Toán 9 dạng bài toán quỹ tích là đường thẳng

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1
Biên soạn: Đặng Thành Trung
Bài giảng số 2: DẠNG BÀI QUỸ TÍCH THUỘC LOẠI ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Quỹ tích là đường trung trực của đoạn thẳng
Ví dụ 12: Cho góc vuông xOy cố định và điểm A nằm trong góc xOy. Một góc vuông
đỉnh A có hai cạnh cắt Ox và Oy lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng trung điểm M
của EF luôn nằm trên đường thẳng cố định khi góc vuông EAF quay quanh A
Bước 1: Dự đoán quỹ tích
+ Khi điểm F

O thì E

H
MJ

+ Khi điểm E

O thì F

G
MI

+ Quỹ tích M có 1 giao điểm cố định
với cạnh Ox, 1 giao điểm cố định với
cạnh Oy nên quỹ tích M là một
đường thẳng
+ Về hai phía của OA ta luôn tìm
được 2 điểm M và
M'

đối xứng với
nhau

Quỹ tích M là đường thẳng
vuông góc với OA (trung trực của
OA)

Bước 2: Chứng minh thuận
+ OM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OEF

EF
2
OM =
(1)
+ AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông AEF

EF
2
AM =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO = MA

Quỹ tích M là đường trung trực của đoạn thẳng OA
(theo quỹ tích cơ bản)
*Giới hạn quỹ tích:
+ Khi điểm F

O thì E

H

MJ



Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2
Biên soạn: Đặng Thành Trung
+ Khi điểm E

O thì F

G
MI

Vậy quỹ tích là đoạn thẳng IJ
Bước 3: Chứng minh phần đảo
Ta thiết lập mệnh đề đảo: Lấy điểm
M'
thuộc đoạn IJ. Quay đường tròn (M; MA) cắt
OH tại
E'
, cắt OG tại
F'
. Chứng minh M’ là trung điểm của
E'F'
và
E'AF' 90
o


Ta có
180 2AM'F' M'AF'
o



180 2AM'E' M'AE'
o




180 2 180 2 360 180 180AM'F' AM'E' M'AE' M'AF'
o o o o o
       


F', M', E'
thẳng hàng

M'
là trung điểm của đoạn
E'F'

- OM’ là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác
OE'F'

E'F'
OM'= M'E'= M'F'
2



Lại có
M'A = M'O
(cách dựng)
M'A = M'E'= M'F'
AE'F'
vuông tại A hay
E'AF' 90
o


Bước 4: Kết luận


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 3
Biên soạn: Đặng Thành Trung
Quỹ tích M là đoạn thẳng IJ
Ví dụ 13: Cho (O) và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A. Điểm M di động
trên d. Kẻ hai tiếp tuyến thứ 2 MB với (O). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp
ΔMAB
.
Tìm quỹ tích điểm I
a) Phần thuận

+ Xét tứ giác OAMB có:
OAM OBM 90 90 180
o o o
   


Tứ giác OAMB nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB đi qua O
Ta có IO = IA (bán kính) mà OA cố định

I nằm trên đường thẳng a là trung trực của
đoạn thẳng OA
Giới hạn: Vì M chuyển động trên d nên quỹ tích I là đường thẳng a
b) Phần đảo
Lấy
I'
thuộc a.
OI'
cắt d tại
M'
. Từ M kẻ tiếp tuyến thứ 2 MB với (O). Chứng minh
I'

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB’.


