Đạo hàm riêng 1
Mục lục
1 Đạo hàm riêng 1
2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến 5
3 Gradient và đạo hàm theo hướng 6
1 Đạo hàm riêng
• Đạo hàm riêng theo biến x, xem y là tham số, cho y = y
0
, thay vào f(x, y)
thu được g(x), tính g
.
• Đạo hàm riêng theo biến y, tương tự xem x là tham số.
• Thực hiện tương tự với hàm n ≥ 3 biến.
• Định lí cơ bản của phép tính tích phân:
– Cho F (x) =
ψ(x)
ϕ(x)
f(t)dt, với f(t) là hàm số liên tục.
– Khi đó:
F
(x) =
d
dx
ψ(x)
ϕ(x)
f(t)dt = ψ
(x)f(ψ(x)) − ϕ
(x)f(ϕ(x))
1. Tính
∂f
∂x
và
∂f
∂y
của các hàm số được cho sau:
(a) f(x, y) = 2x
2
− 3y −4
(b) f(x, y) = x
2
− xy + y
2
(c) f(x, y) = (x
2
− 1)(y + 2)
(d) f(x, y) = 5xy −7x
2
− y
2
+ 3x − 6y + 2
(e) f(x, y) = (xy −1)
2
(f) f(x, y) = (2x − 3y)
3
(g) f(x, y) =
x
2
+ y
2
(h) f(x, y) =
x
3
+
y
2
2
3
(i) f(x, y) =
1
x + y
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
2 Đạo hàm riêng
(j) f(x, y) =
x
x
2
+ y
2
(k) f(x, y) =
x + y
xy −1
(l) f(x, y) = arctan
y
x
(m) f(x, y) = e
x+y+1
(n) f(x, y) = e
−x
sin(x + y)
(o) f(x, y) = ln(x + y)
(p) f(x, y) = e
ey
ln y
(q) f(x, y) = sin
2
(x − 3y)
(r) f(x, y) = cos
2
(3x − y
2
)
(s) f(x, y) = x
y
(t) f(x, y) = log
y
x
(u) f(x, y) =
y
x
g(t)dt, với g(t) là hàm số liên tục.
(v) f(x, y) =
∞
n=0
(xy)
n
, |xy| < 1
Đáp án:
(a)
∂f
∂x
= 4x;
∂f
∂y
= −3
(b)
∂f
∂x
= 2x − y;
∂f
∂y
= 2y −x
(c)
∂f
∂x
= 2x(y + 2);
∂f
∂y
= x
2
− 1
(d)
∂f
∂x
= 5y −14x + 3;
∂f
∂y
= 5x − 2y −6
(e)
∂f
∂x
= 2y(xy −1);
∂f
∂y
= 2x(xy −1)
(f)
∂f
∂x
= 6(2x − 3y)
2
;
∂f
∂y
= −9(2x − 3y)
2
(g)
∂f
∂x
=
x
x
2
+ y
2
;
∂f
∂y
=
y
x
2
+ y
2
(h)
∂f
∂x
= 2x
2
x
3
+
y
2
−1/3
;
∂f
∂y
=
1
3
x
3
+
y
2
−1/3
(i)
∂f
∂x
=
∂f
∂y
= −
1
(x + y)
2
;
(j)
∂f
∂x
=
y
2
− x
2
(x
2
+ y
2
)
2
;
∂f
∂y
= −
2xy
(x
2
+ y
2
)
2
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Đạo hàm riêng 3
(k)
∂f
∂x
= −
1 + y
2
(xy −1)
2
;
∂f
∂y
= −
1 + x
2
(xy −1)
2
(l)
∂f
∂x
= −
y
x
2
+ y
2
;
∂f
∂y
=
x
x
2
+ y
2
(m)
∂f
∂x
=
∂f
∂y
= e
x+y+1
(n)
∂f
∂x
= −e
−x
sin(x + y) + e
−x
cos(x + y);
∂f
∂y
= e
−x
cos(x + y)
(o)
∂f
∂x
=
∂f
∂y
=
1
x + y
(p)
∂f
∂x
= 0;
∂f
∂y
= e
ey+1
ln y +
e
ey
y
(q)
∂f
∂x
= sin 2(x − 3y);
∂f
∂y
= −3 sin 2(x − 3y)
(r)
∂f
∂x
= −3 sin 2(3x − y
2
);
∂f
∂y
= 2y sin 2(3x − y
2
)
(s)
∂f
∂x
= yx
y−1
;
∂f
∂y
= x
y
ln x
(t)
∂f
∂x
=
1
x ln y
;
∂f
∂y
= −
1
y ln x log
2
x
y
(u)
∂f
∂x
= −g(x);
∂f
∂y
= g(y)
(v)
∂f
∂x
=
∞
1
nx
n−1
y
n
;
∂f
∂y
=
∞
1
ny
n−1
x
n
2. Tính f
x
, f
y
, f
z
của các hàm số sau:
