MỘT SỐ BI TON CC TR
TRONG HNH HC GII TCH LP 12
!"#$%&'(&$%)$*' '+$,-*.%
/$"01*'+$'(&*2$%&*'#$ '345
60-782/49:98*"/'32+;7
*'&-
6#2"/<=>2'82/
4=:49$/.4*2=?'@$;4A-B#*
#;CD"/4EE4#<1*)F2"E
*' 9+'*/"3$ / -
G)H$F$<F$3$'*$$
2$=$I*$ J"JD;4#
<'K3;66<=/22'3
L ! "#$ %&'()*
MM-+,-.,/01+23.453567
( 89%:
N;'K'@*04#</J'K'@25J3-
N;<F#2'@4O;6"/
2$=-
NP9;645Q4#J1*;4652'3-
)1 ;< =
>R"$>#(*'+S0/J
>B3;0$>4#<4=*4=T$
"U4#<"3"' 4=*-
N7*;?;2#$=-
?@.
( AB%C%89
P>;4=:4#<$/;2J4
O2-QU4#<VT;9'@U4#<
8*$ 6W<4='%*24#<8*X-
2'312#Y*' 4=*'+
/'@'%*-
) D8
Trang 1/23
Z
)( E%FGDF HIJK:LDM
H !"!#!$%&'&("))*##+,-$. /0" 123!4")567
NR/#"=91*[W\X-
NG#'(&[W*["/"=9
"W\XX
N$*'+$1*["/W\X-
• B#2)$'+$[]'?^<"[*$%
&W\X*"V$#1*[W\XY
=<'+$;2**' []-
8 !"!#!$%&'&("))*##+,-$. /0"-9:")2!4");
NG#*$;?1*
NR
∈
d
9*' *$;?
N/ #"= 91*'+$ [4
_=
r uuuur
d
u MH
N$;2**' 1*-
2.2 Ca N%OP8HJ Q !G G JRG SHJT8<U K&
V(W!<"-$. =
>=
>
=
"
>'?$"@AB
>B
>>B
"
2!C,B
DB
DEDB
"
FBGH'I
-9:")2!4");!,J 123!4")567 -$. 2K0"-9:")2!4");!,J 123!4")567
@,<#!<
+ + +
uuur uuuur uuuur
#*)$L2KM"!C"!N2-
#!&")
− $'+$MA*
4 M` a4 M` a a4 M` _=
uur uuur uuur r
− b#'c
4 [` a4 [` a a4 [` d W4 a4 a a4 X[M d 4 [M
uuuur uuuuur uuuuur uuur uuur
− $"01*[4
[M
uuur
'0A>-
$O$
X R'+$MA*
uur uur r
IA + IB = 0
M/'+$`b"/MW_eefX
g'9
= + =
uuuur uuur uuur uuur uuur uur uuur
MA + MB MI + IA + MI IB MI
90A>
⇔
uuur
MI
A>
Z
[/#"=91*M'(&-
7(&9"
r
u = (1; 1; 1)
*$;?!
x = 4 + t
y = -1 + t
z = t
*' [WafeNaeX
uuur
IM = ( t+4; t-3 ; t - 4)
4[/#"=91*M
'(&
- _
=
uuur r
IM u
*2ZhZd_
Z
d-GJ2[Wie_eX-
X R'+$jW^e2ekXA*
uur uur r
JA - 4JB = 0
*9!W_h^eh2eihkXhfW_h^eZN2eZNkXdW_e_e_X
Trang 2/23
X$DM(WP'(&
( )
!
x- 4 y+1 z
d = =
1 1 1
"/*'+$
( )
A 0;1;5
( )
B 0;3;3
-
$*' '+$['&;*!
X
uuuur uuur
MA + MB
90A>-
X
uuuur uuur
MA - 4MB
90A>-
⇒
^d_e2d
Z
i
kd
l
Z
"J2jW_e
Z l
e
i Z
X
g'9
X Z Z
= + = − =
uuuur uuur uuur uur uuur uur uuur uuur
MA - 4MB MJ+ JA- 4(MJ JB MJ MJ
90A>4[/
#"=91*j'(&-
*' [WfaeNaeX
m l
i i
uuur
JM = ( t+ 4; t - ; t - )
4[/#"=91*j
'(&
- _=
uuur r
JM u
*2ZhZd_
Z
d
GJ2[Wie_eX
uuuur uuur
MA - 4MB
90A>-
$O$
X RRA*
uuur uuur uuur r
GA + GB +GC = 0
R/8$1**$`bP"/RW_eNeX-
*9
+
uuuur uuur uuur
MA + MB MC
d
+ + +
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
MG + GA + MG GB MG GC
d
Z
uuuur
MG
90A>4[
/#"=91*R$%&W\X-
7(&[RJ
r
n = (2; -2; 1)
/$$ ":*$;?
1*[R/!
x = 2t
y = -2-2t
z = 1+3t
-*' [<"/5$!
fhWNNXaZWaZXa_d_
l l _
⇔ + = ⇔ = −
GJ2"[WNe_eNX
+
uuuur uuur uuur
MA + MB MC
90A>-
X RMW^e2ekX/'+$A*
Z _
+ =
uur uur uur r
IA -2IB IC
*9
WN^eN2eNkXNWNN^eN2eNkXaZWN^eNlN2eNkXdW_e_e_X
Z Z
^dfe2dN ekdN
⇒
"J2
Z Z
e X
− −
I(4;
*9!
Z
+
uuuur uuur uuur
MA -2MB MC
d
X ZW X
+ + +
uuur uur uuur uur uuur uur
MI+IA -2(MI IB MI IC
d
uuur
MI
90A>4[/
#"=91*M$%&W\X
n*$;?1*'(&[M!
Z
Z
−
−
x = 4+2t
y = -2t
z = +3t
*' [<"/5$!