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 4
Biên soạn: Đặng Thành Trung

Gọi E là trung điểm của OA.
Ta có
EI'
// AM’ suy ra
EI'
là đường trung bình của tam giác OAM’


I'
là trung điểm của
OM'

I'
là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OAM’B’ hay I’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác M’AB’
Kết luận: Quỹ tích I là đường thẳng a
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng a không có điểm chung với (O).
Điểm M di động trên a. Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với (O). Gọi I là tâm đường tròn
ngoại tiếp
ΔMAB
. Tìm quỹ tích điểm I
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + MB = MC + MD.
Bài 3: Cho (O) và điểm A cố định bên ngoài (O). Một đường kính AB thay đổi quay
quanh O. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp
ΔABC
nằm trên đường thẳng cố
định
Bài 4: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ hai đường tròn có bán
kính bằng nhau trong đó một đường đi qua hai điểm A và B, đường còn lại đi qua 2


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 5
Biên soạn: Đặng Thành Trung
điểm B và C. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ 2 là M. Chứng minh M di động trên
một đường cố định khi 2 đường tròn trên thay đổi
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O và một dây AB cố định. Điểm C di động trên cung

AB. Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại D. Gọi O là giao của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với BC. Chứng minh I luôn thuộc đường thẳng cố
định
Bài 6: Cho (O) và hai dây AB // CD. M thuộc cung nhỏ AB, gọi Q là giao điểm của
MD và AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp
ΔCMD
thuộc đường thẳng cố
định
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các
cạnh AB, AC sao cho AM = CN.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định
khác A.
b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN
Bài 8: Cho đường tròn (O; R) cố định và đường thẳng d cắt (O; R) tại hai điểm A, B cố
định. Một điểm M di động trên d và ở bên ngoài đoạn AB. Vẽ các tiếp tuyến MP và MN
với (O; R). Gọi N, P là hai tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng khi M di động, đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua
hai điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
Dạng 2: Quỹ tích là tia phân giác của một góc
Ví dụ 14: Cho góc xOy cố định. Đường thẳng d cố định vuông góc với Ox tại A, điểm
B chuyển động trên đoạn OA. Trên tia Oy lấy điểm C sao cho OC = OB. Đường vuông
góc với BC ại C cắt d ở D. Tìm quỹ tích trung điểm M của BC
Giải
Bước 1: Dự đoán quỹ tích


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 6
Biên soạn: Đặng Thành Trung
+ Khi

B O C O M O    
. Vậy
O thuộc quỹ tích

Quỹ tích chỉ giao Ox, Oy tại
điểm duy nhất là O nên quỹ tích là
một đường thẳng đi qua O
Dự đoán: Quỹ tích M là tia phân
giác Om của góc xOy

Bước 2: Chứng minh thuận
Nối M với C.
CM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông BCD nên CM = MB = MD
Xét

MOB và

MOC có:
- MB = MC (cmt)
- OB = OC (gt)
- OM chung



MOB =

MOC (c.c.c)
BMO =CMO
(góc tương ứng) hay OM là tia phân giác của góc xOy
+ Giới hạn quỹ tích: Vì B chỉ chuyển động trên đoạn thẳng OA nên

- Khi
B O C O M O    

- Khi
B A C E M F    
(dễ thấy F là trung điểm của CE)
Vậy quỹ tích M là đoạn thẳng OF
Bước 3: Chứng minh đảo


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 7
Biên soạn: Đặng Thành Trung
Ta thiết lập mệnh đề đảo như sau: Lấy điểm M’ bất kì thuộc đoạn OF. Quay (M’; M’A)
cắt OA tại B’, cắt Oy tại C’, cắt d tại D’. Chứng minh OA = OB và M’ là trung điểm
của BD và BC

CD (Bạn đọc tự chứng minh)
Bước 4. Kết luận: Quỹ tích M là đoạn thẳng OF
Ví dụ 15: Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên
tia Oy. Dựng hình vuông ABCD nằm trong góc xOy. Chứng minh giao điểm S hai
đường chéo của hình vuông ABCD chạy trên đường cố định

Lời giải:
Xét tứ giác OBSA có:
-
BOA 90
o

(gt)
-

BSA 90
o

(t/c hình vuông)

tứ giác OBSA nội tiếp
45BOS BAS
o

(cùng chắn cung AS)


