Bài tập theo chuyên đề hình học không gian lớp 11 hay

Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page1of17

Bài tập 1. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy
M
trên
AB
, điểm
N
trên đoạn
AC
và
I
trong tam giác
BCD
. Giả
sử
MN
khơng song song với
BC
. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng:
a)
()
MNI
và
()
BCD

b)
()
MNI
và
()
ABD

c)
()
MNI
và
()
ACD

Bài tập 2. Cho tứ giác
ABCD
có các cặp cạnh đối khơng song song và điểm
S
khơng thuộc mặt phẳng
của tứ giác. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a)
()()
SAC & SBD

b)
()()
SAB & SCD

c)
()()

SAD & SBC

Bài tập 3. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy điểm
M
trên
AC
, điểm
N
trên
BD
và điểm
I
trên
AD
. Tìm giao
tuyến của
()
MNI
với các mặt của tứ diện.
Bài tập 4. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy điểm
I
trên
AB
, điểm
J
trong tam giác

BCD
và điểm
K
trong tam
giác
ACD
. Tìm giao tuyến của
()
IJK
với các mặt của tứ diện.
Bài tập 5. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành. Gọi
M, N
là trung điểm
SB,SD
,
PSCỴ

sao cho
PC PS<
. Tìm giao tuyến của:
a)
()()
SAC & SBD

b)
()()
MNP & SBD

c)
()()
MNP & SAC

d)
()()
MNP & SAB

e)
()()
MNP & SAD
f)
()( )
MNP & ABCD

Bài tập 6. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy hình thang,
AD
là đáy lớn. gọi
M, N
là trung điểm
BC, CD
. Tìm
giao tuyến của:
a)
()()
SAC & SBD

b)

()()
SMN & SAD

c)
()()
SAB & SCD

d)
()()
SMN & SAC

e)
()()
SMN & SAB

Bài tập 7. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành. Gọi
I,J, K
lần lượt là trug điểm của
BC, CD, S A
.
Tìm giao điểm của:
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page2of17

a)
()( )
IJK & SAB

b)
()( )
IJK & SAD

c)
()( )
IJK & SBC

d)
()( )
IJK & SBD

Bài tập 8. Cho tứ diện
ABCD
có
M, N, P
lần lượt nằm trên cạnh
AB, AC, BD
sao cho
MN
khơng song song
với
BC
,
MP
khơng song song với
AD
. Tìm giao tuyến 2 mặt phẳng:
a)

()()
MNP & ABC

b)
()()
MNP & BCD

c)
()()
MNP & ACD

Bài tập 9. Cho hình chóp
S.ABCD
đáy là hình thang đáy lớn
AD.
Gọi
I
là trung điểm
SA
,
1
JAD:JD AD
4
Ỵ=
,
KSB:SK 2BKỴ=
. Tìm giao tuyến:
a)
()( )
IJK&ABCD

b)
()( )
IJK & SAB

c)
()( )
IJK & SBC

Bài tập 10. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
M, N, P
lần lượt là 3 điểm trên ba cạnh
AB,CD, AD
. Tìm giao tuyến của
các cặp mặt phẳng:
a)
()( )
ABN & CDM

b)
()()
ABN & BCP


Bàitập1. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
M, N

lần lượt là trung điểm của
AC
và
BC
và
K
là một điểm trên
BD

sao cho
KD KB<
. Xác định giao điểm của
CD
và
AD
với
()
MNK
.
Bàitập2. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy
M
trên
AB
, và
N
trong tam giác
BCD
và điểm

K
trong tam giác
ACD
.
Xác định giao tuyến của
CD
và
AD
với
()
MNK
.
Bàitập3. Cho hình hóp
S.ABCD
. Lần lượt lấy trên
SA, AB
và
BC
các điểm
M, N, P
sao cho
NP
khơng song
song với
AD
và
CD
. Xác định giao tuyến của
SD,SC
với

()
MNP
.
Bàitập4. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy
M
trên
AB
và
N
trong tam giác
BCD
. Xác định giao tuyến của
AC
với
()
MND
.
Bàitập5. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy
M
trên
AB
, điểm
N
trên đoạn
AC
và

I
trong tam giác
BCD
. Xác giao
điểm của
BD,CD
với
()
IMN
.
Bàitập6. Cho hình chóp
S.ABCD
và điểm
M
trên
SB
. Dựng giao điểm của
SC
với
()
ADM
.
Bàitập7. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang
AD / /BC
.
M, N
là 2 điểm bất kì trên
SB,SD

. Tìm
giao điểm:
a)
()
SA & MCD

b)
()
MN & SAC

c)
()
SA & M NC

Bàitập8. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành và
M
là trung điểm
SC
.
a) Tìm giao điểm
I
của
()
AM & SBD

b) Tìm giao điểm

J
của
()
SD & ABM

Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page3of17

c) Gọi
NABỴ
. Tìm giao điểm của
MN
và
()
SBD

Bàitập9. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
AB CD>
. Gọi
MSA,NAB,PBCỴỴỴ
. Tìm giao điểm:
a)
()
MP & SBD

b)
()

