Nghiên cứu phản ứng động lực cầu dây văng dưới tác dụng của tải trọng di động

Tuyn tp Bỏo cỏo Hi ngh Sinh viờn Nghiờn cu Khoa hc ln th 6 i hc Nng - 2008


186
NGHIấN CU PHN NG NG LC CU DY VNG
DI TC DNG CA TI TRNG DI NG
A STUDY RESPONSE OF CABLE-STAYED BRIDGES TO MOVING
VEHICLES

SVTH : PHAN HONG NAM
Lp 03X3C Trng i hc Bỏch khoa, HN
GVHD: GVC. Th.S Lấ VN LC
Khoa XDC Trng i hc Bỏch khoa, HN
TểM TT
Trong phn nghiờn cu ny, th hin cỏi nhỡn tng quan v ng lc hc v a ra mt
phng phỏp phõn tớch n gin ỏnh giỏ phn ng ng ca CDV di tỏc dng ca ti
trng di ng. Cõy cu c lý tng húa theo mụ hỡnh Bernoulli-Euler trờn gi n hi vi
cng gi thay i. gii phng trỡnh dao ng ca cu, tỏc gi s dng phng phỏp sai
phõn hu hn v k thut xp chng cỏc mode dao ng.
ABSTRACT
This part of the thesis presents a state-of-the-art review and a simplified analysis method for
evaluating the dynamic response of cable-stayed bridges to moving vehicles. The bridge is
idealized as a Bernoulli-Euler beam on elastic supports with varying support stiffness. To solve
the equation of motion of the bridge, the finite difference method and the mode superposition
technique are used.
1. M u
Do tớnh thm m, ng dng hiu qu cỏc vt liu xõy dng v nhng u im ỏng k
khỏc m cu dõy vng (CDV) ó c xõy dng ph bin trong nhng thp niờn gn õy. Loi
cu ny ang cú xu hng tng kh nng vt nhp, s dng cỏc loi vt liu cú cng cao
gim trng lng n mc thp nht. Khi ú kt cu tr nờn thanh mnh, gn nh hn v
rt nhy cm vi cỏc tỏc ng ca ti trng.

K t v sp cu thm khc ca cõy cu Tacoma Narrows u tiờn nm 1940, ngi ta ó
chỳ ý nhiu hn n c tớnh ng lc hc ca cu treo. Trong sut 68 nm qua, nhiu nghiờn cu
thc nghim v lý thuyt ó c tin hnh nhm hiu rừ hn v cỏc yu t khỏc nhau nh hng
n phn ng ca loi cụng trỡnh ny i vi giú, ng t v xe c lu thụng.
nghiờn cu nhng nh hng v ng lc hc do xe c lu thụng trờn cu, cỏc k s
trờn th gii da vo h s khuch i ng (DAF) c xỏc nh trong cỏc tiờu chun thit k.
Nhng h s ny thng l hm ca tn s dao ng riờng ca kt cu nhp hoc chiu di phm
vi nh hng ca ti trng. õy l phng phỏp thng c dựng cho mc ớch thit k cú th
cho ra cỏc thit k vng chc v t tin i vi mt s cõy cu nhng li ỏnh giỏ thp cỏc nh
hng ng lc hc i vi cỏc cõy cu khỏc. Hn na, khi so
sỏnh cỏc tiờu chun thit k mi quc gia, cỏc h s DAF dao
ng trong mt phm vi ln.
Vỡ vy, kim tra kh nng chu ng ca cỏc cõy cu
ang tn ti i vi s lu thụng nng n hn v thit k cỏc
cõy cu mi hp lý hn thỡ cn phi s dng cỏc k thut phõn
tớch ci tin cú xột n tt c cỏc thụng s quan trng nh hng
n phn ng ng lc hc ca cu nh: s tng tỏc cu - xe
c, g gh ca b mt ng, h s cn ca cu,
2. Ni dung
2.1. Mụ hỡnh húa xe
m
1
m
2
v(t)
k
s
c
s
w

1
(t)
w
2
(t)
Hỗnh 2-1: Mọ hỗnh hoùa xe
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008

