Tuyển tập các chuyên đề ôn luyện học sinh giỏi THCS môn Toán

TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HSG TRUNG HỌC CƠ SỞ
1
Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử
a) a(x
2
+ 1) – x(a
2
+ 1)
b) x – 1 + x
n + 3
– x
n
HD:
a). a(x
2
+ 1) – x(a
2
+ 1) = ax
2
– a
2
x + a – x = ax(x – a) – (x – a) = (x – a)(ax –
1).
b). x – 1 + x
n
(x
3
– 1) = (x – 1)[1 + x
n
(x
2

+ x + 1)] = (x – 1)(x
n+2
+ x
n+1
+ 1).
Câu 2: (1,5 điểm) Thực hiện phép tính:
2 2
2 2 2 2
x y x y
:
y xy x xy x y xy
 
 


 
 
  
 
 

HD:
+ Điều kiện xác định: (
x 0;y 0;x y;x y
    
).
+
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y x y xy(x y) x y

A : .
xy(x y) x y
y xy x xy x y xy x y
 
 
   
   
 
 
 
   
 
 
Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:
x y
A
x y



HD:
+ Điều kiện xác định: (
x y
 
).
+ Xét 4 trường hợp:
x y x y
*NÕu x 0;y 0 B 1; *NÕu x 0;y 0 B 1;
x y x y
x y x y

*NÕu x 0;y 0 B ; *NÕu x 0;y 0 B
x y x y
  
          
 
  
       
 
Câu 4: (1,5 điểm)
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
2
x 3
M
x 2



có giá trị nguyên.
HD:
+ M có nghĩa khi x

2
   
2 2
x 3 x 4 1 (x 2)(x 2) 1 1
M (x 2)
x 2 x 2 x 2 x 2
x Z,M Z (x 2) ¦(1) 1;1 x 3;1
     
      

   
         
Câu 5: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của
tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD; I là trung điểm của EF;
Chứng minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng.
HD:
2
Câu 1
:
Cho đa thức : P(x) = 2x
4
– 7x
3
– 2x
2
+ 13x + 6
a)Phân tích P(x) thành nhân tử.
b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x

Z.
HD:
a). P(x) = 2x
4
– 7x
3
– 2x
2

+ 13x + 6 = 2x
4
– 6x
3
– x
3
+ 3x
2
– 5x
2
+ 15x – 2x + 6
= (x – 3)(2x
3
– x
2
– 5x – 2) = (x – 3)(2x
3
– 4x
2
+ 3x
2
– 6x +x – 2)
=(x – 3)(x – 2)(2x
2
+ 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1).
b). P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3)
= 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1)
P(x) 6



(Đfcm).
Câu 2:
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE

AB, CF

AD.
Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC
2

Câu 3: Cho phân thức
4 3 2
4 3 2
x x x 2x 2
F(x) (x Z)
x 2x x 4x 2
   
 
   

a)Rút gọn phân thức.
b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:
Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đường cao AH = 120
cm. Tính hai cạnh AB và AC.
Câu 5: Cho 3 số dương a, b, c.
Chứng minh rằng:
1 1 1
(a b c) 9
a b c

 
    
 
 

Câu 6: Cho 3 số dương a, b, c.
Giải phương trình:
a b x b c x c a x 4x
1
c a b a b c
     
   
 

3
Câu 1:
Giải phương trình: (3x – 1)(x + 1) = 2(9x
2
– 6x + 1)
Câu 2: Giải bất phương trình:
x 1 x 4
3
2 2
 
 

Câu 3: Tính giá trị của biểu thức:
2a b 5b a
A
3a b 3a b

 
 
 
Biết 10a
2
– 3b
2
+ 5ab = 0 và 9a
2
– b
2


0.
Câu 4: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
1
P
2 1
  

   
x x x
x x x x
a)Tìm điều kiện xác định của P.
b)Rút gọn P.
c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đường chéo AC.

Câu 6:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC
ta kẻ đường thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.
Chứng minh EF + EG = 2AM.
4
Câu 1:Rút gọn biểu thức:
4 12 9
A
2 6


 
2
2
a a +
a a
Câu 2: Cho biểu thức
0,5 2 8 2
B :
1 0,5 2 2
  
 
  
2 3
a a a
a a a( a)
a)Tìm a để B có nghĩa.
b)Rút gọn biểu thức B.
Câu 3:
1) Giải bất phương trình: (x – 2)(x + 1) < 0.

2) Giải phương trình:
2 2 2 0
   
2
x x x + 1
Câu 4:
Cho biểu thức: A = x
2
+ 6x + 15
a)Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x.
b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất hay lớn nhất đó.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và
AD. Cho
AB DC
MN
2

 . Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đường chéo AC lấy một điểm I. Tia
DI cắt đường thẳng AB tại M, cắt đường thẳng BC tại N.
Chứng minh a)
AM DM CB
AB DN CN
  ; b) ID
2
= IM.IN.
5
Câu 1:
Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

a
2
b + b
2
c + c
2
a +ca
2
+ bc
2
+ ab
2
– a
3
– b
3
– c
3
> 0.
Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
2 3
A
2
 


2
2
x x

x
Câu 3: Giải phương trình:
1 2 3 4
    
x x x
Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc
với cạnh AD và CD tại M và N. Tính các góc của hình thoi ABCD biết rằng
2MN = BD.
6
Câu 1: Cho a – b = 7.
Tính giá trị của biểu thức: a
2
(a + 1) – b
2
(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất:
2
6 3
7 2
2 1 6
9 3
 
