Mô phỏng dòng chảy lưu chất nhớt không nén được qua trụ tròn bằng phương pháp biên nhúng

vii





MC LC

Trang tựa Trang
Quyết định giao đề tƠi
Lý lịch khoa học i
Lời cam đoan ii
Cm t iii
Tóm tắt iv
Mc lc vi
Ký hiệu khoa học viii
Danh sách các hình ix
Danh sách các bng x
Chng 1 TỔNG QUAN 1
Chng 2 PHNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO PHNG TRÌNH NAVIER
- STOKES VỚI BIÊN CỨNG 4
2.1 Phưng trình chuyển động 4
2.2 Phưng pháp số 5
2.2.1 Sự rời rc hóa theo không gian vƠ thời gian 5
2.2.2Phưng pháp gii 6
2.2.3 Gii phưng trình Navier-Stokes 7
2.2.3.1 Xử lý các thƠnh phần phi tuyến, độ nhớt vƠ thƠnh phần lực khối 8
2.2.3.2 Sự hiệu chỉnh áp suất 8
2.2.3.3 Lưới xen kẽ 9
viii

2.2.3.3.1 Đo hƠm xấp xỉ 10
2.2.3.3.2 Các điều kiện biên 14
2.2.3.3.3 Phưng trình Poisson 16
2.3Biên cng 17
Chng 3CU TRÚC HÀM DIRAC DELTA 20
Chng 4KT QU MỌ PHỎNG SỐ 25
4.1 Dòng chy qua tr tròn cố định 25
4.2 Dòng chy qua tr tròn dao động 39
Chng 5 KT LUẬN 44
TÀI LIU THAM KHO 47

















ix

Kụ HIU KHOA HC


        
kk
YXtsYtsXts ,,,,, X
là hàm vector được cho bởi tọa độ ca các điểm
trên biên Γ(như lƠ một hàm ca độ dài cung s và thời gian t). k=0,1,2,…,m-1

   
 
tsFtsF
yx
,,,F
là lực khối tác dng trên biên

        
kk
VUtsVtsUts ,,,,, U
là vận tốc ca điểm lưới Lagrangian

   
 
tftf
yx
,,, xxf 
là lực vật thể được lồng vƠo phưng trình Navier-Stokes


 
yx,x
là tọa độ theo lưới Eulerian

      
tvtut ,,,, xxxu 
là vận tốc ca lưu chất ( theo 2 chiều x, y)

 
tp ,x
là áp suất ca lưu chất.


là khối lượng riêng ca lưu chất


lƠ độ nhớt
 u* là vận tốc trung gian
 p là gradient áp suất.

là toán tử Laplace


 (.) xem như lƠ một ký hiệu vƠ được dùng : (

.) thay vì
(với grap, div lƠ các hƠm được sử dng trong toán tử Laplace)
 L
b

là chiều dài ca đường cong khép kín Γ
2
2
2
2
yx














yx
grap




,










yx
div




∇.
x

 

  

, 


= 

  



y  Y


là hàm Dirac delta.


DANH SÁCH CÁC HÌNH
HÌNH TRANG
Hình 2.1 a) Hệ lưu chất-kết cấu đn gin. b) Lưới rời rc Euler (đánh dấu sáng) vƠ
lưới Lagrange (đánh dấu tối) 6
Hình 2.1 c) Hình vẽ phác họa việc tính toán thƠnh phần lực khối sử dng hƠm Dirac
delta 6
Hình 2.2 Lưới xen kẽ với các ô biên 10
Hình 2.3 Sự dao động trong bƠi toán đối lưu-khuếch tán khi sử dng sai phơn trung
tâm 13
Hình 3.1 Hàm Dirac delta 24
Hình 4.1 Đường dòng cho hệ số Re=20 và Re=40 28
Hình 4.2 Trường áp suất cho hệ số Re=20 và Re=40 24
Hình 4.3 Đường bao xoáy ti Re=100 và Re=200 31
Hình 4.4 Hệ số cn ti Re=100 và Re=200 32
Hình 4.5 Hệ số nơng ti Re=100 và Re=200 33
Hình 4.6 Đường dòng ti Re=100 và Re=200 34
Hình 4.7 Trường áp suất ti Re=100 và Re=200 35
Hình 4.8 Đường bao xoáy vƠ trường áp suất ti Re=300 36
Hình 4.9 Hệ số cn vƠ hệ số nơng ti Re=300 37
Hình 4.9 Đường bao xoáy ca tr tròn dao dộng sau 40 chu kỳ dao động ti
Re=200, (a: Zhang & Zheng; b: Hiện ti) 40
Hình 4.10 Hệ số cnC
D
ti Re=200 đối với tr tròn cố định vƠ tr tròn dao động 41
Hình 4.11 Hệ số nơng C
L
ti Re=200 đối với tr tròn cố định vƠ tr tròn dao động 42

