Phản ứng tĩnh của cầu treo dây võng dưới tác dụng tải trọng di động

Phản ứng tĩnh của cầu treo dây võng
dưới tác dụng tải trọng di động
Tóm tắt: Trong khi hình dạng ban đầu và phản ứng trong cầu treo dây võng
dưới tác dụng của tĩnh tải có thể xác định dễ dàng trong quá trình thi công. Bài
toán xác định lực kéo trong cáp, độ võng và moment uốn trong dầm cứng do tải
trọng động gây ra phải được giải quyết bằng lý thuyết phi tuyến hình. Kết quả
nghiên cứu trong bài báo này đưa ra ảnh hưởng của những thông số dữ kiện hình
học. mặt cắt cáp và moment quán tính dầm đến phản ứng của kết cấu.
1. Giới thiệu
Cầu treo dây võng là một hệ kết cấu thích hợp đối với cầu nhịp lớn và được các
kỹ sư phát triển rất nhiều năm trong quá khứ và cho đến nay đã đạt được tiến bộ
về mặt kỹ thuật.
Mục đích của bài báo này đưa ra một phương pháp đơn giản nhằm đánh giá
phản ứng trong kết cấu như lực căng trong cáp, moment uốn trong dầm do tác
dụng của tải trọng di động. Phân tích bản chất với cầu treo một nhịp, dây neo cố
định. Trong bài báo này ảnh hưởng của nhịp biên cũng như biến dạng của tháp
cầu xem như không đáng kể. Nhưng ảnh hưởng biến dạng hình học (độ cứng
hành học) vẫn được đưa vào trong phân tích.
1
2. Phân tích
Lực căng H
g
trong cáp tương ứng khi đường tên võng của dây cáp là f, trọng
lượng bản thân của cáp g, dầm cứng hoàn toàn nằm ngang hoặc chỉ hơi vồng
lên, tính theo công thức sau:
f
gL
H
g
8
2

=
(1)
Khi khoảng cách dây treo không lớn biến dạng uốn trong dầm xem như rất bé.
Tuy nhiên khi có thêm tác dụng của tải trọng di động p trên dầm cáp võng
xuống trị số η, do thừa nhận dây treo không giãn trong quá trình chịu lực nên độ
võng của dầm bằng độ võng của dây.
Trong bài báo này, thành phần lực kéo theo phương ngang trong cáp H
p
do tải
trọng di động gây ra sẽ được xét đến trong việc xác định giá trị độ võng η, cũng
như biến dạng uốn trong dầm. Mặc dù phương pháp này sẽ được xấp xỉ gần
đúng và hợp lý hơn với những thiét kế sơ bộ, nhưng biến dạng hình học (phi
tuyến bạc hai) vẫn được đưa vào để xét trạng thái cân bằng của hệ.
Tại trạng thái cân bằng dầm cứng chịu những lực sau:
1. Trọng lượng bản thân
2. Hoạt tải trên một phần chiều dài dầm.
3. Lực quán tính q
c
(x) tại vị trí các dây treo có chiều đi lên, do khoảng cách giữa
các dây treo rất nhỏ so với chiều dài nhịp nên xem như lực phân bố g và p là tải
trọng phân bố đều nhưng q
c
(t) thay đổi dọc theo chiều dài dầm. khi tải trọng này
2
tác dụng lên cáp sẽ gây ra sự thay đổi hình dáng của cáp so với dạng parabol ban
đầu chỉ chịu tác dụng của tĩnh tải g.
Nếu z(x) là phương trình đường congcáp sau khi chịu tác dụng của tải trọng di
động thể và H là thành phần nagng của lực dọc, từ trạng thái cân bằng của một
phân tố cáp tương ứng với quan hệ q = H*(1/r) ta có:
q

c
(t) = -
H
dx
zd
2
2
(2)
Trong mối quan hệ này q
c
(t) thể hiện tác dụng đi xuống, trong khi số hạng –
d
2
z/d
2
x thể hiện đường cong của cáp. Ta có:
z(x) = y(x) + η(x) (3)
và H = H
g
+ H
p
(4)
Dầm ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của tổng tải trọng q(x), chọn chiều
dương đi xuống
q(x) = -q
c
(x) + g +p (5)
Moment uốn của dầm tại trạng thái cân bằng:
d
2

