các em u tc
li, hai lp thc nghii chng 2 thuc khoa H thng thông tin kinh t, là mt khoa mi m
ca Hc vin, s ng sinh viên  hi vic làm sau khi tt nghip
không lhip và K  sinh viên theo hc ti khoa
ng là nhng sinh viên u vào thi i hc thp.  hai lp này, các em vi
c  bc i hcng ngay vi vic phi t hc, t nghiên cu là chính nên
nhi giác trong hc tp, ít nghiên cc tài liu  nhà và rt th ng trong vic
hoàn thành các nhim v ging viên giao cho. Vì vy, vic áp dy hc mi cho
i hiu qu n.
25

Qua kt qu ca thc nghi phy rng, nu áp dy
h nâng cao chng dy h
- Có kh ng cho sinh viên hc cách t nghiên cu, t khám phá
gii quyt v và th hin mình.
- Có kh n phát tric cho sinh viên.
- Có kh n phát trin tính t giác, sáng to và phát trin k p tác cho
sinh viên.
- Có kh n t u giúp các ging viên thc hin dy hc nhm nâng cao
chng trong quá trình chuyi t o niên ch o tín chc ht là trong quá
trình dy hc ni dung pho hàm và ng dng cho sinh viên Hc vin Tài chính.

KẾT LUẬN
Quá trình nghiên c tài y hc tích cc pho hàm và ng dsinh viên

Hc vio tín chc nhng kt qu 
1. 

y hc tích cc, 










 

i dung Đạo hàm và ứng dụng c vin Tài chính.
2. 





 y h



i phát hin, phát
hin và gii quyt v, hng dn sinh viên tho lun nhóm, hng dn sinh viên t hc) 
 


n dy hc tích cc phn Đạo hàm và ứng dụng trong môn Toán
cao c

c vin Tài chính.
3. Lu

c (lý thuyt và bài tp) thuc phn Đạo hàm và ứng
dụng cho sinh viên Hc vin Tài chính , 

 : o hàm, ng dng co hàm theo
 xut.
4. Tin hành thc nghi

 i các giáo án: o hàm, ng dng co hàm. 

c
nghi





: 














.
5. Các kt qu nghiên cu ca lu dùng làm tài liu tham kho cho ging viên toán  Hc
vin Tài chính và cho tt c nhn nâng cao chng dy hc theo hình th
to tín ch.

References.
1. Trần Bình, Giải tích I – Phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến, NXB xut bn Khoa
ht, 2005.
2. Đỗ Văn Chí, Giáo trình Toán cao cấp, NXB Tài chính, 2009.
3. Đỗ Văn Chí, Bài tập Toán cao cấp, NXB Tài chính, 1999.
4. Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải toán Đạo hàm, NXB Hà Ni, 2003.