đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức

Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Ta đặt
2
2
2
y z x
a
x b c
x z y
y c a b
z a b
x y z
c
+ −

=

= +


+ −
 
= + ⇒ =
 

 
= +

+ −

=


nên BĐT
1 3
2 2
y z x x z y x y z
x y z
 
+ − + − + −
⇔ + + ≥
 ÷
 

2 . 2 . 2 . 6
x y y z z x x y y z z x
y x z y x z y x z y x z
   
 
⇔ + + + + + ≥ + + =
 ÷  ÷
 ÷
 
   
(đúng)

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
a b c⇔ = =
VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3x y z+ + =
. CMR:
3
xy yz zx
z x y
+ + ≥
Đặt
xy
a
z
yz
b
x
zx
c
y

=



=




=


với
, , 0a b c >
từ giả thiết
2 2 2
3x y z+ + =
3ab bc ca⇔ + + =

Và BĐT cần CM
⇔
CM BĐT
3a b c
+ + ≥
mặt khác ta có BĐT sau:
2 2 2
3( ) 3a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + =
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1x y z⇔ = = =
VD3: Cho x, y, z >0 thoả
1x y z+ + =
. CMR
1 4 9
36
x y z
+ + ≥

Từ giả thiết ta có thể đặt:

a
x
a b c
b
y
a b c
c
z
a b c

=

+ +


=

+ +


=

+ +

với a,b,c >0
Nên BĐT
⇔
CM
4. 9. 36
a b c a b c a b c

a b c
+ + + + + +
+ + ≥

4. 4. 9. 9. 22
b c a c a b
a a b b c c
⇔ + + + + + ≥
4. 9. 4. 9. 2 .4. 2 .9. 2 4. .9. 22
b a c a c b b a c a c b
a b a c b c a b a c b c
     
⇔ + + + + + ≥ + + =
 ÷  ÷  ÷
     
(đúng)
Dấu “=” xảy ra
1
6
2
1
3
3
1
2
x
b a
y
c a
z


=


=


⇔ ⇒ =
 
=



=


VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR
( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + −
Ta đặt
x b c
y c a
z a b
= +


= +


= +


với
, , 0a b c >
nên BĐT
⇔
CM BĐT
( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥
mặt khác ta có
2 2 2
( )( )( ) 8 ( ) ( ) ( ) 0a b b c c a abc a b c b c a c a b+ + + − = − + − + − ≥
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
x y z⇔ = =
VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR:
1 1 1
1 1 1 1a b c
b c a
   
− + − + − + ≤
 ÷ ÷ ÷
   
Do
1abc
=
nên ta có thể đặt
x
a
y
y
b

z
z
c
x

=



=



=


với
, , 0x y z >
Nên BĐT có thể viết lại
1 1 1 1
x z y x z y
y y z z x x
 
  
− + − + − + ≤
 ÷
 ÷ ÷
  
 

⇔
( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + −
(đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1a b c⇔ = = =
VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR :
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Ta đặt
1
1
1
a
x
b
y
c
z

=



=




=


với
, , 0x y z >
và do
1abc =
nên
1xyz =
Nên BĐT
2 2 2
3
2
x y z
y z z x x y
⇔ + + ≥
+ + +
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x y z
y z z x x y x y z
y z z x x y
 
 
+ + + + + + + ≥ + +

 ÷
 
+ + +
 
2 2 2
3
3
3
2 2 2
xyz
x y z x y z
y z z x x y
 
+ +
⇔ + + ≥ ≥ =
 ÷
+ + +
 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1a b c⇔ = = =
VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:
2xyz x y z= + + +
.
CMR:
3
2
x y z xyz+ + ≤
Từ
1 1 1

2 1
1 1 1
xyz x y z
x y z
= + + + ⇔ + + =
+ + +
Ta đặt
1 1 1
, ,
1 1 1
a b c
x y z
= = =
+ + +
với
, , 0a b c >

1 1 1
, ,
a b c b a c c a b
x y z
a a b b c c
− + − + − +
⇒ = = = = = =
Nên BĐT cần CM
⇔
CM BĐT
3
. . .
2

a b b c c a
b c c a c a a b a b b c
+ + ≤
+ + + + + +
Mặt khác ta có:
1
.
2
a b a b
b c c a a c b c
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 

1
.
2
b c b c
c a a b b a c a
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 

1
.
2

c a c a
a b b c c b a b
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 
Nên
1 3
. . .
2 2
a b b c c a a b b c c a
b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b
 
+ + ≤ + + + + + =
 ÷
+ + + + + + + + + + + +
 
Vậy BĐT luôn đúng
Dấu “=” xảy ra
2x y z⇔ = = =
Sau đây là một số bài tập để luyện tập:
Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:
1,
3
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
2,

1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ − + − + −
Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
2 2 2
2 1x y z xyz+ + + =
. CMR:
1,
3
2
x y z+ + ≥
2,
1 1 1
4( )x y z
x y z
+ + ≥ + +
Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt
, ,
a b c
x y z
b c c a a b
= = =
+ + +
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn
1a b c
+ + =
.
CMR:
1 1 1 1