  
 
 
x x
Câu 3: Cho biểu thức B =
3
2
2 a 8 2

a :
1 0,5a a 2
2a a

 
 
 
 

 
a)Tìm x để B có nghĩa.
b)Rút gọn B.
Câu 4: Giải phương trình: (x – 2)(x + 2)(x
2
– 10) = 72.
Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5 m, CD = 15 cm,
độ dài hai đường chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đường thẳng
song song với BD cắt CD tại E.
1) Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A.
2) Tính diện tích hình thang ABCD.
Câu 6: Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của góc C cắt cạnh AB tại
D.
Chứng minh rằng: CD
2
< CA.CB
7
Câu 1:Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng:
Nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì : a
2
+ b

2
chia hết cho 13.
Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý.
Chứng minh rằng: 10a
2
+ 5b
2
+ 12ab + 4a – 6b + 13

0. Đẳng thức xảy ra
khi nào?
Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và
ADGH.
Chứng minh:
1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.
Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x
4
+ 2x
3
– 13x
2
– 14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC.
DF và EG là hai đường cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
2)Chứng minh: FG//BC.
Câu 6:

1)Chứng minh rằng phương trình x
4
– x
3
– x – 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phương trình: m
2
x + 1 = x + m (m là tham số)
8
Câu 1: Cho phân thức:
4 2
3
x 2x 1
A
x 3x 2
 

 
1) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Tính x để A < 1.
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức:
2
3
E
x 2x 4

  
Câu 3: Giải phương trình:
1 1

x(x 1) 2


Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD. Gọi E, F lần
lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD; Gọi G
là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC,
1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF.
2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC
2
.
Bài tập tương tự:
1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H. Chứng minh rằng BH.BD = CH.CE = BC
2
.
2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD.
Chứng minh : AD
2
= AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng


2 2
A 2B a b bc.
   
4)Cho tam giác ABC. Biết đường phân giác ngoài của góc A cắt cạnh
BC kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE
2
= EB.EC + AB.AC.

9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x
4
– 3x
3
+ 5x
2
– 9x + 6.
1)Trong trường hợp x là số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) chia hết
cho 6.
2)Giải phương trình P(x) = 0.
9 Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác.
Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p;
2) p < MA + MB + MC + MD < 3p.
9 Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1.
1) Nếu
x y z
a b c
 
. Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0.
2) Nếu a
3
+ b
3
+ c

3
= 1. Tìm giá trị của a, b, c.
9 Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại
H.
1) So sánh hai góc BAH và CAH.
2) So sánh hai đoạn thẳng BD và CE.
3) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
9
Câu 5: Giải phương trình:
x 1 2 x 1 x
   
9
Câu 6: Giải phương trình:
x a x b x c 1 1 1
2
bc ac ab a b c
  
 
    
 
 
(Trong đó x
là ẩn)
10 Câu 1: Giải phương trình: x
4
+ 2x
3
– 4x
2
– 5x – 6 = 0

10
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 3 3
2 2 2 2
x y xy x y
A :
x y x y 2xy
  

  
10 Câu 3:
Chứng tỏ rằng bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
2
4
5 0
x 2x 2

 
 

10
Câu 4: Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
x 4x 1
A
x
 

10 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa

mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE.
1)Chứng minh rằng

0
B 45

.
2)Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông
cân.
3)Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và
AQ. Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng.
4)Chứng minh rằng HE // QK.
11 Câu 1: (3đ)
Chứng minh biểu thức P =
2 2 2
2 2 2
(x a)(1 a) a x 1
(x a)(1 a) a x 1
   
   
không phụ thuộc vào
biến x
11 Câu 2: (2đ) Giải phương trình: x
3
+ 12 = 3x
2
+ 4x
11
Câu 3: (2đ) Giải phương trình:
2

2
1 8x 4x 32x
0
4 8x 12x 6
3(4 16x )

  
 

11 Câu 4: (5đ) Cho ba phân thức:
2 2 2
2 2 2
4xy z 4yz x 4xz y
A ; B ; C
xy 2z yz 2x xz 2y
  
  
  
Trong đó x, y, z đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1.
11 Câu 5: (4đ)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song
với BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đường thẳng song
song với AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt
BC ở P. Chứng minh rằng: MP//CD.
11 Câu 6: (4đ)
Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB.
1)Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
2)Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đường đặc biệt nào

của tam giác ABC? Giải thích vì sao?
12 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 6x
3
+ 13x
2
+ 4x – 3.
12 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
12 Câu 3: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
12 Câu 4: Giải phương trình: (4x + 3)
3
+ (5 – 7x)
3
+ (3x – 8)
3
= 0.
12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ac

a
2
+ b
2
+ c
2

< 2(ab + ac + bc)
12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)
2
= 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam
giác đều
12 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đường
thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM =
FE.
12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao
cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC.
1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2)Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại I và J.
Chứng minh rằng:
AB AC
6
AI AJ
 
.
13 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x
2
+ x)
2
– 2(x
2
+ x) – 15
13 Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a + b + c)
3
– a
3

– b
3
– c
3
.
13
Câu 3: Giải phương trình:
2 3
2 1 2x 1
x 1
x x 1 x 1

 

  
13 Câu 4:
Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a

b, c

d. Chứng minh: ac + bd

bc
+ ad.
13 Câu 5:
Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết
góc FAE = 45
0
. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình
vuông ABCD.