(a) f(x, y, z) = 1 + xy
2
− 2z
2
(b) f(x, y, z) = xy + yz + xz
(c) f(x, y, z) = x −
y
2
+ z
2
(d) f(x, y, z) = (x
2
+ y
2
+ z
2
)
−1/2
(e) f(x, y, z) = arcsin(xyz)
(f) f(x, y, z) = ln(x + 2y + 3z)
(g) f(x, y, z) = yz ln(xy)
(h) f(x, y, z) = e
−(x
2
+y
2
+z
2
)
(i) f(x, y, z) = e
−xyz
Đáp án:
(a) f
x
= y
2
; f
y
= 2xy; f
z
= −4z
(b) f
x
= y + z; f
y
= x + z; f
z
= x + y
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
4 Đạo hàm riêng
(c) f
x
= 1; f
y
= −
y
y
2
+ z
2
; f
z
= −
z
y
2
+ z
2
(d) f
x
= −
x
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
; f
y
= −
y
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
; f
z
= −
z
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
(e) f
x
=
yz
1 − (xyz)
2
; f
y
=
xz
1 − (xyz)
2
; f
z
=
xy
1 − (xyz)
2
(f) f
x
=
1
z + 2y + 3z
; f
y
=
2
z + 2y + 3z
; f
z
=
3
z + 2y + 3z
(g) f
x
=
yz
x
; f
y
= z(ln(xy) + 1); f
z
= y ln(xy)
(h) f
x
= −2xe
−(x
2
+y
2
+z
2
)
; f
y
= −2ye
−(x
2
+y
2
+z
2
)
; f
z
= −2ze
−(x
2
+y
2
+z
2
)
(i) f
x
= −yze
−xyz
; f
y
= −xze
−xyz
; f
z
= −xye
−xyz
3. Tính đạo hàm riêng của hàm số với biến tương ứng của hàm số đó:
(a) f(t, α) = cos(2πt − α)
(b) g(u, v) = v
2
e
2u
v
(c) h(ρ, φ, θ) = ρ sin φ cos θ
(d) g(r, θ, z) = r(1 − cos θ) − z
(e) W (P, V, δ, v, g) = P V +
V δv
2
2g
(f) A(c, h, k, m, q) =
km
q
+ cm +
hq
2
Đáp án:
(a) f
t
= −2π sin(2πt − α); f
α
= sin(2πt − α)
(b) g
u
= 2ve
2u/v
; g
v
= 2ve
2u/v
− 2ue
2u/v
(c) h
ρ
= sin φ cos θ; h
φ
= ρ cos φ cos θ; h
θ
= −ρ sin φ sin θ
(d) g
r
= 1 − cos θ; g
θ
= r sin θ; ; g
z
= 1
(e) W
P
= V ; W
V
= P +
δv
2
2g
; W
δ
=
V v
2
2g
W
v
=
V δv
g
; W
g
= −
V δv
2
2g
2
;
(f) A
c
= m; A
h
=
q
2
; A
k
=
m
q
; A
m
=
k
q
+ c; A
q
= −
km
q
2
+
h
2
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Đạo hàm riêng 5
2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến
• Vector n = (f
x
, f
y
, −1) = (a, b, −1) là vector pháp tuyến của tiếp diện tại
P (x
0
, y
0
, z
0
= f(x
0
, y
0
))
• Phương trình tiếp diện
a(x − x
0
) + b(y −y
0
) − (z −z
0
) = 0
• Phương trình đường thẳng pháp tuyến của (S) tại P
x − x
0
a
=
y −y
0
b
=
z −z
0
−1
hay
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ (−1)t
1. Mặt phẳng x = 1 cắt paraboloid z = x
2
+ y
2
theo giao tuyến là một parabola. Hãy tìm
độ dốc của tiếp tuyến của parabola đó tại điểm M(1, 2, 5)
2. Cho hàm số z = f(x, y) = 2x + 3y − 4. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của
mặt cong trên tại (2, −1).