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 8
Biên soạn: Đặng Thành Trung
BOS AOS
hay OS là tia phân giác của góc xOy. Vậy S nằm trên tia phân giác của
góc xOy
Chú ý: Bạn đọc có thể chứng minh S nằm trên tia phân giác của góc xOy bằng cách từ S
hạ SM, SN lần lượt vuông góc với Ox, Oy. Chứng minh SM = SN
*Giới hạn quỹ tích
- Khi
BO
thì hình vuông ABCD biến thành hình vuông OAEF. Điểm S biến thành
điểm R (R là giao của AF và OE)
Vậy S di chuyển trên tia Em
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Tìm tập hợp tâm đường tròn tiếp xúc
với cả hai đường thẳng đó
ĐS: Quỹ tích là tia phân giác trong và ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng a và b
Bài 2: Cho góc vuông xOy cố định, một tam giác vuông cân có diện tích không đổi, hai

đầu B, C của cạnh huyền di động trên Ox, Oy, hai đỉnh A, O nằm ở hai phía của BC.
Chứng minh A thuộc đường cố định.
ĐS: Quỹ tích là 1 đoạn thẳng nằm trên tia phân giác của góc xOy
Bài 3: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho
OA 1
OB 2

.
Tìm tập hợp điểm M sao cho tỉ số diện tích tam giác MOB và tam giác MOB là
1
2

ĐS: M thuộc tia phân giác Oz của góc xOy trừ điểm O
Bài 4: Cho hai đường thẳng x và y cắt nhau tại O. Tìm tập hợp điểm M sao cho tổng
khoảng cách từ M đến x và y bằng h cho trước
ĐS: Quỹ tích M là 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là 4 cạnh của hình chữ nhật ABCD
nhận O là tâm


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 9
Biên soạn: Đặng Thành Trung
Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc đoạn CD, các đường tròn đường kính
CD và AM cắt nhau ở N; DN cắt BC tại I. Chứng minh rằng trung điểm E của IM thuộc
đường cố định
ĐS: E nằm trên tia phân giác Cz của góc BCD
Bài 6: Cho góc vuông xOy cố định. Một tam giác vuông cân ABC tại A chuyển động
sao cho B

Ox; C


Oy. Tìm tập hợp điểm A biết rằng AB = AC
ĐS: Tia phân giác góc xOy
Bài 7: Cho góc vuông xOy cố định. Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao
cho OA = OB không đổi. Điểm C thuộc đường thẳng OB. Kẻ
BE AC
, BE cắt x tại D.
Tìm tập hợp trung điểm I của DC
ĐS: Quỹ tích I là tia phân giác của góc xOy
Bài 8: Cho hai đoạn thẳng AB và CD có độ dài bằng nhau và không nằm trên hai
đường thẳng song song. Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn
ΔAMB ΔCMD
S S

ĐS: Gọi O là giao của hai đường thẳng AB và CD. Quỹ tích là tia phân giác Ox của góc
hợp bởi AB và CD
Dạng 3: Quỹ tích là đường trung bình cố định, là đường thẳng song song cách đều
Ví dụ 16: Cho góc xOy cố định, 2 điểm A và B chuyển động tương ứng trên Ox và Oy
sao cho OA + OB = m (m không đổi). Chứng minh trung điểm M của AB chuyển động
trên đường cố định
Bước 1: Dự đoán quỹ tích


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 10
Biên soạn: Đặng Thành Trung

- Khi
B O A E  
(E thuộc Ox sao cho OE = m)
MG
(G là trung điểm của OE)

suy ra G là 1 điểm thuộc quỹ tích
- Khi
A O B F  
(F thuộc Oy sao cho OF = m)
MH
(H là trung điểm của OF)
suy ra H là 1 điểm thuộc quỹ tích
- Quỹ tích M giao với Ox hoặc Oy tại 1 điểm duy nhất

Quỹ tích M là đường thẳng
GH là đường trung bình của tam giác OEF)
Bước 2: Chứng minh thuận
Trên tia Ox và Oy lần lượt lấy điểm E và F sao cho OE = OF = m

