Điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn bằng tấm phẳng sử dụng phương pháp biên nhúng

v
TịM TT


Trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp biên nhúng (Immersed
Boundary - IB) trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu.
Phương pháp này sử dụng tổng hợp hai biến: biến Eulerian và biến Lagrangian.
Miền kết cấu được rời rạc thành các điểm Lagrangian nhúng trong miền lưu chất sử
dụng biến Eulerian. Một hàm lực được tính toán tại các điểm biên nhúng và phân bố
vào miền lưu chất để đảm bảo điều kiện biên không trượt trên biên. Tương tác giữa
các điểm Lagrangian và các biến của lưu chất trên lưới cố định Cartesian thông qua
hàm rời rạc Dirac delta. u điểm chính của phương pháp biên nhúng là tiết kiệm bộ
nhớ, CPU và dễ dàng chia lưới cho miền kết cấu và lưu chất khi so sánh với các
phương pháp lưới phi cấu trúc. Hơn nữa, khi bài toán có biên di chuyển thì phương
pháp biên nhúng cũng không cần chia lại lưới sau mỗi bước lặp.
Trong phần kết quả của luận văn sẽ trình bày các mô phỏng số của dòng
chảy qua trụ tròn cố định và trụ tròn dao động tuần hoàn bằng phương pháp biên
nhúng. Các thông số cụ thể của dòng chảy qua trụ tròn được khảo sát tại các số
Reynolds khác nhau như: hệ số nâng trung bình, hệ số cản trung bình, đồ thị hệ số
cản và hệ số nâng, chiều dài khu vực tuần hoàn phía sau trụ tròn, số Strouhal. Bài
toán điều khiển bị động dòng chảy sử dụng tấm phẳng bằng phương pháp biên
nhúng được khảo sát. Tác giả đã nghiên cứu sự ảnh hưởng của chiều dài tấm phẳng
đến hệ số cản của kết cấu. Ngoài ra, đặc điểm của các xoáy và lực tác dụng lên trụ
tròn khi có tấm phẳng dao động phía sau được trình bày trong phần tiếp theo. Các
kết quả trong luận văn này được so sánh với kết quả của một vài nghiên cứu khác.
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là cơ sở để giải quyết các bài toán
trong thực tế như mô phỏng dòng máu trong các mạch máu, điều khiển dòng chảy
qua máy bay, ôtô, cầu treo, các tòa nhà hay sự chuyển động của các sinh vật trong
nước,…
vi
ABSTRACT

In this thesis, a new immersed boundary technique for the simulation of flow
interacting with solid boundary is presented. This method employs a mixture of
Eulerian and Lagrangian variables. The solid boundary is represented by discrete
Lagrangian markers embedding in the Eulerian fluid domain. A novel force
formulation on the Lagrangian markers is proposed to ensure the exact satisfaction
of the no-slip condition on the boundary. Interactions between the Lagrangian
markers and the fluid variables on the fixed Eulerian grid are linked by a simple
discretized Dirac delta function. The main advantages of the immersed boundary
method are memory, CPU savings and easy grid generation compared to the
unstructured grid method. Even moving boundary problems can be handled with the
immersed boundary method without regenerating grids in time, unlike the
unstructured grid method.
In the results of this thesis, we perform numerical simulations of flow past a
fixed circular cylinder and in-line oscillating cylinder in a free stream using the
immersed boundary method. Detailed informations about the flows over the
cylinder, at different Reynolds numbers are presented. These flow quantities are the
mean drag and mean lift coefficients, the drag and lift graph, the recirculation length
behind the cylinder and the Strouhal number, for low Reynolds numbers. The
passive control flow over a circular cylinder by splitter plates is investigated. Study
the influence of the plate length on the drag coefficient. In addition, the vortex
shedding characteristics and the drag force acting on a circular cylinder, attached
with an oscillating splitter plate, are investigated. The results were compared with
experimental and with other numerical studies.
Results of the research can be applied to simulate for blood flow in body,
compute, design and control the flow past airplans, cars, bridges, high buildings and
towers,…
vii
MC LC
Trang tựa Trang

Quyết định giao đề tài
Lý lịch khoa học i
Lời cam đoan iii
Lời cảm ơn iv
Tóm tắt v
Abstract vi
Mục lục vii
Danh sách các ký hiệu viết tắt x
Danh sách các hình xi
Danh sách các bảng xiii
Chương 1. TỔNG QUAN V LĨNH VC NGHIểN CỨU
1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước. 1
1.2. Mục đích của đề tài. 6
1.3. Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài. 7
1.4. Phương pháp nghiên cứu. 8
Chương 2. PHNG PHÁP BIểN NHÚNG CHO BIểN CỨNG C ĐNH
VÀ DI CHUYN
2.1. Phương pháp biên nhúng 9
2.2. Các phương trình điều khiển 11
2.3. Phương pháp biên nhúng cho biên cứng cố định 14
2.4. Phương pháp biên nhúng cho biên cứng di chuyển 15
viii
2.5. Hàm xấp xỉ Dirac delta 17
2.6. Giải thuật của phương pháp biên nhúng 18
Chương 3. PHNG TRỊNH NAVIER-STOKES TRONG PHNG PHÁP
BIÊN NHÚNG
3.1. Rời rạc miền không gian và thời gian 19
3.2. Rời rạc miền kết cấu 19
3.3. Phương trình Navier-Stokes 20
3.3.1. Xử lí các thành phần phi tuyến độ nhớt 21