Z Z
Wf X W X ZW ZX _ _
+ − − − + − + + =
lZ lZ
l _
Zf
⇔ + = ⇔ = −
GJ2"
i fi Zi
e e X
l Zf l
− − −
M(
Z
+
uuuur uuur uuur
MA -2MB MC
'0A>-
Trang 3/23
X$DM)WP$%&W\X!^h2aZka_d_"/*'+$
( )
A 1;0;1
( )
B -2;1;2
( )
C 1;-7;0
-$'+$[$%&W\X;*!
X
+
uuuur uuur uuur
MA + MB MC
90A>-
X
Z
+
uuuur uuur uuur
MA -2MB MC
90A>-
V)W!<-,)$L#=
=
E
=
"
'I"@A2!P#B
>B
>E>B
"
2!C,B
DB
DEDB
"
FB
-$. 2!&Q# 12 3!4") 5 !,J -9:") 2!4")7 @,< #!< 2R") F
+ + +
-S2)$L2KM"!C"!N2!<1#)$L2KM/?""!N2
#!&")
N $'+$MA*
4 M` a4 M` a a4 M` _=
uur uuur uuur r
N b#'c!d
+ + +
n
k MA k MA k MA
d
d
W4 a a4 X[M
a
+ + +
n
k IA k IA k IA
a
[MW4 M` a a4 M` X
uuur uur uuur
d
4[M
a
+ + +
n
k IA k IA k IA
o
+ + +
n
k IA k IA k IA
4='cb+<A>%>4[MA
>*2[/#"=91*M$%&*2'(&-
!TU
V%&B
DB
DEDB
"
FBWH>$.&2!X#-S2)$L2KM"!C"!N2"!C"!N2
V%&B
DB
DEDB
"
FBYH>$.&2!X#-S2)$L2KM/?""!N2B!$"!C"!N2
$O$
1) R'+$MW^e2ekXA*
uur uur r
IA + IB = 0
M/'+$`b"/
Z Z
We e X
−
I
*9![`
a[b
d
W[MaM`X aW[MaMbX
uuur uur uuur uur
M` aMb a[M a[MWM`aMbX
=
uuur uur uur
d
M` aMb a[M
o
M` aMb
4='c[`
a[b
A>4[M
90A>*2[/
#"=91*MW\X-7(&M[*'+$M"/9"
\
WeeX=
r
n*$;?[M!
Z
Z
−
x = 2+t
y = + 2t
z = +2t
*' [<"/5$!
Z Z
W X W X l _ p p _
+ + + + − + + = ⇔ + = ⇔ = −
l
We e X
⇒ − −
M
GJ2"
l
We e X
− −
M
[`
a[b
90A>-
!Z"[\2
]?$/I2K&")-$. =2!=
D
F
D
>;<=
B!(")-R$"0"
=
D
"!C"!N2B!$
#*)$L2KM"!C"!N2>!,J/I!"!#!$%&'&("))*##+,
/0"567
2) RjW^e2ekX/'+$A*
uur uur uur r
JA - JB -JB = 0
Trang 4/23
X$DM(WP$%&W\X!^a2akald_"/*'+$`WeeNXbWZeeNX
PWeNeX-
X $[$%&W\X;*[`
a[b
90A>-
X $[$%&W\X;*[`
N[b
h[P
90>-
*2
W ^e 2e kX WZ ^e 2e kX W ^e 2e kX W_e_e_X
− − − − − − − − − − − − − − =
Z ^ _
Z 2 _ jWZe Ze_X
k _
− + =
⇔ + = ⇔ −
=
*9![`
N[b
h[P
d
W[jaj`X NW[jajbX W[jajPX
−
uuur uur uuur uur uuur uur
j ` jb jP [j a[jWj` jb jPX
= − − − − −
uuur uur uur uur
j` jb jP [j
= − − −
o
j` jb jP
− −
4='c[`
N[b
h[P
>4[jA>*2[/
#1*j$%&W\X-
7(&j[*'+$M"/9"
\
WeeX
=
r
n*$;?[j!
x = 3+t
y = -3+ 2t
z = 2t
*' [<"/5$!
f
Z W Z X - l _ p f _
p
+ + − + + + = ⇔ + = ⇔ = −
Z Zi m
W e e X
p p p
⇒ − −M
GJ2"
Z Zi m
W e e X
p p p
− −
M
[`
N[b
h[P
90>-
$O$
X R'+$MW^e2ekX/'+$A*
uur uur r
IA -2 IB = 0
X *2!
W ^e 2e kX W ^e 2e kX W_e_e_X
− − − − − − − − − =
f ^ _
Z 2 _ MWfe ZeqX
Nqak _
− + =
⇔ + = ⇔ −
=
*9[`
N[b
d
W[MaM`X W[MaMbX
−
uuur uur uuur uur
M` Mb [M a[MWM` MbX
= − − −
uuur uur uur
M` Mb [M= − −
o
M` NMb
4='c[`
N[b
>4[M
90A>*2[/
#"=91*M-
7(&9"
WeeX
=
r
u
*$;?!
x = 1+t
y = 2+ 2t
z = 3+ t
[ [W e eZ X
∈ ⇒ + + +
uuur
IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3)
4[/#"=9
1*M'(&
- _
=
uuur r
IM u
l
q f _ W e e X
Z Z Z Z
⇔ + = ⇔ = − ⇒
t t M
GJ2"
l
W e e X
Z Z Z
M
[`
N[b
90>-
Trang 5/23
X$DM)WP'(&9!
x-1 y-2 z-3
= =
1
"/'+$`W_eeNX
bWeNeXPWfeZeZX-K2$*' '+$[;*
X [`
N[b
90>
X [`
a[b
a[P
90A>-
!Z"[\2 !"
G
[ [W e eZ X
∈ ⇒ + + +
G/[`
N[b
dWaX
aWaX
aWaiX
hrWNX
aWaZX
aWaX
dNq
hmai
sE/$;?
W X q h m i# $
= − + ∈
-
7/$
tW X h m tW X _
Z
# #
= − = ⇔ = −
b#
−∞
Z
−
+∞
#%&' a_
#&'
Z
Z
−∞
−∞
Q#*>2#&''0>4
Z
= −
-
*2[`
N[b
90>4
l
W e e X
Z Z Z
M
XR'+$RW^e2ekX/'+$A*
uuur uuur uuur r
GA + GB +GC = 0
RWeeX/8$
∆
`bP-
*9!
