Chuyên đề đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức

Tuyển tập các chuyên đề toán THCS
trên báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1

Chuyên đề: ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c không âm , có vai
trò như nhau, bằng cách đặt:
P=a+b+c; q= ab+bc+ca; r=abc,
Ta có pq-r =(a+b)(b+c)(c+a);

2
p
+ q=( a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)

2 2 2 2
3 3 3 3
2
3 3
p q a b c
p pq r a b c
   
    

Biến đổi bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c nói trên về bất đẳng thức chứa p, q, r ,phép chứng
minh đôi khi sẽ đơn giản hơn cùng với việc áp dụng các bất đẳng thức đúng sau:
2
3

p q

(1)

3
27
p r
 (2)

2
3
q pr

(3)

9
pq r

(4)

3
4 9 0
p pq r
  
(5)
Chúng ta cũng dễ dàng nhận thấy rằng p, q, r và các biểu thức chứa p, q, r ở trên đều không
âm.Việc chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức trên xin dành cho bạn đọc.

B. CÁC VÍ DỤ

Sau đây các bạn hãy theo dõi một vài ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc=1.Chứng minh rằng :
(a+b)(b + c)(c + a)

(1+ a+ b+ c).
Lời giải:
Do r = abc =1 ,với cách biến đổi trên bất đẳng thức trở thành:
Tuyển tập các chuyên đề toán THCS
trên báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2


2(1 ) 1 2(1 )
( 2) 3.
pq r p pq p
p q
      
  

Cũng do r=1, từ (2) suy ra
3
p


Từ (3) suy ra
3
q


Suy ra p(q-2)

3 là bất đẳng thức đúng , suy ra bất đẳng thức cần chứng minh
Đẳng thức xảy ra

p = q = 3


a = b = c = 1.
Ví dụ 2: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

12
5
abc
ab bc ca
 
 

Lời giải:
Với cách biến đổi trên bất đẳng thức trở thành
12
5
r
q
 
(*)
Do p = a + b + c = 3 theo (5) ta có 27-12q + 9r

0 , suy ra

4 9 12 4 9 12
3 3
q q
r r
q q
 
    
(**)
Mặt khác ,
4 9 12
5
3
q
q

 


2 2
4 9 36 15 ( 3) 0
q q q q
      
, là bất đẳng thức đúng với mọi q .Từ (*) và (**)
suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra

a = b = c = 1.

Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca + abc = 4
Chứng minh rằng:

3(
2 2 2
) 10
a b c abc
   

Lời giải:
Do q + r = ab + bc + ca + abc =4 với cách giải trên bất đẳng thức trở thành

2 2
3( 2 ) 10 3 6 7 .
p q r p q
     
Mặt khác, từ (5)
3
3 3
36
4 9( ) 9 36 9 4
4 9
p
p pq q r q p q pq q
p

          


Tuyển tập các chuyên đề toán THCS
trên báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 3

Vì vậy để hoàn thành bài toán, ta chỉ cần chứng minh
3
2
36
3 6 7.
4 9
p
p
p

 


Thật vậy từ (1) và (2) suy ra:
2 3
3 2
2
4 9 108 0
3 27
( 3)( 12 36) 0 3
p p
q r p p
p p p p
       
      

Từ đó ta có
3
2

36
3 6 7
4 9
p
p
p

 



3 2 3
3 2
2
12 24 27 54 7 252
5 27 24 306 0
( 3)(5 42 102) 0
p p p p
p p p
p p p
     
    
    

Là bất đẳng thức đúng
Đẳng thức xảy ra

a = b = c = 1
Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng

1 1 1 3
2( )
a b c
a b b c a c ab bc ca a b c
 
   
      

Lời giải:
Do q= ab + bc + ca =3 Với cách biến đổi trên , bất đẳng thức trở thành:

2 2
3 3 3
2 3 6
p q p p p
pq r q p p r p
 
    
 


2 2
3 3 2
3 2
3 2
3 2
( 3)6 ( 18)(3 ) 0
6 18 3 54 18 0
3 36 18 0
3( 12 9 ) 9 0

3( 4 9 ) ( 9) 0
p p p p r
p p p p p r r
p p p r r
p p r p r r
p pq r r p
     
      
    
     
     

Do q=3, từ (1) suy ra
2
9
p

,kết hợp với (5) ta có bất đẳng thức trên đúng , suy ra bất đẳng
thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra

a = b = c = 1
Ví dụ 5: Cho ba số a, b, c thuộc (0;1) thỏa mãn điều kiện abc = (1 – a )( 1- b )( 1- c)
Chứng minh rằng
3 3 3
5 1
a b c abc
   

Lời giải:

Tuyển tập các chuyên đề toán THCS
trên báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 4

Ta có abc = (1 – a)(1- b)(1 – c)= 1-(a+b+c) + ( ab +bc +ca ) – abc , suy ra 2r = 1 – p + q. Với
cách biến đổi trên bất đẳng thức trở thành:

3
3 3 5 1
p pq r r
   


3
3 8 1
p pq r
   


3
3 4(1 ) 1
p pq p q
     


3
4 3 (3 4)
p p q p
    

(***)
Chú ý rằng 1 – p + q =2r > 0 và
2
3
p q

suy ra
2
1 .
3
p
p q  
Ta xét ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu
1
p

thì
3 2
4 3 (1 )(3 ) 0 (3 4);
p p p p p q p
        

Trường hợp 2: Nếu
4
1
3
p
 
thì: 3p – 4 <0 và 0 < p-1 < q , suy ra:

3 3 3
( 4 3) (3 4) ( 4 3) ( 1)(3 4) ( 1) 0
p p q p p p p p p
            
;
Trường hợp 3 : Nếu
4
3
p

thì:
2 2
3 3
(2 3)
( 4 3) (3 4) ( 4 3) (3 4) 0
3 2
p p
p p q p p p p

          

Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có (***) là bất đẳng thức đúng , suy ra bất đẳng thức
cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra

a = b = c =
1
2

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1.Chứng minh rằng:
(a + b )( b + c ) (c + a ) +7

5( a + b + c)
Bài 2: Cho ba số dương, chứng minh rằng:

2 2 2
2(1 ) 2(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
abc a b c a b c
        

Bài 3: Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng

7
0 2
27
ab bc ca abc    

Tuyển tập các chuyên đề toán THCS
trên báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 5