Phương pháp giảm cơ sở giải phương trình elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THÙY NHUNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THÙY NHUNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THANH SƠN
Thái Nguyên - 2015
i
Mục lục
Tóm tắt nội dung iii
Lời cảm ơn iv
Mở đầu 1
0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Dạng tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số . . . . . . 8
1.3.1 Sự phụ thuộc affine vào tham số . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Tính bức phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Phương pháp giảm cơ sở 11
2.1 Không gian hàm và dạng yếu của phương trình elliptic . . . . . . . . . 11
2.1.1 Dạng yếu phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
ii
2.1.2 Tích vô hướng và chuẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Không gian và cơ sở xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Rời rạc hóa bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Phép chiếu Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Giảm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Không gian và cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Phép chiếu lên không gian số chiều nhỏ . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Thủ tục tính toán Online- Offline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Thuật toán Greedy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Ước lượng sai số hậu nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1 Cận dưới của hằng số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2 Cận trên của hằng số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.3 Những kiến thức cần thiết khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.4 Ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.5 Cận của sai số tương ứng với chuẩn trên X . . . . . . . . . . . 30
3 Ví dụ số 32
Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35
iii
TÓM TẮT NỘI DUNG
Luận văn được viết có nội dung về phương pháp giảm cơ sở cho phương trình
elliptic phụ thuộc tham số. Chúng tôi trình bày đầy đủ các nguyên liệu để người
đọc có thể hiểu một cách chi tiết việc xây dựng phương pháp, cụ thể là phép chiếu
Galerkin, thuật toán Greedy và cận dưới của hằng số bức phụ thuộc tham số sử dụng
phép cách tiếp cận min −θ.
iv
Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình giảng
dạy, bồi dưỡng kiến thức trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tại
trường.
Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thanh Sơn đã tận tình hướng
dẫn trong suốt quá trình viết luận văn.
Xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, 2015 Phạm Thị Thùy Nhung
Học viên Cao học Toán K7A,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên
1
Mở đầu
0.1 Lý do chọn đề tài
Để bắt đầu, ta hãy xét Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson
−∆y = f, trong Ω,
y = 0, trên Γ,
(1)
trong đó Ω là miền bị chặn trong R
k
, k ≥ 2 có biên Γ thỏa mãn điều kiện Lipschitz và

f ∈ L
2
(Ω). Với dữ liệu trên Bài toán (1) không thể có nghiệm cổ điển y ∈ C
2
(Ω)∩C(
¯
Ω)
mà thay vào đó, người ta xét nghiệm suy rộng của Bài toán (1).
Nhắc lại rằng, L
2
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
f, g =

L
2
(Ω)
f(x)g(x)dx và H
1
0
(Ω) = {g ∈ L
2
(Ω) : ∃
∂g
∂x
i
∈ L
2
Ω
và g|
Γ

= 0}
là không gian hàm suy rộng trên Ω. Bài toán (1) được đưa về dạng đẳng thức biến
phân như sau: Tìm y ∈ H
1
0
(Ω)

Ω
y  vdx =

Ω
f(x)v(x)dx, ∀y ∈ H. (2)
Bây giờ ta định nghĩa dạng tuyến tính
f : H
1
0
(Ω) → R
trong đó, f(v) với v ∈ H
1
0
(Ω), f(v) =

Ω
f(x)v(x)dx và dạng song tuyến tính
a : H
1
0
(Ω) × H
1
0

(Ω) → R
2
với a(w, v) =

Ω
y.  vdx . Theo đó Bài toán (2) có thể được viết lại như sau
a(y, v) = f(v), ∀v ∈ H
1
0
(Ω).
Lưu ý rằng, H
1
0
(Ω) là không gian con của không gian H
1
(Ω) với tích vô hướng
w, v =

Ω
(wv + w  v)dx
và chuẩn tương ứng
||v||
H
1
(Ω)
=


Ω
(v

2
+ v
2
)dx

1/2
. (3)
Theo Bất đẳng thức Fr iedrichs

Ω
v
2
d(x) ≤ C(Ω)