13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO,
BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng
OA OB OC
2
AP BQ CR
  
.
14
Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn
 
1 1 1
a b c 1
a b c
 
    
 
 

Tính giá trị của biểu thức: (a
23
+ b
23
)(b
5
+ c
5
)(a
1995
+ c
1995

)
14 Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức
lần lượt là: (x – 1); (x – 2); (x – 3) đều có số dư là 6 và tại x = – 1 thì đa thức
nhận giá trị là (– 18).
14 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD
lần lượt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số
đo của góc MCN?
15
Câu 1: Cho biểu thức:
2a 1 5 a
A
3a 1 3a 1
 
 
 
1)Tính giá trị của A khi
1
a
2

 .
2)Tính giá trị của A khi 10a
2
+ 5a = 3.
15 Câu 2: Giải phương trình : x
4
+ 2x
3
+ 5x
2

+ 4x – 12 = 0.
15 Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các
tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc
COD = 90
0
.
1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng.
2) Chứng minh : CD = AC + BD.
3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng MN//AC.
16
Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức:
5n 11
A
4n 13



là số tự
nhiên.
16 Câu 2:
Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng B = n
3
+ 6n
2
– 19n – 24 chia hết cho
6.
16
Câu 3: Tính tổng

1 1 1
S(n) (n N)
2.5 5.8 (3n 1)(3n 2)
    
 

16 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC,
AB, CB lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với
AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng
minh:
1) IM.IN = ID
2
.
2)
KM DM
KN DN
 .
3) AB.AE + AD.AF = AC
2
.
16
Câu 5:Giải phương trình :
x 1 x 2 x 3 14
     

16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x
3
+ xy = 7.
16 Câu 7: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh:
a b c d

1 2
a b c b c d c d a d a b
    
       

16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đường cao AH = h. Từ một điểm M
trên đường cao AH vẽ đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC
lần lượt tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.
17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
– 7x – 6
17 Câu 2: (6đ)
Một trường tổ chức lần lượt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng được
18 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm
1/11 số cây còn lại. Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn
lại. Cứ như thế các lớp trồng hết số cây và số cây trồng được của mỗi lớp
bằng nhau. Hỏi trường đó đã tồng được bao nhiêu cây?
17 Câu 3: (4đ)
Cho biểu thức:
3
3
x 1 x 1
x 1 x 1
A
x
1
1 x
 


 



Hãy viết A dưới dạng tổng của một biểu thức nguyên và một phân thức với
bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu.
17 Câu 4: (4đ) Chứng minh rằng “Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác
thì lớn hơn
3
4
chu vi và nhỏ hơn chu vi của chính tam giác ấy”.
17 Câu 5: (4đ)
Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON,
NOP, POQ, QOM có diện tích bằng nhau.
1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.
2) Chứng minh O nằm trên đường chepos NQ hoặc đường chéo MP của tứ
giác MNPQ.
18 Câu 1: (4đ)
Rút gọn biểu thức: A = 75(4
1993
+ … + 4
2
+ 5) + 25.
18 Câu 2: (3đ)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
B
1


 
x x
18 Câu 3: (3đ)
Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và
1 1 1
2
a b c
  
thì
2 2 2
1 1 1
2
a b c
  
18 Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dương n để: n
1988
+ n
1987
+ 1 là số nguyên tố.
18 Câu 5: (3đ)
Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC, O là giao điểm của hai tia phân giác trong của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: GO//AC.
18 Câu 6: (5đ)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM, trên
tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN. Gọi I là giao điểm của AM
và BN.
Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm.
19 Câu 1: Chứng minh rằng: 21

30
+ 39
21
chia hết cho 45.
19 Câu 2: Cho a, b, c là ba số dương.
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
 
  
  
19 Câu 3: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2

+ z
2
)
19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đường
thẳng d song song với DM. Đường thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P.
Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C.
19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Người ta lần

lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
AM BN CP
k (k 0)
MB NC PA
   
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k.
Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
20 Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức:
m n n p p m p m n
S
p m n m n n p p m
  
  
    
  
  
  
20 Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 1985
1986
. Hỏi tổng của haio số đó có
phải là bội của 1986 hay không?
20 Câu 3: Một người đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó
có một người đi xe gắn máy khác từ B đến A. Sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu
sau khi đi được 1giờ 15 phút mà người đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi
tiếp thì phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai người mới gặp nhau.
Tính vận tốc cua mỗi người?
20 Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh
rằng nếu các tam giác AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ
giác ABCD là hình thoi.
20 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dường chéo cắt nhau tại O. Kí hiệu S là diện

tích. Cho S
AOB
= a
2
(cm
2
) và S
COD
= b
2
(cm
2
) với a, b là hai số cho trước.
1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S
ABCD
?
2) Giả sử S
ABCD
bé nhất. Hãy tìm trên đường chéo BD một điểm M sao cho
đường thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đường chéo
AC, BD chia thành ba phần bằng nhau
21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là một số chính phương.
21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a – x)y
3
– (a – y)x
3
+ (x – y)a

3
.
21
Câu 3: Giải phương trình:
2 2
1 1 1
6
x 4x 3 x 8x 15
 
   
21 Câu 4: Giải phương trình: x
4
+ 2x
3
+ 8x
2
+ 10x + 15 = 0.
21 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đường phân giác
của góc ACB (D thuộc cạnh AB). Qua D kẻ đường vuông góc với CD; đường
này cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh: EC = 2BD.
21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 20
0
; cạnh đáy là a,
cạnh bên là b. Chứng minh: a
3

+ b
3
= 3ab
2

.
22
Câu 1:Giải phương trình:
2 2x 5 3 7
  
22
Câu 2: Giải phương trình:
315 x 313 x 311 x
3
105 103 101
  
  

22
Câu 3: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
x x x 1
A
x x 2x x 1
  

   
1) Rút gọn A.
2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của cạnh AB, BC. Các đường thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng
minh:
1) Tam giác CIN vuông.