187
Xe nặng với một số bộ phận cơ bản như: máy kéo, rơmooc, hệ thống kéo, … có thể được
mô hình hóa như một chất điểm có khối lượng đặt trên hệ lò xo và hệ giảm chấn (hình 2-1).
Gọi F(t) là lực liên hệ giữa xe và cầu, được xác định là dương khi hướng xuống dưới
cầu, phương trình vi phân chuyển động được thiết lập như sau:
2
1 2 1
1 2 1 2 1
2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
ss
d w dw dw
m m g m k w w c F t
dt dt dt
        
(2.1)
2
2 2 1
2 2 1
2
( ) ( ) 0
ss

d w dw dw
m k w w c
dt dt dt
     
(2.2)
Với: w
1
(t), w
2
(t) - Chuyển vị theo phương đứng của vật m
1
, m
2
theo thời gian.
k
s
- Độ cứng của lò xo ; c
s
– Hệ số cản nhớt ; g - Gia tốc trọng trường.
Từ (2.1) và (2.2) ta có thể xác định được lực liên hệ F(t) giữa xe và cầu như sau:
2
2
2
2
2
1
2
121
)()(
dt

wd
m
dt
wd
mgmmtF 
(2.3)
Giả thiết rằng xe luôn luôn tiếp xúc với cầu khi đó lực F(t)>0, và biến dạng giữa hệ vật
và bề mặt của cầu không đáng kể, ta có:
1
( ) ( ( ), ) ( ( ))w t y x t t r x t
;
1
()
y y r
w t v v
x t x
  
  
  

(2.4a-b)
2 2 2 2
22
1
2 2 2
( ) 2
.
y y y y r r
w t v v a v a
x x t x t x x

     
     
      

(2.4c)
Với:
1
()wt

và
1
()wt

- Vận tốc và gia tốc theo phương đứng của khối vật.
v và a - Vận tốc và gia tốc theo phương dọc cầu.
y(x,t), r(x) - Hàm chuyển vị và hàm thể hiện quy luật bề mặt của cầu.
2.2. Mô hình hóa kết cấu cầu
y(x,t)
I
g
, E
g
, m
g
L
i
, A
i
, E
i

I
g
, E
g
, m
g
k
x
x
y(x,t)
v(t)
m
1
m
2
v(t)
m
1
m
2
H
i
L
s
=99.5m
L=204m
L
s
=99.5m
x

v
(t)
x
s

Hình 2-2: Mô hình hóa kết cấu CDV 3 nhịp 99,5m+204m+99,5m
2.2.1. Các giả thiết chính
- Hệ thống nhiều cáp với khoảng cách các điểm neo cáp nhỏ so với chiều dài của cầu.
- Bỏ qua khối lượng cáp, hệ số cản của cầu.
- Các cáp được lý tưởng hóa như các lò xo liên tục phân bố theo phương dọc cầu.
- Lực căng của cáp dưới tác dụng của tĩnh tải được điều chỉnh sao cho chuyển vị tại nút bằng 0.
- Chỉ xét mômen uốn trong mặt phẳng, bỏ qua mômen xoắn do tải lệch tâm trên mặt cầu.
- Khi xe qua cầu, chuyển vị và vận tốc di chuyển theo phương đứng của xe được xem bằng 0.
2.2.2. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động
Theo [1], phương trình vi phân chuyển động cho sự dao động của cầu tại các mặt cắt của
dầm chủ (được lý tưởng hóa theo mô hình Euler-Bernoulli trên các gối đàn hồi):
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


188
42
42
( , ) ( , )
. . ( ). ( , ) . .( ). ( )
g g g v
y x t y x t
E I k x y x t m x x F t
xx



    

(2.5)
Với:  - Hàm Delta-Dirac ; E
g
- Mô đun đàn hồi của dầm chủ
I
g
- Mômen quán tính của mặt cắt ngang dầm chủ
m
g
- Khối lượng trên 1 đơn vị chiều dài dầm ; k(x) - Độ cứng của lò xo
Các điều kiện biên: (2.6a-d, 2.7a-b)
(0, ) 0yt
;
2
2
(0, )
0
yt
x



;
( , ) 0y L t 
;
2
2
( , )