3.3.2. Hiệu chỉnh áp suất 21
3.3.3. Rời rạc lưới Cartesian của miền lưu chất 22
3.3.4. Xấp xỉ các đạo hàm 23
3.3.5. Các điều kiện biên 26
Chương 4. KT QU NGHIểN CỨU
4.1. Dòng chảy qua trụ tròn cố định 28
4.2. Dòng chảy qua trụ tròn dao động tuần hoàn 34
4.3. Điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn bằng tấm phẳng 38
4.3.1. Tấm phẳng cố định 40
4.3.2. Tấm phẳng dao động tuần hoàn 42
4.3.2.1. Xoáy thường 45
4.3.2.2. Chuỗi xoáy 45
4.3.2.3. Xoáy từ tấm phẳng 46
4.3.3. Hệ số cản của kết cấu khi tấm phẳng dao động 50

ix
Chương 5. KT LUN VÀ HNG PHÁT TRIN
5.1. Kết luận. 54
5.2. Đề xuất và hướng phát triển 55
TÀI LIU THAM KHO 56
PH LC 59
x
DANH SÁCH CÁC Kụ HIU

FEM : Phương pháp phần tử hữu hạn
IBM: Phương pháp biên nhúng
FSI : Tương tác giữa lưu chất và kết cấu
2D: Miền hai chiều
3D: Miền ba chiều
b


: Miền vật thể
b

: Lớp biên của vật thể
f

: Miền lưu chất

: Khối lượng riêng của lưu chất
u
: Vận tốc theo phương x
v
: Vận tốc theo phương y

: Hệ số nhớt động lực học của lưu chất

: Hệ số nhớt động học của lưu chất
Re
: Hệ số Reynolds
D : Đường kính của trụ tròn
L
C
: Hệ số nâng của kết cấu
D
C
: Hệ số cản của kết cấu
L : Chiều dài tấm phẳng

xi



DANH SÁCH CÁC HÌNH

HÌNH TRANG
Hình 2.1: Lưới cấu trúc và phi cấu trúc chia theo biên vật thể 9
Hình 2.2: Lưới Cartesian sử dụng trong phương pháp biên nhúng 9
Hình 2.3: Các cách tiếp cận khác nhau khi giải quyết bài toán tương tác giữa lưu
chất và kết cấu 10
Hình 2.4: Sự phân bố lực và nội suy vận tốc trong phương pháp biên nhúng tại
điểm điều khiển (điểm Lagrangian). 11
Hình 2.5: Mô hình của hệ lưu chất-biên nhúng 13
Hình 2.6: Phương pháp biên nhúng cho biên cứng di chuyển 16
Hình 2.7: Đồ thị của hàm rời rạc Dirac delta 18
Hình 3.1: Lưới so le của miền lưu chất trong phương pháp sai phân hữu hạn 22
Hình 4.1: Miền tính toán và các điều kiện biên của bài toán. 28
Hình 4.2: Mô tả đường dòng tại Re =20 và Re =40 30
Hình 4.3: Trường áp suất tại Re =20 và Re =40 31
Hình 4.4: Mô tả đường dòng tại Re =100 và Re =200 32
Hình 4.5: Trường áp suất tại Re =100 và Re = 200 33
Hình 4.6: Hình dạng xoáy tại
Re =100 và Re =200 33
Hình 4.7: Hệ số cản và nâng theo thời gian tại
Re=100 và Re =200 34
xii
Hình 4.8: Hình dạng xoáy của dòng với Re=100 khi trụ tròn dao động theo phương
ngang 36
Hình 4.9: Đồ thị hệ số nâng theo thời gian của trụ tròn dao động ngang 36

Hình 4.10: Đồ thị hệ số cản theo thời gian của trụ tròn dao động 37
Hình 4.11: Miền tính toán và các điều kiện biên của bài toán 40
Hình 4.12: Mô tả đường dòng khi tấm phẳng cố định tại Re=100 40
Hình 4.13: nh hưởng của chiều dài tấm phẳng đến hệ số cản của kết cấu 42
Hình 4.14: Mô hình của bài toán 42
Hình 4.15: Hai dạng xoáy trong bài toán. Nét liền là xoáy cùng chiều kim đồng đồ
và nét đứt là xoáy ngược chiều kim đồng hồ 43
Hình 4.16: Tương tác giữa các xoáy ban đầu của tấm phẳng và xoáy của trụ tròn
khi tấm phẳng di chuyển xuống dưới với A=0.2 và f
s
=0.5 44
Hình 4.17: Các dạng xoáy hình thành phụ thuộc và bên độ và tần số dao động của
tấm phẳng 47
Hình 4.18: Các dạng xoáy hình thành khi tấm phẳng ở vị trí giữa trong quá trình di
chuyển xuống 48
Hình 4.19: Hình dạng xoáy ở phía xa dòng 48
Hình 4.20: Các dạng xoáy hình thành khi tấm phẳng ở vị trí cao nhất 49
Hình 4.21: Đồ thị của hệ số cản theo các biên độ và tần số khác nhau 51
Hình 4.22: Trường áp suất khi tấm phẳng di chuyển từ vị trí giữa đến vị trí thấp
nhất với A=0.5 và f
s
=0.2 52
Hình 4.23: Trường áp suất khi tấm phẳng đặt cố định 52


xiii

DANH SÁCH CÁC BNG

BNG TRANG
Bng 4.1: Chiều dài của xoáy tuần hoàn và hệ số cản của trụ tròn 31
Bng 4.2: So sánh hệ số cản và hệ số nâng của trụ tròn 34
Bng 4.3: Số Strouhal của dòng chảy tại Re=100 35
Bng 4.4: So sánh hệ số nâng, hệ số cản của trụ tròn dao động tại Re=100 37
Bng 4.5: Thông số của dòng chảy khi có và không có tấm phẳng tại Re=100 41
Bng 4.6: Bảng hệ số cản của kết cấu phụ thuộc vào chiều dài tấm phẳng 41
Bng 4.7: Hệ số cản của kết cấu theo các biên độ và tần số dao động khác nhau 50








TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
1
Chương 1
TỔNG QUAN V LĨNH VC NGHIểN CỨU

1.1 Tng quan tình hình nghiên cu trong và ngoài nưc
Ngày nay, việc ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để
giải quyết các bài toán cơ học trong thực tế đã trở nên phổ biến và cần thiết bởi
những tính năng vượt trội của nó như: giải quyết nhanh, đơn giản và cho kết quả
khá chính xác. Vì vậy, đã có nhiều phương pháp số ra đời và ngày càng phát triển
mạnh, trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu khi giải quyết các bài toán
trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Có thể liệt kê một vài phương pháp số đang

phổ biến trên thế giới và tại Việt Nam như: phương pháp phần tử hữu hạn (Finite
Element Method - FEM), phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method
- FDM), phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method - FVM), phương
pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM), phương pháp không lưới
(Meshless Method),…Trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật, đặc biệt là các ngành công
nghệ cao, đòi hỏi độ chính xác cao như hàng không, vũ trụ, giao thông, y sinh học,
quân sự …thì lợi ích từ việc sử dụng các phương pháp số trong quá trình nghiên
cứu, sản xuất là rất lớn.
Trong lĩnh vực cơ học lưu chất nói chung, bài toán tương tác giữa lưu chất và
kết cấu trong thực tế nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu. Đây là
một lĩnh vực khó, cần đầu tư nhiều về con người, tài chính cũng như thời gian
nghiên cứu nhưng lợi ích mà chúng mang lại thì rất lớn. Từ những kết quả nghiên
cứu sẽ giúp chúng ta chế tạo các sản phẩm có chất lượng tốt hơn, chi phí thấp hơn,
tuổi thọ cao hơn,…Khi nghiên cứu bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu, đối
với các bài toán có biên dạng của kết cấu phức tạp hay có lớp biên di chuyển thì
TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
2
nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Việc
khảo sát các bài toán này gặp nhiều trở ngại nhưng vì tầm quan trọng trong thực tế
nên đã có nhiều phương pháp số ra đời. Trong đó, phương pháp chia lưới theo miền
biên vật thể hay lưới phi cấu trúc là các phương pháp số phổ biến để giải quyết các
bài toán có biên dạng phức tạp hay có lớp biên di chuyển. Tuy nhiên chi phí tính
toán và yêu cầu bộ nhớ của máy tính khi giải quyết bài toán này theo các phương
pháp trên thì rất cao. Đặc biệt với các bài toán có miền tính toán lớn, việc chia lại
lưới theo các bước thời gian cho toàn miền này rất tốn thời gian, đồng thời kết quả
nhiều khi có sai số lớn. Do đó, chi phí tính toán và độ chính xác của kết quả dường
như là hai thách thức lớn nhất trong loại bài toán này.
Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary Method - IBM) đã ra đời và trở
nên phổ biến trong các thập niên gần đây. Phương pháp này có khả năng giải quyết
các bài toán có biên dạng phức tạp, biên di chuyển và đặc biệt là các vật thể đàn hồi

nhưng yêu cầu về thời gian tính toán và bộ nhớ ít hơn so với các phương pháp thông
thường. Phương pháp biên nhúng được Peskin. C. S
[1, 2] giới thiệu lần đầu tiên
vào năm 1972. Peskin đã sử dụng phương pháp biên nhúng để mô phỏng sự tương
tác của dòng máu và sự co bóp của các cơ tim đang đập. Sau đó đã được phát triển
để giải quyết các bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu (Fluid Structure
Interaction - FSI). Các công thức toán học trong phương pháp biên nhúng sử dụng
kết hợp hai biến: biến Eulerian và biến Lagrangian. Mối quan hệ giữa hai biến này
thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta. Trong IBM, các biến Eulerian của miền lưu chất
được định nghĩa trên lưới cố định Cartesian. Các biến Lagrangian của kết cấu được
định nghĩa trên lưới đường cong và di chuyển “tự do” trên lưới Cartesian cố định
mà không chịu một sự ràng buộc nào. Các điểm lưới của biên nhúng thì được mô
hình hóa thành các điểm lực và được đưa vào phương trình Navier – Stokes như là
một thành phần của ngoại lực tác dụng lên miền lưu chất.
Hiện tại, trên nền tảng là phương pháp biên nhúng, đã có nhiều nghiên cứu
khác nhau nhằm nâng cao độ chính xác cũng như tầm ảnh hưởng của phương pháp
TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
3
này trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu. Ý tưởng chính
là sử dụng biến Eulerian để mô phỏng dòng lưu chất kết hợp với biến Lagrangian
cho miền kết cấu. Biên nhúng tác động các lực đơn vào miền lưu chất thông qua
phương pháp nội suy. Lưới Lagrangian có thể di chuyển tự do trên nền lưới
Cartesian. Sự khác nhau cơ bản giữa các phương pháp này là phương pháp xác định
các giá trị lực tác động của kết cấu vào miền lưu chất.
Goldstein. D
[3] đã đề xuất một phương pháp gọi là công thức biên ảo (Virtual
Boundary Formulation) và đã được sử dụng để mô phỏng dòng chảy qua một khe
hẹp. Phương pháp này nhìn chung giống như phương pháp biên nhúng nhưng chỉ
thích hợp cho việc giải quyết bài toán có biên cứng cố định hay di chuyển. Ý tưởng
chính của phương pháp biên ảo là để xử lý biên nhúng trong lưu chất thì áp đặt một