2) Tính diện tích tam giác CIN theo a.
3) Tam giác AID cân.
23
Câu 1: (3đ) Cho phân thức:
5 4 3 2
2
x 2x 2x 4x 3x 6
M
x 2x 8
    

 
1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa.
2). Tìm các giá trị của x để M = 0.
3). Rút gọn M.
23
Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất:
2
2
x 2x 1995
A (x 0)
x
 
 

23
Câu 3: (5đ) chứng minh rằng:





n *
10 9n 1 27 n N
  
23 Câu 4: (7đ) Cho tứ giác ABCD có: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, và
BD vuông góc với BC.
1). Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
2). Tính các góc trong của tứ giác ABCD.
2). So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD.
24
Câu 1: Rút gọn rồi tính giá tị của biểu thức:
3 2
2a 12a 17a 2
A
a 2
  


Biết rằng a là nghiệm của phương tình:
2
a 3a 1 1
  

24 Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tương ứng của x với:
 
2
B 3x 1 4 3x 1 5
    

24
Câu 3: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
1
a b c
3
  
24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đường thẳng. Trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH.
1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE
và OBC đồng dạng.
2). Chứng minh rằng các đường thẳng CE và DF cùng đi qua O.
24 Câu 5:
Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD
sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE.
Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC.
25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của
tổng các chữ số của nó.
25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của
tam giác để biểu thức sau :
a b c
A
b c a a c b a b c
  
     
đạt giá trị
nhỏ nhất.
25 Câu 3: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: S = (x – 1)
1995

+ y
1996
+ (z + 1)
1997
.
25 Câu 4: Cho hihf vuông ABCD cạnh a. Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm
N di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a.
Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính
giá trị lớn nhất đó.
25
Câu 5: Cho tam giác ABC có


0
3A 2B 180
  . Tính số đo các cạnh của tam
giác ABC biết các số đo ấy là ba số tự nhiên liên tiếp.
26
Câu 1:Chứng minh rằng nếu:
1 1 1 1
a b c a b c
  
 
thì (a + b)(b + c)(a + c) =
0.
26
Câu 2: a) Giải phương trình:
3 x 3 2 x 2 x 1 4
     
.

b) Giải phương trình: x
4
+ 7x
2
– 12x + 5 = 0.
26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng
mỗi đối thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số
trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
26 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy điểm M, N sao
cho BM = DN. Gọi I là giao điểm cua BM và DN. Chứng minh IA là phân
giác của góc DIB.
26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB. Gọi E và F lần lượt là chân
đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD.
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
27 Câu 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
–

4abc.
27 Câu 2: Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x
2
+ x – 6.
27 Câu 3: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, chứng minh rằng:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b a)(b c) (c b)(c a) a b b c c a
  
    
        
27 Câu 4: Giải phương trình: m
2
x + 2m = 4x + m
2
. (với x là ẩn).
27 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh
AC. Kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là
điểm đối xứng với C qua H. Kẻ Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của
Ky với AB. Tính góc AIM?
28 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
4
+ 1997x
2
+ 1996x + 1997.
b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc.
28 Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz.
Biết:
a b c
x ; y ; z

b c a c a b
  
  
28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120.
28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M,
N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với
AM cắt nhau tại F. Chứng minh:
1). Tứ giác ANFM là hình vuông.
2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 90
0
.
3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm
FA).
28 Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là
đỉnh và Q là trung điểm của cạnh AB.
29 Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn điều kiện: a
2
– b
2
= c
2

– d
2
.
Chứng minh rằng S = a + b + c + d là hợp số.
29 Câu 2: chứng minh rằng nếu a, b là hai số dương thoả mãn điều kiện a + b = 1
thì:
3 3 2
a b 2(b a)

b 1 a 1 (ab) 3

 
  
29 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
4
+ 1996x
2
+ 1995x + 1996.
29 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia
phân giác của các góc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh
CD tại F. Chứng minh AM vuông góc với FE.
29 Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D,
trên tia đối của tia CA lấy điểm E, sao cho BD = CE. Gọi N là trung điểm của
cạnh BC. Vẽ hình bình hành ECNK và hình bình hành BDFN. Gọi M là giao
điểm của DE và FK. Tìm quỹ tích điểm M khi D và E di động.
30 Câu 1: Cho biểu thức:
4 3 2
x 10
B
x 9x 9x 9x 10


   
a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b). Rút gọn biểu thức B.
30 Câu 2: Chứng minh rằng: A = n
8
+ 4n
7

+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4
chia hết cho 16, với
mọi n là số nguyên.
30 Câu 3:
1). Giải phương trình:
3 3 3
4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1)

 
   