Ω
v
2
dx,
với C(Ω) là một hằng số chỉ phụ thuộc vào Ω, ta suy ra
a(v, v) ≥
1
1 + C(Ω)
||v||
2
H
1
(Ω)
. (4)
Bất đẳng thức (4) được gọi là tính chất bức. Thêm vào đó, từ Bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz ta suy ra

|a(w, v)| ≤ ||w||
H
1
(Ω)
||v||
H
1
(Ω)
, (5)
đây được gọi là tính liên tục của a. Trong khi xét Bài toán (1) là ta đã ngầm định rằng
phương trình đó là không phụ thuộc tham số. Trong thực tế, khi sử dụng Bài toán (1)
như là một mô hình toán học cho hiện tượng tr uyền nhiệt dừng, người ta có thể muốn
giữ lại hằng số dẫn nhiệt như là một tham số. Việc này cho phép sử dụng mô hình cho
nhiều chất dẫn nhiệt có hằng số dẫn nhiệt khác nhau. Tương tự như thế, hàm nguồn f
cũng có thể phụ thuộc vào tham số. Tổng quát, người ta có thể xét bài toán phụ thuộc
tham số
a(y, v; µ) = f(v; µ), ∀v ∈ V, µ ∈ D ⊂ R
k
. (6)
Và cuối cùng, trong rất nhiều trường hợp, người ta không quan tâm đến toàn bộ trạng
thái y mà chỉ là một phần thông tin của trạng thái được biểu diễn bởi
s(µ) = (y; µ), (7)
3
trong đó, g cũng là một dạng tuyến tính phụ thuộc tham số.
Bài toán đặt ra ở đây là: với mỗi µ ∈ D, tính s(µ). Đối với những bài toán thực
tế cùng yêu cầu cao về tính chính xác, cỡ của bài toán thường rất lớn, hàng nghìn
cho đến hàng triệu. Với đặc thù cần phải tính nghiệm, hoặc thông tin liên quan đến
nghiệm nhiều lần (many-query context), máy tính sẽ phải mất nhiều thời gian để giải
mô hình cỡ lớn với nhiều giá trị khác nhau của tham số. Yêu cầu đặt ra là tìm được
một thuật toán để sao cho, việc tính toán nghiệm nhanh nhưng vẫn đảm bảo kiểm soát

được sai số. Do vậy, phương pháp giảm cơ sở là đặc biệt cần thiết để xử lý những bài
toán dạng này. Với lí do trên, chúng tôi đã chọn "Phương pháp giảm cơ sở giải phương
tr ình elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số" làm đề tài cho luận văn thạc sĩ. Luận
văn gồm 3 chương.
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại những lý thuyết cần thiết cho việc trình
bày phương pháp ở chương sau. Chúng bao gồm phép chiếu Galerkin, rời rạc hóa
phương trình, tính bị chặn, tính bức, tính phụ thuộc affine . . .
• Chương 2: Phương pháp giảm cơ sở
Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày sơ lược cách rời rạc hóa bài
toán (6) - (7) bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Sau đó, phép chiếu Galerkin
được sử dụng để giảm kích cỡ của cơ sở cũng đồng thời giảm kích cỡ của bài
toán. Cuối cùng, chúng tôi tập trung trình bày các "nguyên liệu" cũng như kết
quả phục vụ cho việc xây dựng, cơ sở giảm đó.
4
• Chương 3: Ví dụ số
Chương này đưa ra 2 ví dụ minh họa được lập trình trên MATLAP với dữ liệu
được lấy từ mô hình thực tế trong khoa học kĩ thuật.
0.2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết phương pháp giảm cơ sở và áp dụng nó để giải phương trình
elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số.
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung làm rõ một số vấn đề sau đây, trình bày ý tưởng của phương
pháp giảm cơ sở giải phương trình elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số, các khái
niệm và tính chất liên quan đến phương pháp, nội dung phương pháp và cuối cùng là
áp dụng phương pháp này cho một số ví dụ thực tế.
0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giảm cơ sở
• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán elliptic bức tuyến tính phụ thuộc affine vào tham
số.

0.5 Phương pháp nghiên cứu
• Đọc và nghiên cứu một số tài liệu liên quan như sách, báo, tạp chí, luận văn thạc
sĩ, tiến sĩ.
• Sử dụng nhiều kiến thức của đại số tuyến tính ứng dụng, giải tích hàm.
• Kiểm chứng các kết quả lý thuyết bằng ví dụ số lập trình trên MATLAP.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại những lý thuyết cần thiết cho việc trình
bày phương pháp ở chương sau. Chúng bao gồm phép chiếu Galerkin, rời rạc hóa
phương trình, tính bị chặn, tính bức, tính phụ thuộc affine . . .
1.1 Không gian tích vô hướng
Định nghĩa 1.1. Cho Z là một không gian tuyến tính trên R. Khi đó một ánh xạ
w ∈ Z, v ∈ Z → (w, v)
Z
∈ R thỏa mãn với mọi w, v, z ∈ Z, α ∈ R thì
• (αw + v, z)
Z
= α(w, z)
Z
+ (v, z)
Z
và (z, αw + v)
Z
= α(z, w)
Z
+ (z, v)
Z
,
• (w, v)