M/dx
2
= -q(x) (6)
2
2
dx
d
EIM
η
−=
(7)
Thay (7) vào (6) suy ra:
)(
4
4
xq
dx
d
EI ==
η
(8)
Quan hệ giữa lực căng trong cáp H
g
và phương trình cáp trước khi chịu tải trọg
di động:
0
2
2
=+ gH
dx

yd
g
(9)
Thay (2), (3) và (4) vào (5) ta được:
3
( ) ( )
p
dx
yd
HHH
dx
d
pgHH
dx
d
dx
yd
xq
ppgpg
+++=+++








+=
2

2
2
2
2
2
2
2
)(
ηη
(10)
Trong đó số hạng d
2
y/dx
2
. Phương trình vi phân của dầm cứng dạng:
( )
r
H
pHH
dx
d
dx
d
EI
p
pg
−=+−
2
2
2

2
ηη
(11)
Kết quả này cho thấy tương ứng với lý thuyết bậc hai, tương đương với phương
trình của dầm đơn giản chịu tải trọng uốn ngang (p-H
p
/r) và chịu lực dọc trục
(H
g
+H
p
).
Tương ứng với kết quả lý thuyết bậc hai của dầm, η(x) có thể được xác định (là
một hàm của H
p
) từ quan hệ:
ξ
η
+
=
1
1
W
1
(12)
Với W
1
thể hiện đường cong độ võng của dầm giản đơn cơ bản chịu tác dụng
của lực (p-H
p

/r) và ξ= (H
g
+H
p
)/P
cr
(13)
Với P
cr
là lực uốn dọc,
2
L
EI
P
cr
π
=
Lực kéo tăng thêm H
p
so với lực kéo ban đầu H
g
liên hệ với độ võng η.
∫∫
−=
LL
g
s
cc
p
dx

dx
d
dx
H
g
L
EA
H
0
2
2
0
2
1
η
η
η
(14)
Với tỷ số f/L = 1/10 ÷ 1/12, chiều dài L
s
được cho bởi biểu thức sau:















+=
2
81
L
f
LL
s
(15)
Nếu bỏ qua số hạng tíh phân thứ hai trong vế phải của công thức (14) ảnh hưởng
không đáng kể đến độ chính xác của bài toán, viết lại công thức (14) dưới dạng
đơn giản hơn:
4
∫
=
L
g
s
cc
p
dx
H
g
L
EA
H

0
η
(16)
Trong thực tế thiết kế, bằng cách tách hoạt tải p phía trái của nhịp thành hai
trường hợp tải trọng đối xứng và tải trọng phản xứng. Trường hợp tải đối xứngd
gây môment uốn bất lợi trong dầm, trong khi trường hợp tải phản xứng gâu nội
lực bát lợi trong cáp.
Trong trường hợp đầu tiên của tải trọng p tương đương tác dụng của tải trọng
đối xứng (p/2) và tải trọng phản xứng (p/2) trên tổng chiều dài nhịp. Đường
cong độ võng η (x) của dầm tưởng tượng có thể xác định được bằng phương
pháp chống chất chuyển vị η
sym
do tải trọng đối xứng
r
H
p
p
−
2
trên tổng chiều dài
nhịp và η
ant
do tải trọng phản xứng
2
p
gây ra.









+=
∫ ∫
L L
antsym
g
s
cc
p
dxdx
H
g
L
EA
H
0 0
ηη
(17)
Khi η
ant
là một hàm phản xứng, tích phân thứ hai trong vế phải của công thức
(17) sẽ mất đi, cho nên công thức cuối cùng đạt được:









=
∫
L
sym
g
s
cc
p
dx
H
g
L
EA
H
0
η
(18)
Quan hệ trên cũng đứng trong trường hợp hai khi dầm tưởng tượng chịu lực (p-
H
p
/r) trên suốt chiều dài nhịp. Cần phải chú ý rằng η
sym
có thể được xác định
theo công thức (12)
5
ξ
η

+
=
1
1
W
1sy
(19)
Với W
1
thể hiện đường cong độ võng của dầm giản đơn chịu tải trọng ngang (p*
- H
p
/r); p* bằng p/2 đối với trường hợp tải di động trên nửa nhịp phía trái, hặc
bằng p đối với trường hợp tải trọng di động trên suốt chiều dài nhịp.
Khi biểu đồ moment uốn trong dầm giản đơn dưới tác dụng của tải trọng là
(M
1
0
/EI), với M
1
0
là hàm của moment uốn trong dầm do tải trọng (p* - H
p
/r).
Đường cong độ võng W
1
được chio như sau:















+






−






−
=
L
x
L

x
L
x
EI
LrHp
x
p
344**
1
2
*24
)/(
)(W
(20)
Thay (20) vào (19) ta được:
cr
pg
L
p
sym
P
HH
EI
LrHp
dx
+
+
−
=
∫

1
1
*120
*)/*(
0
5
η
(21)
Thay thế và sắp xếp lại phương trình cuối cho ta phương trình đại số bậc hai tìm
biến H
p
.