xi

Hình 4.12 Trường áp suất vƠ đường dòng ti Re=200 cho trường hợp tr tròn dao
động 43
DANH SÁCH CÁC BNG
BNG TRANG
Bng 1.1 Kế hoch thực hiện luận văn 3
Bng 4.1 Chiều dƠi vùng tuần hoƠn (L/d), hệ số cn (C
D
) cho Re=20,Re=40 29
Bng 4.2 Hệ số cn ti Re=100 và Re=200 32
Bng 4.3 Hệ số nơng ti Re=100 và Re=200 33
Bng 4.4 Hệ số Strouhal ti Re=80, 100, 200, 300 38
1

Chng 1
TỔNG QUAN
1.1 Tng quan chung về lĩnh vực nghiên cu
Trong tính toán động lực học lưu chất, các vấn đề cần quan tơm nhất đó lƠ sự chính
xác, hiệu suất tính toán, độ ổn định ca lời gii vƠ đặc biệt lƠ xử lý được các dng
hình học phc tp. Có rất nhiều phưng pháp cho việc gii các bƠi toán dòng không
nén được trong miền hình học phc tp. Trong một số ng dng, phưng pháp phần
tử hữu hn (FEM) trên lưới phi cấu trúc thì được sử dng rộng rƣi nhất hiện nay. Sự
chính xác ca FEM có thể được ci thiện bằng cách sử dng các hƠm nội suy bậc
cao. Tuy nhiên, to ra lưới phi cấu trúc theo yêu cầu bằng FEM đòi hi một kỹ thuật
cao và khá tốn kém. Hn nữa, để gii các bƠi toán với một biên chuyển động mƠ đặc
biệt lƠ trong lĩnh vực tưng tác giữa kết cấu vƠ lưu chất thật không d thực hiện,
trường hợp nƠy ta phi chia lưới li sau mi lần di chuyển ca biên.
Đƣ có sự tiến bộ vuợt bậc đáng kể ca các phưng pháp trong việc tính toán chính
xác vƠ hiệu qu đối với những vật thể có hình dng phc tp bất kỳ. Phưng pháp

biên nhúng (Immersed Boundary Methods - IBM) được đề xuất bởi C.S. Peskin
[1,2] gần đơy đƣ được đưa ra để gii quyết đối với các bƠi toán có những dng hình
học phc tp trong khi yêu cầu tính toán ít hn, to lưới d hn so với các phưng
pháp khác mƠ vẫn đm bo được sự chính xác. Phưng pháp này quy định một lực
khối để thay thế sự hiện diện ca một bề mặt mƠ không lƠm thay đổi lưới tính toán.
Đặc biệt đối với trường hợp biên di chuyển, c thể hn lƠ trong sự tưng tác giữa
lưu chất vƠ kết cấu lƠm biên dịch chuyển. Lưới bám theo vật thể phi được chia li ở
mi bước thời gian khi tính toán, việc chia lưới nh hưởng trực tiếp đến chi phí tính
toán, độ chính xác vƠ sự ổn định ca lời gii. Có thể nói đó lƠ vấn đề cần xem xét
một cách nghiêm túc. Lưới Đềcác được xơy dựng d dƠng, nhanh chóng mƠ không
2

cần gii thuật phc tp vƠ đặc biệt lƠ không bị nh hưởng đáng kể đến sự phc tp
ca hình dng vật thể. Đơy được xem lƠ ưu điểm nổi bật bậc nhất ca phưng pháp
biên nhúng. Vì vậy trong bƠi toán tưng tác giữa lưu chất vƠ kết cấu thì có thể
nóiphưng pháp biên nhúng lƠ phưng pháp số tốt nhất ti thời điểm hiện nay.
Các kt qu nghiên cu trong nc vƠ ngoƠi nc đƣ công b
IBM lần đầu tiên được giới thiệu bởi C.S. Peskin (1972) với việc mô phng sự
tưng tác giữa các c vƠ dòng máu chy trong lúc tim đang đập vƠ nhìn chung kết
qu phù hợp cho dòng lưu chất với biên đƠn hồi được nhúng. Trong phưng pháp
nƠy dòng lưu chất được điều khiển bởi phưng trình Navier-Stokes không nén được
vƠ chúng được xử lý trên lưới Đềcác cố định. Một số công trình nghiên cu điển
hình về IBM đƣ công bố trên các tp chí khoa học uy tín trên thế giới:
C.S. Peskin, The immersed boundary method, Acta Numerica. 11 (2) 479-517, 2002.
Bài báo này trình bày về nền tng toán học ca IBM, mƠ nó thì được dùng để mô
phng sự tưng tác giữa lưu chất vƠ kết cấu, đặc biệt lƠ trong tính toán động lực học
lưu chất, lĩnh vực c y sinh học.
C.S. Peskin, Numerical analysis of blood flow in the heart, J. Comput. Phys. 25
220–252 (1977). Bài báo này nghiên cu về việc gii phưng trình Navier-Stokes
khi có sự hiện diện ca biên nhúng di chuyển mƠ nó thì tưng tác với dòng lưu chất