Z
= (v, w)
Z
,
• (w, w)
Z
≥ 0. (w, w)
Z
= 0 ⇔ w = 0,
được gọi là tích vô hướng trên Z.
Định nghĩa 1.2. Cho một tích vô hướng trên Z. Khi đó, với hàm số ||·||: Z → R
+
xác
định bởi
||x|| =

x, x
là một chuẩn trên Z (chuẩn sinh bởi tích vô hướng).
Sau đây là kết quả kinh điển liên quan đến tích vô hướng, Bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz
|(w, v)
Z
| ≤ ||w||
Z
||v||
Z
, ∀w, v ∈ Z.
6
Định nghĩa 1.3. Một không gian tuyến tính Z có tích vô hướng với chuẩn được trang
bị thì không gian đó là không gian định chuẩn. Nếu không gian đó là đầy đủ thì được

gọi là không gian Hilbert.
1.2 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính
1.2.1 Dạng tuyến tính
Định nghĩa 1.4. Một ánh xạ g : Z → R được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay dạng
tuyến tính nếu, cho bất kì α ∈ R, w, v ∈ Z, g(αw + v) = αg(w) + g(v). Dạng tuyến tính
g là bị chặn hay liên tục trên Z nếu
|g(v)| ≤ C||v||
Z
, ∀v ∈ Z,
với C là hằng số không phụ thuộc vào v.
Định nghĩa 1.5. Cho Z là không gian định chuẩn. Chúng tôi định nghĩa không gian
đối ngẫu của Z, kí hiệu Z

là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Z.
Z’ với chuẩn
g
Z

= sup
v∈Z
g(v)
v

Z
, ∀g ∈ Z

,
trở thành một không gian định chuẩn, chuẩn đó được gọi là chuẩn đối ngẫu.
Định lý 1.1. (Định lí Riesz) Với bất kì g ∈ Z


, tồn tại duy nhất w
g
∈ Z sao cho
(w
g
, v)
Z
= g(v), ∀v ∈ Z
và
g
Z

= w
g

Z
.
7
1.2.2 Dạng song tuyến tính
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ b : Z
1
× Z
2
→ R là một dạng song tuyến tính nếu với bất kì
α ∈ R, w, v ∈ Z
1
, z ∈ Z
2
, b(αw + v, z) = αb(w, z) + b(v, z) và với bất kì α ∈ R, z ∈
Z

1
, w, v ∈ Z
2
, b(z, αw + v) = αb(z, w) + b(z, v) một cách ngắn gọn, một dạng song
tuyến tính là tuyến tính theo từng biến.
Trong phần còn lại của mục này ta xét trường hợp riêng Z
1
= Z
2
= Z. Sau đây,
chúng tôi liệt kê một số tính chất hay dùng của dạng song tuyến tính.
Dạng song tuyến tính b : Z × Z → R là đối xứng nếu với bất kì w, v ∈ Z,
b(w, v) = b(v, w).
Dạng song tuyến tính b : Z × Z → R là phản đối xứng nếu với bất kì w, v ∈ Z,
b(w, v) = −b(v, w) .
Chúng tôi định nghĩa phần đối xứng và phản đối xứng của dạng song tuyến tính
tổng quát b : Z × Z → R như sau: b
s
(w, v) = 1/2(b(w, v) + b(v, w)), ∀w, v ∈ Z và
b
S
(w, v) = 1/2(b(w, v) − b(v, w)), ∀w, v ∈ Z, tương ứng.
Một dạng song tuyến tính b : Z × Z → R là xác định dương nếu, cho bất kì
v ∈ Z, b(v, v)(= b
s
(v, v) ≥ 0) với dấu bằng xảy ra chỉ khi v = 0.
Một dạng song tuyến tính b : Z × Z → R là dạng song tuyến tính nửa xác định
dương nếu với bất kì v ∈ Z, b(v, v) ≥ 0.
Dạng song tuyến tính b : Z × Z → R là bức trên Z nếu với α là hằng số bức
α ≡ inf

w∈Z
b(w, w)
w
2
Z
> 0. (1.1)
Chú ý rằng tính bức chỉ liên quan đến phần đối xứng của b. Theo đó, chúng ta thay
thế b trong (1.1) bởi b
s
.
Một dạng song tuyến tính Z × Z → R là liên tục trên Z nếu với γ là hằng số liên
tục
γ ≡ sup
w∈Z
sup
v∈Z
b(w, w)
||w||
Z
||v||
Z
< +∞.
8
1.3 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính phụ thuộc
tham số
Đầu tiên chúng tôi giới thiệu một tham số trên miền đóng, bị chặn D ⊂ R
d
. Ta kí
hiệu các véc tơ tham số trên miền D là µ = (µ
1

, , µ
d
).
Ta nói g : Z × D → R là dạng tuyến tính phụ thuộc tham số nếu, với mỗi µ ∈
D, g(.; µ) : Z → R là một dạng tuyến tính. Ta nói dạng tuyến tính phụ thuộc tham số g
là bị chặn (hoặc liên tục) nếu với mọi µ ∈ D, g(.; µ) ∈ Z

. Chú ý rằng chuẩn đối ngẫu
của một dạng tuyến tính phụ thuộc tham số g, g(.; µ) cũng đúng với hàm hữu hạn
phụ thuộc vào µ trên D.
Tương tự, b : Z × Z × D → R là một dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số
nếu với mọi µ ∈ D, b(., .; µ) : Z × Z → R là một dạng song tuyến tính. Ta nói một
dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số b : Z × Z → R là đối xứng nếu b(w, v, µ) =
b(v, w, µ), ∀w, v ∈ Z, ∀µ ∈ D. Chúng tôi định nghĩa phần đối xứng của dạng song
tuyến tính phụ thuộc tham số b : Z × Z × D → R như sau
b
S
(w, v; µ) ≡ 1/2(b(w, v; µ) + b(v, w; µ)), ∀w, v ∈ Z, ∀µ ∈ D.
Dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số b: Z × Z × D → R là bức trên Z nếu
α(µ) ≡ inf
w∈Z
b(w, w; µ)
w
Z
v
Z
> 0, ∀µ ∈ D. (1.2)
Chúng tôi định nghĩa (0<) α
0
≡ min

µ∈D
α(µ).
Dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số b : Z × Z × D → R là liên tục trên Z nếu
γ(µ) ≡ sup
w∈Z
sup
v∈Z
b(w, v; µ)
w
Z
v
Z
< +∞, ∀µ ∈ D. (1.3)
Ta định nghĩa γ
0
= max
µ∈D
γ(µ)(< ∞).
9
1.3.1 Sự phụ thuộc affine vào tham số
Dạng tuyến tính phụ thuộc tham số bị chặn g : Z × D → R là affine theo tham số
hay phụ thuộc affine vào tham số µ
g(v; µ) =
Q
g

q=1
θ
q
g

(µ)g
q
(v), ∀v ∈ Z,
cho một số Q
g
hữu hạn; ở đây θ
q
g
: D → R, 1 ≤ q ≤ Q
g
, là hàm phụ thuộc tham số, và
g
q
(v) : Z → R, 1 ≤ q ≤ Q
g
, là dạng tuyến tính bị chặn độc lập với tham số µ.
Cũng như vậy, chúng ta nói rằng dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số
b : Z × Z × D → R là affine theo tham số hay phụ thuộc affine vào tham số µ nếu
b(w, v, µ) =
Q
b

q=1
θ
q
b
(µ)b
q
(w, v), ∀w ∈ Z
1

, v ∈ Z
2
,
cho một số hữu hạn Q
b
; ở đây θ
q
b
: D → R, 1 ≤ q ≤ Q
b
là hàm phụ thuộc tham số, và
b
q
(w, v) : Z × Z → R, 1 ≤ q ≤ Q
b
là dạng song tuyến tính liên tục độc lập với tham số.
1.3.2 Tính bức phụ thuộc tham số
Chúng ta nói một dạng tuyến tính phụ thuộc affine vào tham số b : Z ×Z ×D → R
b(w, v; µ) =
Q
b

q=1
θ
q
b
(µ)b
q
(w, v)
là bức tham số nếu c ≡ b

S
(phần đối xứng của b) thừa nhận một khai triển affine
c(w, v; µ) =
Q
c

q=1
θ
q
c
(µ)c
q
(w, v), ∀w, v ∈ Z,
thỏa mãn hai điều kiện:
θ
q
c
(µ) > 0, ∀µ ∈ D, 1 ≤ q ≤ Q
c
(1.4)
và
c
q
(v, v) ≥ 0, ∀v ∈ Z, 1 ≤ q ≤ Q
c
. (1.5)
10
Đương nhiên, nếu bản thân hàm b đã đối xứng thì ta không cần phải dùng đến
phần tuyến tính khi định nghĩa tính chất. Tức là, θ
q

b
(µ) và b
q
(w, v) thỏa mãn (1.4),
(1.5).
11
Chương 2
Phương pháp giảm cơ sở
Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày sơ lược cách rời rạc hóa bài
toán (6) - (7) bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Sau đó, phép chiếu Galerkin được
sử dụng để giảm kích cỡ của cơ sở cũng đồng thời giảm kích cỡ của bài toán. Cuối
cùng, chúng tôi tập trung trình bày các "nguyên liệu" cũng như kết quả phục vụ cho
việc xây dựng, cơ sở giảm đó.
2.1 Không gian hàm và dạng yếu của phương trình ellip-
tic
2.1.1 Dạng yếu phụ thuộc tham số
Từ đây trở đi, chúng tôi sử dụng X
e
để kí hiệu không gian hàm mà bài toán viết
dưới dạng đẳng thức biến phân được đưa ra và các kí hiệu khác có thêm chữ e để chỉ
có liên quan hoặc ở trên không gian đó.
Nhắc lại rằng bài toán được phát biểu như sau: cho µ ∈ D, ta tìm u
e
(µ) ∈ X
e
sao
cho
a(u
e
(µ), v; µ) = f(v; µ), ∀v ∈ X

e
, (2.1)
và ước lượng
s
e
(µ) = (u
e
(µ); µ). (2.2)
Ở đây s
e
: D → R là đầu ra tượng trưng cho quan sát nào đó của trạng thái chứa
những thông tin của trạng thái mà ta quan tâm và  là phiếm hàm phụ thuộc vào µ.
12
Ta giả sử rằng các thành phần của bài toán (2.1) - (2.2) là phụ thuộc affine vào
tham số, tức là
(v; µ) =
Q


q=1
θ
q

(µ)
q
(v), ∀v ∈ X
e
, ∀µ ∈ D,
f(v; µ) =
Q

f

q=1
θ
q
f
(µ)f
q
(v), ∀v ∈ X
e
, ∀µ ∈ D, (2.3)
và
a(w, v; µ) =
Q
a

q=1
θ
q
a
(µ)a
q
(w, v), ∀w, v ∈ X
e
, ∀µ ∈ D, (2.4)
với Q

, Q
f
, Q

a
là các số tương đối nhỏ. Ta ngầm giả định rằng θ
q

với 1 ≤ q ≤ Q
l
, θ
q
f
với 1 ≤ q ≤ Q
f
, và θ
q
a
với 1 ≤ q ≤ Q
a
là các biểu thức đại số đơn giản có thể dễ dàng
tính được với độ phức tạp tính toán là O(1). Giả sử thêm rằng bài toán (2.1) - (2.2) có
các tính chất sau
• Tính phù hợp: (.; µ) = f(.; µ), ∀µ ∈ D và a là đối xứng.
• Tính bức tham số.
2.1.2 Tích vô hướng và chuẩn khác
Nhằm mục đích xây dựng các ước lượng về sau ta cần một số chuẩn khác trên X
e
.
Cho a là bức, chúng tôi đưa ra tích vô hướng năng lượng và năng lượng chuẩn
(((w, v)))
µ
= a(w, v; µ), ∀w, v ∈ X
e

, (2.5)
|||w||| ≡

a(w, w; µ), ∀w ∈ X
e
, (2.6)
tương ứng; chú ý rằng những đại lượng này là phụ thuộc vào tham số. Nhờ có giả định
về tính bức và liên tục (2.5) tạo thành một định nghĩa tích vô hướng và (2.6) là chuẩn
tương đương với chuẩn trong H
1
(Ω) (3). Chúng tôi có thể xác định tích vô hướng và
13
chuẩn trên X
e
. Đặc biệt, chúng ta sẽ chọn một tích vô hướng năng lượng và chuẩn phụ
thuộc vào một giá trị tham số xác định ¯µ ∈ D
(w, v)
X
e
≡ (((w, v)))
¯µ
(= a(w, v; ¯µ)), ∀w, v ∈ X
e
,
|| w ||
X
e
≡ |||w|||
¯w
(=


a(w, w; µ)), ∀w ∈ X
e
.
Nhắc lại rằng (1.2), chúng ta làm quen với hằng số bức của a trên X
e
như sau
α
e
(µ) ≡ inf
w∈X
e
α(w, w; µ)
w
2
X
e
> 0, ∀µ ∈ D. (2.7)
Tương tự, từ (1.3), hằng số liên tục của a trên X
e
γ
e
(µ) ≡ sup
w∈X
e
sup
v∈X
e
α(w, w; µ)
w

X
e
v
X
e
< +∞, µ ∈ D. (2.8)
2.2 Không gian và cơ sở xấp xỉ hữu hạn chiều
2.2.1 Rời rạc hóa bài toán
Bài toán (2.1) - (2.2) trên không gian X
e
cần được rời rạc hóa để giải trên máy
tính. Ta sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để xấp xỉ X
e
bởi không gian
hữu hạn chiều X
N
. Hãy hình dung, chẳng hạn trong không gian hai chiều và X
e
là
H
1
0
(Ω) và X
N
là không gian con sinh bởi các phần tử p
1
(k) trong đó k là một phép
xấp xỉ trên miền Ω và p
1
(k) là tập tất cả các đa thức hai biến có bậc mỗi biến không

vượt quá 1. Ta kí hiệu ϕ
N
k
, 1 ≤ k ≤ N là cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn (còn
gọi là các phần tử hữu hạn). Khi đó, ta xấp xỉ mỗi phần tử thuộc X
e
bởi một tổ hợp
tuyến tính
v(x) =
N

i=1
v
i
ϕ
N
k
v
i
là các hằng số. Ta chọn tích vô hướng và chuẩn trên X
N
bằng cách đơn giản là kế
thừa các tích vô hướng và chuẩn trên không gian X
e
(w, v)
X
N
≡ (w, v)
X
e

≡ a(w, v; ¯µ), ∀w, v ∈ X
N
,
14
và
||w||
X
N
≡ ||w||
X
e
≡

a(w, w;
¯
), ∀w ∈ X
N
.
Chú ý rằng định nghĩa các tích vô hướng và các chuẩn đưa ra là độc lập với N . Từ
(1.2) ta giới thiệu hằng số bức của a trên X
N
như sau
α
N
(µ) ∈ inf
w∈X
N
a(w, w; µ)
||w||
2

X
N
.
Tương tự, từ (1.3) ta giới thiệu hằng số liên tục của a trên X
N
γ
N
(µ) ≡ sup
w∈X
N
sup
v∈X
N
a(w, v; µ)
||w||
X
N
||v||
X
N
.
Ta đòi hỏi họ các không gian con đúng X
N
đáp ứng điều kiện xấp xỉ
max
µ∈D
inf
w∈X
N
||u(µ) − w||

X
e
→ 0 khi N → ∞. (2.9)
Trong (2.9), với bất kì ε > 0 luôn tồn tại N sao cho sai số trong đó thích hợp nhất với
u(µ) ∈ X
N
là nhỏ hơn hoặc bằng ε, ∀µ ∈ D.
2.2.2 Phép chiếu Galerkin
Bài toán của chúng ta như sau. Cho µ ∈ D, tìm u
N
(µ) ∈ X
N
sao cho
a(u
N
(µ), v; µ) = f(v; µ), ∀v ∈ X
N
, (2.10)
và ước lượng
s
N
(µ) = f(u
N
; µ). (2.11)
Đây chính là hệ quả của việc áp dụng phép chiếu Galerkin Tiêu chuẩn lên bài toán
(2.1) - (2.2). Người ta đã chỉ ra rằng
• ||f||
(X
N
)


≤ ||f||
(X
e
)

,
• α
N
(µ) ≥ α
e
(µ), ∀µ ∈ D và vì thế a bức trên X
N
,
• γ
N
(µ) ≤ γ
e
(µ), ∀µ ∈ D và vì thế a liên tục trên X
N
,
15
• a và f vẫn phụ thuộc affine vào tham số,
• a thỏa mãn bức tham số trên X
N
.
Từ (2.9) về tính hội tụ của phương pháp Galerkin ta suy ra
ε
N
= max

µ∈D
||u(µ) − u
N
(µ)||
X
e
→ 0
khi N → ∞.
2.2.3 Phương trình đại số
Chúng ta khai triển nghiệm u
N
(µ)
u
N
(x; µ) =
N

j=1
u
N
j
(µ)ϕ
N
j
(x),
thì
u
N
(µ) ≡ [u
N

1
(µ)u
N
2
· · · u
N
N
]
T
∈ R
N
thỏa mãn
A
N
(µ)u
N
(µ) = F
N
(µ),
trong đó, các phần tử của ma trận độ cứng A
N
(µ) ∈ R
N ×N
được xác định bởi
A
N
ij
(µ) = a(ϕ
N
j

, ϕ
N
i
; µ), 1 ≤ i, j ≤ N ,
và phần tử của véc tơ nguồn F
N
(µ) ∈ R
N
được đưa ra bởi
F
N
i
(µ) = f(ϕ
N
i
; µ), 1 ≤ i ≤ N . (2.12)
Lưu ý rằng từ giả thiết về a, ma trận độ cứng A
N
(µ) là đối xứng và xác định dương.
Khi đó, đầu ra có thể biểu diễn như sau
s
N
(µ) = (F
N
(µ))
T
u
¯
N
(µ).

16
Bây giờ chúng ta sử dụng giả thiết affine trên f, (2.3), và a, (2.4), biểu diễn ma trận
độ cứng và véc tơ nguồn dưới dạng này
A
N
(µ) =
Q
a

q=1
θ
q
a
(µ)A
N
q
với A
N
q
∈ R
N ×N
, 1 ≤ q ≤ Q
a
, xác định bởi
A
N
q
ij
= a
q

(ϕ
N
j
, ϕ
N
i
), 1 ≤ i, j ≤ N , 1 ≤ q ≤ Q
a
.
Tương tự, từ (2.3) và (2.12) ta suy ra
F
N
(µ) =
Q
f

q=1
θ
q
f
(µ)F
N
q
,
với F
N
q
∈ R
N
, 1 ≤ q ≤ Q

f
, và
F
N
q
i
= f
q
(ϕ
N
i
), 1 ≤ i ≤ N , 1 ≤ q ≤ Q
f
.
Chú ý rằng A
N
q
, 1 ≤ q ≤ Q
a
, và F
N
q
, 1 ≤ q ≤ Q
f
, là độc lập tuyến tính đối với tham
số.
Để đầy đủ, chúng tôi gọi ma trận khác X
N
∈ R
N ×N

tương ứng với tích vô hướng
vốn được dùng để ước lượng sai số hậu nghiệm:
X
N
ij
= (ϕ
N
j
, ϕ
N
i
)
X
N
, 1 ≤ i, j ≤ N .
Cho bất kì hai phần tử của X
N
,
w =
N

j=1
w
j
ϕ
N
j
,
và
v =

N

j=1
v
j
ϕ
N
j
,
X
N
- tích vô hướng có thể được tính như sau
(w, v)
X
N
=

N

j=1
w
j
ϕ
N
j
,
N

i=1
v

i
ϕ
N
i

X
N
=
N

j=1
N

i=1
w
j
v
j
(ϕ
N
j
, ϕ
N
i
)
X
N
= w
T
X

N
v,
17
với
w ≡ [w
1
, w
2
, · · · w
N
]
T
∈ R
N
và
v ≡ [v
1
, v
2
, · · · v
N
]
T
∈ R
N
là hệ số trong khai triển tương ứng với cơ sở FEM.
2.3 Giảm cơ sở
2.3.1 Không gian và cơ sở
Đầu tiên chúng tôi gọi số chiều cực đại của không gian giảm cơ sở, kí hiệu là
N

max
. (Giả sử rằng N
max
< N . Sau đó, chúng tôi giới thiệu một tập hợp các hàm độc
lập tuyến tính
ξ
n
∈ X
e
, 1 ≤ n ≤ N
max
,
mà thông qua đó chúng tôi định nghĩa không gian xấp xỉ cơ sở giảm
X
N
= span{ξ
n
, 1 ≤ n ≤ N}, 1 ≤ n ≤ N
max
.
Ta thu được
X
N
⊂ X
e
, dim(X
N
) = N, 1 ≤ n ≤ N
max
.