0
y L t
x



;
y(x,0) = 0
;
( ,0)
0
yx
t




2.2.3. Độ cứng của lò xo
Theo [7], độ cứng của lò xo lý tưởng hóa từ dây cáp thứ i, được xác định:
2
. .sin
i i i
i
i
EA
k
L


(2.8)

Biểu thị ứng suất cho phép của cáp là
a

, tĩnh tải và hoạt tải trên 1 đơn vị chiều dài là q
g

và q
q
diện tích mặt cắt ngang của cáp i được tính như sau:
( ).
.sin
gq
i
ai
q q s
A



(2.9)
Tính phi tuyến hình học của cáp do sự thay đổi của độ chùng và hình dạng dưới các lực căng
khác nhau, được xét đến gần đúng bằng cách giới thiệu môđun đàn hồi tương đương [5].
0
22
3
()
.
1.
12
c

i
c
c
E
E x E
x
E




0
2
L
x




(2.10)
Với: E
c
, 
c
- Môđun đàn hồi, khối lượng riêng của vật liêu chế tạo cáp.

0
- Ứng suất kéo ban đầu trong cáp.
Lực trong cáp gây ra bởi hoạt tải xe nhỏ so với lực do tĩnh tải nên 
0

được thay bằng 
g

ứng suất trong cáp do tĩnh tải gây ra.
()
g
ga
gq
q
qq



(2.11)
Thay thế (2.9) vào (2.8) phương trình sau đây được thiết lập cho độ cứng của lò xo trên
một đơn vị chiều dài của cáp.
2
( ).( )
1
( ) .
.
1 ( )
gq
a
E x q q
kx
x
H
H






0
2
L
x




(2.12)
2.3. Phân tích phản ứng động
2.3.1. Dao động tự do
Phương trình vi phân cho dao động tự do của mô hình cầu:
0
),(
.),().(
),(
..
2
2
4
4







x
txy
mtxyxk
x
txy
IE
ggg
(3.1)
Hàm chuyển vị y(x,t) có thể được biểu diễn bởi 2 hàm, hàm tọa độ không gian z(x) và
hàm tọa độ thời gian (t). Khi đó dao động của cầu ứng với mode dao động thứ i và chuyển vị
cầu tại các vị trí khác nhau ứng với thời gian t được diễn đạt như sau:
( , ) ( ) ( ) ( )( cos sin )
i i i i i i i i
y x t z x t z x a t b t
  
  
(3.2)
Với: ω
i
là tần số góc dao động thứ i của dao động tự do của cầu.
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008

189
Thay thế phương trình (3.2) vào phương trình (3.1) ta được:
0)(.)().(
),(
..
2
4

4
 xzmxzxk
dx
txyd
IE
iigigg

(3.3)
Phân chia mô hình cầu thành n đoạn giống nhau với chiều dài mỗi đoạn là h. Lấy (n-1)
phần chưa biết thay thế vào phương trình (3.3), theo phương pháp sai phân hữu hạn thì
phương trình trên được thiết lập như sau: AZ = λZ (3.4)
 
1
2
3
3
2
1
11
4 1 0
4 4 1
1 4 4 1
1 4 4 1
1 4 4
0 1 4
nn
c
c
c
A

c
c
c
  



















(3.5a-f)
1
1
( 1 1)
0
0
n

nn




  







;
 
1,1 1, 1
1 2 3 1
1,1 1, 1
( 1 1)
, , ,...,
n
n
n n n
nn
zz
Z z z z z
zz


  

  










2
4
.
i
gg
gi
IE
h
m


;
4
1
1
)(
5 h
IE
xk

c
gg

;
4
3,2
3,2
)(
6 h
IE
xk
c
gg


2.3.2. Phân tích động
Sử dụng kỹ thuật xếp chồng các mode dao động, ta tìm nghiệm phương trình (2.5) dưới dạng:
1
( , ) ( ) ( )
ii
i
y x t z x t





(3.6)
Thay (3.6) vào (2.5) ta được:
..