3. Cho hàm số z = f(x, y) = x
2
+ y
3
. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt
cong đó tại (−1, 1).
Đáp án:
1. Tiếp tuyến của parabola thuộc mặt phẳng x = 1 do đó độ dốc của tiếp tuyến tại (1, 2, 5)
là:
z
x
(1, 2, 5) = (x
2
+ y
2
)
x
(x,y,z)=(1,2,5)
= 2x
x=1
= 2.1 = 2
2. z
x
= 2, z
y
= 3 ⇒ pháp véctơ (2, 3, −1).
Phương trình tiếp diện tại (2, −1, f(2, −1)) = (2, −1, −3).
2(x − 2) + 3(y + 1) − (x + 3) = 0
hay
2x + 3y −z − 4 = 0
Pháp tuyến của mp tại điểm trên:
x − 2
2
=
y + 1
3
=
z + 3
−1
.
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
6 Gradient và đạo hàm theo hướng
3. z
x
= 2x, z
y
= 3y
2
⇒ z
x
(−1, 1) = −2, z
y
(−1, 1) = 3.
Phương trình tiếp diện: 2x − 3y + z + 3 = 0
Phương trình pháp tuyến:
x + 1
−2
=
y −1
3
=
z −2
−1
3 Gradient và đạo hàm theo hướng
• Gradient của hàm số f(x, y) tại điểm P (x, y) là vector:
∇f(P ) = ∇f(x, y) = gradf(x, y) = f
x
(x, y).
i + f
y
(x, y).
j = (f
x
, f
y
)
• Với u(u
1
, u
2
) là vector đơn vị (tức
u
2
1
+ u
2
2
= 1), ta có đạo hàm theo hướng
của u:
D
u
f(x
0
, y
0
) = f
x
(x
0
, y
0
).u
1
+ f
y
(x
0
, y
0
).u
2
= u.∇f(x
0
, y
0
)
• Hàm số f(x, y) tăng (giảm) nhanh nhất theo hướng của vector ∇f(x
0
, y
0
)
(−∇f(x
0
, y
0
)).
• Bất kì vector nào vuông góc với ∇f(x
0
, y
0
) = 0 thì đạo hàm theo hướng của
vector đó đều bằng 0.
1. Tìm Gradient của hàm số tại điểm được cho:
(a) f(x, y) = y −x (2, 1)
(b) f(x, y) = ln(x
2
+ y
2
) (1, 1)
(c) f(x, y) = xy
2
(2, −1)
(d) f(x, y) =
x
2
2
−
y
2
2
(
√
2, −1)
(e) f(x, y) =
2x + 3y (−1, 2)
(f) f(x, y) = arctan
√
x
y
(4, −2)
(g) f(x, y, z) = x
2
+ y
2
− 2z
2
+ z ln x (1, 1, 1)
(h) f(x, y, z) = 2z
3
− 3(x
2
+ y
2
)z + arctan(xz) (1, 1, 1)
(i) f(x, y, z) = (x
2
+ y
2
+ z
2
)
−1/2
+ ln(xyz) (−1, 2, −2)
(j) f(x, y, z) = e
x+y
cos z + (y + 1) arcsin x (0, 0,
π
6
)
Đáp án:
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Gradient và đạo hàm theo hướng 7
(a) ∇f (x, y) = −
−→
i +
−→
j
⇒ ∇f (2, 1) = −
−→
i +
−→
j = (−1, 1)
(b) ∇f (x, y) =
2x
x
2
+ y
2
−→
i +
2y
x
2
+ y
2
−→
j
⇒ ∇f (1, 1) =
−→
i +
−→
j = (1, 1)
(c) ∇f (x, y) =
y
2
, 2xy
⇒ ∇f (2, −1) = (1, −4)
(d) ∇f (x, y) = (x, −y) ⇒ ∇f
√
2, −1
=
√
2, 1
(e) ∇f (x, y) =
1
√
2x + 3y
,
3
2
√
2x + 3y
⇒ ∇f (−1, 2) =
1
2
,
3
4
(f) ∇f (x, y) =
y
2
√
x (x + y
2
)
,
−
√
x
x + y
2
⇒ ∇f (4, −2) = −
1
8
1
2
, 2
(g) ∇f (x, y, z) =
2x +
z
x
, 2y, −4z + ln x
⇒ ∇f (1, 1, 1) = (3, 2, −4)
(h) ∇f (x, y, z) =
−6xz +
z
1 + (xz)
2
, −6yz, 6z
2
− 3
x
2
+ y
2
+
x
1 + (xz)
2
⇒ ∇f (1, 1, 1) =
−
11
2
, −6,
1
2
(i) ∇f (x, y, z) =
−x