( tưng tác giữa c tim vƠ dòng máu). Về phưng pháp nƠy thì ở nước ta vẫn đang
trong thời kỳ nghiên cu s khai, vƠ có rất ít công trình được đăng ti trên tp chí
khoa học quốc tế.
Lĩnh vực ng dng ca phng pháp biên nhúng
- Nghiên cu dòng chy lưu chất qua vật thể bất kỳ nhằm kho sát ng suất,
biến dng, chuyển vị ca hệ thật: Turbine gió, van, ống dẫn dầu, c y sinh
3

- Kho sát chuyển động ca các robot trong môi trườngkhông khí vƠ nước
như: cá, chim, chuồn chuồn
- Tính toán, thiết kế các thiết bị vận chuyển như: Xe hi, tƠu thy, máy bay,…
- Tính toán, thiết kế các thiết bị thy lực: Van thy lực, máy bm, tua bin, qut
gió, máy nén,
- Y khoa: Mô phng tuần hoƠn máu trong c thể, tính toán các thiết bị tr tim
nhơn to, …
- VƠ rất nhiều lĩnh vực khác như trong khí tượng thy văn, thiết kế cầu, nhƠ
cao tầng,…
1.2 Mc đích ca đề tƠi
- Thiết lập mô hình toán học ca hệ kết cấu vƠ lưu chất.
- Xơy dựng phưng trình toán học.
- Chia lưới vƠ gii bằng phưng pháp biên nhúng ( Immersed Boundary
Method) .
- Giới hn cho bƠi toán 2D.
1.3 Nhiệm v ca đề tƠi vƠ gii hn ca đề tƠi
Nội dung nghiên cu cho phưng pháp biên nhúng có thể chia ra thƠnh năm phần
chính với nhiệm v c thể như sau:
- Phần 1: Tổng quan.
- Phần 2: Phưng pháp biên nhúng cho biên cng.
- Phần 3: Cấu trúc hàm Dirac delta.
- Phần 4: Kết qu mô phng số.

- Phần 5: Kết luận vƠ kiến nghị.
Giới hạn của đề tài
4

- Phưng pháp biên nhúng chỉ áp dng để gii cho những bƠi toán 1D, 2D.
Còn với bƠi toán 3D thì độ phc tp cao hn nên đòi hi nhiều thời gian
nghiên cu hn nữa.
- NgoƠi ra, vấn đề sai số ca phưng pháp cũng như lời gii là điểm cần hoƠn
thiện hn cho luận văn trong tưng lai.
1.4 Phng pháp nghiên cu
- Phưng pháp tham kho tƠi liệu từ ging viên hướng dẫn, thư viện, mng
internet.
- Phưng pháp trao đổi, tho luận trực tiếp với ging viên hướng dẫn.
- Phưng pháp thu thập thông tin từ các buổi báo cáo chuyên đề ca nhóm
Tính toán Cao cấp trong Khoa học vƠ Kỹ thuật (GACES) thuộc Khoa Xơy
dựng vƠ C học ng dng, trường Đi học Sư phm Kỹ thuật TP.HCM .
- Phưng pháp lập trình, tính toán mô phng với công c h trợ lƠ phần mềm
Matlab ca hƣng MatWorks.
1.5 K hoch thực hiện
Kế hoch thực hiện luận văn được trình bày tóm tắt trong bng 1.1
Stt
Nội dung công việc
Thời gian thực hiện
Ghi chú
1
Tổng quan
09/2012

2
IBM cho biên cng

10/2012

3
Cấu trúc hƠm Dirac delta
11/2012

4
Kết qu mô phng số
12/2012 – 01/2013

5
Kết luận vƠ kiến nghị
02/2013

Bng 1.1 Kế hoch thực hiện luận văn

5

Chng 2
PHNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO PHNG
TRÌNH NAVIER-STOKES VỚI BIÊN CỨNG
2.1 Phng trình chuyển đng
Ta xét mô hình bài toán cho dòng chy lưu chất nhớt không nén được trong miền
không gian hai chiều
f

cha biên nhúng dưới dng lƠ một đường cong khép kín
đn gin
b


(Hình 2.1a), hình dng đường biên nhúng sẽ được cho dưới dng tham
số như sau:
 