[`
a[b
a[P
d
W[RaR`X aW[RaRbX aW[RaRPX
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
d
R` Rb RP aZ[R a[RWR` Rb RPX
+ + + +
uuuur uuur uuur uuur
d
R` Rb RP aZ[R
+ +
o
R` Rb RP
+ +
4='c[`
a[b
a[P
A>4[RA>*2
[/#"=91*R'(&-
[ [W e eZ X
∈ ⇒ + + +
uuuur
GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)
g[/#"=91*M'(&
- _
=
uuuur r
GM u
i
q Z _ W ee X
⇔ + = ⇔ = − ⇒t t M
-
GJ2"
i
W ee X
M
[`
a[b
a[P
90A>-
VYW!< 123!4")567#*3!9^")2K"!,[D8JD#_D;FH'I!,$-$. =>
B!(")2!&Q#567 -$. 2K0"567@,<#!<=D#*)$L2KM"!C"!N2
#!&")
B#W*^
`
a2
`
ak
`
aXW*^
b
a2
b
ak
b
aXu_`bH$"3**"W\X-7+
[`a[bA>4[ `b*2[/*'+$1*W\X"/`b-
B#W*^
`
a2
`
ak
`
aXW*^
b
a2
b
ak
b
aXv_`bH$"3$ *"W\X-
g'9*$'+$`]'?^<"`*W\X-o[`a[bd[`]a[b$/'
0A>4[ `]b*2[/*'+$1*W\X"/`]b-
Trang 6/23
$O$
*2*' 1*`"/b"/W\X*>2*'+$H$"3**1*W\X-
*9[`a[b90A>4[/*'+$1*`b"/W\X-
7(&`b*'+$bJ
We e_X
= −
uuur
AB
/$":-
n*$;?1*`b!
(
)
*
= +
= −
=
-*' [<"/5$!
ahWNXN-afd_
Z _
Z
⇔ + = ⇔ = −
-*2
f
W e eX
Z Z
M
/'+$)$-
$O$
X*2*' 1*`"/b"/W\X*>2*'+$H$"3$ *1*W\X-
R`]/'+$'?^<"`*W\X'+[`a[b90A>4[/*
'+$1*`]b"W\X-
7(&``]'*`"/"=9"W\X``]J
We eX
α
= −
uur
n
/$":
*$;?``]!
(
)
*
= +
= −
= − +
*' #"=91*`W\X<"1*
ahWhXaWNaXd_
⇔
qhZd_*2d
Z Z
W e e_X
⇒
o/'+$``]
t
t
t
tWe e X
+
+
+
− =
− = ⇒
− =
x = 2x x
y =2y y A
z = 2z z
-`]b9"
We_e ZX
= −
uuur
A'B
n*$;?`]b!
Z
= +
=
= −
x t
y
z t
*' [<"/5$!
ahaWhZXd_
Z
i Z _
i
⇔ − + = ⇔ =
*2
Z f
W ee X
i i
−
M
GJ2"
Z f
W ee X
i i
−
M
[`a[b90A>-
X*2*' 1*`"/P"/W\X*>2*'+$H$"3**1*
W\X-GJ2`]"/PH$Y$ *'?"W\X-
*>2
= ≤
MA - MC MA' - MC A'C
-
Trang 7/23
X$DM)WP$%&W\X9!^h2akd_"/*'+$`WeeNXbWZe
eNXPWeNeNX-K2$'+$[;*
X [`a[b90A>
X
MA - MC
90>-
X$DM(W4=*"5*' w^2k$%&W\X9!
^h2hkafd_"/*'+$`WeeXbWe_eX-$*' '+$[$%
&W\X;*[`a[b90A>-
B
MA - MC
'0>4[ `]PI*/'`]P<[
/*'+$1*`]P"/W\X-7(&`]P9"
W e Ze ZX= − − −
uuuur
A'C
n*$;?`]P!
Z
Z
= −
= −
= −
x t
y
z t
*' [<"/5$!
NNWhZXaWNZXd_
Z
f Z _
f
⇔ − + = ⇔ =
*2
i i i
W e e X
f f f
− −
M
GJ2"
i i i
W e e X
f f f
− −M
MA - MC
90>-
VZW!<-9:")2!4");'I!,$-$. 3!`"8$a2=>B!(")2!&Q#; -$.
2K0"-9:")2!4");@,<#!<=D#*)$L2KM"!C"!N2
#!&")
( Q8D[7V[8\;[& H8
*/$;*!
N G#$%&W\X*`b"/"=9"
N $*'+$[1*`b"/W\X
N g#J[/'+$)$-
) Q8D[7V< \[8\;[& H8
*/$;*!
N 7*1*"3*$;?"#*' 1*[*$;?
N +<[`a[b^E/$;?xWXd[`a[b
N 0A>1*/$;?xWXQ'9;2*
N *' 1*["/4#J-
$O$
7(&9*$;?
Z
(
)
*
= +
= − −
= +
*'+$BWeNeZX9"
We eX
= −
r
u
"/
Wleie fX
= −
uuur
CD
*9
r
u
-
uuur
CD
dfN_hfd_
⇒ ⊥
d CD
-sE$%&WnX*Po"/"=9"
WnX*'+$PWNfeeX"/J
We eX
= −
r
u
/$"2#
nWnX!W^afXhW2NXaWkNXd_*2^h2akapd_
7+$[ A*[Pa[o'0A>4[/*'+$1*"/$WnX-
*' [<"/5$1*!
afafafaZaapd_
_
⇔ = ⇔ = −
9t + 18 t
GJ2[WNZeeX[Pa[o'0A>H!
l+
$O$
Trang 8/23
X$DM(WP'(&
( )
!