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3/2
+
1
x
,
−y
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3/2
+
1
y
,
−z
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3/2
+
1
z
⇒ ∇f (−1, 2, −2) =
−26
27
,
23
54
,
−23
54
(j) ∇f (x, y, z) =
e
x+y
cos z +
y + 1
√
1 − x
2
, e
x+y
cos z + arcsin x, −e
x+y
sin z
⇒ ∇f
0, 0,
π
6
=
√
3
2
+ 1,
√
3
2
, −
1
2
2. Tìm đạo hàm của hàm số tại P
0
theo hướng được cho:
(a) f(x, y) = 2xy −3y
2
, P
0
(5, 5), u = 4
i + 3
j
(b) f(x, y) = 2x
2
+ y
2
, P
0
(−1, 1), u = 3
i − 4
j
(c) f(x, y) =
x − y
xy + 2
, P
0
(1, −1), u = 12
i + 5
j
(d) f(x, y) = arctan
y
x
+
√
3 arcsin
xy
2
, P
0
(1, 1), u = 3
i − 2
j
(e) f(x, y, z) = xy + z + zx, P
0
(1, −1, 2), u = 3
i + 6
j − 2
k
(f) f(x, y, z) = x
2
+ 2y
2
− 2z
2
, P
0
(1, 1, 1), u =
i +
j +
k
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
8 Gradient và đạo hàm theo hướng
(g) f(x, y, z) = 3e
x
cos(yz), P
0
(0, 0, 0), u = 2
i +
j − 2
k
(h) f(x, y, z) = cos(xy) + e
yz
+ ln(xz), P
0
(1, 0,
1
2
), u =
i + 2
j + 2
k
Đáp án:
(a) • Chuẩn hóa u thành vector đơn vị
v =
u
|u|
=
(4, 3)
5
=
4
5
,
3
5
• Tính Gradient của f tại điểm P
0
∇f(P
0
) = (2y, 2x − 6y)
(5,5)
= (10, −20)
• Tính đạo hàm theo công thức:
D
v
f(5, 5) = v ∇f(5, 5) =
4
5
,
3
5
(10, −20) = 8 −12 = −4
(b)
−→
v =
−→
u
|
−→
u |
=
3
5
, −
4
5
∇f (P
0
) = (4x, 2y)|
(−1,1)
= (−4, 2)
D
−→
v
f (P
0
) =
3
5
, −
4
5
(−4, 2) = −4
(c)
−→
v =
−→
u
|
−→
u |
=
12
13
,
5
13
∇f (P
0
) =
2 + y
2
(xy + 2)
2
,
−2 − x
2
(xy + 2)
2
(1,−1)
=
1
3
, −
1
3
D
−→
v
f (P
0
) =
12
13
,
5
13
1
3
, −
1
3
=
7
39
(d)
−→
v =
−→
u
|
−→
u |
=
3
√
13
, −
2
√
13
∇f (P
0
) =
−y
x
2
+ y
2
+
√
3y
4 − (xy)
2
,
x
x
2
+ y
2
+
√
3x
4 − (xy)
2
(1,1)
=
3
2
,
5
2
D
−→
v
f (P
0
) =
1
2
√
13
(3, −2) (3, 5) = −
1
2
√
13
(e)
−→
v =
−→
u
|
−→
u |
=
1
7
(3, 6, −2)
∇f (P
0
) = (1, 3, 0)
D
−→
v
f (P
0
) = 3
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Gradient và đạo hàm theo hướng 9
(f)
−→
v =
−→
u
|
−→
u |
=
1
√
3
(1, 1, 1)
∇f (P
0
) = (2, 4, −4)
D
−→
v
f (P
0
) =
1
√
3
(1, 1, 1) (2, 4, −4) =
2
√
3
(g)
−→
v =
−→
u
|
−→
u |
=
1
3
(2, 1, −2)
∇f (P
0
) = (3e
x
cos (yz) , −3ze
x
sin (yz) , −3ye
x
sin (yz))|
(0,0,0)
= (3, 0, 0)
D
−→
v
f (P
0
) =
1
3
(2, 1, −2) (3, 0, 0) = 2
(h)
−→
v =
−→
u
|
−→
u |
=
1
3
(1, 2, 2)
∇f (P
0
) =
−y sin (xy) +
1
x
, −x sin (xy) + ze
yz
, ye
yz
+
1
z
(
1,0,
1
2
)
=
1,
1
2
, 2
D
−→
v
f (P
0
) =
1
3
(1, 2, 2) (1, 1/2, 2) = 2
3. Tìm hướng mà theo đó hàm số tăng nhanh nhất tại điểm P
0
, tính giá trị đạo hàm theo
hướng vừa tìm được.