2). Giải bất phương trình:
x 1 4 x
2
2 2
 
 
30 Câu 4: Giải và biện luận phương trình sau
x a 1 x b 1 a
x a x b (x a)(x b)
   
 
   
Trong đó a, b là hằng số.
30 Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm,
cạnh xiên BC = 13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB. Đường

thẳng vuông góc với BC tại M cắt AD tại N.
1). Chứng minh rằng điểm N nằm trên tia phân giác của góc ABM.
2). Chứng minh rằng: BC
2
= BN
2
+ ND
2
+ DC
2
.
3). Tính diện tích hình thang ABCD.
31 Câu 1: Giải phương trình:








2 2
2 2 2 2
2x x 1998 4 x 3x 950 4 2x x 1998 x 3x 950
         
31 Câu 2: Tính giá trị của đa thức: f(x) = 6x
4
– 7x
3
– 22x

2
+ 7x + 2004, với x là
nghiệm của phương trình 6x
2
+ 5x = 6.
31
Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)
       

31 Câu 4: Chứng minh đẳng thức:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b) (b c) (c a)
  
    
        
31 Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. Các đường
phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I.
1). Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.
2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh IG//BC và suy ra độ
dài của đoạn thẳng IG.
31 Câu 6:
1). Cho tam giác ABC có góc A = 30
0
. Dựng ra bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh rằng: AD
2
= AB
2

+ AC
2
.
2). Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của một đa giác có
số đo là 47058,5
0
. Tính số cạnh của đa giác?.
32 Câu 1:
1). Chứng minh rằng với mọi số nguyên chẵn n thì: n
3
+ 20n chia hết cho 48.
2). Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – a)b
3
– (x – b)a
3
+ (a – b)x
3
.
32 Câu 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có:
2 2 2
19
a 9b c 2a 12b 4c
2
     

32 Câu 3:
Cho x, y, z là ba số thoả mãn điều kiện:
2 2 2
3 3 3
x y z 1

x y z 1
x y z 1
  


  


  

Hãy tính giá trị của biểu thức:
17 9 1997
P (x 1) (y 1) (z 1)
     
32 Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là
hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH.
Chứng minh rằng AO vuông góc với IB.
32 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lượt trêncác tia
AB và AC sao cho AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng: EK > BC.
33 Câu 1:
1). Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
– 4x + 3 bằng hai cách.
2). Cho A(x) = 8x
2
– 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho
B(x).
33 Câu 2: Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
(x a)(x 5) 0
  

33
Câu 3: Giải phương trình:
2
x 1 a(x 1) 0
   

33 Câu 4: Cho hình vuông ABCD trên BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM. Trên
tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho BC = 2CN. Cạnh AM cắt BN tại I và
CI cắt AB tại K. Gọi H là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh K, M, H
thẳng hàng.
33 Câu 5: Cho hình thang can ABCD (AB//CD) có AC = 6 cm, góc BDC = 45
0
.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính diện tích hình thang ABCD bằng
hai cách.
34 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). x
8
+ 3x
4
+ 4 . 2). x
6
– x
4
– 2x
3
+ 2x
2

34 Câu 2: Cho biểu thức:

2
2
2x 3y 6 xy x 9
A
xy 2x 3y 6 xy 2x 3y 6
x 9
  
  
     

a). Tìm x, y để biểu thức A có nghĩa.
b). Rút gọn biểut thức A.
34 Câu 3:
Cho 3 số a, b, c thoả mãn:
3 2 3 2 3 2
1
a b b b c c c a a
3
        
Chứng minh rằng a = b = c.
34 Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm K của đường chéo BD dựng
đường thẳng song song với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AD tại E.
Chứng minh rằng CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
34 Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh của nó.
35 Câu 1:
1). Chứng minh rằng: 8351
634
+ 8241

142
chia hết cho 26.
2). Chứng minh rằng A là số chính phương, biết rằng A có dạng:

ˆ
ˆ ˆ
999 so 6
1998so 1 1000so 1
A 11 1 11 1 66 6 8

 
   
 

35
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
4
4 2
x 1
B
x 2x 1


 
35 Câu 3:
Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn đẳng thức:
a b c a c b b c a
c b a
     
 

Tính giá trị của biểu thức:
(a b)(b c)(a c)
P
abc
  

.
35 Câu 4: Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua trung
điểm các cạnh AB và AD kẻ những đường vuông góc theo thứ tự với các cạnh
CD và CB. Chứng minh rằng hai đường thẳng vuông góc này và đường thẳng
AC đồng quy.
35 Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a. Hãy xác định
vị trí của điểm M trên đường thẳng CD sao cho:
1). Đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.
2). Đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D
có diện tích bằng (n – 1) lần diện tích phần kia(n là số tự nhiên lớn hơn 2).
36 Câu 1:
Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2
1 1 1 1
A 1 1 1 1
2 3 4 1998
     
    
     
     

36 Câu 2: Phân tích đa hức thành nhân tử:
1). x
2

– x – 12
2). x
2
+ 8x + 15
36
Câu 3: Chứng minh rằng:
(x 1)(x 3)(x 4)(x 6) 10 1
     

36 Câu 4: Giải phương trình: x
4
+ 2x
3
– 4x
2
– 5x – 6 = 0.
36 Câu 5:
Cho tam giác ABC (BC < AB). Từ C vẽ đường vuông góc với đường phân
giác BE tại F và cắt AB tại K; Vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G.
Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của đoạn thẳng GE.
37 Câu 1: (3,5đ)
Cho biểu thức:
2 2
2 2 3
2 x 4x 2 x x 3x
A :
2 x 2 x
x 4 2x x
   
  

  
   
 
 
   
1). Rút gọn biểu thức A.
2). Tìm giá trị của x đê A dương.
3). Tìm giá trị của A trong trường hợp
x 7 4
 

37 Câu 2: (3,5đ)
Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
1). Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC.
2). Gọi CD là đường phân giác của tam giác ACH. Chứng minh tam giác
ACD cân.
3). Chứng minh rằng: BC
2
+ CD
2
+ BD
2
= 3CH
2
+ 2BH
2
+ DH
2
37 Câu 3: (1,5đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trên cạnh BC. Gọi

E và F lần lượt là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. Xác định M
trên BC để tổng BE + CF lớn nhất.
37 Câu 4
37 Câu 5:
38 Câu 1:
1). Xác định giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm:

2
(m 3m 2)x 3 2m
   
2). Giải và biện luận phương trình ẩn x sau:
x 2 x 1
x m x 2
 

 
38
Câu 2: Cho
a b c 0
  
. Chứng minh rằng:
a b c b a c
b c a a c b
    
38 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh BC
kẻ DE, DF vuông góc với AB, AC tại E và F. Chứng minh: EA. EB + FA.FC
= DB.DC.
38
Câu 4: Giải phương trình:
2 2

2 2
12x 12x 11 5y 10y 9
4x 4x 3 y 2y 2
   

   
38 Câu 5: Cho hình thoi ABCD có góc A = 60
0
. Gọi M là một điểm thuộc cạnh
AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N.
1). Chứng minh: AB
2
= DM.BN.
2). BM cắt DN tại P. Tính góc BPD.
38 Câu 6:
Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 và
0 a 2;0 b 2;0 c 2
     
.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2


5.
39 Câu 1:
1). Rút gọn biểu thức:

2 4 8 16
1 1 2 4 8 16
A
1 x 1 x
1 x 1 x 1 x 1 x
     
 
   
2). Cho biểu thức:
2
2 2
2
2 2
1 1
x 9
x 9 x 9
B
1 1
x
x 9 x 9


 
 

 
a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b). Rút gọc biểu thức B.
39 Câu 2: Giải phương trình:
1). x

3
+ 3x
2
+ 2x + 6 = 0. 2).
2
x 1 a(x 1) 0
   

39 Câu 3: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
a b c
2
b c a c a b
  
  
39 Câu 4: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên BC
lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD.
Chứng minh rằng: FD = FC.
39 Câu 5:
Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC.
Chứng minh rằng: BC < MC.AB + MB.AC.
39 Câu 6: Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đường chéo không đổi là d.
Hãy tìm diện tích hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
40 Câu 1:
1). Tính: S = 1
2
– 2
2
+ 3
2

– 4
2
+ …+ 99
2
- 100
2
+ 101
2
.
1). Cho a + b + c = 9 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 53. Tính P = ab + ac + bc.
40 Câu 2: Cho a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn: a + b + c + d = 0.
Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)(ab – cd).
40 Câu 3: Chứng minh rằng với ba số thực a, b, c tuỳ ý thì:
a
2
+ 4b

2
+ 3c
2
> 2a + 12b + 6c – 14.
40 Câu 4: Cho góc xOy = 60
0
. Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm tuỳ ý B
và C. Chứng minh rằng:
OB OC 2BC.
 

40 Câu 5:
Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của cạnh AB và CD.
Chứng minh rằng nếu: BC + AD = 2MN thì ABCD là hình thang.
41 Câu 1: Giải phương trình:
1).
2 2
2 2
x x x x 2
1
x x 1 x x 2
  
 
   
2).
2 2
x 5x 5 10x 2x 11
    

41 Câu 2: Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau.
1). Tính:
ab bc ac
S
(b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c)
  
     
2). Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
a b c
2
(b c) (c a) (a b)
  
  
.
41 Câu 3: Cho ba số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất
kỳ trong ba số đó không bé hơn tích của ba số đó.
41 Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A (Â < 90
0
). Từ B kẻ BM vuông góc với
AC.
Chứng minh rằng:
2
AM AB
2 1.
MC BC
 
 
 

 
41 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của BO, AO. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho tia
FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:
AB BC
1). 4 2). BE AK BC
BF BE
   
42 Câu 1: Phân tích thành nhân tử:
1). x
2
– 6x – 16. 2). x
3
– x
2
+ x + 3.
42
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 2
x yz y xz z xy
A
(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)
  
  
     
42
Câu 3: Cho
a 1; a c 1999; b 1 1999.
    
Chứng minh:

ab c 3998
 
.
42 Câu 4: Tìm x, y, z thoả mãn phương trình: 9x
2
+ y
2
+ 2z
2
– 18x + 4z – 6y +
20 = 0.
42 Câu 5: Cho tam giác ABC (BA = BC). Trên cạnh AC chọn một điểm K nằm
giữa A và C. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho: CE = AK.
Chứng minh rằng BK + BE > BA + BC.
42 Câu 6: Cho tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác.

Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không
phụ thuộc vị trí của điểm M.
43
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
A x x
3
  
43
Câu 2: Cho biểu thức:


2

2
3 3
2
1 x
1 x 1 x
B : x x
1 x 1 x
1 x

 
  
 
  
 
  
 

  
 
a). Tìm x để B có nghĩa.
b). Rút gọn B.
c). Chứng minh B luôn dương với mọi x thoả mãn điều kiện xác định của B.
43 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, và E là một điểm bất kỳ trên
BC (E khác B và C). Hai đường thẳng AE và CD cắt nhau tại F. Tia Ax
vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại I.
1). Chứng minh dóc AEI = 45
0
.
2). Chứng minh:
2 2 2

1 1 1
AB AE AF
 
3). Chứng minh diện tích tam giác AEI không nhỏ hơn
2
a
2
43 Câu 4: Cho hinh bình hành ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE và CF lần lượt
vuông góc với các đường thẳng AB, AD (E thuộc AB và F thuộc AD).
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
43 Câu 5:
44 Câu 1:
Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab với 2a > b > 0. Tính giá trị của biểu thức:
2 2
ab
P
4a b


44 Câu 2:
Giải và biện luận phương trình (ẩn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x.
44 Câu 3: Phân tích thành nhân tử: A = x
3
+ y

3
+ z
3
– 3xyz.
44 Câu 4: Trong một cuộc đua ôtô có 3 xe khởi hành cùng một lúc. Xe thứ hai
trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km
nên đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và đến sớm hơn xe thứ ba 3 phút.
Tính vận tốc mỗi xe, quãng đường đua va thời gian chạy của mỗi xe.
44 Câu 5:
Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Một điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MD vuông
góc với AB, ME vuông góc với AC. Chứng minh rằng tổng MD + ME không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC.
44 Câu 6: Cho góc nhọn xAy. Tìm tập hợp các điểm M có tổng các khoảng cách
đến hai cạnh Ax và Ay bằng một số cho trước.
44 Câu 7: Cho tam giác ABC, qua một điểm O tuỳ ý trong tam giác kẻ các tia
AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm M, N, và P.
Chứng minh rằng:
OM ON OP
1
AM BN CP
  
.
45 Câu 1: Giải phương trình:
1). (x + 2)(x + 3)
2
(x + 4) = 12.
2).
2x 1 3 x 1 2x 6
    
.

45 Câu 2:
1). Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE. Chứng minh: góc AED = góc
ACB.
2). Cho tam giác ABC coa đường phân giác AD.
Chứng minh: AD
2
= AB.AC – DB.DC.
45 Câu 3:
1). Cho đa thức bậc hai: P(x) = ax
2
+ bx + c.
Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
2).Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện:
1 1 1 1
a b c a b c
  
 
Tính






25 25 3 3 2000 2000
a b b c c a  
45 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â < 90
0
). Dựng ra bên ngoài tam giác ABC các
hình vuông ABDE và ACFG. Dựng hình bình hành AEIG. Chứng minh:

1)
ABC GIA
  
và CI = BF.
2) Ba đường thẳng AI, BF, CD đồng qui.
45 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x
2
+ 2y
2
+ 4xy – 2x + 4y +
2005
46 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
– 5x
2
+ 8x – 4
46
Câu 2:
x y z a b c
Cho 1 vµ 0.
a b c x y z
     

Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
  

46 Câu 3: Giải phương trình:
1). x
2
+ 8x – 20.
2).
x 2 x 1 3 x 2 4
    
46 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh
rằng:
DB EC FA
1) . . 1.
DC EA FB
1 1 1 1 1 1
2)
AD BE CF BC AC AB

    
46 Câu 5:
47
Câu 1: Rút gọn phân thức:
3 3 3
a b c 3abc
A
a b c
  

 
47 Câu 2: Giải phương trình: x
3

+ x
2
+ 4 = 0
47 Câu 3: Chứng minh rằng nếu: abc = 1 thì
a b c
1
ab a 1 bc b 1 ac c 1
  
     

47
Câu 4:
5 5 4 4
Cho x,y 0 vµ x y 0. Chøng minh: x y x y xy
     
47 Câu 5: Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AE = 2EC. Gọi O là giao điểm của CD và BE. Chứng minh
rằng:
1). Hai tam giác BOC và AOC có diện tích bằng nhau.
2). BO = 3.EO.
48 Câu 1:
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC, biết
b c a
1 1 1 8
a b c
   
   
   
   
. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

48
Câu 2: Giải phương trình:
2
x 3x 2 x 1 0
    

48 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
y

+ xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+
2xyz
48 Câu 4:
Xác định các giá trị của x, y để có đẳng thức: 5x
2
+ 5y
2
+ 8xy + 2y – 2x + 2 =
0.

