VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

1
Ví dụ
Định nghĩa
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi
0
x x

0
lim ( ) 0.
x x
f x


là một vô cùng bé khi , vì
0
x

3
( ) 3sin2
f x x x
 


3
0
lim 3sin2 0.
x
x x

 

2
Tính chất của VCB
1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB.
2) Tích của hai VCB là một VCB.
3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.
4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB.
3
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi .
0
x x

Giả sử
0
( )
lim .
( )


x x
f x
k
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x).
0

k
( ) ( ( ))


f x g x

2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCB cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương.
1

k
( ) ( )
f x g x

Định nghĩa
4
2 4 2 3
( ) tan ; ( ) sin 2

   
f x x x g x x x
Vì .
2 4
2 3
0 0
( ) tan
lim lim 1.
( )
sin 2
 

 

x x
f x x x

g x
x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi .
0

x
3 2 2
( ) sin ; ( ) tan

   
f x x x g x x x
Vì .
2 3
2
0 0
( ) sin
lim lim 0.
( )
tan
 

 

x x
f x x x
g x
x x
Ví dụ
Khi đó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi .

0

x
5
2 2 2
( ) sin 2 ; ( ) tan 3

  
f x x x g x x
Vì .
2 2
2
0 0
( ) sin 2 1
lim lim .
( ) 3
tan 3
 

 
x x
f x x x
g x
x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .
0

x
1 2

( ) 1; ( ) 1

   
x
f x e g x x
Vì .
1
1 1
2
( ) 1 1
lim lim .
( )
2
1
 

 

 

x
x x
f x e
g x
x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .
1



x
6
1) sin

x x

Các vô cùng bé thường gặp khi
0
x

2) -1

x
e x

2
3) 1-cos
2

x
x 
4) ln(1 )

x x
 
5) (1 )
-1
x x



 
6) arcsin

x x

7) arctan

x x

8) tan

x x

Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi
0
x

9) sinh


x x
2
10) cosh 1
2

 
x
x
Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và
các giới hạn cơ bản.

7
Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
0
lim
Tổng hữu hạn các VCB
Tổng hữu hạn các VCB
x x
0
lim
VCB bậc của tử
VCB bậ
thấp nhất
thấp nhấ
c của m ãu
t
a


x x
8
Ví dụ.
Tính giới hạn
2 3
0
ln(1 tan )
lim
sin





x
x x
I
x x
2
ln(1 tan ) tan
  
x x x x x
2 3
0
ln(1 tan )
lim
sin


 

x
x x
I
x x
2
2
0
lim 1.

 
x
x

x
Ví dụ.
Tính giới hạn
2
0
ln(cos )
lim
ln(1 )



x
x
I
x
2
0
ln(1 cos 1)
lim
ln(1 )

 


x
x
I
x
2
0

cos 1
lim



x
x
x
2
2
0
/2 1
lim
2


  
x
x
x
2 3 2
sin


x x x
9
Ví dụ.
Tính giới hạn
2
2

0
cos
lim
sin



x
x
e x
I
x
2
2
1
 
x
e x
2
1 cos
2
 
x
x
2
2
0
1 1 cos
lim
sin


  
 
x
x
e x
I
x
2 2
2
0
/2 3
lim .
2


 
x
x x
x
sin

x x
Ví dụ.
Tính giới hạn
sin5 sin
0
lim
ln(1 2 )





x x
x
e e
I
x
sin5 sin
0
1 1
lim
ln(1 2 )

  


x x
x
e e
I
x
0
sin5 sin
lim
2
x
x x
x




0
5
lim 2
2
x
x x
x


 
10
Ví dụ.
Tính giới hạn


1
1
sin 1
lim
ln




x
x
e
I

x
1
1 1

  
x
e x
ln ln(1 1) -1
  

x x x
1
sin( 1)
lim
1


 

x
x
I
x
1
1
lim 1.
1


 


x
x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn
sinh3 sinh
0
lim
tan



x x
x
e e
I
x
sinh3 sinh
0
1 1
lim

  

x x
x
e e
I
x

0
sinh3 sinh
lim
x
x x
x



0
3
lim 2.
x
x x
x


 
11
Ví dụ.
Tính giới hạn


3 4
0
1 (cos 1)
lim
sin 2
x
x

e x
I
x x

 


1
x
e x
 
2
cos 1 - /2
x x
 
2
3 4
0
( /2)
lim
2
x
x x
I
x x


 

2

3
0
( /2) 1
lim
2
x
x x
x


  
Ví dụ.
Tính giới hạn
2
1/
2
cos(1/ )
lim
arctan
x
x
e x
I x
x


 
2 2
2
1/ 1/(2 )

lim
/2
x
x x
I x



 
3


12
Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.
3
0
tan sin
1) lim


x
x x
x
3
0
tan
lim




x
x
x
x
SAI
3
0
tan sin
2) lim


x
x x
x
3
0
sin
lim



x
x
x
x
SAI
3
0
tan sin2
3) lim

x
x x
x


3
0
sin2
lim
x
x
x
x



ĐÚNG
13
Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.
0
tan sin2
4) lim
sin
x
x x
x


0
2

lim
x
x x
x



ĐÚNG
3
0
tan sin
5) lim
sin
x
x x
x


0
3
tan sin
lim



x
x
x
x
ĐÚNG

2
2 2
0
1 cos
6) lim
sin
x
x
x x

 

 
 
2
2 2
0
1 cos
lim

 
 
 
 
x
x
x x
SAI
14
Ví dụ.