trường lực đến lưu chất và trường lực này có vận tốc giống như vận tốc của bề mặt
vật thể. Đây là một mô hình ảo của điều kiện biên không trượt. Bởi vì trường lực
này không được biết trước nên được tính toán khi có một thông số nào đó được
phản hồi lại như là vận tốc của biên. Thông số này được sử dụng để phân bố các lực
như mong muốn vào miền lưu chất.
Fogelson. A. L và Peskin. C. S
[4] đã giải phương trình Stokes trong miền 3
chiều để mô phỏng dòng chảy có các hạt trong chế độ Stokes. Trong mô phỏng này,
các hạt có biến dạng nhỏ. Sử dụng lưới Eulerian đồng nhất cho toàn bộ miền lưu
chất. Mỗi hạt thì được biểu diễn thành một nhóm các điểm Lagrangian. Phương
trình động lượng được giải trong toàn bộ miền lưu chất. Các điểm hạt di chuyển
theo vận tốc cục bộ của lưu chất. Vận tốc này chịu ảnh hưởng bởi trọng lực mà
được tính toán thông qua các điểm Lagrangian và được phân bố đến các điểm lưới
Eulerian lân cận. Việc phân bố trường lực này là phi tuyến và chịu sự ảnh hưởng
của độ nhớt giữa lưu chất và bề mặt hạt. Tác giả đã mô phỏng khi có một và hai hạt
trong dòng chảy dưới ảnh hưởng của trọng lực. Nghiên cứu đã kết luận rằng phương
pháp này là một công cụ số mạnh để khảo sát dòng chảy với các hạt lơ lửng.
TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
4
Ye. T, Mittal. R, [5] đã đề xuất một phương pháp gọi là phương pháp lưới
Cartesian (Cartesian Grid Method) để mô phỏng dòng chảy 2 chiều không ổn định,
nhớt, không nén được qua một kết cấu phức tạp. Trong phương pháp này, các thể
tích điều khiển (control volume) gần bề mặt biên nhúng thì được thiết lập lại thành
một dạng hình chữ nhật bám theo biên vật thể để loại bỏ phần ô lưới thuộc miền vật
thể và phần còn lại của ô lưới được thêm vào các ô lân cận. Sử dụng thuật toán nội
suy gần bề mặt biên nhúng với độ chính xác bậc 2. Khái niệm lực cưỡng bức, là lực
được cộng vào trong phương trình Navier-Stokes, không được sử dụng trong
phương pháp này.
Kim. J
[6] đã đề xuất một phương pháp căn cứ vào cách tiếp cận thể tích hữu

hạn sử dụng lưới so le. Các dòng chảy qua các kết cấu phức tạp đã được mô phỏng
bằng phương pháp này. Tác giả đã sử dụng các lực cưỡng bức để đảm bảo điều kiện
biên không trượt trên biên nhúng. Bởi vì biên nhúng nói chung là không trùng với
các điểm lưới Eulerian của lưu chất, do đó phải dùng thuật toán nội suy để tính toán
các lực cưỡng bức này. Lima. E. S
[7] đã tính toán lực cưỡng bức (momentum
forcing) tại thời điểm bắt đầu mỗi bước lặp. Vận tốc và áp suất tại các điểm biên
được nội suy bởi đa thức bậc hai Lagrange. Khi lực cưỡng bức tại một điểm biên
được tính, nó sẽ được phân bố vào lưới Eulerian của lưu chất thông qua hàm xấp xỉ
Dirac delta. Toàn bộ giải thuật số của phương pháp này giống với giải thuật của Lai
và Peskin
[8] ngoại trừ phương pháp tính lực cưỡng bức. Mặc dù ý tưởng của
phương pháp này đơn giản nhưng việc tính toán lực cưỡng bức thì rất phức tạp.
Không sử dụng các điểm Lagrangian, Modh-Yusof [9] đã đề xuất phương pháp
cưỡng bức trực tiếp (Direct forcing). Trong phương pháp này, lực cưỡng bức trực
tiếp được áp đặt đến một điểm liền kề với bề mặt biên và phía trong của vật thể,
tương đương việc áp đặt điều kiện biên vận tốc trên lưới Eulerian để đảm bảo điều
kiện biên không trượt tại biên nhúng. Do đó, các dữ liệu liên quan về vị trí của các
điểm lưới Eulerian, vị trí bên ngoài và vị trí bên trong của biên nhúng phải được xác
định.
TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
5
Ngoài ra còn có một số phương pháp khác như phương pháp biên nhúng mở
rộng (Extend Immersed Boundary Method – EIBM)
[10] khi sử dụng phương pháp
phần tử hữu hạn để tính toán miền kết cấu, miền lưu chất vẫn sử dụng lưới
Cartesian. Trong EIBM, thay cho các biên nhúng đàn hồi không có thể tích, các
miền kết cấu đàn hồi được lấp đầy bởi một thể tích hữu hạn trong miền lưu chất. Sự
tương thích giữa động học và động lực học trong quá trình tương tác và ảnh hưởng
của miền biên nhúng đặc được chọn một cách phù hợp với tính toán lực trong công