(a) f(x, y) = x
2
+ xy + y
2
P
0
(−1, 1)
(b) f(x, y) = x
2
y + e
xy
sin y P
0
(1, 0)
(c) f(x, y, z) =
x
y
− yz P
0
(4, 1, 1)
(d) f(x, y, z) = xe
y
+ z
2
P
0
(1, ln 2,
1
2
)
(e) f(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz) P
0
(1, 1, 1)
(f) f(x, y, z) = ln(x
2
+ y
2
− 1 + y + 6z) P
0
(1, 1, 0)
Đáp án:
(a) Hàm số tăng nhanh nhất theo hướng ∇f(P
0
), khi đó vector đơn vị u =
∇f(P
0
)
|∇f(P
0
)|
Và giá trị đạo hàm theo hướng :
D
u
f(P
0
) = ∇f(P
0
).u = ∇f(P
0
).
∇f(P
0
)
|∇f(P
0
)|
=
|∇f(P
0
)|
2
|∇f(P
0
)|
= |∇f(P
0
)|
Áp dụng:
∇f(−1, 1) = (−1, 1) ⇒ u
−
1
√
2
,
1
√
2
D
u
f(−1, 1) =
(−1)
2
+ 1
2
=
√
2
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
10 Gradient và đạo hàm theo hướng
(b) ∇f (x, y) =
2xy + ye
xy
sin y, x
2
+ xe
xy
sin y + e
xy
cos y
⇒ ∇f (P
0
) = (0, 2)
⇒ D
u
f (P
0
) =
√
2
2
= 2
(c) ∇f (P
0
) = (1, −5, −1)
⇒ D
u
f (P
0
) =
1
2
+ (−5)
2
+ (−1)
2
= 3
√
3
(d) ∇f (P
0
) = (2, 2, 1)
⇒ D
u
f (P
0
) = 3
(e) ∇f (P
0
) = (2, 2, 2)
⇒ D
u
f (P
0
) = 2
√
3
(f) ∇f (x, y, z) =
2x
x
2
+ y
2
− 1 + y + 6z
,
2y + 1
x
2
+ y
2
− 1 + y + 6z
,
6
x
2
+ y
2
− 1 + y + 6z
∇f (P
0
) = (1, 3/2, 3)
⇒ D
u
f (P
0
) = 7/2
4. Cho hàm số f(x, y) = x
2
− xy + y
2
. Tìm vector đơn vị u và giá trị của D
u
f(1, −1) biết
rằng:
(a) D
u
f(1, −1) lớn nhất
(b) D
u
f(1, −1) nhỏ nhất
(c) D
u
f(1, −1) = 0
(d) D
u
f(1, −1) = 4
(e) D
u
f(1, −1) = −3
Đáp án:
(a) Tương tự bài trên ta có: giá trị đạo hàm lớn nhất tại P
0
khi đạo hàm theo hướng
tăng nhanh nhất tại P
0
.