,,tsX
,0
b
Ls 
   
tLt
b
,,0 XX 
, trong đó L
b
lƠ chiều dƠi ca đường
cong kín
b

, và
 
,stX
lƠ hƠm vector cho biết vị trí ca các điểm trên biên nhúng ti
thời gian t vƠ chiều dƠi cung lƠ s. Biên được mô hình bởi một lực đn mà nó thì
được kết hợp li thƠnh lực khối, f, trong phưng trình Navier-Stokes. Phưng trình
Navier-Stokes sau đó được gii để xác định vận tốc ca dòng lưu chất trên toƠn bộ
miền lưu chất
f

. Kể từ khi biên nhúng tiếp xúc với dòng chất lưu chất xung
quanh, vận tốc ca nó phi phù hợp với điều kiện biên không trượt. Phưng trình
chuyển động ca hệ như sau [1]:

 
fuuu
u




p
t
(2.1)
0 u
(2.2)
Với
 
yx,x
lƠ điểm lưới trên lưới Euler vƠ
 
YX ,X
lƠ điểm biên trên lưới
Lagrange
      
tvtut ,,,, xxxu 
lƠ vận tốc ca lưu chất vƠ
 
tp ,x
lƠ áp suất lưu
chất. Các hệ số

và


lần lượt lƠ khối lượng riêng vƠ độ nhớt ca lưu chất. ThƠnh
phần lực khối tác dng lên lưu chất lƠ
     
 
tftft
yx
,,,, xxxf 
mƠ dng công thc
toán học lƠ
      


 dststst ,,, XxFxf

(2.3)
6

Trong đó
     
 
tsFtsFts
yx
,,,, F
lƠ lực khối ti điểm biên vƠ
     
yx

x
là
hƠm Dirac delta. Chuyển động ca biên nhúng lƠ

 
         





xXxxuXuU
X
dtstttsts
t
ts
,,,,,
,

(2.4)
Phưng trình (2.3) vƠ (2.4) thể hiện sự tưng tác giữa biên nhúng vƠ lưu chất. Trong
phưng trình (2.3) thƠnh phần lực khối tác dng đến lưu chất bởi biên nhúng, trong
khi đó phưng trình (2.4) biên nhúng được di chuyển cùng với lưu chất.
2.2 Phng pháp s
2.2.1 Sự rời rc hóa theo không gian vƠ thời gian
Phưng pháp biên nhúng lƠ phưng pháp sai phơn hữu hn hn hợp Euler-Lagrange
cho việc tính toán dòng lưu chất tưng tác với một biên nhúng. Hình 2.1b lƠ ví d
về đường biên nhúng đn gin trong không gian 2D. Một cặp lưới tính toán bao
gồm: một ô lưới Đềcác trung tơm cho biến Euler vƠ một tập các điểm rời rc cho
biến Lagrange. Cho miền lưu chất
 
 
yxf
ll ,0,0 

và có
yx
NN 
ô lưới Euler,
với
yyxxyx
NlNlhhh // 
lƠ kích thước lưới Euler. Một cặp chỉ số trên biến
sẽ chỉ rõ vị trí mƠ ti đó biến Euler đang được xem xét, đánh giá, chẳng hn như u
ij

chỉ rõ giá trị ca biến u ti điểm lưới th ij. Chúng ta sẽ sử dng một tập các điểm
lưới Lagrange
b
N
(biên lưới được chia với
bb
NLs /
) vƠ các điểm lưới Lagrange
nƠy được định nghĩa bởi một chỉ số duy nhất, với các biến ti nhiều điểm lưới thì
được định nghĩa bằng các chỉ số tưng ng, do đó F
k
biểu thị cho giá trị ca biến F
ti điểm lưới th k. Vị trí ca điểm lưới Lagrange th k thì được theo dõi một cách
rõ ràng trong X
k
. Chúng ta sử dng các chỉ số để biểu thị giá trị ca biến ti một
bước thời gian nhất định, do đó
   
tn

n
 ,xuxu
và
   
tnss
n
 ,XX
.
7

a) b)
Hình 2.1 a) Hệ lưu chất-kết cấu đn gin. b) Lưới rời rc Euler (đánh dấu sáng) vƠ
lưới Lagrange (đánh dấu tối)
2.2.2 Phng pháp gii
ThƠnh phần lực khối sẽ sẽ được tính toán ti các điểm điều khiển vƠ sau đó sẽ tính
toán lan rộng đến các điểm lưới Đềcác xung quanh điểm điều khiển trên toƠn miền
lưu chất bằng một biểu din rời rc ca hƠm Dirac delta,

Hình 2.1 c) Hình vẽ phác họa việc tính toán thƠnh phần lực khối sử dng hƠm Dirac
delta
8