thức phần tử hữu hạn. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích ứng suất
thực tế của miền kết cấu thì phù hợp với các kết cấu có biến dạng lớn. Phương pháp
phần tử hữu hạn nhúng (Immersed Finite Element Method – IFEM)
[11] sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn cho cả miền lưu chất và kết cấu. Trong IFEM, lưới
đặc Lagrangian di chuyển trên nền lưới Eulerian được chia trong toàn bộ miền lưu
chất. Cả miền lưu chất và kết kết được mô hình hóa theo phương pháp phần tử hữu
hạn và tính liên tục giữa miền lưu chất và các miền kết cấu thông qua phương pháp
nội suy vận tốc và phân bố lực thông qua hàm delta Reproducing Kernel Partical
Method - RKPM.
Một trong những ưu điểm lớn nhất của phương pháp biên nhúng là việc sử
dụng hai hệ lưới khác nhau cho miền lưu chất và miền kết cấu nên việc chia lưới
tương đối đơn giản. Do sử dụng hai hệ lưới độc lập nên không cần chia lưới lại sau
mỗi bước thời gian trong các bài toán tương tác, bởi vậy có thể tiết kiệm được thời
gian và chi phí tính toán.
Hiện tại, phương pháp biên nhúng là một hướng nghiên cứu còn khá mới trong
lĩnh vực cơ học lưu chất nói chung và trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa
lưu chất và kết cấu nói riêng. Phương pháp này đã nhận được nhiều sự quan tâm và
nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giới. Đặc biệt là trong lĩnh vực điều khiển
dòng chảy qua kết cấu phức tạp. Tuy nhiên tại Việt Nam thì chưa thấy có công trình
nghiên cứu chính thức nào được công bố.

TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
6
1.2 Mc đích ca đ tài
Việc ứng dụng phương pháp số để giải quyết các bài toán cơ học trong thực tế
rất quan trọng, đặc biệt là trong các lĩnh vực công nghệ cao đòi hỏi sự chính xác và
an toàn cao như vũ trụ, hàng không, y tế, quân sự, Thường thì để giải quyết các
vấn đề này thì tốn rất nhiều thời gian cũng như chi phí tính toán. Mỗi phương pháp
số khác nhau thì có những ưu, nhược điểm khác nhau và tùy thuộc vào mỗi bài toán

cụ thể mà chọn phương pháp số thích hợp nhất. Với sự phát triển của khoa học và
công nghệ thì yêu cầu đặt ra là các phương pháp số phải thỏa mãn các yếu tố cơ bản
như: sai số, sự ổn định và tốc độ hội tụ (thời gian tính toán) của phương pháp. Một
phương pháp số được đánh giá là tốt thì phải đảm bảo cả ba yếu tố trên.
Trong thực tế, hiện tượng các xoáy xuất hiện phía sau trụ tròn là một vấn đề
nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu về lưu chất cũng như các lĩnh
vực khác. Các đuôi xoáy phía sau trụ tròn gây nên các lực không ổn định tác dụng
lên kết cấu nên các kết cấu này có khả năng bị phá hủy rất lớn. Bởi vì tầm quan
trọng của nó nên đã có rất nhiều nghiên cứu nhằm làm giảm sự tác động các các
xoáy này lên kết cấu. Có hai phương pháp chính để điều khiển dòng chảy không ổn
định qua kết cấu: điều khiển chủ động và điều khiển bị động. Các phương pháp điều
khiển chủ động sử dụng một vài dạng năng lượng khác nhau vào trong trường dòng
chảy. Đã có rất nhiều kỹ thuật điều khiển chủ động được sử dụng để điều khiển
dòng chảy không ổn định như điều khiển phản hồi, điều khiển điện từ, trụ tròn dao
động xoay,… Ngoài ra, kỹ thuật điều khiển bị động cũng đã được phát triển để điều
khiển các xoáy hình thành phía sau bằng cách thay đổi các hình dạng của vật cản
hoặc sử dụng các thiết bị phụ trợ khác mà không liên qua đến năng lượng đầu vào.
Các kỹ thuật được sử dụng nhiều như tấm phẳng, trụ tròn điều khiển hay kết cấu có
bề mặt lồi. Trong phương pháp điều khiển bị động, kết cấu tấm phẳng được sử dụng
thường xuyên và đạt hiệu quả tốt nhất.
Với những ưu điểm của phương pháp biên nhúng trong việc giải quyết bài toán
tương tác giữa lưu chất và kết cấu,
nội dung chính trong luận văn là trình bày
TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
7
phương pháp điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn bằng tấm phẳng sử dụng
phương pháp biên nhúng. Cụ thể là khảo sát sự ảnh hưởng của chiều dài tấm phẳng
cố định đến hệ số cản của kết cấu. Nghiên cứu các dạng xoáy hình thành phía sau
trụ tròn khi có gắn một tấm phẳng dao động điều hòa phía sau. Đồng thời xét sự ảnh
hưởng của biên độ và tần số dao động của tấm phẳng đến hệ số cản của trụ tròn. Từ