−
x-1 y + 2 z-3
d = =
1
"/*'+$PWNfeeXoWZeqeNZX-
K2$'+$[;*[Pa[o'0A>-
X$DM)WP*'+$`WZe_eXbWee_X-K2$'+$[Dw^;*
[`a[b'0A>
w^9"
We_e_X" =
r
*wW_e_e_X`b9"
W ee X
= − −
uuur
AB
"/
- _" = − ≠ ⇒
r uuur
AB
w^"/
`b4="=9-
*9
r y"
r uuur uuur
AB OA
dW_eeXWZe_eXd_aqadm`b"/w^E*-
n*$;?1*w^!
_
_
(
)
*
=
=
=
-
W e_e_X
∈ ⇒
M Ox M t
zd[`a[bd
_ f _+ + + + +(t -3) (t -2)
d
f + + +(t -3) (t -2)
*$;*z'0A>-$%&*' "5w^2^E
'+$[
We_X
∈Ox
"/*'+$`
WZeXb
WeXzd[
`
a[
b
-
*>2`
b
H$Y*"w^*>2`
]WZeNX'?^<"`
*w^-
n'(&`
tb
!Z^a2hld_
zd[
`
a[
b
A>4[/*'+$1*w^"/`
tb
⇒
ZNld_*2
l
Z
=t
-
GJ2
l
W e_e_X
Z
M
/'+$)$-
< !,#*2!.2 -$. 8b")3!9^")3!L3B!O<@L2!I @A
*^E/$;?
( )
f #
= + + +
(t -3) (t -2)
W
$
∈
X
( )
( ) ( )
Z
Z f
− −
′
= +
− + − +
f t
e
( )
( ) ( )
Z
_ _
Z f
− −
′
= ⇔ + =
− + − +
f t
( ) ( )
W ZX W X
Z f
− − −
⇔ =
− + − +
W{X"'345||Z*9!
W{X
( ) ( ) ( ) ( )
Z r y r Z fy
⇔ − − + = − − +
( ) ( )
Z W X
Z f
Z W X
− = −
⇔ − = − ⇔
− = − −
reZy
l
Z
= ∉
⇔
=
b#1*/$;?#&'!
−∞
l
Z
+∞
#%&' N_a
#&'
+∞
+∞
Zm _
Z
+
Q#;2*
( )
l
$
Z
# #
=
÷
d
Zm _
Z
+
Trang 9/23
GJ2[`a[b'0A>H
Zm _
Z
+
''@
l
Z
=
</[W
l
Z
e_e_X
$O$
7(& 9*$;?
(
)
*
= +
= +
= +
*'+$BWeeX9"
WeeX
=
r
u
"/
WeZe X
= −
uuur
AB
-*9
r
u
-
uuur
CD
dfaqhdp}_
⇒
4="=9"
`b"/
r y
r uuur uuur
u AB NA
dWNiefeXWNeNe_Xd_hfdq
⇒
"/`bE*-
NP"*$[`b/dW[`a[ba`bX`b4='c'0
A>4[`a[b'0A>-
sE'+$
W e e X
∈ ⇒ + +
M d M 2+2
*$'+[`a[b'0A>
sE
( )
[`a[bd W X W X W X W X W X#
= + + + + + + − + +
( )
d p i p q i#
+ + + − +
d
WZ X WZ X f
+ + + − +
P9'/$
Z Z
tW X
WZ X WZ X f
#
+ −
= +
+ + − +
Z Z
tW X _ _
WZ X WZ X f
#
+ −
= ⇔ + =
+ + − +
Z WZ X
WZ X WZ X f
+ − −
⇔ =
+ + − +
"
Z Z
− ≤ ≤
WZ X rWZ X fy WZ X rWZ X y
⇔ + − + = − + +
i
WZ X Z
Z
fWZ X WZ X
WZ X Z
Z
Z
−
=
+ = −
⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ = −
+ = − +
= −
b#1*/$;?#&'!
−∞
Z
−
+∞
#%&' N_a
#&'
+∞
+∞
Z
*>2#&''0A>H
Z
4d
Z
−
*2"
f
e e X
Z Z Z
M(
[`a[b'A>H
Z
!Z"[\2K<");S")2<L""IJ"%&2,;c")3!9^")3!L3B!O<@L2!I @A2!'$a#2
2@d-^")$O"!^"
Trang 10/23
X$DMYWP'(&
( )
!
x-2 y-2 z -1
d = =
1
"/*'+$`WNeeXbWefe_X-K2
$'+$[;*"*$[`b'0A>-
V]W !<!,$-9:")2!4");
>;
#!\<"!,& #L#-$.
∈
;
>
∈
;
/I
#!`"-<S"'&("))*##!&")#+,!,$-9:")2K0"
#!&")
N G#*'(&*$;?
N ~>2[
∈
d
"/B
∈
d
W*' *$;?X-
N R5
- _
=
uuuur r
MN u
"/
- _
=
uuuur r
MN u
W
r
u
r
u
/"E:1*
"/
X-
N $*' [B"/4#J-
$O$
X
*[
WieNeX9"
Wee X= −
uur
u
*[
WNfeZefX9"
W leeZX= −
uur
u
*9r
uur
u
uur
u
y
uuuuuur
M M
dWmefeqXWNpefeNlXdNlaqhdNqm
_
≠
*2
"/
E*-
X-[
∈
"/B
∈
;*' /[BT>4"/:4[B/' /'
"=91*
"/
-
n*$;?1**'(&
!
i
= +
= − +
= −
x t
y
z
!
f l
Z
f Z
= − −
= +
= +
x t
y
z
[
∈
[WiaeNaeNXB
∈
BWNfhl]eZa]efaZ]X
W
=
uuuur
MN
Nl]Nhpe]hafeZ]ahlX
*9
- _ q t q q _
q t q i_ _ t
- _
= − − + = =
⇔ ⇔
+ + = = −
=
uuuur r
uuuur r
MN u
MN u
o'9[WleZepX"/BWZeeX' /[BT>H
-
$O$
Trang 11/23
X$DM(!P*'(&
!
x-5 y+1 z -11
= =
-1
!