 
 



b
N
k

k
n
ji
n
jih
n
k
n
ji
st
1
,,,
XxFf

(2.5)
Trong đó
 
x
h

lƠ một hƠm delta Dirac hai chiều,
 














h
y
h
x
h
h

2
1
x
(2.6)
 đơy

lƠ một hƠm liên tc
 




2
2
1
3 2 1 4 4 , 0 1
8
1

5 2 7 12 4 , 1 2
8
0 2
r r r r
r r r r
r
r


     



      







(2.7)
Với x/h và y/h ký hiệu lƠ r.
HƠm liên tc
 
r

sẽ được giới thiệu c thể ở chưng 3.
Phưng trình Navier-Stokes với các thƠnh phần cưng bc sau đó được gii cho
trường áp suất

1
,
n
ji
p
vƠ trường vận tốc
1
,
n
ji
u
ti các điểm lưới Đềcác bằng cách sử
dng phưng pháp sai phơn hữu hn trên lưới Đềcác xen kẽ [3]. Trường vận tốc sau
đó được nội suy để tìm ra vận tốc ti các điểm điều khiển,
 



ji
n
kjih
n
ji
n
k
n
k
hdtd
,
21

,
1
,
11
/ XxuUX

(2.8)
2.2.3 Gii phng trình Navier-Stokes
Xét phưng trình Navier-Stokes cho dòng chy lưu chất nhớt không nén được trong
không gian hai chiều, phưng trình (2.1)-(2.2):
9

 









0u
fuuu
u

p
t
(2.9)

























































































0
2
2
2
22

2
2
2
22
y
v
x
u
f
y
v
x
v
y
v
x
uv
y
p
t
v
f
y
u
x
u
y
uv
x
u

x
p
t
u
y
x


(2.10)
Ta sẽ tìm lời gii ti bước thời gian th
 
st
n 1
bằng cách tiếp cận ba bước như sau:
2.2.3.1 Xử lý các thƠnh phần phi tuyn, đ nht vƠ thƠnh phần lực khi
Ta sẽ có một hn chế lƠ bước nhy tỷ lệ thuận với bình phưng rời rc theo không
gian, vì thế các thƠnh phần phi tuyến vƠ độ nhớt sẽ được xử lý một cách rõ rƠng.
 























0
1
1
1
1
1
n
n
n
nnnn
n
p
t
t
u
uu
fuuu
uu




(2.11)
2.2.3.2 Sự hiệu chỉnh áp sut
Chúng ta hiệu chỉnh trường vận tốc trung bình (

u
) bằng cách lấy gradient ca áp
suất
1n
p
để nhấn mnh tính không nén được ca lưu chất,
1
1
1





n
n
p
t

uu
(2.12)
10

Áp suất được ký hiệu lƠ
1n

p
, từ đơy nó sẽ được hiểu ngầm. Giá trị nƠy thu được từ
việc gii một hệ tuyến tính.Trong ký hiệu vector phưng trình hiệu chỉnh có dng
như sau:
11
111





nn
p
tt

uu
(2.13)
Ta tiến hƠnh lấy divergence (

) cho c hai vế ca phưng trình (2.13) dẫn đến hệ
sau:
11
111





nn
p

tt

uu
(2.14)



 u
t
p
n
11
1

(2.15)
(do điều kiện
0
1

n
u
)
Đơy lƠ phưng trình Poisson cho áp suất
1n
p
ti thời điểm th
 
st
n 1
. Tổng kết

li, ti bước nhy th
 
st
n 1
các bước tính toán bao gồm:
- Bước 1: Tính toán

 uF
từ vận tốc
 
nn
vu ,
.
- Bước 2: Gii phưng trình Poisson (2.15) cho áp suất
1n
p
.
- Bước 3: Tính toán trường vận tốc
 
11
,
 nn
vu
bằng cách sử dng thuật toán
11 



nn
p

t

uu
với giá trị ng suất
1n
p
đƣ được tính toán ở bước 2.
11

2.2.3.3 Li xen k
Khi gii phưng trình Navier-Stokes, miền lưu chất
f

thường được rời rc bằng
cách sử dng một lưới xen kẽ, với áp suất p nằm chính giữa ca ô lưới, còn vận tốc
u đượt đặt ở vị trí trung điểm đường phơn cách ô theo phưng thẳng đng, vƠ vận
tốc v được đặt ở vị trí trung điểm đường phơn cách ô theo phưng ngang.
Xét lưới xen kẽ có
yx
nn 
ô lưới. Khi nói đến trường áp suất p, vận tốc u và v, ta
cần phi quan tơm đến các điểm biên vƠ các điểm bên trong biên. Bất kỳ một điểm
nƠo thực sự nằm trong miền tính toán lƠ điểm bên trong biên cần quan tâm, còn các
điểm nằm trên hoặc ngoƠi biên lƠ các điểm biên. Trong Hình 2.2 các điểm được
đánh dấu đậm lƠ các điểm bên trong biên, còn các điểm được đánh dấu nht hn lƠ
các điểm biên.