1
( ( ) ) ( ).
IV
i
g g i i i i g i v
i
E I z k x z m z x x F
   


    

(3.7)
Từ đó suy ra:
..
2
()
i
i i i v
g
F
zx
m
  
  
(3.8)
Nghiệm của phương trình (3.8):
.
2
0

0
ii
22
i
( ( ) )
()
os sin
i v i i g
i v i
i
i g i g
Fz x m
Fz x
c t t
mm


  
  

     
(3.9)
Với
0i

và
.
0i

là những giá trị ban đầu cho đừng đoạn,

0
y
và
0
y

là chuyển vị theo
phương đứng và vectơ vận tốc của cầu ở đoạn trước đó, ta có:
00
T
ii
zy


;
..
0
0
T
i
i
zy


(3.10a-b)
Với
0
y
và
0

y

là chuyển vị theo phương đứng và vectơ vận tốc của cầu ở đoạn trước đó. Thay
vào phương trình (3.6) ta có được vectơ chuyển vị theo phương đứng của cầu tại mỗi đoạn:
.
2
0
0
ii
22
1
i
( ( ) )
()
os sin
s
i v i i g
i v i
i
i
i g i g
Fz x m
Fz x
y z c t t
mm



  





     



(3.11)
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


190
Với s là số mode dao động, s  n-1. Vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của cầu được xác
định như sau:
2
.
0
0
1
( ( ) )
sin cos
s
i v i i g
i
i i i
i
ig
Fz x m
y z t t
m


  




    





(3.12)
2
.
0
0
i i i
1
( ( ) )
os sin
s
i v i i g
i
i
i
g
Fz x m
y z c t t
m


   



    





(3.13)
Kỹ thuật xếp chồng các mode dao động cũng được sử dụng để xác định vectơ mômen
uốn trong dầm tại mỗi đoạn.
1
'' ''
s
g g g g i i
i
m E I y E I z


   

(3.14)
Sử dụng ngôn ngữ lập trình MATLAB để phân tích phản ứng động, sự tương tác động
giữa xe và cầu, các bước lặp, kiểm tra, tính toán được thể hiện ở thuật toán bên dưới.
Điều kiện hội tụ, trong kết quả bài toán này chọn Tolerance = 5.10
-6
:

 
 
1
6
max
5.10
max
jj
j
yy
Tolerance
y




(3.15)
Với y
j
– Vectơ chuyển vị của cầu tại đoạn đang xét.
2.3.3. Phân tích tĩnh
Véc tơ chuyển vị tĩnh được xác định như sau:
3
1
12
()
st
jj
gg
m m gh

y A P
EI



;
0
1
0
j
Pj












(3.16a-b)
Với: A
-1
là nghịch đảo của ma trận A được xác định từ biểu thức (3.5a).
j - Điểm chịu tác động của tải trọng xe.
st
j

y
- Vectơ chuyển vị của cầu trong trường hợp tải trọng xe tác dụng vào điểm thứ j.
Mômen uốn trong dầm ở từng đoạn:
, 1, , 1,
2
( 2 )
gg
st st st st
i j i j i j i j
EI
m y y y
h

   
(3.17)
2.4. Ứng dụng phân tích tĩnh và động CDV Mỹ Thanh – Tỉnh Sóc Trăng
2.4.1. Số liệu đầu vào
Xe: m
1
=3000 (kg), m
2
=31700 (kg), c
s
= 8,6.10
4
(Ns/m), k
s
= 9,12.10
6
(N/m).

Cầu: E
c
= 1,97.10
11
(N/m
2
), E
g
= 0,38.10
11
(N/m
2
), I
g
= 1,48 (m
4
), 
a
= 750.10
6
N/m
2
, q
g

= 17.10
4
(N/m), q
q
= 6.10

4
(N/m), 
c
= 2,5.10
4
(N/m
3
), m
g
= 2,71.10
5
(N/m).
Phân chia mô hình cầu thành 403 đoạn, chiều dài mỗi đoạn h = 1m.
Xét 10 mode dao động đầu tiên.
2.4.2. Kết quả
Tần số dao động tự do ứng với các mode dao động:
Mode dao động 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F (Hz) 0,36 0,47 0,60 0,76 0,99 1,29 1,65 2,08 2,56 3,11