l Z
−
x+ 4 y-3 z - 4
= =
X P<$
E*
X $'+$[
∈
"/B
∈
;*' /[BT>-
X$DM)WP'(&!
f
= +
= +
= −
x t
y
z
"/*'+$`WeeZXbWe_eX-$'+$[
;**$[`b95A>
N ~>2'+$[R/#"=9 1*
[`b
N *$[`b95zd
AB.MH
'0
A>4[A>*2[/'"= 9
1*`b"/-
*>2*[
WefeNX9"
Wee_X=
r
u
`b*`WeeZX"/
=
uuur
AB
W_eNeNXd
−
uur
u
"
W_eeX=
uur
u
/"E:1*`b
n*$;?`b
t
Z t
=
= +
= +
x
y
z
[WaefaeNX
∈
Wea]eZa]X
∈
AB
W
=
uuuur
MH
NNe]hNe]aiX
*9
- _
t Z t Z
t Z Z
- _
=
− = = −
⇔ ⇔
− = − = −
=
uuuur r
uuuur uur
MH u
MH u
GJ2[WNeeNXWeNe_X4'9[d
Z
`bd
o5
q
,
∆
= =
MAB
AB.MH
$O$
N R;C$%)WzX98$M4•#^F"[#^F"w^B
N *>2•dM[aMB€[B'9$%)WzX9'(4A>/•d[B
4"/:4[BA>*2[B/'"=91*"/w^-
7(&*[W_e_eX9"
W_ee X
= −
r
u
w^*wW_e_e_X9"
We_e_X"
=
r
-
r
r
u
"
r
y
uuuur
OM
dW_e_eNXW_e_eXdN
_
≠
"/w^E*-
G[W_eeNX∈BW]e_e_X∈w^"/
W
=
uuuur
MN
]eNehX
*9
- _ _
t _ t _
- _
"
= − − + = =
⇔ ⇔
= =
=
uuuur r
uuuur r
MN u
MN
GJ2[W_eeXBW_e_e_X•w
[%)WzX98$MW_
e e X
4•d
=
MN
n$%)WzX!
W X W X
( ) *+ − + − =
%OP8HJQ[$^HJK_ `aGb' `
Trang 12/23
X$DMYWP'(&!
_
=
=
= −
x
y
z
-$%)#^F"*'(
&"/Dw^K2"#$%)WzX94A>-
V(W!<!,$-$. 3!`"8$a2=>]$%23!9^")2K"! 123!4")567-$e&,='I
#L#! Q2B!<O")/?""!N2
#!&")W
R/#"=91*b$%&W\X4'9
*$`b"="/4WbeW\XXdb|`b-
GJ2WbeW\XX>H`b4`•4'9W\X/$%
&'*`"/"=9"`b-
$O$W
W\X'+$MWZeNeNX$ 4>4W\X/$%&'*o"/"=
9"oM-W\XJ
We
=
uur
DI 1; -5)
/$"2#
n$%&W\X!W^NXaW2aXhiWkNZXd_
⇔
^a2hikaid_
$O$
[%)WzX94•dW`eW\XX>4W\X*b"/"=9"`b
We
=
uuur
BA 2; 2)
/"E2#1*W\X
nW\X!W^NXaW2aXaWkhXd_
⇔
^a2akhd_
•dW`eW\XX
q
Z
+ + −
=
+ +
n$%)WzX!W^NX
aW2NX
aWkhZX
dp-
V)W!<-$. ='I-9:")2!4")fB!(")-$e&,=]$%23!9^")2K"! 12
3!4")567#!X,f@,<#!<B!<O")#L#!2g=-%"567/?""!N2
#!&")W
R/#"=91*`$%&W\X
g/#"=91*`c
*9W`eW\XXd`|`g>•g4'9
W\X/$%&'*c"/"=9"`g-*2W\X*c
"/"=9"$W‚`X-
$O$!
[%&W\X'**'+$`b"/P$ 4>4W\X'**
'+$`b"/"=9"$W`bPX-
We e X
= − −
uuur
AB
W e Ze X
= − − −
uuur
AC
W`bPX9"E2#
r y W efe iX
= = − −
r uuur uuur
n AB AC
W\X9"E2#
r y W p qe ZX ZWZeeX
α
= = − − − = −
uur r uuur
n n AB
nW\X!ZW^hXaW2hXaWkhZXd_
⇔
Z^a2akhd_-
Trang 13/23
X$DM(WG#$%&W\X'*'+$oWeNeZX"/'+$MWZe
NeNX$ 4>-
X$DM(
!P*'+$`WeeZXbWZe_eXePW_eNeX-G#$%&
W\X'**'+$`b"/P$ 4>-
X$DM)WP*'+$`WeeZXbWeNeXW\X/$%&*`-
$%)8$`"/#^F"W\X"#$%)WzX94>-
$O$
X
*[
WeeNX9"
Wee X= −
uur
u
*[
W_eZeX9"
W e fefX= − −
uur
u
*>2
= −
uur uur
u u
"/
[
∉
*'(&;;
"*-
XsEW\
X/$%&<*
"/
W\
X9"E
2#
r y WmeeqX WfeeZX
= = = =
r uur uuuuuur uur
1 1 2
n u M M n
gU*
"/W\X/>4W\X"=9
"W\
X-
o'9W\XJ
r y Wme e lX
= − −
uur uur
1 2
u n
/"E2#*
[
WeeNX-
nW\X!mW^NXNW2NXNlWkaXd_*2m^h2hlkhd_-
VYW!< 123!4")567'I-$. =2!&Q#567>/NJB!(")2!&Q#567 -9:")
2!4")f"b 2K<")567-$e&,='I#L#! Q2B!<O")/?""!N2>"!C"!N2
#!&")
R/#1*bc*>2Wbecdeb|`b
GJ24Qb'#c>4
`•*2‚/'(&H$
W\X"/"=9"`b-
Rg/#"=91*
bW\X4'9WbeW\XXdb€bg
GJ24Qb'#cA>4
g•*2‚/'(&'**
'+$`g-
$O$
*>2W\X9"E2#
We eX
α
= −
uur
n
XR/#"=91*bW\X
nb!