2 22
abc
ab bc ca
+ + ≥ + +
Bài 4: Cho
, , 0a b c >
thoả mãn
1abc
=
. CMR:
3 6
1
a b c ab bc ca
+ ≥
+ + + +
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:
1,
2 2 2
4 3a b c S+ + ≥
với S là diện tich tam giác
2,
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥
Gợi ý: Đặt
, ,a x y b y z c z x= + = + = +
TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN
“Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta
biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập đến một
bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.
Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:

)
11
(
4
11
yxyx
+≤
+
(1)
Đẳng thức xảy ra khi x =y.
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh
phổ biến nhất.
Cách 1. Với hai số dương x và y ta có:

)( yx +
2
⇒≥
0
(x + y)
2
)
11
(
4
11
4
yxyx
xy +≤
+

⇒≥
Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có

yx
+
,2 xy≥

xy
yxyx
21
.
1
2
11
=≥+
Từ đó:
)( yx +
(
)
11
(
4
11
4)
11
yxyxyx
+≤
+
⇒≥+

Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có

)
11
(
4
11
);
11
(
4
11
);
11
(
4
11
acaccbcbbaba
+≤
+
+≤
+
+≤
+
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:

)
111

(
2
1111
cbaaccbba
++≤
+
+
+
+
+
(2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
* Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

)
111
(
2
1
2
1
2
1
2
1
accbbabacacbcba +
+
+
+
+

≤
++
+
++
+
++
(3)
* Kết hợp (2) và (3) ta có
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:

)
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
cbabacacbcba
++≤
++
+
++
+
++
(4)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Chú ý: Nếu thêm giả thiết
4
111
=++
cba
thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học
và Cao đẳng khối A, năm 2005.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:

accbbabacacbcba 3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1
+
+
+
+
+
≤
++
+
++

+
++
(5)
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:

cbaacbbaacbba ++
=
++++
≥
++
+
+ 2
2
)2()3(
4
2
1
3
1

acbbaccbbaccb ++
=
++++
≥
++
+
+ 2
2
)2()3(
4

2
1
3
1

baccbaaccbaac ++
=
++++
≥
++
+
+ 2
2
)2()3(
4
2
1
3
1
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
cba
cbaac
baccb
acbba
==⇔






++=+
++=+
++=+
23
23
23
Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn
đẳng thức sau:

2
.
2
.
2
.4
1
2
.
2
1
2
2
.
2
1
2
2
.
2

1
2
C
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
C
tg
A
tg
C
tg
B
tg
C
tg
B
tg
A
tg
=
+
+
+

+
+
Giải: Đặt
tgx
=
2
,
2
,
2
C
tgz
B
tgy
A
==
thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:

xyzxy
z
zx
y
yz
x
4
1
111
=
+

+
+
+
+
Ta có:
xyzxyz
zxyzxy
zyxzxxy
zy
yzzx
yx
yzxy
zx
xyzx
z
yzxy
z
zxyz
y
zxxy
y
yzzx
x
yzxy
x
xyzxyzxy
z
zxyzzxxy
y
yzzxyzxy

x
xy
z
zx
y
yz
x
4
1
4
111
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
)()()()()()(111
=
++
=









++=








+
+
+
+
+
+
+
+
=
=









+
+
+
+








+
+
+
+








+
+
+
≤
≤
+++

+
+++
+
+++
=
+
+
+
+
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y +
1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của

111 +
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
Q
Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và








++−=
−
+
−
+
−
=
cbac
c
b
b
a
a
Q
411
3
111
Theo bất đẳng thức (1) ta có:

3
1
3
8
3
3

816444
)
11
(
=−≤⇒
=
++
≥+
+
≥++
Q
cbacbacba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:





−=
==
⇔





=
==
⇔






=++
=+
=
1
2
1
3
2
3
6
z
yx
c
ba
cba
cba
ba
Vậy:
3
1
=MaxQ
đạt được khi






−=
==
1
2
1
z
yx
Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

tx
xz
xz
zy
zy
y
yt
x
A
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−

=
11
Với x, y, z, t là các số dương.
Giải : Ta có:

04
)(4
4
4
)(
4
)(
4
11
)(
11
)(
4
4)1()1()1()1
1
(
=−
+++
+++
=
=−
+++
++
+++
+≥

≥−






+
+
+
++






+
+
+
+=
=−
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
=
=−+
+
−
++
+
−
++
+
−
++
+
−
=
tzyz
tzyx
tzyx
zt
tzyx
yx
txzy
zt
xzyt
yx
tx
tz
xz

xy
zy
zt
yt
yx
tx
xz
xz
zy
zy
yt
y
tx
A
Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương
tự:
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:







+
+
+
+
+

≤
++
+
++
+
++






+
+
+
+
+
≤
++
+
++
+
++
bcabcabacacbcba
accbbabacacbcba
2
1
2
1
2

1
2
1
32
1
32
1
32
1
/2
4
1
.
111
)(32
1
)(32
1
)(32
1
/1
Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc =
ab + bc + ca thì:

96
17
32
1
32
1

32
1
<
++
+
++
+
++ bacacbcba
Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y
1≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

xy
xy
yx
A 4
21
22
++
+
=
Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB =
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

bac
ca
acb
bc
cba
ab

T
222 ++
+
++
+
++
=
Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh
rằng:







++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111