các kết quả đã đạt được có thể chọn ra phương pháp điều khiển tối ưu nhằm tránh
sự phá hủy của kết cấu do các xoáy dao động gây ra. Bên cạnh đó cũng áp dụng
phương pháp biên nhúng để mô phỏng dòng chảy qua trụ tròn cố định và trụ tròn
dao động theo một quỹ đạo đã xác định trước. Các kết quả nghiên cứu trong luận
văn là cơ sở để giải quyết các bài toán trong thực tế như mô phỏng dòng máu trong
các mạch máu, điều khiển dòng khí qua máy bay, ôtô, cầu treo, các tòa nhà hay sự
chuyển động của các sinh vật trong nước,…
1.3 Nhim v và gii hn ca đ tài
Do thời gian cũng như trình độ về lĩnh vực liên quan còn hạn chế nên trong
nội dung luận văn này không trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp biên nhúng
cho mô hình trong không gian (3D) mà chỉ khảo sát dòng trong không gian hai
chiều (2D). Phương pháp giải phương trình Navier – Stokes sử dụng trong luận văn
là phương pháp sai phân hữu hạn trên hệ lưới Cartesian. Phương pháp điều khiển
dòng chảy chỉ sử dụng phương pháp điều khiển bị động. Từ cơ sở lý thuyết đã được
xây dựng, các bài toán mô phỏng sẽ được lập trình trên phần mềm Matlab 7.11.0.
Nhiệm vụ chính của luận văn này tập trung vào giải quyết các vấn đề sau:
 Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp biên nhúng cho bài toán có biên
cứng cố định và biên cứng chuyển động.
 Mô phỏng dòng chảy qua trụ tròn cố định và trụ tròn dao động theo quỹ đạo
đã xác định trong miền lưu chất nhớt, không nén được theo các số Reynolds khác
nhau.
TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
8
 Điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn sử dụng tấm phẳng cố định và dao
động bằng phương pháp biên nhúng.
1.4 Phương pháp nghiên cu
 Thu thập tài liệu thiết yếu liên quan đến đề tài nghiên cứu.
 Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp nghiên cứu.
 Lập trình, giải quyết các bài toán cụ thể trên phần mềm Matlab.
 So sánh và đánh giá kết quả đạt được.

PP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN
9
Chương 2
PHNG PHÁP BIểN NHÚNG CHO BIểN CỨNG
C ĐNH VÀ DI CHUYN

2.1 Phương pháp biên nhúng
Giải quyết các bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu là vấn đề trọng tâm
của việc nghiên cứu các bài toán cơ học trong thực tế, đặc biệt là cơ học lưu chất.
Tuy nhiên, đối với các bài toán có mô hình kết cấu phức tạp hay lớp biên di chuyển
thì thường gặp nhiều khó khăn. Thông thường, phương pháp chia lưới bám theo
biên vật thể (body-fitted grid) hay lưới phi cấu trúc (unstructured grid) được sử
dụng để giải quyết các bài toán có biên cố định như trong hình 2.1. Tuy nhiên chi
phí tính toán và yêu cầu bộ nhớ của các phương pháp này tương đối cao. Đặc biệt
các bài toán có biên di chuyển theo thời gian hay biến dạng lớn thì yêu cầu sau mỗi
bước lặp thời gian thì phải chia lại toàn bộ lưới. Việc chia lưới này rất tốn thời gian
và đôi khi gây ra sai số lớn. Ngược lại lưới trong phương pháp biên nhúng thì đơn
giản hơn nhiều. Hình 2.2 thể hiện các dạng lưới được sử dụng trong phương pháp
biên nhúng.



Hình 2.1: Lưới cấu trúc và phi cấu trúc chia theo biên vật thể [15]
Hình 2.2: Lưới Cartesian sử dụng trong phương pháp biên nhúng [15]
a. Lưới đồng nhất b. Lưới không đồng nhất
a.
b.
PP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN
10
Hình 2.3 thể hiện ba cách tiếp cận khác nhau khi giải quyết bài toán tương tác

giữa lưu chất và kết cấu. Hình bên trái là phương pháp truyền thống để giải quyết
bài toán tương tác. Trong phương pháp này, miền kết cấu trong lưu chất sử dụng
các công thức phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) và lưu chất xung
quanh được tính toán theo động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamic -
CFD). Theo cách tiếp cận CFD/FEM, sự tương thích giữa động học và động lực
học của giữa lưu chất và kết cấu phải được tính toán. Hình giữa là cách giải quyết
bài toán theo phương pháp biên nhúng sử dụng trong luận văn. Lưới của miền lưu
chất thì hoàn toàn độc lập với sự di chuyển của miền kết cấu. Sự phân bố các nội
lực vào miền lưu chất và nội suy các chuyển động của biên nhúng thể hiện sự tương
tác giữa lưu chất và kết cấu. Hình bên phải là phương pháp biên nhúng mở rộng
(Extend Immersed Boundary Method - EIBM). Thay cho các điểm Lagrangian trong
phương pháp biên nhúng, trong phương pháp này toàn bộ miền kết cấu được chia
lưới đặc. Trong EIBM, chúng ta cũng quan tâm sự tương thích động học và động
lực học giữa miền lưu chất và miền kết cấu. nh hưởng của miền kết cấu đến miền
lưu chất thể hiện thông qua các điểm lực mà được tính toán bằng công thức phần tử
hữu hạn.









Mô hình bài toán
Lưu chất
Tương tác giữa lưu
chất – kết cấu
Kết cấu

CFD/FEM
IBM
EIBM hoặc IFEM
FEA
CFD
Điểm
Lagrangian
FEM
FEM
Hình 2.3: Các phương pháp khác nhau khi giải quyết bài toán tương tác giữa lưu
chất và kết cấu
Hình 2.3: Các cách tiếp cận khác nhau khi giải quyết bài toán tương tác giữa
lưu chất và kết cấu
PP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN
11
Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary Method-IBM) được Peskin C. S.
giới thiệu vào năm 1972. Ban đầu, phương pháp này được phát triển để nghiên cứu
sự tương tác của dòng máu trong cơ thể người. Tuy nhiên về sau được phát triển để
giải quyết các bài toán y sinh học khác nhau. Bên cạnh đó cũng được sử dụng để
giải các bài toán có biên cứng cố định hay biên đàn hồi di chuyển.
Điểm đặc biệt trong phương pháp biên nhúng là sử dụng kết hợp hai biến: biến
Eulerian và biến Lagrangian. Biên của kết cấu được rời rạc thành các điểm
Lagrangian hay gọi là điểm điều khiển trong miền lưu chất sử dụng lưới Cartesian.
Phương pháp biên nhúng thiết lập các điểm điều khiển này để thể hiện sự tương tác
với lưu chất. Các lực khối được tính toán tại các điểm điều khiển này và phân bố
đến các điểm lưới Cartesian lân cận bằng hàm xấp xỉ Dirac delta được thể hiện
trong hình 2.4. Khi các lực khối được tính toán tại các điểm điều khiển và phân bố
vào lưới Cartesian, phương trình Navier-Stokes với thành phần lực cưỡng bức được
giải để tìm trường áp suất và trường vận tốc tại các điểm lưới Cartesian. Sau đó vận
tốc này được nội suy để tìm vận tốc của điểm điều khiển.