Z
i
= +
= −
= +
x t
y
z t
*' '+$<"/5$1*!
Trang 14/23
X$DM)WP*(&
!
( ) *
− − +
= =
−
Z
!
f f
( ) *
− −
= =
− −
X P<$*'(&;;"*-
X $%&<*
K2"#$%&W\X;*
4U*
"/W\X/>-
X$DM(!P$%&W\X!^h2akaid_"/'+$`WNZeZeNZX-
G#'(&‚H$W\X*'+$`"/'+$bWeZeiX
$ 4!
XBA> - X~>-
WaXNWZhXaiaaid_
⇔ = −
*2WNeleZX
*>2Wbe‚XA>4‚'**'+$`"J2
WefeqX=
uuur
AH
/"E:
1*‚-
n1*‚!
f q
= =
x+3 y-3 z +3
X*9!Wbe‚X>4‚/'(&H$W\X*`"/"=9`b-
‚9"E:
r y Wqee _X
α
∆
= = −
uur uuur uur
u AB n
n1*‚!
q _
= =
−
x+3 y-3 z +3
$O$!
sE$%&W\X*P"/"=9"W\XJ
Wee X
=
r
u 3
/$"E
2#‚H$W\X-
o"J2Woe‚X>4‚H$W\X*P"/"=9"Po-
‚9"E:
r y We meiX
α
∆
= = −
uur uuur uur
u CD n
-
n‚!
m i
= =
−
x-2 y+1 z -3
$O$
X7(&*'+$[We_e_X9"
We_e X
=
r
u -1
W ee_X
= −
uuur
MB
r y WeeX WeeX
α
= = =
uur uuur uur
u MB n
W\X'*bJ
WeeX
α
=
uur
n
/$"E2#W\X!^a2akhd_-
XR/#1*`W\X'+W`‚
XA>4‚
'**'+$b-
n*$;?`!
= +
= +
= − +
x t
y
z
*' <"/5$!
aaaNahd_
Z _
Z
⇔ + = ⇔ = −
i f
W e e X
Z Z Z
−
⇒
m f f f f
W e e X We e X
Z Z Z Z Z
− −
= = − − =
uuur uur
1
BH u
⇒
‚
J
uur
1
u
/$"E:
*>2
uur
1
u
"/
r
u
4=Y"/‚
T*WY $W\XX
Trang 15/23
X$DM)WG#'(&‚'*'+$PWeNeZX"=9"
'(&!
Z
= =
x-3 y+2 z +5
"/'+$oWfeNeX$ 4>-
X$DMYWP*'+$`WeeNXbWNee_X"/'(&!
_
= +
=
= −
x t
y
z t
X G#$%&W\X'*"/b-
X G#'(&‚
'*bT;*4Q`
'#‚
>-
ZX G#'(&‚
'*bT;*4Q`
'#‚
A>-
GJ2‚
!
= =
− −
x+1 y-2 z
ZXRg/#1*`‚
*9W`‚
Xd`g|`b'+W`‚
X>4
g•b*2‚
H$W\X"/"=9"`b-
*9
r y W_e fefX fW_ee X f
α
= − = − − = −
uur uuur uur
n AB u
⇒
‚
J
uur
u
/$"E:$%
4
uur
u
"/
r
u
4=Y"/‚
T*WY $%&W\XX
n‚
!
= −
= +
= −
x
y
z
!TU,#*2!.;c")3!9^")3!L3B!O<@L2!I @A-h)$O$U'IUi2K<")'j;ki
R‚
/'(&ƒ„'*b"/T;C‚
T'+$BWa_eNX4
'9‚9"E:
W ee X
= − −
uuur
NB
*9
W ZeeX= −
uuur
AB
r y W e ef X
= − − −
uuur uuur
NB AB
G/W`e‚Xd
r y
W X W X Wf X
W X W X
− + − + −
=
− − + +
uuur uuur
uuur
NB AB
NB
d
Z _
f
− +
+ +
sE/$;?
Z _
W X
f
#
− +
=
+ +
9
q qf
tW X
W fX
#
−
=
+ +
"$
∈
•
tW X _
#
=
= ⇔
= −
b#1*
W X#
−∞
-2
+∞
#%&' a_N_a
#&'
11 3
Z
Z
Q#*>2!
• W`e‚X>H
4dN
⇒
BWNe_eXe
W_ee X W_ee X
= − = −
uuur
NB
"/'(&)$9/!
= −
= +
= −
x
y
z
• W`e‚XA>H
Z
4d
⇒
BWZe_eNXe
W feeX We e X
= − = − − −
uuur
NB
"/'(&)$9/!
= =
− −
x+1 y-2 z
Trang 16/23
VZW!< 123!4")567'I-$. =2!&Q#567>-9:")2!4");B!(")@<")@<")
!<1#"b 2K0"567'IB!(")-$e&,= -9:")2!4")f"b 2K0"567>-$e&,=@,<
#!<B!<O")#L#!)$l,f'I;/I/?""!N2
#!&")
R
/'(&*`"/;;"b
/*'+$1*"W\X-
sEWnX/$%&W
‚X"/M/#"=
91*bWnX"/
-
*>24U*‚"//b"/b|bM
b>4M•4'9‚9"
r y
α
∆
=
uur uur uur
u BI n
-
$O$
7(&9"
=
r
u
WeeNXW\X9"
α
=
uur
n
WeNeX
n*$;?!
Z
= +
= +
= −
x t
y
z t
Rb/*'+$1*"/W\X*' b<"/5$!
ahhhZaafd_
⇔
dN
⇒
bW_e_efX
sE
/'(&*`"/;;"
n*$;?'(&
!