+
+
−
=
cr
pg

p
s
cc
p
P
HH
EI
LrHp
H
g
L
AE
H
1
1
120
)/(
5*
(22)
Suy ra:
0**)1(
*
2
=









−








+++








g
p
Gk
P
H
Gk
P
H
cr
p

cr
p
(23)
Với:
L
f
E
LgL
G
I
LAE
k
cc
==
+
=
λ
πλ
λ
λ
;
I
8
;
*
E
*81
15
8
*2*

2
2
2
2
(24)
6
Sau khi xác định H
p
phản ứng biến dạng uốn của dầm cứng có thể được thiết lập
trực tiếp. Từ những nghiên cứu phần trên có thể kết luận phản ứng biến dạng
uốn của dầm treo và của dầm tưởng tượng là như nhau. Trường hợp tải trọng đặt
phần bên trái của dầm gây ra moment uốn lớn nhất M
max
tại mặt cắt 1/4 nhịp,
trong khi trường hợp tải trọng bố trí suốt chiuề dài dầm sẽ gây ra lực kéo lớn
nhất trong cáp.
Đối với trường hợp tải di động đặt phía bên trái dầm: M
max
= M
sym
+ M
ant
. Trong
đó:
M
sym
= M
sym
0
– (H

g
+ H
p
) η
sym
ξ
+
+−
−
−
=
1*24
*)/(
*2227.0
8
*)/(
*75.0
4*2*
pgpp
sym
HH
EI
LrHpLrHp
M
(25)
và
4/1*24
)2/(*)2/(
*3125.0
8

)2/(*)2/(
42
ξ
+
+
−=
pg
ant
HH
EI
LpLp
M
(26)
Số hạng ξ/4 do tại giữa nhịp của dầm tưởng tượng đường cong độ võng thể hiện
một điểm uốn cong như là kết quả tải trọng uốn dọc được nhân với bốn.
Phương trình bậc hai ở trên có thể được khảo sát với những thông số khác nhau
để thấy rõ sự ảnh hưởng của các thông số đó với kết quả phân tích.
3. Ví dụ số
Cho một ví dụ số nhằm áp dụng những phân tích ở trên với cầu có các thông số:
L=1074m; f =91m; E=2.1*10
8
KN/m
2
; E
c
= 1.9*10
8
KN/m
2
; I = 1.88m

4
; A
c
=0.40m
2
; Tĩnh tải g = 150KN/m
2
và hoạt tải p = 24KN/m
2
.
7
Lực H
g
do tĩnh tải xác định bằng công thức (1):
KN
f
gL
H
g
237700
8
2
==
Để xác định lực kéo trong cáp do hoạt tải H
p
những thông số trong công thức
(24) được tính như sau λ =0.08743; k = 804.106; G = 70.36. Lực gây uốn dọc
trong dầm:
KN
L

EI
P
cr
9.3377
2
2
==
π
Đối với trường hợp hoạt tải đặt bên trái nhịp, từ công thức (23):
0
2/
**)1(
2
=








−









+++








g
p
Gk
P
H
Gk
P
H
cr
p
cr
p
Giải phương trình bậc hai ta được:
,14.5=









cr
p
P
H
suy ra: H
p
= 5.14*3377.9 = 17363KN.
Trong trường hợp đặt tải này, moment uốn lớn nhất trong dầm, tương ứng với
những giá trị:
M
sym
= 4052KN.m; M
ant
= 10224 KN.m.
Trong trường hợp tải trọng bố trí suốt chiều dài nhịp, kết quả cho lực kéo lớn
nhất trong cáp bằng cách giải phương trình bậc hai (23):
0
2/
**)1(
2
=









−








+++








g
p
Gk
P
H
Gk
P
H
cr
p
cr

p
22.10=








cr
p
P
H
; H
p
= 10.225.14*3377.9 = 34522KN.
4. Kết luận:
8
Một phương pháp đơn giản nhằm xác định lực kéo trong dây cáp, moment uốn
trong dầm của cầu treo dây võng do tác dụng của tải trọng di động được đề xuất.
Phương pháp này thích hợp khi phân tích bằng phân tử hữu hạn, có xét đến biến
dạng hình học của kết cấu. Nó thể hiện được một cách gần đúng ảnh hưởng của
hình dáng kết cấu đối với phản ứng toàn hệ.
(Nguồn: Tạp chí Cầu đường Việt Nam, số 11/2006)

9