Cho f(x) là vô cùng bé khi .
0
x x

 
0
0
( )
lim höõu haïn,
.
0




p
x x
f x
x x
Định nghĩa
Số p được gọi là bậc của VCB f(x) khi , nếu
0

x x
2 3
( ) sin 1 cos2
   
f x x x x
là một VCB khi , và bậc của f(x) là 2.
0


x
vì
2 3
2 2
0 0
( ) sin 1 cos2
lim lim 3
x x
f x x x x
x x
 
  
 
15
Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi .
0

x
Ví dụ
3
2 3
1) ( )
 
f x x x


2) ( ) sin 2 2
  f x x
3) ( ) 2 1

 
x
f x
3 4
4) ( ) 3sin
 
f x x x
3
5) ( ) cos
 
x
f x e x
bậc 2/3.
bậc 1.
bậc 1/2.
bậc 3.
bậc 2.
16
Ví dụ
1) ( ) cos cos2
 
f x x x


2
2) ( ) ln cos

f x x
3) ( ) 3
 

x x
f x e
3
4) ( ) sin 2 ln(1 tan )
  
f x x x x
2
5) ( ) 1 2 cos3
  
f x x x
Tìm để f(x) và là 2 VCB tương đương,
0

x
,
 


x
3/2; 2
 
 
1/2; 4
 
  
ln3; 1/2
 
 
1
 

 
13/4; 2
 
 
17
Ví dụ
Định nghĩa (vô cùng lớn)
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi
0
x x

0
lim ( ) .

 
x x
f x
là một vô cùng lớn khi , vì
 
x
2
( ) 2 3cos
 
f x x x
2
lim 2 3cos .

  
x

x x
18
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi .
0
x x

Giả sử
0
( )
lim .
( )


x x
f x
k
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x).
 
k
( ) ( ( ))
 
f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.
1

k
( ) ( )


f x g x
Định nghĩa
19
Qui tắc ngắt bỏ VCL
0
lim
Tổng hữu hạn các VCL
Tổng hữu hạn các VCL
x x
0
lim
VCL bậc của tử
VCL bậ
cao nhất
cao nhất
c của mẫu
x x

20
Ví dụ
Tử là tổng của ba VCL:
2
2
4 2 3
lim
4

  


 
x
x x x
I
x x
2
4 2 3 3


  

x
x x x x
Mẫu là tổng của hai VCL:
2
4 2


 

x
x x x
3 3
lim
2 2

 
x
x
I

x
21
I) Tìm các giới hạn sau.
Bài tập
2
2
2
4
1) lim
2


 
x
x
x x
5
0
32 2
2) lim

 
x
x
x
2
0
cos3 cos7
3) lim



x
x x
x
/ 4
4) lim cot2 cot( /4 )



 
x
x x
 
2
1/sin (2 )
2
0
5) lim 1 tan


x
x
x
4
3
1
80
20
2
1/ 4


e
22
 
2
1/
0
6) lim cos

x
x
x


1/(1 cos )
0
7) lim cosh


x
x
x
2
2
2
2 3
8) lim
2 1

 


 

 
x
x
x
x
2
2
2
9) lim
2



x
x
x
x
1/
1
10) lim

 

 
 
x
x

x
e
x
1/2

e
e
2
e
4(ln2 1)

2
e
23
2
2
14
11) lim
2

 
 
x
x x
x x
2
2
14
12) lim
2


 
 
x
x x
x x
0
1
13) lim tanh


 
 
 
x
x
0
1
14) lim tanh


 
 
 
x
x
2
2
0
sin2 2arctan3 3

15) lim
ln(1 3 sin )

 
  
x
x
x x x
x x xe
1
7

1
1

2
24
5 3
2 3
0
1 10 1 3
16) lim
arcsin(3 ) sinh(2 )

  
  
x
x x
x x x x
17) lim ln 1 ln

2 2

 
 
 
 
 
 
 
x
x x
x
3 3
0
cos4 cos5
18) lim
1 cos3



x
x x
x
3
0
1 tan 1 sin
19) lim
sin

  

x
x x
x
0
tan2 3arcsin4
20) lim
sin5 6arctan7



x
x x
x x
1
2
1
3
1/4
10/37