Hình 2.2 Lưới xen kẽ với các ô biên
12

2.2.3.3.1 Đo hƠm xp xỉ
Đo hƠm bc 2
Sai phơn hữu hn có thể xấp xỉ đo hƠm bậc hai trên một điểm lưới theo tiêu chuẩn
sai phơn trung tơm. Ti điểm bên trong
ji
u
,
chúng ta xấp xỉ toán tử Laplace :
2
1,,1,
2
,1,,1
,
2
2
2
2
,
22
h
uuu
h
uuu
y
u
x
u
u
jijijijijiji
ji

ji



















(2.16)
2
1,,1,
2
,1,,1
,
2
2
2
2

,
22
h
vvu
h
vvv
y
v
x
v
v
jijijijijiji
ji
ji




















(2.17)
Đo hƠm bc 1
Đo hƠm bậc một trên một điểm lưới có thể xấp xỉ theo sai phơn trung tơm,
h
uu
x
u
jiji
ji
2
,1,1
,











(2.18)
Gi sử chúng ta không quan tơm giá trị ca
x
u



ti vị trí ca
ji
u
,
, nhưng thay vì đó
chúng ta muốn giá trị ở điểm giữa ca điểm
ji
u
,1
và
ji
u
,
. Chúng ta có thể xấp xỉ
như sau:
h
uu
x
u
jiji
ji
,,1
,
2
1













(2.19)
Các thƠnh phần phi tuyn ( sai phơn trung tơm)
Các thƠnh phần phi tuyến lƠ ni duy nhất mƠ sự rời rc trên lưới xen kẽ không được
tính toán trực tiếp. Chẳng hn, tích số uv thì không được định nghĩa trực tiếp, vì
rằng u và v thì nằm ở các vị trí khác nhau. VƠ gii pháp lƠ ta sẽ lập luận ngược: Việc
13

cập nhập u, ta cần
xu  /
2
và
yuv  /
. Nếu dòng chy trong mi bước thời gian lƠ
tưng đối chậm, lúc nƠy ta mong rằng sẽ sử dng đo hƠm trên lưới xen kẽ trung
tơm như trước đơy. Điều nƠy đòi hi
2
u
phi được định nghĩa ở ô trung tơm, vƠ uv
phi được định nghĩa ở góc ô lưới. Ta thu được hai đi lượng nƠy bằng cách nội suy
hai giá trị bên cnh.
 

2
,1,
,
2
1
2
2












jiji
ji
uu
u
(2.20)
 
2
1,,
2
1
,





jiji
ji
uu
u
(2.21)
 
2
,1,
,
2
1
jiji
ji
vv
v




(2.22)
Tưng tự cho thƠnh phần v. Các ký hiệu chỉ số đưa đến một ý tưởng phc tp hn lƠ
to ra một dữ liệu mới giữa hai điểm bằng cách lấy trung bình. Sử dng gch ngang
lƠ chỉ số trên ca x để biểu thị cho đi lượng trung bình theo phưng ngang, vƠ lƠ
chỉ số trên ca y biểu thị cho đi lượng trung bình theo phưng thẳng đng, thƠnh
phần phi tuyến được viết li như sau:
 

y
vu
x
u
t
uu
xyx









2
(2.23)
 
y
v
x
vu
t
vv
yxy










2
(2.24)

Trong đó:
14

   
   
2

2
2

2
,1,
2
1
,
,1,
2
1
,
,,1
,
2

1
,,1
,
2
1
jiji
ji
y
jiji
ji
y
jiji
ji
x
jiji
ji
x
vv
v
uu
u
vv
v
uu
u

















(2.25)
ThƠnh phần phi tuyn ( sai phơn ngc)
Khi bƠi toán đối lưu-khuếch tán mƠ có thƠnh phần đối lưu chiếm ưu thế thì ta rời rc
bằng sai phơn trung tơm, vấn đề ổn định xy ra khi khong cách lưới h được chọn
quá thô, dẫn đến sai số bƠi toán rất lớn ( Hình 2.3).

Hình 2.3 Sự dao động trong bƠi toán đối lưu-khuếch tán khi sử dng sai phơn trung
tâm
Sai phơn trung tơm kể trên phù hợp nếu như số lượng chuyển đổi không quá nhiều
trong mi bước thời gian. Đối với dòng chy nhanh hoặc bước thời gian lớn hn, sự
rời rc sẽ tốt hn khi ta tiếp cận với sai phân ngược. Ta sẽ thực hiện một sự chuyển
đổi hƠi hòa giữa sai phơn trung tơm vƠ sai phân ngược bằng cách sử dng tham số γ
∈ [0, 1]. Ta định nghĩa như sau:
15






1,max,maxmax2.1min
,
,
,
,
ji
ji
ji
ji
vut 

(2.26)
Giá trị ca gamma lƠ phần lớn nhất ca các ô mƠ thông tin sẽ cha đựng trong một
bước thời gian, nhơn với 1.2, vƠ được giới hn bởi 1. Hệ số 1.2 được lấy từ kinh
nghiệm thường có xu hướng nhiều hn một chút đối với sai phân ngược có thể lƠ
một lợi thế cho độ chính xác [3].
Sự tổ hợp tuyến tính giữa sai phơn trung tơm vƠ sai phân ngược được thực hiện theo
cách sau. Tưng ng với các đi lượng trung bình, ta định nghĩa đi lượng sai phơn:
   
   
2
~

2
~
2
~

2
~

,1,
2
1
,
,1,
2
1
,
,,1
,
2
1
,,1
,
2
1
jiji
ji
y
jiji
ji
y
jiji
ji
x
jiji
ji
x
vv
v

uu
u
vv
v
uu
u
















(2.27)
Sử dng tổ hợp tuyến tính, phưng (2.23) vƠ (2.24) tổng quát lƠ:
 
 
 
y
uvvu
x

uuu
t
uu
yxxyxxx









~~
2

(2.28)
 
 
 
y
vvv
x
vuvu
t
vv
yyyxyxy










~~
2

(2.29)
Một điều d thấy lƠ chúng trở thƠnh sai phơn trung tơm trung bình khi γ=0 vƠ bo
toàn sai phân ngược khi γ =1.
2.2.3.3.2 Các điều kiện biên
Việc áp điều kiện biên chính xác lƠ vấn đề quan trọng cần quan tơm kỹ lưng vì nó
nh hưởng đến kết qu ca bƠi toán có chính xác vƠ đáng tin cậy hay không. Trên
lưới xen kẽ có một số điểm thì nằm trên biên trong khi đó có một điểm thì nằm giữa.
Ti các điểm nằm trên biên thì giá trị được tính trực tiếp, như lƠ u ti biên phía
16

tây(West) và phía đông (East), và v ti biên phía bắc (North) và phía nam (South).
Đối với u ti biên phía bắc và phía nam vƠ với v ti biên phía tây và phía đông , ta
cần xác định một giá trị giữa hai điểm dữ liệu. Lấy ý tưởng giống như trên: ta lấy
giá trị trung bình giữa hai điểm. Chẳng hn, biên phía bắc thì nằm giữa các điểm với
vận tốc u. Cho hai điểm dưới đơy tưng ng ở trên biên lƠ
ji
u
,
và
1, ji
u

, vƠ giá trị
biên được quy định lƠ
N
u
. Ta có các điều kiện biên như sau:
NORTHjijiNORTH
jiji
uuuu
uu
2
2
1,,
1,,




(2.30)
SOUTHiiSOUTH
ii
uuuu
uu
2
2
1,0,
1,0,


(2.31)
EASTjijiEAST

jiji
vvvu
vv
2
2
,1,
,1,




(2.32)
WESTjjWEST
jj
vvvu
vv
2
2
,1,0
,1,0


(2.33)
Các điều kiện biên không trt
0
0
,,,
,,,



SOUTHNORTHEASTWEST
SOUTHNORTHEASTWEST
v
u
(2.34)
Các điều kiện biên trt tự do
Trong trường hợp điều kiện biên trượt tự do, thƠnh phần vận tốc vuông góc với biên
nên bị triệt tiêu cùng với đo hƠm pháp tuyến ca thƠnh phần vận tốc tiếp tuyến với
biên:























0
0
00
0,
1,
,1,0
SOUTH
iSOUTH
NORTH
jiNORTH
jiEAST
EAST
jWEST
WEST
v
uu
v
uu
vv
u
vv
u

(2.35)
17

Điều kiện biên ca dòng ra
Trong điều kiện biên dòng ra thì đo hƠm pháp tuyến ca c hai thƠnh phần vận tốc
đều bằng không ti biên:
































0,
0,
1,
1,
,1
,1
,0
,0
iSOUTH
iSOUTH
jiNORTH
jiNORTH
jiEAST
jiEAST
jWEST
jWEST
vv
uu
vv
uu
vv
uu
vv
uu

(2.36)
Điều kiện biên ca dòng vƠo
Đối với điều kiện biên dòng vƠo thì vận tốc được cho một cách rõ rƠng, ta áp đặt
điều nƠy cho vận tốc pháp tuyến với biên.
2.2.3.3.3 Phng trình Poisson

Phưng trình Poisson đòi hi hệ tuyến tính phi được gii ở mi bước thời gian.
Một trong những bước c bn ca các đon mƣ lƠ việc thực hiện toán tử Laplace .
Đầu tiên ta sử dng toán tử Laplace cho trường hợp một chiều bằng cách sử dng
sai phơn hữu hn trung tơm bậc hai, ta có thể định nghĩa đo hƠm ma trận với cấu
trúc sau đơy,





















11
11
2
1

121
121
1
1
a
a
h
K

(2.37)
Việc lựa chọn tham số a
11
tùy thuộc vƠo các loi điều kiện biên sau:
Điều kiện biên Dirichlet (
2
11
a
):
18
































2
0
2
1
2
0
0
2
21
2

11
1
2
210
11
00
2
2
2
2
h
g
f
h
uu
h
g
f
h
uu
f
h
guu
f
h
uug
gu
gu
N
NN

N
NNNNN
(2.38)
Điều kiện biên Neumann (
1
11
a
):













































N
NNNNNN
N
NN
N
N
f
h

uuu
f
h
uuu
hguu
hguu
g
h
uu
g
h
uu
g
x
u
g
x
u
2
11
1
2
210
11
120
11
1
02
1
1

2
2
2
2
2
2














h
gf
h
uu
h
gf
h
uu
NNNN
2

2
2
1
2
00
2
21
(2.39)
Để mở rộng toán tử Laplace cho trường hợp hai chiều, ta sử dng tích tensor
Kronecker:
 
   
   
















BABA

BABA
BA,Kronecker 2,21,2
2,11,1
(2.40)
Sau đó, ta có thể tính đo hƠm ma trận để tính:
 
nxnxnynyx
K,IKroneckerL
x




2
2
(2.41)
 
nxnx,nynyy
IKKroneckerL
y
,
2
2




(2.42)
Trong đó
I

lƠ ma trơn đn vị.
19

Do đó:
 
   
nxnx,nynynxnxnyny
yx
IKKroneckerK,IKronecker
LL
yx
,
2
2
2
2









(2.43)
2.3 Biên cng
Mô phng dòng chy quanh một biên cng, ta nên cho biên di chuyển một chút hn
lƠ cố định chúng. Min sao biên nhúng nằm gần bề mặt vật thể, ta cần phi gii
phưng trình Navier-Stokes hai chiều với một số rƠng buộc vận tốc biên như sau,

      





dststsp
t
,, XxFuuu
u

(2.44)
0 u
(2.45)
 
         





xXxxuXuU
X
dtstttsts
t
ts
,,,,,
,

(2.46)

Khi biên nhúng lƠ biên cng, vấn đề chính lƠ định luật liên tc ( ví d như định luật
Húc cho lò xo) nhìn chung thì không được phù hợp trong giới hn cng, nghĩa lƠ
biến dng nh ca một biên rất cng. Gii pháp cho vấn đề nƠy lƠ ta gi sử vật thể
đƠn hồi nhưng rất cng. ThƠnh phần cưng bc trong phưng trình (2.44) đƣ nói lên
rằng các điểm biên sẽ ở sát bề mặt vật thể, theo định luật Húc cho lò xo ta có:
     
 
ststs
e
XXF  ,,

or
     
 
tssts
e
,, XXF 

(2.47)
Với

lƠ hệ số đƠn hồi,
 
s
e
X
lƠ vị trí cơn bằng, vƠ
 
ts,X
lƠ các điểm biên nhúng

mƠ chúng sẽ tưng tác với lưu chất. Áp đặt điều kiện biên chính xác trên lưới biên
nhúng đòi hi κ lớn vƠ sẽ chọn nó đ lớn để sự chuyển động lƠ không đáng kể.Vì
thế, nếu các điểm trên biên di chuyển ra khi vị trí mong muốn thì lực đƠn hồi sẽ
20

kéo các điểm biên nƠy quay trở li. Do đó, trong thời gian tới ta có thể mong rằng
các điểm biên sẽ luôn luôn nằm sát với đường biên mong muốn ca chúng.
Một khi trường vận tốc vƠ trường áp suất đƣ được tính toán thì lực cn vƠ lực nơng
có thể tính toán từ lực ti các điểm điều khiển. Ta có thể xác định lực cn vƠ lực
nơng một cách đn gin lƠ xem xét thƠnh phần x và y ca lực tác dng lên biên trong
miền lưu chất. Điều nƠy dĩ nhiên lƠ bằng lực cn ơm, theo định luật ba Newton về
chuyển động thì,


 dsFdfF
xxD
x
(2.48)


 dsFdfF
yyL
y
(2.49)
Trong đó
 
yx
ff ,
và
 

yx
FF ,
là thƠnh phần (x,y) ca lực khối f và F tưng ng.