2.2 Các phương trình điu khin
Trong phần này sẽ trình bày các phương trình toán học sử dụng trong phương
pháp biên nhúng. Xét một miền hình chữ nhật trong không gian 2 chiều (2D):
Hình 2.4: Sự phân bố lực và nội suy vận tốc trong phương pháp biên nhúng tại
điểm điều khiển (điểm Lagrangian).
Phân bố lực
Nội suy
vận tốc
ij
u

ij
F

PP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN
12
f

=[0, L] x [0, H] có dòng lưu chất nhớt, không nén được chứa biên nhúng là một
vòng kín
b

như hình 2.5a. Sử dụng các chữ cái thường để biểu diễn các biến định
nghĩa trên lưới Cartesian và chữ cái hoa cho các biến Lagrangian. Biên nhúng có
các thông số:
 
,stX

,
0
b
sL
,
 
 
0, ,
b
t L tXX
trong đó:
b
L
là chiều dài cung kín
b

và
 
,stX
là một hàm cho biết tọa độ các điểm biên nhúng theo chiều dài s và
thời gian t. nh hưởng của biên nhúng đến miền lưu chất được đặc trưng bởi một
thành phần lực khối đưa vào trong phương trình Navier-Stokes. Giải các phương
trình này sẽ được trường vận tốc và trường áp suất trong toàn bộ miền
f

. Bởi vì
đoạn biên nhúng tiếp xúc với lưu chất xung quanh, do đó vận tốc của nó phải phù
hợp với điều kiện biên không trượt trên biên. Các phương trình chuyển động của hệ
lưu chất và kết cấu có thể được trình bày như sau:
 

         
,
, . , , , ,

  
      



ux
u x u x x u x f x
t
t t p t t t
t
(2.1)
 
,0 tux
(2.2)
Trong đó:
 
yx,x
là tọa độ lưới Cartesian,
      
tvtut ,,,, xxxu 
,
 
tp ,x
lần
lượt là vận tốc và áp suất của lưu chất. Các hệ số


và

lần lượt là khối lượng riêng
và độ nhớt động lực học của lưu chất. Phương trình (2.1) và (2.2) là phương trình
Navier-Stokes cho dòng lưu chất nhớt, không nén được. Thành phần lực khối tác
dụng lên toàn bộ miền lưu chất được xác định theo biểu thức:
     
 
tftft
yx
,,,, xxxf 
, với:
      


 dststst ,,, XxFxf

(2.3)
Trong đó
     
 
, , , ,
xy
s t F s t F s tF
là lực khối tại các điểm biên nhúng và
      
YyXxts 

,Xx
là hàm xấp xỉ Dirac delta. Sự chuyển động của

biên nhúng trong miền lưu chất thông qua phương trình tương tác sau:
PP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN
13
 
 
 
   
 
,
, , , ,
st
s t t t s t d
t



  


X
u X u x x X x
(2.4)
Các phương trình (2.3) và (2.4) thể hiện sự tương tác giữa biên nhúng và lưu
chất. Phương trình (2.3) xác định lực khối của biên nhúng áp đặt lên toàn bộ miền
lưu chất thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta. Trong khi đó phương trình (2.4) thể hiện
biên nhúng được di chuyển theo miền lưu chất.
a) b)
Hình 2.5: a) Mô hình của hệ lưu chất-biên nhúng
b) Rời rạc lưới Eulerian (điểm sáng) và lưới Lagrangian (điểm đen)
Khi phân bố lực của các điểm biên nhúng vào miền lưu chất cũng như nội suy

vận tốc của biên nhúng trong lưu chất chúng ta sử dụng hàm xấp xỉ Dirac delta. Hai
tính chất quan trọng của hàm xấp xỉ Dirac delta
  
ts,Xx 

là:
  
1, 


xXx dts

(2.5)
     
0,, 


xXxXx dtsts

(2.6)
Vậy hàm lực của biên nhúng trong toàn bộ miền lưu chất được xác định theo
phương trình sau:
        
 
 
 dstsddststsdt ,,,, FxXxFxxf

(2.7)

S
PP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN
14
2.3 Phương pháp biên nhúng cho biên cng c đnh
Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày cơ sở lý thuyết để giải quyết bài toán
dòng chảy qua một biên cứng cố định theo phương pháp biên nhúng. Trong IBM,
khi vật thể là biên cứng thì có thể xem là biên đàn hồi nhưng có độ cứng rất lớn
[8].
Gọi
 
ts
e
,X
là tọa độ ban đầu của các điểm biên nhúng trong hệ tọa độ Lagrangian.
Khi tương tác với dòng lưu chất thì các điểm biên này di chuyển theo dòng lưu chất,
lúc này có tọa độ là
 
ts,X
. Nhưng trong phương pháp biên nhúng cho biên cứng cố
định thì các điểm biên ban đầu
 
ts
e
,X
được cố định trên lưới Cartesian. Do là biên
cứng cố định nên chúng ta phải đảm bảo khoảng cách giữa hai tọa độ
 
ts
e
,X

và
 
ts,X
. Thành phần lực khối trong phương trình 2.7 đảm bảo để các điểm biên sẽ
luôn bám sát với bề mặt thực của vật thể. Bởi vì biên nhúng được xem như là biên
đàn hồi nên theo định luật Hooke ta có:
     
 
, , ,
e
s t k s t s t  F X X
(2.8)
Với k là độ cứng của lò xo liên kết ảo giữa các điểm biên cố định trên lưới
Cartesian và điểm biên di chuyển theo miền lưu chất. Việc áp đặt chính xác điều
kiện biên trên các điểm biên nhúng thì yêu cầu chọn hệ số k đủ lớn để việc di
chuyển của các điểm biên nhúng là không thể. Bởi vì nếu có một điểm biên nào rời
xa vị trí mong muốn, lực kéo của các lò xo sẽ kéo điểm đó về vị trí ban đầu
 
ts
e
,X
.
Do đo, tại mỗi bước thời gian, các điểm biên nhúng này sẽ luôn luôn bám sát với
miền biên thật của kết cấu. Việc xác định các hàm lực của biên nhúng được tính
toán độc lập và giá trị của lực này sẽ cộng vào phương trình Navier – Stokes cho
toàn bộ miền lưu chất. Giải phương trình này trong miền 2 chiều có chứa đoạn biên
nhúng để tìm trường vận tốc và trường áp suất của miền lưu chất.
      






dststsp
t
,, XxFuuu
u

(2.9)
0 u
(2.10)
PP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN
15
 
         





xXxxuXuU
X
dtstttsts
t
ts
,,,,,
,

(2.11)
Trong các mô phỏng, trường vận tốc và trường áp suất của lưu chất trong toàn

miền thì được tìm thấy. Tuy nhiên để so sánh kết quả mô phỏng bằng phương pháp
biên nhúng với các phương pháp số khác, các hệ số nâng và hệ số cản của kết cấu sẽ
được xác định dựa vào các hàm lực tại các điểm biên nhúng. Chúng ta có thể định
nghĩa lực nâng và lực cản của kết cấu dựa theo các thành phần lực theo phương x và
y của các hàm lực
 
,stF
tại các điểm biên nhúng trong miền lưu chất.
Lực cản của kết cấu:


 dsFdfF
xxD
x
(2.12)
Lực nâng của kết cấu:


 dsFdfF
yyL
x
(2.13)
ở đây
 
yx
ff ,
và
 
yx
FF ,

là các lực thành phần theo phương x và y của các lực khối
f và F tại các điểm biên nhúng.
2.4 Phương pháp biên nhúng cho biên cng di chuyn
Khi giải quyết các bài toàn có lớp biên di chuyển theo dòng lưu chất mà áp dụng
các phương pháp thông thường như: phần tử hữu hạn, thể tích hữu hạn, phương
pháp phần tử biên,…thì gặp khó khăn vì chi phí tính toán lớn. Việc phải chia lưới
lại theo từng bước thời gian sẽ làm cho tốc độ tính toán chậm, đôi khi sẽ gây ra sai
số lớn. Do đó đã có nhiều phương pháp số dành riêng để xử lí các loại bài toán phức
tạp này. Trong đó phương pháp biên nhúng là một cách tiếp cận mới và nhận được
nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.
Trong phương pháp biên nhúng cho lớp biên di chuyển, vẫn sử dụng hai hệ tọa
độ lưới khác nhau. Hệ tọa độ cố định Cartesian cho toàn bộ miền lưu chất và hệ
không cố định Lagrangian cho miền kết cấu. Mối quan hệ của hai hệ tọa độ này
thông qua một hàm xấp xỉ Dirac delta. Hệ tọa độ không cố định Lagrangian chuyển
PP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN
16
động theo miền kết cấu. Vì sử dụng hai hệ lưới độc lập nên không cần phải chia
lưới theo các bước thời gian.
Trong các bài toán có biên cứng di chuyển, quỹ đạo của biên nhúng được xác
định thông qua phương trình vận tốc hay phương trình quỹ đạo. Giả sử biên nhúng
dao động tuần hoàn theo phương trình vận tốc sau:

2 os(2 )
c c c
U f Ac f t


(2.14)
hay phương trình quỹ đạo:
sin(2 )

c
x A f t


(2.15)
Trong đó A, f
c
lần lượt là biên độ dao động và tần số dao động của vật thể. Để xử
lý bài toán có biên cứng di chuyển, chúng ta thực hiện các bước giống như bài toán
biên cứng cố định nhưng có một vài điểm thay đổi. Cụ thể, thay vì các tọa độ ban
đầu
 
ts
e
,X
cố định trên lưới Cartesian trong bài toán biên cứng cố định. Trong bài
toán có biên di chuyển thì các tọa độ ban đầu này sẽ di chuyển theo quỹ đạo đã xác
định trước theo phương trình (2.14) hay (2.15). Các điểm này không chịu sự tác
động của lưu chất mà chỉ di chuyển theo quỹ đạo đã xác định. Lúc này, thông qua
các lò xo liên kết ảo giữa các điểm mục tiêu và các điểm biên thực thì khoảng cách
giữa các điểm này luôn được đảm bảo như được minh họa trong hình 2.6. Một vấn
đề cần phải được quan tâm là phải thiết lập số điểm mục tiêu bằng với số điểm biên
nhúng.

k

U
c
 Điểm mục tiêu
 Điểm biên thực
k Lò xo liên kết ảo
Hình 2.6: Phương pháp biên nhúng cho biên cứng di chuyển