∇f(x, y) = (2x − y, 2y −x) ⇒ ∇f(1, −1) = (3, −3) ⇒ u =
1
√
2
(1, −1)
D
u
f(1, −1) = 3
√
2
(b) Giá trị đạo hàm nhỏ nhất khi f’ giảm nhanh nhất, vậy:
u = −
1
√
2
(1, −1) và
D
u
f(1, −1) = −3
√
2
(c) Giá trị đạo hàm là 0 khi vector u vuông góc với vector gradient:
⇒ u.∇f(1, −1) = 0 ⇒ u =
1
√
2
(1, 1)
(d) Với đạo hàm theo hướng tại P
0
có giá trị m bất kì ta giả sử u = (a, b). Khi đó u
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Gradient và đạo hàm theo hướng 11
thỏa:
u.∇f (P
0
) = m
|u| =
√
a
2
+ b
2
= 1
Áp dụng:
(a, b).(3, −3) = 3a −3b = 4
a
2
+ b
2
= 1
⇔
a
2
= b
2
+
8
3
b +
16
9
2b
2
+
8
3
b +
7
9
= 0
⇒
b =
−4+
√
2
6
⇒ a =
4+
√
2
6
b =
−4−
√
2
6
⇒ a =
4−
√
2
6
⇒ kết luận.
(e) Lý luận như bài (d) tính được: u(1, 0) hoặc u(0, 1)
5. (Tương tự câu trên) Cho hàm số f(x, y) =
x − y
x + y
. Tìm vector đơn vị u và giá trị của
D
u
f
−
1
2
,
3
2
biết rằng:
(a) D
u
f
−
1
2
,
3
2
lớn nhất ( u =
1
√
13
(3, 2))
(b) D
u
f
−
1
2
,
3
2
nhỏ nhất (u = −
1
√
13
(3, 2))
(c) D
u
f
−
1
2
,
3
2
= 0 (u =
1
√
13
(2, −3) hoặc u =
1
√
13
(−2, 3))
(d) D
u
f
−
1
2
,
3
2
= −2 (u = (0, −1), u = (
−12
13
,
5
13
))
(e) D
u
f
−
1
2
,
3
2
= 1 (u =
3+4
√
3
13
,
2−6
√
3
13
, u =
3−4
√
3
13
,
2+6
√
3
13
)
6. Theo hướng nào thì đạo hàm của hàm số f(x, y) =
x
2
− y
2
x
2
+ y
2
tại điểm (1, 1) bằng 0.
(Hướng vuông góc với vector gradient và u = (1, 1))
7. Tồn tại hay không vector u mà theo hướng đó đạo hàm hàm số f(x, y) = x
2
−3xy + 4y
2
tại điểm P (1, 2) có giá trị 14. (Giải tương tự bài 4.(d)⇒ không tồn tại)
8. Tồn tại hay không vector u mà theo hướng đó tốc độ biến thiên hàm nhiệt độ
T (x, y) = 2xy −yz với nhiệt độ tính bằng
o
C, khoang cách tính bằng feet, tại điểm
P (1, −1, 1) có giá trị −3 (
o
C/ft). (Không)
9. Đạo hàm của hàm số f(x, y) tại điểm P
0
(1, 2) theo hướng
i +
j là 2
√
2 và theo hướng
−2
j là −3. Đạo hàm của hàm f theo hướng −
i − 2
j nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: Gọi u = (1, 1),v = (0, −2), w = (−1, −2), ta có hệ:
D
u
|u|
f(P
0
) =
1
√
2
u∇f (P
0
) = 2
√
2 ⇒ u∇f(P
0
) = 4
D
v
|v|
f(P
0
) =
1
2
v∇f(P
0
) = −3
mà w = −u +
1
2
v nên
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
12 Gradient và đạo hàm theo hướng
⇒ D
w
| w|
f(P
0
) =
1
√
5
w∇f (P
0
) =
1
√
5
(−u +
1
2
v)∇f(P
0
) =
−4 − 3
√
5
Hoặc giả sử ∇f(P
0
) = (a, b) giải hệ được (a, b) rồi áp dụng công thức với vector w
10. Hàm số đạo hàm của hàm f(x, y, z) tại điểm P đạt giá trị lớn nhất theo hướng
v =
i +
j −
k và giá trị lớn nhất đó là 2
√
3.
(a) Tìm tọa độ ∇f tại P . (∇f(P ) = (2, 2, −2))
(b) Tính đạo hàm của hàm f tại P theo hướng v =
i +
j. (2
√
2)
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến