PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN
ĐÀM VĂN THƯỢNG
PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH
TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
1 Cơ sở lý thuyết 3
1.1 Một số định lý điểm bất động cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Bannach . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Ban-
nach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Phổ của toán tử bị chặn trong không gian Hilbert . . . . 6
1.3 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương
trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Định lý vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Định lý Lax Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Định lý Lax Milgram đối với không gian Hilbert phức . . . . . . 14
1.7 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Không gian Sobolev H
1
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . 18
1.7.3 Toán tử của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . 20
2 Phương pháp Lyapunov - Schmidt và bài toán Dirichlet đối với
phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn 27
2.1 Bài toán Dirichlet với phần chính là toán tử Schr¨odinger . . . . . 28
2.1.1 Không gian V
0
q
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
i
2.1.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 Toán tử của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Phương pháp Lyapunov - Schmidt. . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . 36
2.2.3 Sự tồn tại điểm rẽ nhánh của bài toán Dirichlet . . . . . . 40
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
ii
Danh mục các kí hiệu
R
n
không gian thực n - chiều

C
n
không gian phức n - chiều
Du =

∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
n

= (D
x
1
u, , D
x
n
u),
∆u =
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i

=
∂
2
u
∂x
2
1
+ · · · +
∂
2
u
∂x
2
n
là toán tử Laplace
α = (α
1
, , α
n
) với α
i
∈ N (i = 1, 2, , n), được gọi là một đa chỉ số bậc
|α| = α
1
+ · · · + α
n
.
D
α
u = D

α
1
x
1
D
α
2
x
2
. . . D
α
n
x
n
đạo hàm cấp α của hàm u
 kết thúc chứng minh.
iv
Lời Mở Đầu
Lý thuyết tồn tại nghiệm đối với phương trình và hệ phương trình đạo hàm
riêng Elliptic tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ. Vấn đề tương tự đối với
phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính cũng được nghiên
cứu nhiều nhưng đó vẫn là bài toán mà chúng ta đang quan tâm.
Trong luận văn này tác giả xét bài toán Dirichlet đối với một lớp phương
trình Elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với phần chính là toán tử Schr¨odinger trong
miền không bị chặn
P (λ) :

(−∆ + q(x)) u − λu = f(x, u) − h(x) trong Ω,
u|
∂Ω

= 0, u(x) → 0 khi |x| → +∞.
trong đó Ω là miền không bị chặn cùng với biên ∂Ω trơn trong R
n
, λ > 0, q(x)
là hàm số xác định trên Ω thỏa mãn
q(x) ∈ C
0
(R), ∃q
0
> 0, q(x) > q
0
, ∀x ∈ Ω
q(x) → +∞ khi |x| → +∞,
f(x, u) liên tục Lipschitz theo biến u với hằng số k
|f(x, u
1
) − f(x, u
2
)| ≤ k|u
1
− u
2
|.
Nhiều bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mà đặc biệt là
phương trình không tuyến tính không có nghiệm trơn, và ngay cả tính duy nhất
nghiệm cũng không còn đúng nữa. Trong trường hợp này nghiệm của bài toán
phải được hiểu theo nghĩa rộng hơn. Vì vậy, người ta đi đến khái niệm nghiệm
suy rộng của bài toán.
Các phương pháp thường được sử dụng khi nghiên cứu phương trình vi phân
không tuyến tính đó là: Phương pháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương

1
pháp nghiệm trên, nghiệm dưới, các phương pháp dựa trên định lý về điểm bất
động Bannach và Schauder
Trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp Lyapunov - Schmidt mà
thực chất là phương pháp trực giao.
Nội dung luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1 tác giả trình bày một số định lý cơ bản về điểm bất động; phổ
của toán tử tuyến tính bị chặn; các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng, phương trình elliptic; không gian Sobolev; định lý Lax Milgram; bài toán
Dirichlet đối với phương trình Laplace
Chương 2 tác giả tập trung tìm hiểu phương pháp Lyapunov - Schmidt, từ
đó trình bày điều kiện tồn tại nghiệm và điều kiện tồn tại điểm rẽ nhánh của
bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không
bị chặn.
2
Chương 1
Cơ sở lý thuyết
Trong chương này tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về: Định lý điểm
bất động; phổ của toán tử tuyến tính; định lý Lax Milgram; bài toán Dirichlet
đối với phương trình Laplace
1.1 Một số định lý điểm bất động cơ bản
Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sau
đây: Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào
X. Phải đặt những điều kiện nào trên C, X và T để có thể khẳng định sự tồn
tại của một điểm x
0
trong C mà T x
0
= x
0

?. Điểm x
0
như vậy là gọi là điểm bất
động của ánh xạ T .
Trong rất nhiều trường hợp quan trọng, việc giải một phương trình được quy
về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một
không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một phần tử cố định của
X thì nghiệm của phương trình Sx = y chính là điểm bất động của ánh xạ T
xác định bởi T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X. Sau đây ta sẽ giới thiệu một số định lý
điểm bất động cơ bản nhất.
1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer
Định lý 1.1. (Brouwer). Giả sử C là một tập con lồi, compact, khác rỗng
trong R
n
và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động.
Chứng minh. Chứng minh định lý này có thể tìm thấy trong [3].
3
1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Bannach
Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là
nguyên lý ánh xạ co Bannach. Trước khi phát biểu nguyên lý nổi tiếng này, ta
sẽ định nghĩa ánh xạ co.
Định nghĩa 1.2. Một ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian
metric (Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho
ρ(T x, Ty) ≤ k.d(x, y)∀x, y ∈ X.
Như vậy ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên là
liên tục.
Định lý 1.3. (Nguyên lý ánh xạ co Bannach). Cho (X, d) là một không
gian metric đầy đủ và T là ánh xạ co trong X. Khi đó tồn tại duy nhất x
∗
∈ X

mà T x
∗
= x
∗
. Ngoài ra, ∀x
0
∈ X ta có T
n
x
0
→ x
∗
khi n → ∞.
Chứng minh. Chứng minh định lý có thể tìm thấy trong [2], [3].
1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder
Định lý 1.4. (Định lý xấp xỉ các toán tử compact) Giả sử X, Y là các
không gian Bannach, M là một tập con bị chặn của X, T : X → Y là ánh xạ đã
cho. Khi đó, T là compact khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: Với mỗi
n ∈ N tồn tại một toán tử compact P
n
: M → Y sao cho
sup
x∈M
||T (x) − P
n
(x)|| ≤ 1/n và dim(spanP
n
(M)) < ∞.
Chứng minh. Phần chứng minh định lý xem [5].
Định lý 1.5. (Định lý điểm bất động Schauder). Giả sử M là tập con lồi,

compact, khác rỗng của một không gian Bannach X. Giả sử T : M → M là ánh
xạ liên tục. Khi đó, T có điểm bất động.
Hệ quả 1.6. Giả sử M là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của một không
gian Bannach X. Giả sử T : M → M là toán tử compact. Khi đó T có điểm bất
động.
Phần chứng minh định lý và hệ quả trên được tìm thấy trong [5].
4
1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
1.2.1 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Bannach
Cho X là không gian định chuẩn trên trường P (P là trường số thực R hoặc
trường số phức C), A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian X vào
chính nó (hay còn nói toán tử A tác dụng trong không gian X). Ta xét phương
trình dạng
(A − λI)x = y; x, y ∈ X, λ ∈ P, (1.1)
trong đó I là toán tử đồng nhất. Và phương trình thuần nhất tương ứng với
(1.1) có dạng
(A − λI)x = 0, x ∈ X, λ ∈ P. (1.2)
Nếu phương trình (1.2) có nghiệm x
0
= 0 với giá trị λ
0
nào đấy thì λ
0
gọi
là giá trị riêng của toán tử A, x
0
gọi là vectơ riêng của toán tử A ứng với giá
trị riêng λ
0

. Trong trường hợp này, hiển nhiên không tồn tại toán tử ngược
R
λ
= (A − λI)
−1
của toán tử A
λ
= A − λI, do đó phương trình (1.1) vô nghiệm
với mọi y = 0. Toán tử R
λ
được gọi là toán tử giải hay giải thức của toán tử A.
Định nghĩa 1.7. Số λ gọi là giá trị chính quy (hay điểm chính quy) của toán
tử A, nếu tồn tại toán tử giải R
λ
xác định và bị chặn trên toàn không gian X.
Số λ được gọi là phổ (hay điểm phổ) của toán tử A, nếu số λ không là giá trị
chính quy của toán tử A.
Định nghĩa 1.8. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ của
toán tử A.
Lập luận trên chứng tỏ, phổ của toán tử A chứa tất cả các giá trị riêng của
toán tử A. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A gọi là phổ điểm của toán tử
A, tập hợp các giá trị còn lại của phổ của toán tử này gọi là phổ liên tục.
Định lý 1.9. Nếu A là toán tử compact tác dụng trong không gian Bannach X,
thì với mọi số α > 0 toán tử A chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính
tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α.
Chứng minh. Giả sử toán tử compact A có một dãy vô hạn (x
n
) các vectơ riêng
độc lập tuyến tính tương ứng với dãy các giá trị riêng (λ
n

) mà |λ
n
| ≥ α với mọi
n = 1, 2, 3,
5
Ta kí hiệu X
n
là không gian con đóng sinh bởi các vectơ x
1
, x
2
, , x
n
(n =
1, 2, 3, ). Khi đó, đối với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, 3, tồn tại phần tử y
n
∈
X
n
, ||y
n
|| = 1 sao cho
d(y
n
, X
n−1
) = inf
x∈X
n−1
||y

n
− x|| >
1
2
.
Khi đó dãy

y
n
λ
n

bị chặn nhưng dãy

A
y
n
λ
n

không chứa dãy con nào hội tụ.
Thật vậy, giả sử y
n
=

n
k=1
a
k
x

k
thì
A
y
n
λ
n
=
n

k=1
a
k
Ax
k
λ
k
=
n−1

k=1
a
k
λ
k
λ
n
x
k
+ a

n
x
n
= y
n
+ z
n
,
trong đó z
n
=
n−1

k=1
a
k

λ
k
λ
n
− 1

x
k
∈ X
n−1
(n = 1, 2, ).
Với hai số tự nhiên bất kỳ p, q, p > q ta có





A
y
p
λ
p
− A
y
q
λ
q




= ||y
p
+ z
p
− (y
q
+ z
q
)|| = ||y
p
− (y
q
+ z

q
− z
p
)|| >
1
2
,
trong đó y
q
+ z
q
− z
p
∈ X
p−1
. Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact
của toán tử A. Vì vậy chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng
với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α.
1.2.2 Phổ của toán tử bị chặn trong không gian Hilbert
1.2.2.1 Phổ của toán tử tự liên hợp
Định nghĩa 1.10. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H
vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.11. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là số thực đối với
mọi x ∈ H.
Cho A là toán tử tự liên hợp tác dụng trong không gian Hilbert H. Ta có
các kết quả sau đây
Định lý 1.12. Các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp A đều là số thực.

6
Chứng minh. Giả sử x ∈ H, x = 0 là vectơ riêng của toán tử A tương ứng với
giá trị riêng λ. Ta có
(Ax, x) = λ(x, x),
trong đó (x, x) > 0, còn (Ax, x) thực ( theo định lý 1.11), do đó λ là số thực.
Định lý 1.13. Hai vectơ riêng của toán tử tự liên hợp A tương ứng với hai giá
trị riêng khác nhau thì trực giao với nhau.
Chứng minh. Giả sử x
1
, x
2
là hai vectơ riêng của toán tử A tương ứng với hai
giá trị riêng khác nhau λ
1
, λ
2
. Ta có λ
1
, λ
2
∈ R và
λ
1
(x
1
, x
2
) =(λ
1
x

1
, x
2
) = (Ax
1
, x
2
)
=(x
1
, Ax
2
) = (x
1
, λ
2
x
2
) = λ
2
(x
1
, x
2
).
Suy ra (λ
1
− λ
2
)(x

1
, x
2
) = 0 vì vậy (x
1
, x
2
) = 0.
Định lý 1.14. Mọi số phức λ = a + bi với b = 0 đều là giá trị chính quy của
toán tử tự liên hợp A.
Định lý 1.15. Phổ của toán tử tự liên hợp A tác dụng trong không gian Hilbert
H là khác rỗng.
Định lý 1.16. Phổ của toán tử tự liên hợp A tác dụng trong không gian Hilbert
H nằm trong đoạn [m, M] của trục thực, trong đó
m = inf
x=1
(Ax, x) , M = sup
x=1
(Ax, x) .
Chứng minh. Theo định lý 1.14 ta chỉ cần chứng minh mọi số thực λ không
thuộc đoạn [m, M] đều là giá trị chính quy.
Giả sử λ < m. Đặt d = m − λ, thì d > 0 và ∀x ∈ H, ||x|| = 1 ta có
d = m − λ ≤ (Ax, x) − (λx, x) = (A
λ
x, x) ≤ ||A
λ
x||.||x||,
suy ra
||A
λ

x|| ≥ d||x||.
∀x ∈ H, x = 0, ta đặt y =
x
||x||
, thì ||y|| = 1, theo chứng minh trên ||A
λ
y|| ≥ d||y||
suy ra



A
λ
x
||x||



≥ d



x
||x||



. Vì vậy ||A
λ
x|| ≥ d||x||. Hiển nhiên, bất đẳng thức

nhận được đúng với cả x = θ. Do đó
||A
λ
x|| ≥ d||x||, ∀x ∈ H.
Suy ra, λ là giá trị chính quy của toán tử A. Trường hợp, λ > M thì λ là giá trị
chính quy được chứng minh tương tự.
7
Định lý 1.17. Số λ là giá trị chính quy của toán tử tự liên hợp A khi và chỉ
khi tồn tại hằng số dương α sao cho
||(A − λI)x|| ≥ α||x||, ∀x ∈ H.
Hệ quả 1.2.1. Số λ thuộc phổ của toán tử tự liên hợp A khi và chỉ khi tồn tại
dãy (x
n
) ⊂ H, ||x
n
|| = 1(n = 1, 2, ) sao cho
lim
n→∞
||A
λ
x
n
|| = 0.
1.2.2.2 Cấu trúc phổ của toán tử compact tự liên hợp
Định lý 1.18. Phổ của toán tử compact tự liên hợp tác dụng trong không gian
Hilbert H là phổ điểm.
Chứng minh. Ta chỉ cần chỉ ra mỗi giá trị phổ λ = 0 của toán tử compact tự
liên hợp A tác dụng trong không gian Hilbert H là một giá trị riêng.
Theo hệ quả 1. 2. 1, tồn tại dãy (x
n

⊂ H, ||x
n
|| = 1) sao cho
lim
n→∞
||Ax
n
− λx
n
|| = 0.
Đặt y
n
= Ax
n
− λx
n
, thì x
n
=
1
λ
(Ax
n
− y
n
) (n = 1, 2, ). Nhờ tính compact
của toán tử A, dãy (Ax
n
) chứa dãy con (Ax
n

k
) hội tụ trong không gian H. Do
dãy (y
n
) hội tụ tới θ, nên dãy
x
n
k
=
1
λ
(Ax
n
k
− y
n
k
) (k = 1, 2, ),
hội tụ, đặt x = lim
k→∞
x
n
k
. Hiển nhiên ||x|| = 1 và
x = lim
k→∞
x
n
k
= lim

k→∞
1
λ
(Ax
n
k
− y
n
k
) =
1
λ
Ax.
Vậy Ax = λx. Do đó λ là giá trị riêng của toán tử A.
Định lý 1.19. Nếu toán tử compact tự liên hợp A tác dụng trong không gian
Hilbert H có vô số giá trị riêng, thì tập các giá trị riêng là đếm được và số 0 là
điểm giới hạn duy nhất của các giá trị riêng đó.
8
1.3 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo
hàm riêng, phương trình elliptic
Định nghĩa 1.20. Cho k là một số nguyên dương, Ω là một tập mở trong R
n
.
Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x
1
, x
2
, , x
n
), các biến độc lập x

i
và
các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay
phương trình đạo hàm riêng cho gọn và sẽ viết tắt là phương trình ĐHR). Nó
có dạng:
F (x, u(x), Du(x), , D
k
u(x)) = 0, (x ∈ Ω), (1.3)
trong đó F : Ω × R × R
n
× R
n
k
→ R là hàm cho trước và u : Ω → R là hàm cần
tìm.
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi
là cấp của phương trình. Ở đây (1.3) là phương trình cấp k.
Ta nói rằng phương trình (1.3) giải được nếu ta tìm được tất cả các hàm số
u thỏa mãn (1.3).
Định nghĩa 1.21. (i) Phương trình ĐHR (1.3) được gọi là tuyến tính nếu
nó có dạng

|α|≤k
a
α
(x)D
α
u = f(x) (1.4)
trong đó a
α

(x), f(x) là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính cấp
k (1.4) được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0.
(ii) Phương trình (1.3) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng

|α|=k
a
α
(x)D
α
u + a
0
(x, u, Du, , D
k−1
u) = 0.
(iii) Phương trình (1.3) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng

|α|=k
a
α
(x, u, Du, , D
k−1
u)D
α
u + a
0
(x, u, Du, , D
k−1
u) = 0.
(iv) Phương trình (1.3) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộc
không tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất.

Định nghĩa 1.22. Xét toán tử vi phân A(x, D) =

|α|≤m
a
α
(x)D
α
, ở đó a
α
(x)
là hàm có giá trị phức đo được, x ∈ R
n
. Nếu a
α
(x) = 0 với α nào đó mà |α| = m
9
nguyên dương thì m được gọi là bậc của A.
Đa thức đặc trưng của toán tử A là
A
0
(x, ξ) =

|α|=m
a
α
(x)ξ
α
,
ở đây ξ = (ξ
1

, , ξ
n
) và ξ
α
= ξ
α
1
1
· ξ
α
2
2
· · · ξ
α
n
n
. Đó là đa thức của ξ với các hệ số
phụ thuộc vào x.
Toán tử A được gọi là elliptic tại điểm x
0
nếu A
0
(x
0
, ξ) khác 0 với mọi
ξ ∈ R
n
\ {0}.
Toán tử A được gọi là elliptic trong một miền nếu nó là elliptic tại mỗi điểm
của miền. Điều kiện elliptic có thể viết dưới dạng:

|A
0
(x, ξ)| ≥ γ
0
|ξ|
m
,
ở đó γ
0
= const > 0 và trên mặt cầu đơn vị |A
0
(x, ξ)| ≥ γ
0
và A
0
là hàm thuần
nhất bậc m đối với ξ. Hằng số γ
0
được gọi là hằng số elliptic.
Định nghĩa 1.23. Giả sử Ω là một miền trong R
n
. Phương trình
A(x, D)u = f(x), x ∈ Ω, (1.5)
được gọi là phương trình elliptic trong miền Ω nếu A là toán tử elliptic trong
miền Ω.
Hàm u(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.5) nếu đẳng thức Au = f
được thỏa mãn hầu khắp x ∈ Ω.
Định lý 1.24. Nếu số chiều của không gian R
n
lớn hơn 2 thì bậc của phương

trình elliptic là chẵn.
Định nghĩa 1.25. Bài toán tìm nghiệm phương trình ĐHR (1.5) sao cho u(x) =
g(x) với mọi x ∈ ∂Ω được gọi là bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic
tuyến tính. Khi u(x) = 0 với mọi x ∈ ∂Ω thì phương trình ĐHR (1.5) gọi là bài
toán Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính.
1.4 Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.26. (i) Giả sử không gian W
m,p
(Ω) (trong đó m nguyên
dương, 1 ≤ p < +∞ ) là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ L
p
(Ω)
sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc L
p
(Ω)
và được trang bị chuẩn
||u||
W
m,p
(Ω)
=


0≤|α|≤m

Ω
|D
α
u(x)|
p


1
p
.
10
W
m,p
(Ω) là không gian Bannach phản xạ với 1 < p < +∞.
(ii) Khi p = 2, không gian W
m,p
(Ω) = W
m,2
(Ω) ký hiệu là H
m
(Ω). Như vậy
H
m
(Ω) = {u ∈ L
2
(Ω), ∀ α : |α| ≤ m, D
α
u ∈ L
2
(Ω)}.
Trong H
m
(Ω) đưa vào tích vô hướng
(u, v)
m
=


|α|≤m

Ω
D
α
uD
α
vdx
=

|α|≤m
(D
α
u, D
α
v)
L
2
(Ω)
, với mọi u, v ∈ H
m
(Ω).
Do đó
||u||
2
m
= (u, u)
m
=


|α|≤m
(D
α
u, D
α
u) =

|α|≤m
||D
α
u||
2
L
2
(Ω)
.
Như vậy H
m
(Ω) là không gian Hilbert.
(iii) Khi m = 0 có H
0
(Ω) = L
2
(Ω).
1.4.1 Định lý vết
Giả sử Ω bị chặn và ∂Ω là C
1
. Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn:
T : H

1
(Ω) → L
2
(∂Ω)
sao cho:
(i) Tu = u|
∂Ω
nếu u ∈ H
1
(Ω) ∩ C(Ω).
(ii) ||T u||
L
2
(Ω)
≤ c||u||
H
1
(Ω)
với mọi u ∈ H
1
(Ω) và c là hằng số.
Khi đó T u được gọi là vết của u trên ∂Ω.
1.4.2 Định lý nhúng
Giả sử Ω ⊂ R
n
là tập mở, bị chặn và có biên trơn. Nếu s >
n
2
+ j (j ∈ N)
thì H

s
(Ω) ⊂ C
j
(Ω) có nghĩa là nếu s >
n
2
+ j và u ∈ H
s
(Ω) thì u khả vi liên tục
đến cấp j, u ∈ C
j
(Ω).
11
1.4.3 Bất đẳng thức Poincare
Với mọi u ∈ C
∞
0
(Ω) đều tồn tại γ > 0 sao cho
||Du||
L
2
(Ω)
≥ γ · ||u||
L
2
(Ω)
.
1.5 Định lý Lax Milgram
Định lý 1.27. Giả sử X là một không gian Hilbert thực, a(u, v) là phiếm hàm
song tuyến tính trên X. Giả thiết a(u, v) thỏa mãn các điều kiện:

(i) Tồn tại c > 0 sao cho |a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi u, v ∈ X.
(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho a(u, u) ≥ γ||u||
2
với mọi u ∈ X.
Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F (u) trên X đều tồn tại f ∈ X sao
cho
F (u) = a(u, f), u ∈ X.
Chứng minh. Lấy u ∈ X cố định. Khi đó, u(v) = a(u, v) là phiếm hàm tuyến
tính trên X. Theo (i), ta có:
|a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi v ∈ X.
Điều này chứng tỏ u(v) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Theo định
lý Riesz-Frech´et, tồn tại một phần tử, ký hiệu Au ∈ X, sao cho
u(v) = (Au, v), ∀ v ∈ X,
trong đó (.,.): là tích vô hướng trong X. Như vậy a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ X,
và ta có một toán tử
A :X → X
u → Au.
A là toán tử tuyến tính. Thật vậy, với mọi λ
1
, λ
2
∈ R, u
1
, u
2
∈ X và với mỗi
v ∈ X có
(A(λ
1
u

1
+ λ
2
u
2
), v) = a(λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
, v) = λ
1
a(u
1
, v) + λ
2
a(u
2
, v)
= λ
1
(Au
1
, v) + λ
2
(Au
2

, v) = (λ
1
Au
1
+ λ
2
Au
2
, v).
12
Đẳng thức đúng với mỗi v ∈ X bởi vậy A tuyến tính. Theo giả thiết (ii), ta
có:
||Au||
2
= (Au, Au) = a(u, Au) ≤ c||u|| · ||Au||, ∀u ∈ X
⇒ ||Au|| ≤ c||u||, ∀u ∈ X.
Bất đẳng thức này chứng tỏ A : X → X là toán tử liên tục. Hơn nữa với
u
1
, u
2
∈ X mà
Au
1
= Au
2
⇒ u
1
= u
2

. (1.6)
Mặt khác, với mọi u ∈ X ta có
||u||
2
≤
1
γ
a(u, u) =
1
γ
(Au, u) ≤
c
γ
||Au|| · ||u||
⇒ ||u|| ≤
c
γ
||Au||, ∀ u ∈ X.
(1.7)
Do đó, với u
1
, u
2
∈ X mà
u
1
= u
2
⇒ Au
1

= Au
2
. (1.8)
Từ (1.6) và (1.8) suy ra A : X → X là ánh xạ 1 − 1. Ký hiệu
A(X) = {u ∈ X : Au ∈ X},
ta chứng minh A(X) đóng trong X. Thật vậy, giả sử {Au
j
} là dãy hội tụ đến
v ∈ X. Vì {Au
j
} là dãy Cauchy trong X nên ta có
lim
j,k→+∞
||Au
j
− Au
k
|| = 0.
Từ (1.7) ta có
||u
j
− u
k
|| ≤
c
γ
· ||Au
j
− Au
k

||.
Điều này chứng tỏ {u
j
} là dãy Cauchy trong X, cho nên tồn tại u ∈ X sao cho
lim
j→+∞
u
j
= u trong X. Do A là ánh xạ liên tục nên Au = v ∈ A(X), tức là A(X)
đóng trong X.
Ta chứng minh A(X) = X. Giả sử A(X) ⊂ X, A(X) đóng. Ta lấy u ∈ X mà
u /∈ A(X), trực giao với A(X), tức là
(u, Au) = a(u, u) = 0.
Vì ||u||
2
≤
1
γ
a(u, u) = 0 nên u = 0, tức là A(X) = X. Vậy A : X → X là
song ánh.
13
Giả sử F(u) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Theo định lý Riesz-
Frech´et tồn tại duy nhất g ∈ X sao cho
F (u) = (g, u).
Khi đó, tồn tại f ∈ X sao cho Af = g. Do đó
F (u) = (g, u) = (Af, u) = a(f, u) ∀ u ∈ X.
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.28. Đẳng cấu A : X → X xây dựng trong định lý Lax-Milgram
sao cho
(Au, v) = a(u, v), ∀ u, v ∈ X (1.9)

được gọi là toán tử liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) trên không gian
Hilbert X hay ngược lại a(u, v) được gọi là dạng song tuyến tính liên kết với
toán tử A.
1.6 Định lý Lax Milgram đối với không gian
Hilbert phức
Xét V là không gian Hilbert phức với tích vô hướng (u, v), u, v ∈ V thỏa mãn
điều kiện (u, v) = (v, u) với mọi u, v ∈ V . Kí hiệu V

là đối ngẫu của V (không
gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trong V ).
Theo định lý Riesz, với mọi L ∈ V

tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho
L(v) = (u, v)
V
với mọi u, v ∈ V .
Ví dụ 1.29. Ω là tập mở trong R
n
, H
1
0
(Ω) là bổ sung của C
∞
0
(Ω) trong H
1
0
(Ω).
Đặt V = H
1

(Ω), V

= H
−1
(Ω) là đối ngẫu của H
1
0
(Ω).
Giả sử a(u, v), u, v ∈ V , là dạng song tuyến tính liên tục trong V . Với mọi
u ∈ V ta có thể xác định một phiếm hàm tuyến tính L trên V theo công thức
L(v) = a(u, v), v ∈ V.
Khi đó L là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V và thỏa mãn
||L(v)|| = |a(u, v)| ≤ c · ||u|| · ||v||, với mọi v ∈ V.
14
Theo định lý Riesz, khi đó tồn tại duy nhất Au ∈ V sao cho
L(v) = (Au, v)
V
= a(u, v), v ∈ V.
Trong đó A : V → V là toán tử liên kết dạng song tuyến tính a(u, v).
Định nghĩa 1.30. Dạng song tuyến tính liên tục a(u, v) được gọi là thỏa mãn
điều kiện bức nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho
|a(u, u)| ≥ c · ||u||
2
, ∀ u ∈ V. (1.10)
Định lý 1.31. (Định lý Lax Milgram) Nếu a(·, ·) là dạng song tuyến tính
liên tục thỏa mãn điều kiện bức thì toán tử A liên kết với dạng song tuyến tính
a(u, v) là một đẳng cấu từ V lên V

.
Chứng minh. Ta có A là toán tử liên tục. Thật vậy

||Au||
2
= (Au, Au) = a(u, Au) ≤ ||u|| · ||Au|| ⇒ ||Au|| ≤ ||u||.
Toán tử A là đơn ánh. Thật vậy, nếu
(u, Au) = 0 ⇒ a(u, u) = 0 ≥ c||u||
2
⇒ u = 0.
Ảnh của A là trù mật vì nếu u ∈ V , u trực giao với ImA thì
(u, Au) = 0 ⇒ a(u, u) = 0 ⇒ u = 0.
Ảnh của A là đóng. Thật vậy, với mọi v ∈ V , ta có
||Av||
V

= sup
w=0
|(Av, w)|
||w||
V
≥
|(v, Av)|
||v||
=
|a(v, v)|
||v||
≥ c||v||
⇒ ||Av||
V

≥ c||v||, ∀v ∈ V. (1.11)
Giả sử {Av

j
} hội tụ đến f ∈ V

. Do {Av
j
} là dãy Cauchy trong X, ta có
lim
i,j→+∞
||Av
j
− Av
i
|| = 0.
Từ (1.10), ta có
||v
j
− v
i
|| ≤
1
c
· ||Av
j
− Av
i
||,
suy ra {v
j
} là dãy Cauchy trong V nên tồn tại v ∈ V sao cho lim
j→+∞

v
j
= v trong
V . Do A là ánh xạ liên tục nên
Av = f.
15
Suy ra ảnh của A là đóng trong V

. Vậy A là song ánh từ V lên V

.
Từ (1.7) và định lý Banach về ánh xạ ngược suy ra A
−1
liên tục. Vậy A là
đẳng cấu từ V lên V

.
Giả sử V là không gian Hilbert, H là không gian Hilbert sao cho V ⊂ H,
phép nhúng liên tục và trù mật. Nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H
thì f ∈ V

. Nếu h ∈ H, ta xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H theo
công thức
v −→ (h, v)
H
= f(v), v ∈ H.
Do V nhúng liên tục trong H nên f(v) = (h, v)
H
cũng liên tục trong V nên
f ∈ V


. Ánh xạ H → V

tương ứng mỗi h ∈ H với f ∈ V

cho phép đồng nhất H
với không gian con của V

. Ta có
V ⊂ H ⊂ V

.
Đặt h ∈ H, Ah = f ∈ V

. Ta chứng minh A là ánh xạ liên tục. Thật vậy vì
A là phiếm hàm liên tục trên V nên với mọi v ∈ V :
|(Ah)(v)| ≤ ||Ah||
V

· ||v||
V
.
Mặt khác
|(Ah)(v)| = |(h, v)
H
| ≤ ||h||
H
· ||v||
H
≤ ||h||

H
· ||v||
V
⇒ ||Ah||
V

≤ ||h||
H
.
Ta có toán tử A liên tục.
Do V nhúng liên tục, trù mật trong H và H ⊂ V

nên nếu một ánh xạ tuyến
tính liên tục H → H thì cũng là ánh xạ tuyến tính liên tục V → V

.
Từ đó ta có hệ quả sau của định lý Lax Milgram.
Hệ quả 1.32. Giả sử tồn tại λ
0
∈ R và C > 0 sao cho
Rea(u, u) + λ
0
||u||
2
H
≥ C · ||u||
2
V
, u ∈ V.
Khi đó với mọi λ ≥ λ

0
, toán tử A + λI là đẳng cấu từ V lên V

.
Chứng minh. Ta có A + λI là toán tử liên kết dạng song tuyến tính
a
1
(u, v) = a(u, v) + λ(u, v), u, v ∈ V.
a
1
(u, u) = a(u, u) + λ||u||
2
, u ∈ V.
16
Do đó
|a
1
(u, u)| ≥ |Re a(u, u) + λ||u||
2
|
≥ Re a(u, u) + λ
0
||u||
2
, ∀ λ > λ
0
≥ C · ||u||
2
V
∀ u ∈ V.

Vậy a
1
(u, v) là thỏa mãn điều kiện bức. Theo định lý Lax-Milgram A + λI
là đẳng cấu từ V lên V

.
1.7 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace
1.7.1 Không gian Sobolev H
1
0
(Ω)
Giả sử Ω là tập mở bị chặn trong không gian R
n
với biên ∂Ω trơn. C
∞
0
(Ω)
là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω.
Trong C
∞
0
(Ω) ta xác định chuẩn
||u||
H
1
0
(Ω)
=



Ω
|Du|
2
dx

1
2
, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω) (1.12)
và tích vô hướng tương ứng
(u, v)
1
=

Ω
DuDvdx, ∀u, v ∈ C
∞
0
(Ω). (1.13)
Đồng thời
||u||
H
1
0
(Ω)
= (u, u)
1
2

1
, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).
Nhờ bất đẳng thức Poincare ta xác định một chuẩn tương đương với chuẩn
(1.12) trong C
∞
0
(Ω):
||u||
H
1
0
(Ω)
=


Ω
(|Du|
2
+ |u|
2
)dx

1
2
, ∀u ∈ C
∞
0

(Ω)
và tích vô hướng tương ứng
(u, v)
1
=

Ω
(DuDv + uv)dx, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).
Ký hiệu H
1
0
(Ω) là không gian nhận được bằng cách bổ sung không gian
C
∞
0
(Ω) theo chuẩn || · ||
1
. H
1
0
(Ω) gồm các hàm suy rộng u ∈ H
1
(Ω) triệt tiêu
17
trên biên cùng với các đạo hàm suy rộng theo nghĩa vết (u = 0,
∂u
∂x

i
= 0 trên
∂Ω theo nghĩa vết).
Khi đó H
1
0
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.13) và phép nhúng
H
1
0
(Ω) vào L
2
(Ω) liên tục và compact.
1.7.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng
Ta xét bài toán Dirichlet:

−∆u = f(x) trong Ω,
u = 0 trên ∂Ω.
(1.14)
trong đó Ω là miền bị chặn có biên ∂Ω trơn trong R
n
, f(x) là hàm liên tục trong
Ω.
Giả sử u ∈ C
2
(Ω) là nghiệm của bài toán (1.14). Khi đó với mỗi ϕ(x) ∈
C
∞
0
(Ω) ta có:


Ω
−∆uϕ(x)dx =

Ω
f(x)ϕ(x)dx. (1.15)
Áp dụng công thức Green cho vế trái đẳng thức (1.15) ta có:

Ω
−∆uϕ(x)dx = −

Ω

∂
2
u
∂x
2
1
+ · · · +
∂
2
u
∂x
2
n

ϕ(x)dx
= −


Ω
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
ϕ(x)dx
= −

Ω
n

i=1
∂u
∂x
i

ϕ
∂u
∂x
i

dx +

Ω
n


i=1
∂u
∂x
i

∂ϕ
∂x
i

dx
=

Ω
n

i=1
∂u
∂x
i

∂ϕ
∂x
i

dx =

Ω
DuDϕdx.
Do đó


Ω
DuDvdx =

Ω
f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω),
hay
(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
18
Nếu f(x) là hàm không liên tục trong Ω thì bài toán (1.14) nói chung không
có nghiệm trong C
2
(Ω). Vì vậy khi đó nghiệm bài toán (1.14) cần hiểu theo
nghĩa suy rộng. Ta có định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán như sau
Định nghĩa 1.33. Giả sử f(x) ∈ L
2
(Ω). Khi đó hàm u ∈ H
1
0
(Ω) được gọi là
nghiệm suy rộng của bài toán (1.14) nếu
(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0

(Ω),
hay
(u, ϕ)
1
= (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω),
trong đó (u, ϕ)
1
là tích vô hướng trong H
1
0
(Ω).
Chú ý 1.34. Giả sử nghiệm suy rộng u ∈ H
1
0
(Ω) ∩ C
2
(Ω) ta có:
(1) Nếu u ∈ H
1
0
(Ω) thì
(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
(2) Nếu u ∈ C
2

(Ω) thì
(Du, Dϕ) = (−∆u, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Do đó
(−∆u, ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Từ đó suy ra −∆u = f trong Ω. Vậy u là nghiệm cổ điển của bài toán (1.14).
1.7.3 Toán tử của bài toán Dirichlet
Định nghĩa 1.35. Không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω) được ký hiệu là H
−1
(Ω):
f ∈ H
−1
(Ω) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H
1
0
(Ω).
Nếu f ∈ H
−1
(Ω) thì
||f||
H
−1

(Ω)
= sup

< f, u > | u ∈ H
1
0
(Ω), ||u||
H
1
0
(Ω)
≤ 1

.
Kí hiệu < ·, · > là giá trị của f ∈ H
−1
(Ω) trên u ∈ H
1
0
(Ω).
Ta có
H
1
0
(Ω) ⊂ L
2
(Ω) ⊂ H
−1
(Ω),
19

và các phép nhúng là trù mật, liên tục, hơn nữa phép nhúng H
1
0
(Ω) vào L
2
(Ω)
là compact.
Ta xác định toán tử −∆:
−∆ : H
1
0
(Ω) → H
−1
(Ω)
sao cho:
(−∆u, v) = (Du, Dv), ∀u, v ∈ H
1
0
(Ω),
miền xác định:
D(−∆) = {u ∈ H
1
0
(Ω) : −∆u ∈ L
2
(Ω)}.
Nếu u ∈ H
1
0
(Ω) ∩ C

2
(Ω), v ∈ C
∞
0
(Ω) thì:
(−∆u, v) = (Du, Dv) =

Ω

n

i=1
∂u
∂x
i
∂v
∂x
i

dx
= −

Ω
n

i=1
∂
2
u
∂x

2
i
vdx =

−
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
, v

, ∀v ∈ C
∞
0
(Ω).
Từ đó suy ra với u ∈ H
1
0
(Ω) ∩ C
2
(Ω) thì
∆u =
n

i=1

∂
2
u
∂x
2
i
.
Toán tử −∆ được xây dựng như trên được gọi là toán tử của bài toán Dirichlet
(1.14).
Từ định nghĩa của toán tử −∆ ta suy ra các tính chất sau
(1) (−∆u, v) = (Du, Dv) = (u, −∆v), ∀u, v ∈ D(−∆), suy ra −∆u là toán
tử tự liên hợp.
(2) (−∆u, u) = (Du, Du) = ||u||
2
1
≥ 0, ∀u ∈ D(−∆), suy ra −∆ là toán tử
xác định dương. (−∆u, u) = 0 khi và chỉ khi u = 0.
Vậy −∆ là toán tử tự liên hợp xác định dương.
1.7.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
Định lý 1.36. Toán tử −∆ : H
1
0
(Ω) → H
−1
(Ω) là ánh xạ 1-1 lên.
20
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
(−∆u, u) = (Du, Du) = ||Du||
2
L

2
(Ω)
≥ k||u||
2
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Do đó:
k||u||
2
L
2
(Ω)
≤ (−∆u, u) ≤ ||∆u||
H
−1
(Ω)
· ||u||
H
1
0
(Ω)
.
Suy ra
||u||
H

1
0
(Ω)
≤ c||∆u||
H
−1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω). (1.16)
Nếu −∆u = 0, vì toán tử −∆ xác định dương, theo bất đẳng thức (1.16) suy
ra u = 0.
Vậy −∆ là ánh xạ 1-1.
Bây giờ ta sẽ chứng minh −∆ là đóng trong miền xác định D(−∆).
Giả sử {f
j
} là dãy hội tụ đến f trong R(−∆) ⊂ H
−1
(Ω). Khi đó tồn tại dãy
{u
j
} ⊂ D(−∆) sao cho
−∆u
j
= f
j
.
Theo (1.16)
||u

j
− u
k
||
H
1
0
(Ω)
≤ c · ||f
j
− f
k
||
H
−1
(Ω)
, ∀j, k.
Từ đó {u
j
} là dãy Cauchy trong H
1
0
(Ω). Vì H
1
0
(Ω) là không gian Hilbert nên tồn
tại u sao cho
lim
j→+∞
||u

j
− u||
H
1
0
(Ω)
= 0.
Do −∆ là toán tử liên tục nên −∆u = f. Từ đó suy ra tồn tại u ∈ H
1
0
(Ω)
sao cho
−∆u = f,
nên f ∈ R(−∆) ⇒ R(−∆) đóng.
Bây giờ ta chứng minh −∆ là ánh xạ lên.
Giả sử u
0
∈ H
1
0
(Ω) trực giao với R(−∆) ⊂ H
−1
(Ω). Ta có
(−∆u, u
0
) = 0 ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Cho u = u

0
suy ra
0 = (−∆u
0
, u
0
) ≥ k||u
0
||
2
H
1
0
(Ω)
⇒ u
0
= 0.
Do R(−∆) đóng trong H
−1
(Ω) nên
R(−∆) = H
−1
(Ω).
Vậy −∆ là ánh xạ lên.
21