OEF
cân tại O
Từ B kẻ đường thẳng song song với Ox cắt EF tại

BPF
cân tại B
BP = BF
mà
BF =OA BP = OA
Tứ giác OBPA là hình bình hành


AM = MB; OM = MP


A, M, H thẳng hàng


H thuộc đường trung bình GH của tam giác OEF.
Ta dễ dàng chứng minh được đường trung bình GH cố định và M di chuyển trên đoạn
thẳng GH (giành cho bạn đọc)
Bước 3: Chứng minh đảo
Bạn đọc thiết lập mệnh đề đảo và chứng minh
Bước 4. Kết luận: Quỹ tích M là đường trung bình GH của tam giác OEF


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 11
Biên soạn: Đặng Thành Trung
Ví dụ 17: Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm C chuyển động trên đoạn thẳng AB. Dựng
hai hình vuông ACEF và BCHG nằm cùng phía với nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O
1
và
O
2
là tâm của hai hình vuông trên.
Chứng minh trung điểm I của O
1
O
2
thuộc 1 đường cố định

Kẻ O
1
K, O
2
L, IJ lần lượt vuông góc với AB (K, L, J thuộc AB)
Ta có O

1
K // O
2
L // IJ mà I là trung điểm của O
1
O
2
suy ra IJ là đường trung bình của
hình thang KLO
1
O
2



12
K +O L
==
O
AF+GB AC+BC AB
IJ =
2 4 4 4



I cách AB một khoảng không đổi
AB
4



I nằm trên đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng
AB
4

*Giới hạn


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 12
Biên soạn: Đặng Thành Trung

- Khi điểm C

A thì hình vuông ACEF
suy biến thành điểm A, hình vuông BCHG
biến thành hình vuông ABMN

1
OA
,
2
OO

IP
là trung điểm của OA
- Khi điểm C

B thì hình vuông BCHG
suy biến thành điểm B, hình vuông ACEF
biến thành hình vuông ABMN


1
OO
,
2
OB

IQ
là trung điểm của OB


Kết luận: Điểm I chuyển động trên đoạn thẳng PQ
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Cho đường thẳng a cố định. Tìm tập hợp điểm M là tâm của đường tròn tiếp xúc
với đường thẳng a và có bán kính R không đổi
ĐS: M nằm trên đường thẳng song song với a và cách a 1 khoảng R
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OA. Một
đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên đoạn CI lấy
điểm K bất kì (K khác C vài I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến của
nửa (O) tại M cắt đường thẳng a tại N, BM cắt a tại D.
a) Chứng minh tam giác MNK cân
b) Chứng minh rằng khi điểm K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác AKD luôn nằm trên đường thẳng cố định
(Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Giang năm học 2009 – 2010)
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. M là một điểm bất kì trên đáy BC.Từ M kẻ MD
song song với AB, ME song song với AC (E trên AB, D trên AC). Gọi I là giao điểm
của AM và DE. Tìm tập hợp điểm I khi M chuyển động trên đáy BC.


Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 13
Biên soạn: Đặng Thành Trung

Bài 4: Cho tam giác ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Kẻ DE // AB, DF // AC (E
thuộc AB, F thuộc AC). Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh khi D di động trên
cạnh BC thì M thuộc đoạn thẳng cố định
Bài 5: Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=2 cm. Điểm N di động
trên Oy. Vẽ tam giác AMN vuông cân tại A sao cho M nằm trong góc vuông xOy. Tìm
quỹ tích của M khi N di động trên Oy.
Bài 6: Cho đường tròn (O;R) cố định và đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN
ko trùng với đường kính AB. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B. AM, AN
cắt tiếp tuyến này tại C, D. Gọi I, K là trung điểm của BC, BD. Tìm quỹ tích của tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác AIK.
Bài 7*: Cho hình vuông ABCD, E cố định thuộc đoạn AB. Kẻ EF

CD (F thuộc CD);
M chuyển động trên EF. Kẻ CI

BM; DJ

AM. Gọi N là giao của CI và DJ. Chứng
minh N luôn thuộc 1 đoạn cố định