và hơn nữa
X
1
⊂ X
2
· · · X
N
max
−1
⊂ X
N
max
(⊂ X
e
)
Trong khuôn khổ của phép giảm cơ sở Lagrange, chúng tôi định nghĩa một tập hợp
các điểm tham số
µ
n
∈ D, 1 ≤ n ≤ N
max
.
Thông qua đó chúng tôi định nghĩa mẫu cơ sở giảm tương ứng
S
N
≡ {µ
1
, · · · , µ
N
}, 1 ≤ n ≤ N

max
.
18
Chú ý rằng mẫu này thỏa mãn tính chất thứ bậc S
1
⊂ S
2
· · · ⊂ S
N
max
−1
⊂ D. Chúng
tôi giới thiệu "bản chụp nhanh"(snapshots)
u
n
≡ u(µ
n
), 1 ≤ n ≤ N
max
,
và không gian cơ sở giảm Lagrange
W
N
≡ span{u(µ
n
), 1 ≤ n ≤ N}, 1 ≤ n ≤ N
max
;
chú ý rằng không gian này cũng có tính chất thứ bậc W
1

⊂ W
2
· · · W
N
max
−1
⊂ W
N
max
.
Để phục vụ mục đích tính toán người ta không thực hiện trên cơ sở bất kì mà
thường là trên cơ sở trực chuẩn. Theo đó hệ {ξ
n
, 1 ≤ n ≤ N
max
} có thể được trực
chuẩn hóa Gram-Schmidt và thay thế bởi hệ {ζ
n
, 1 ≤ n ≤ N} và đặt
X
N
= span{ζ
n
, 1 ≤ n ≤ N}, 1 ≤ N ≤ N
max
}. (2.13)
2.3.2 Phép chiếu lên không gian số chiều nhỏ
Như đã trình bày, số chiều N của không gian X
N
là rất lớn và gây khó khăn cho

việc tính toán trên máy tính. Ta sẽ tiếp tục chiếu bài toán lên không gian con X
N
của
không gian X
N
. Theo đó, ta sẽ tìm u
X
N
(µ) ∈ X
N
sao cho
a(u
X
N
(µ), v; µ) = f(v; µ), ∀v ∈ X
N
, (2.14)
sau đó chúng tôi tính
s
X
N
(µ) = f(u
X
N
(µ); µ). (2.15)
Từ tính chất bức, tính liên tục của a và tính độc lập tuyến tính của các cột X
N
, người
ta đã chỉ ra được rằng [2] phương trình (2.14) có nghiệm duy nhất và hơn nữa mệnh
đề sau thỏa mãn.

Định lý 2.1. Cho µ ∈ D bất kì và u
N
(µ) và s
N
(µ) thỏa mãn (2.14)-(2.15), khi đó
|||u
N
(µ) − u
N
(µ)|||
µ
= inf
w
N
∈X
N
|||N (µ) − u
N
(µ)|||
µ
,
19
|||u
N
(µ) − u
N
(µ)|||
µ
≤


γ
e
(µ)
α
e
(µ)
inf
w
N
∈X
N
|||N (µ) − u
N
(µ)|||
X
,
và hơn nữa
s
N (µ)
− s
N
(µ) = |||u
N
(µ) − u
N
(µ)|||
2
µ
= inf
w

N
∈X
N
|||u
N
(µ) − u
N
(µ)|||
2
µ
,
và ta còn có
0 < s
N (µ)
− s
N
(µ) ≤ γ
e
(µ) inf
w
N
∈X
N
|||u
N
(µ) − u
N
(µ)|||
2
µ

.
Ở đây, α
e
(µ) và γ
e
(µ) là hằng số bức và hằng số liên tục được định nghĩa ở (2.7)
và (2.8).
2.3.3 Phương trình đại số
Tương tự như mục 2.2.3 ta biểu diễn
u
N
(µ) =
N

j=1
u
N
j
(µ)ζ
j
. (2.16)
Tiếp theo, chúng tôi thay (2.16) vào (2.14) và chọn v = ζ
i
, 1 ≤ i ≤ N, là hàm thử.
Theo cách đó, chúng tôi thu được hệ phương trình đại số tuyến tính như sau
N

j=1
a(ζ
j

, ζ
j
; µ)u
N
j
(µ) = f(ζ
j
; µ), 1 ≤ i ≤ N, (2.17)
để giảm cơ sở của các hệ số u
N
j
, 1 ≤ j ≤ N. Đầu ra có thể biểu diễn như sau
s
N
(µ) =
N

j=1
u
N
j
(µ)f(ζ
j
; µ).
Bây giờ chúng tôi sẽ biểu diễn các phép toán này dưới dạng ma trận. Đầu tiên chúng
tôi có
u
N
(µ) ≡ [u
N1

u
N2
· · · u
NN
]
T
∈ R
N
.