48 Câu 5: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD người ta lấy một điểm tuỳ ý E.
Tia phân giác của góc CDE cắt BC tại K. Chứng minh: AE + KC = DE.
49 Câu 1:
Giải phương trình:
2
2 2 6
x 1 x 1 2(x 2)
x x 1 x x 1 x 1
  
 
    
49 Câu 2:
Tìm giá trị của x để biểu thức
2
x
A(x)
(x 1999)


(với x > 0) đạt giá trị lớn
nhất.
49 Câu 3:
1). Chứng minh rằng nếu x > 0, y > 0 thì:
1 1 4
x y x y
 

2). Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
1 1 1 1 1 1
a b c b c a a c b a b c

    
     
49 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 90
0
) đường cao AH, trung tuyến BM, phân
giác CD cắt nhau tại một điểm.
1). Chứng minh:
BH CM AD
. . 1
HC AM BD

.
2). Chứng minh: BH = AC.
49 Câu 5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài các
đường phân giác của tam giác đó. Chứng minh:
1 1 1 1 1 1
x y z a b c
    
.
50 Câu 1: Trong một cái hộp đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa
số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy ra thêm 1/3 số táo còn lại và lấy thêm 4 quả.
Cuối cùng trong hộp còn lại 12 quả. Hỏi trong hộp lúc đầu có bao nhiêu quả
táo.
50 Câu 2: Cho a > 0, b > 0 và c > 0. Chứng minh:
1 1 1 3
b c a c a b a b c
  
    
50 Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho biết AB = 5 cm, BH =

3 cm. Tính BC ?
50 Câu 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AC tại E
và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC
và BF.
Chứng minh rằng: SC
2
= SE.SA
50 Câu 5:
51 Câu 1:
Giải phương trình:
2 3
1 9x 1
x 3
x 3x 9 x 27
 

  
51 Câu 2: Chứng minh đẳng thức sau:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
a 3ab 2a 5ab 3b a an bn ab
a 9b 6ab a 9b 3bn a an 3ab
     
 
     
51 Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo
BD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.
1). Tứ giác BEDF là hình gì? chứng minh điều đó.
2).Gọi CH và CK lần lượt là đường cao của tam giác ACB và ACD.
a). Chứng minh:

CH CK
CB CD
 .
b). Chứng minh hai tam giác CHK và ABC đồng dạng với nhau.
c). Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC
2
.
51 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB và CD lần lượt lấy các
điểm M và K sao cho AM = CK. Trên đoạn AD lấy điểm P tuỳ ý. Đoạn thẳng
MK lần lượt cắt PB và PC tại E và F. Chứng minh rằng:
P FE BME CKF
S S S
 

51 Câu 5:
52 Câu 1: Phân tích thành tích: a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc.
52 Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + xy – x
2
– y
2
và các giá
trị tương ứng của x và y.
52 Câu 3:
1). Giải phương trình: 3x

3
+ 4x
2
+ 5x – 6 = 0.
2). Giải bất phương trình:
x 3
2
x 2



.
52 Câu 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B

A, B

C). Vẽ tia Bx vuông góc với AC, trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E
sao cho BD = AB và BE = BC.
1). Chứng minh rằng: CD = AE và CD vuông góc với AE.
2). Gọi M là trung điểm của AE, N là trung điểm của CD, I là trung điểm của
MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AC không đổi khi B di chuyển
trên đoạn AC.
3). Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng điện tích hai tam giác
ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất này theo m.
52 Câu 5: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ CH vuông góc
với CM. Vẽ HN vuông góc với DH (N thuộc BC).
1). Chứng minh rằng hai tam giác DHC và NHB đồng dạng với nhau.
2). Chứng minh rằng: AM.NB = NC.MB.
53 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:
2

2 2
3 2 2
x 25 y 2
A : BiÕt: x 9y 4xy 2xy x 3
x 10x 25x y y 2
 
     
   
53 Câu 2: Giải phương trình: 2x
3
+ 3x
2
+ 2x – 2 = 0.
53 Câu 3:
1). Chứng minh rằng: x
2
+ xy + y
2
– 3x – 3y + 3

0.
2). Chứng minh rằng: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a)

abc, với a, b, c là độ
dài 3 cạnh của một tam giác.
53 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC
và AD. K là một điểm bất kỳ nằm giữa C và D. Gọi P và Q theo thứ tự là các
điểm đối xứng của K qua tâm M và N.
1). Chứng minh rằng Q, A, B, P thẳng hàng.
2). Gọi G là giao điểm của PN và QM. Chứng minh GK luôn đi qua điểm I cố

định khi K thay đổi tên đoạn CD.
53 Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H. Chứng minh rằng:
1). Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC.
2). H là giao điểm các đường phân giác của tam giác FED.
54 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). x
3
– 5x
2
+ 8x – 4
2).
2 2
1 2 1
3x y y
3 3 3
  
54 Câu 2: Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y – 4z - 14
54 Câu 3:
Cho biểu thức:
2
2 2 3 3
x 1 2 3 x 2 6x 3x
A : 2 x

x 1 x
x 1 x 1 x 2x
  
 
     
 

  
 

1). Rút gọn biểu thức A.
2). Tìm các giá trị của x để A có giá trị âm.
54 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài của tam giác ta vẽ các
hình vuông ABDE và ACGH.
1). Chứng minh rằng tứ giác BCHE là hình thang cân.
2). Kẻ đường cao AH
1
của tam giác ABC. Chứng minh các đường thẳng AH
1
,
DE và GH đồng quy.
54 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và
K lần lượt là trung điểm của AH và CD. Chứng minh rằng BM vuông góc với
MK.
55 Câu 1: Giải bất phương trình:
1). x
2
– 3x > 0.
2).
x 2 1

 

55 Câu 2: Chứng minh cá bất đẳgn thức:
1). a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
.
2). a
4
+ b
4
+ c
4


a
2
b
2
+ b
2
c
2

+ a
2
c
2
55 Câu 3:
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức sau:
2
x x 6
y
x 1
 


55 Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho biết AH = 3 cm, CH =
4 cm.
1). Tính AC và AB.