= − +
= +
= −
x t
y
z t
RM/#"=91*b
⇒
MWNaeaehX
=
uur
BI
WNaeaeNihX
*9
- _=
uur r
BI u
⇔
NaaWaXhWNihXd_
⇔
dN
⇒
MWNeNeX
7(&‚9"
r y
α
∆
=
uur uur uur
u BI n
dWNieN_efX‚!
i _ f
= =
− −
x+1 y-1 z -1
-
$O$
[%&W\X*`"/;;"WnX9!^a2hkad_
⇒
H$W\X-
7(&‚9"
=
r
u
WeeNZXW\X9"
α
=
uur
n
WeeNX
Trang 17/23
X$DM(WP'(&!
= =
−
x-1 y-2 z -3
$%&W\X!^h2hkafd_"/
'+$`WNeeX-G#'(&‚H$W\X'*`;*
4U*‚"//>-
X$DM)WP$%&WnX!^a2hkad_'+$`WeNeX"/'(&‚
!
Z−
x+1 y z-4
= =
-'(&'*`"/;;;"WnXK2"#
'(&;*4U*"/‚>-
n*$;?‚!
f Z
= − +
=
= −
x t
y
z t
Rb/*'+$1*‚"/W\X*' b<"/5$!
NaahWfNZXad_
⇔
d
⇒
bW_e
e
i
X
sE‚
/'(&*`"/;;"‚
n*$;?'(&‚
!
Z
= +
= − +
= −
x t
y
z t
R/#"=91*b‚
⇒
WaeNaehZX
=
uuur
BH
WaeN
Z
eNZX
*9
- _
=
uur r
BI u
⇔
afaN
Z
apd_
⇔
d
m
−
⇒
uuur
BH
dW
Z
f
e
fZ
m
−
e
Z
m
Xd
m
WqeNfZeZXd
m
r
u
7(&9"
r y
α
=
uur uur uur
u u n
dWf_epeqpX-
n!
f_ p qp
= =
x-1 y+1 z -2
V]W!<!,$-9:")2!4")f
'If
3!`"8$a2'IB!(")@<")@<")'?$"!,&]$%2
3!9^")2K"! 123!4")567#!X,f
'I2S<'?$f
Q2)*#/?""!N2
:$)$O$
G…$ '(&>4ƒc
Y
;;"‚
"/T‚
[-RM/'+$?'0
c
Y
"//#"=91*M$W\X4†Mj
⊥
‚
R9U*W\X"/c
)
/9
·
IMH
*$"=[j9;
·
IMH
d
≥
HM MJ
IM IM
4='c
z2*9
·
IMH
>4[jd[M*2•j4'9
·
IMH
dWc
(
ac
)
d"/W\X/$%&<*c
(
'‡
("=
9"$%&Wc
(
ac
)
d
g'9W\XJ
r r yy
∆ ∆ ∆
r r r
u u u
/$"E2#-
$O$
7(&*'+$[WeNeX9"
We e X
= −
r
u
WeeX
=
uuur
AB
dv
r
n
d
r y W Ze ZeZX ZWee X
= − − = − −
r uuur
u AB
[%&W\X*'+$`"/J
r y WZe Ze_X ZWe e_X
= − = −
r uuur
n AB
/$"2#
n$W\X!W^hZXNW2afXd_*2^h2hld_
Trang 18/23
X$DM(WP'(&!
= =
−
x-2 y+1 z-1
"/*'+$`WZeNfeXbWfeNZefX-
G#$%&W\X<*`b"/"$ 9>-
g'9;WW\XXd
Z
i
i i
− +
=
$O$
[WX9"2#
We e X
-
= −
uur
n 2
-
sE'(&*`"/"=9"WnX9"E:
We e X
-
= −
uur
n 2
w29"E:
W_ee_X.
=
r
"/w24=;;-
/f#W\X"Dw29>W\X<*"/"=9"
$Ww2X'9W\XJ
r r yy
- -
.
r r r
dNWefeX/$"E2#W\X!
W^NXafW2NXaWkaXd_*2^af2akhfd_-
VfW!< 123!4")567'I-$. =2!&Q#567>-9:")2!4");B!(")@<")@<")
!<1#"b 2K0"567 -9:")2!4")f"b 2K0"567>-$e&,='I2S<'?$;)*#/?"
"!N2>"!C"!N2
#!&")
G…'(&
*`"/;;"-
>2'+$b4`/'+$?'0g/
#"=91*bW\X"/‚-
*99W‚Xd
·
BAH
"/;W‚Xd;
·
BAH
d
BH
AB
€
BK
AB
-o"J29W‚XA
>4g•*2‚/'(&`g-
R9W‚X>Hp_
_
4‚
⊥
"/‚9
"
r y
α
∆
=
uur uur uur
d
u u n
$O$
W\X9"2#
Wee X
α
=
r
n -1
9"
WeeX
=
r
u
*'+$[WNeeZX-
*>2`
∈
W\X$%4
α
r
n
_
≠
r
u
4=;;%H$W\X-
X‚
"$ 9>4‚
⊥
o'9‚
9":
r y
α
=
uur uur uur
d
u u n
dWNZeZe_XdNZWeNe_X
Trang 19/23
X$DM)WP'+$`WeeNX"/$%&WnX!^h2akad_-$%
&'*`"/"=9"WnX"#$%&W\X"Dw2
9>-
X$DM(WP$%&W\X!^a2hkhld_'+$`WeeNX"/'(&!
= =
x+2 y-1 z -3
-
X G#'(&‚
H$W\X'*`"/"$ 9
>-
X G#'(&‚
H$W\X'*`"/"$ 9
A>-
n*$;?1*‚
!
= +
= −
= −
x t
y
z
XsE'(&
*`"/;;"
n
!
= =
x-1 y-2 z +2
>2'+$bWeZeNX
∈
-
Rg/#"=91*bW\X-n*$;?1*bg
Z
= +
= +
= − −
x t
y
z
-
*' 1*g<"/5$1*!WaXaWZaXNWNNXNld_
⇔
pafd_*2d
f
p
−
_ p i
gW e e X
p p p
−
⇒
‚
"$ 9A>49'**'+$`"/g
Z
W e e X
p p p
=
uuur
AK
‚
*`WeeNX9":
p- WeeZX= =
uur uuur
u AK
n‚
!
Z
= =
x-1 y-2 z +2
$O$
7(&9"
WeeX
=
r
u
-
sE$%&W\X*`"/"=9"
⇒
‚H$W\X
W\XJ
WeeX
=
r
u
/$"2#-nW\X!^a2akhd_-
R/#"=91*bW\Xb9"
WeeX
=
r
u
n*$;?1*b
=
= − +
=
x t
y
z
*' 1*<"/5$1*!fNaahd_
⇔
qhfd_
Z
⇔ =
*2W
f f
e e
Z Z Z
−
X
‚ "`b$ 9A>49'**'+$`"/
f
W e e X
Z Z Z
−
=
uuur
AH
‚
*`We_e_X9":
Z- We feX
∆
= = −
uur uuur
u AH
n‚!
f
= =
−
x-1 y z
Trang 20/23
X$DM)W P*'+$`We_e_XbW_eNe_X"/'(&!
= =
x-1 y-2 z -3
-
G#'(&‚*`"=9""/"`b$ 9A
>-
V9''DM
V(WP*'+$`WeNeXbWNeeXPWeeNX"/$%&W\X9
^a2hkad_-
X $'+$[W\X;*[`a[b90A>-
X $'+$BW\X;*B`aBP90A>-
ZX $'+$zW\X;*z`
azb
hZzP
90>-
fX $'+$nW\X;*
f
−
uuur uur uuur
PA +2PB PC
90A>-
V)WP'(&
( )
!
x-2 y + 1 z+2
d = =
-1
"/*'+$`WZeeX
bWNeeNZX-K2$'+$[;*[`a[b'0A>
VYWP'(&
( )
!
x-2 y - 1 z-2
d = =
1
"/*'+$`W_eeX
bWeeZX-$'+$[;**$[`b95A>-
VZWP'(*&
!
Z
f
= −
=
= −
x
y
z
!
Z
= =
x-1 y-2 z +1
-$%)#
^F"*'(&
"/
K2"#$%)WzX94A
>-
V]WP*'+$PWeNeX"/'(&9
= =
− −
x-1 y- 4 z +1
-G#$%&WnX<*"/4QP'#WnX/
>-
VfWP'(&
$
!
W
= +
= + −
= +
x t
y m)t
z mt
"
∈¡
"/$/*$;?-
X P<$
$
='*$ '+$?'0"/H$$ $%&?
'0-
X $$'+4Q
$
'#?*' >A>
ZX $$'+4Q
$
"/Dw2>-
fX $$'+
$
"Dw^9>A>-
VgWP*'+$`WeZeNXbW_e_eX"/'(&9
= =
−
x-3 y+2 z -1
-G#'(&‚*'+$MWNee_X"=9"
Dw2"/"$ 9
-BA> -~>
Trang 21/23
VhW P'+$bWeNeNX$%&WnX!^h2akaZd_"/'(&!
= =
−
x-1 y-2 z -3
-$%&'*b"/"=9"WnX"#
$%&W\X"$ 9>
ViWP'+$`W_eNeX"/*'(&‚
!
Z−
x+1 y z-4
= =
!
) *
−
x
= =
!
Z Z
−
x+3 y+1 z-4
= =
-
X-G#$%&WnX*`'‡(;;"*'(&
-
X'(&'*`"/H$WnXK2"#'(
&;*4U*"/‚>-
V(jWP<5`bPo"`We_e_XbW_ee_XPW_e_eX"/oWNeNeNX-
X $'+$[;*
+ +
uuuur uuur uuur uuuur
MA + MB MC MD
90A>-
X $'+$B$%&W`bPX;*B`
hBb
hBo
)
90>
ZX PWnX/$%&*o"/;;"W`bPX'(&'
*o$WnX-K2"#'(&;*4U*
"/Dwk>-
V((WP*'+$`WeeNZXbWee_X"/'(&!
x-1 y-2 z-3
= =
1
G#'(&‚'*`T;*4Qb'#‚/
>-
V()WP*'+$PWeeNXoWeeX"/'(&!
−
x-2 y-2 z-3
= =
G#'(&‚'*PH$$%&WnX!^a2akNd_;*
4Qo'#‚/A>-
V(YWP'+$`WeeNX"/$%&W\X!^h2akad_-G#$%
&WnX*`"=9"W\X"/"wk$ 9>-
V(ZWP'+$`WeNe_X"/*'(&9
‚
!
x-1 y+1 z-1
= =
‚
!
−
x-2 y-1 z+3
= =
-'(&'*`"/T‚
K2
"#'(&‚
;*4U*‚
"/‚
/>-
V(]W$%)'*'+$ˆWeeNX"/#^F"$%&WnX^h2
akhZd_-K2"#$%)94A>-
Trang 22/23
X1k@l
P2'3/2'K'@6524=*$*2BP"/~25
7-2'3/2;6;6>26#"J
D4%/*;3$'*$$2$=
$I*;J"JD;4#<'K
3;66<-
o604=*9>'*"/
F-[‰/9>34*"56*;CD
4#<'K;…/$;+2;-P2'3/2:$*
>@$I>;$2;6;-7+'4#
*;)25J39$3(*'+;)$/5
*$4*-
bH$ F"?+#"/45$2$ ;?O$='K5?
'@$ ;?4#<*;)$"/Š2'@$ ;?/JY@
$<' Q‹'#49'+;*$46-
[ /9+9>3;"5$*$ (@„T
F"0"/' '/$ "54=‹ R"#>
;T$T4#<;*'9/>;J/
+5/Q'9;9+"JD4#<8
$*;66<-
2 1*2'34 ;4=4c(*9
("#Š:*'@"D/'+-•>$;6'99„4#
1**8$"/'‡5'+2'3/2'@')2'1/5-
X2@714
- b/Jh/sbRoO$__m-
- 8*b/J8*h/sbRoO$__m-
Z- "/c†O$__-
f- P~71*n*2gNBsb/B O$__-
/0+1"2)345674538
B(65
<I")!Mm")n
Trang 23/23