SD & MNP

c)
()
SC & MNP

Bàitập10. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M, N
lần lượt là trung điểm
SB, AD
và
G
là trọng tâm tam giác
SAD

a) Tìm giao điểm
()
GM & ABCD

b) Tìm giao điểm
()
AD & OMG

c) Tìm giao điểm
()
SA & OGM

Bàitập11. Cho hình chóp
S.ABCD
có
M, I
lần lượt là trung điểm
SA, AC
.
PAB:2PB ABỴ=
,
NSC:SC 3SNỴ=
. Tìm giao điểm:
a)
()
SI & MNP

b)
()
AC & M NP

c)
()
BC & MNP

Bàitập12. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối khơng song song và
IS
. Tìm
giao điểm:

a)
()
SD & IBC

b)
()
IC & SBD

c)
()
SB & ICD

Bàitập13. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang. Gọi
E, F
là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh
SB,CD
.
a) Tìm giao điểm
()
EF & SAC

b) Tìm giao điểm của
()
AEF
với các đường thẳng
BC
và
SC

.

PHÁ
Bàitập14. Cho đường thẳng
d
cắt mp
()
a
tại điểm
I
. Lấy 2 điểm
A
và
B
trên
d
, và điểm
M
trong
khơng gian khơng thuộc
d
và
()
a
. Giả sử
MA
và
MB
lần lượt cắt
()

a
tại
A'
và
B'
. Chứng minh
3 điểm
I, A '
và
B'
thẳng hàng.
Bàitập15. Cho hình chóp
S.ABCD
trong đó
AB,CD
khơng song song. Lấy điểm
M
trên
SB
và
O
là giao
điểm của hai đường chéo
AC
và
BD

a) Xác định giao điểm
N
của

SC
với
()
ADM
.
b) Gọi
I
là giao điểm
AN
và
DM
. Chứng tỏ 3 điểm
S, I, O
thẳng hàng.
Bàitập16. Cho hình chóp
S.ABC
có
D, E, F
lần lượt trên
SA, SB, SC
sao cho
DE AB IÇ=
,
EF BC JÇ=
,
FD AC KÇ=
. Chứng minh
I,J, K
thẳng hàng.
Bàitập17. Cho tứ diện

ABCD
.
I
là một điểm trên đường thẳng
BD
nhưng khơng thuộc đoạn
BD
. Trong
mp
()
ABD
dựng đường thẳng qua
I
cắt
AB, AD
tại
K
và
L
. Trong mp
()
BCD
dựng đường thẳng
qua
I
cắt
CB,CD
tại
M, N
. Giả sử

KM LN HÇ=
. Chứng minh
A, C, H
thẳng hàng.
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page4of17

Bàitập18. Cho hình chóp
S.ABCD
. Gọi
EABCD=Ç
. Trên các cạnh
SA, SB, SC, SD
lần lượt lấy các điểm
Q, M, N, P
sao cho
AM DN I, BQ PC JÇ= Ç=
. Chứng minh
S, E, I, J
thẳng hàng.

Bàitập19. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
E, F, G
lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh
AB, AC, BD
sao cho
EF

cắt
BC

tại
I
,
EG
cắt
AD
tại
J
(
I
khác
C
và
J
khác
D
). Chứng minh
CD, I G
và
JF
đồng quy.
Bàitập20. Cho hình chóp
S.ABCD
. Một mặt phẳng
()
a
lần lượt cắt các cạnh

SA, SB, SC, SD
tại
A',B',C',D'
. Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
. Chứng minh 3 đường thẳng
A'C',B'D'
và
SO

đồng quy.
Bàitập21. Cho 2 tam giác
ABC
và
A'B'C'
khơng cùng nằm trong một mặt phẳng. Giả sử
BC
cắt
B'C'
,
AC
cắt
A'C'
và
AB
cắt

A'B'
. Chứng minh
AA ', BB ',CC '
đồng quy tại một điểm.
Bàitập22. Cho hình chóp
S.ABCD
có
AB CD =
và
I, J
lần lượt là trung điểm của
SA, SB
, lấy
N
tùy ý
trên
SD
.
a) Tìm giao điểm
M
của
()
SC & IJN

b) Chứng minh rằng
IJ, MN, SE
đồng quy.
Bàitập23. Cho tứ diện
S.ABC
. Gọi

I,J, K
là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh
SB,SC, AB
sao cho
IJ

khơng song song với
BC
,
IK
khơng song song với
SA
.
a) Tìm giao điểm
D
của
()
IJK & BC

b) Gọi
EDKAC=Ç
. Chứng minh
SA, IK,EJ
đồng quy.
Bàitập24. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
khơng là hình thang. Gọi
OACBD=Ç

và
KSDỴ
.
a) Tìm giao điểm
E
của
()
ABK & CD

b) Tìm giao điểm
F
của
()
ABK & SC

c) Chứng minh
AF,BK
và
SO
đồng quy.

Bàitập25. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M, N, P
là 3 điểm nằm trên
AB, BC,SO
. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

()
MNP

Bàitập26. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang đáy lớn
AD
. Gọi
M
là một điểm trên
SB
. Tìm
thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng
()
AMD

Bàitập27. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang đáy lớn
AB
. Gọi
M, N
là trung điểm của
SB,SC

a) Tìm giao tuyến của
()()
SAD & SBC

b) Tìm giao điểm của
()
SD & AMN

c) Tìm thiết diện của hình chóp với
()
AMN

Bàitập28. Cho hình chóp
S.ABCD
. Gọi
M
là một điểm thuộc miền trong tam giác
SCD
.
a) Tìm giao tuyến của
()()
SBM & SAC

b) Tìm giao điểm của
()
BM & SAC

c) Tìm thiết diện của hình chóp với
()
ABM

Bàitập29. Cho hình chóp
S.ABCD

có đáy là hình bình hành. Gọi
M, N
lần lượt là trung điểm của
SB, AD
.
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page5of17

G
là trọng tâm của tam giác
SAD
. Đường thẳng
BN
cắt
CD
tại
K

a) Chứng minh
M, G, K
thẳng hàng.
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi
()
MCG

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bàitập30. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy

M
trên
AB
và điểm
N
trong tam giác
BCD

a) Xác định giao tuyến của
AC
với
()
MDN

b) Xác định giao điểm của
AN với
(
)
CDM
Bàitập31. Cho hình chóp
S.ABCD
trong đó
ABCD
là hình thang có đáy lớn là
AB
. Gọi
I
và
J
là trung

điểm
SA, SB
. Điểm
M
lưu động trên
SD
.
a) Xác định giao tuyến của
(
)
SAD và
(
)
SBC
b) Xác định giao điểm
K
của
()
IM & SBC
, giao điểm
N
của
(
)
SC & IJM

c) Chứng tỏ giao điểm
H của IN và JM ở trên một đường thẳng cố định
Bàitập32. Cho tứ diện
S.ABC

. Gọi M, N, P là trung điểm của SA,SB, SC
a) Chứng minh 3 mặt phẳng
(
)
(
)
MBC , NCA và
()
PAB có chung một điểm
I
và 3 mặt phẳng
(
)
(
)
ANP , BPM
và
(
)
CMN
có chung một điểm
J

b) Chứng minh 3 điểm
S, I, J thẳng hàng và tính
SJ
SI

Bàitập33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi E là trung điểm SC .
a) Tìm giao tuyến của

()()
BED & SAC

b) Tìm giao tuyến
()()
ABE & SBD
c) Tìm giao điểm
(
)
SD & AEB
Bàitập34. Cho hình chóp
S.ABCD
và
OACBD=Ç
. Lấy MSA,NSCỴỴ. Tìm giao điểm của:
a)
()
BMN & SO
b)
()
BMN & SD

Bàitập35. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
.
M, N
lần lượt là trung điểm
SB,SD

,
P
thuộc đoạn
SC
và khơng là trung điểm
SC
.
a) Tìm giao điểm của
(
)
MNP & SO
b) Tìm giao điểm
()( )
SA & MNP
c) Gọi
F, G , H lần lượt là giao điểm của QM & AB , QP & AC , QN & AD . Chứng minh F, G, H
thẳng hàng.
Bàitập36. Cho tứ diện
ABCD . Gọi
M, N
lần lượt là 2 điểm trên
AB, A C
sao cho MN khơng song song
với
BC
. Mặt phẳng
()
P thay đổi ln ln chứa
MN
cắt

CD
và
BD
lần lượt tại
E
và
F

a) Chứng minh ln đi qua điểm cố định
b) Tìm tập hợp giao điểm của
ME & NF

c) Tìm tập hợp giao điểm của
MF & NE
Bàitập37. Cho hình chóp
S.ABCD
có
AB
khơng song song với
CD
. Gọi
M
là điểm thuộc miền trong tam
giác
SCD
.
a) Tìm giao điểm
()
CD & MAB
b)

EF
Tìm giao tuyến
()( )
SCD & MAB
c) Tìm giao điểm
(
)
AM & SBD
d) Tìm giao điểm
(
)
BM & SAC
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page6of17

Bàitập38. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
M, N
lần lượt là 2 điểm thuộc miền trong tam giác
ABC
và
BCD
. Giả
sử
()
MN ABC E
Ç=
và

()
MN ACD F
Ç=
. Hãy xác định hai điểm
E&F



Bàitập1. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
M, N
lần lượt là trung điểm
AB, A C
. Chứng minh
()
MN / / BCD

Bàitập2. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABD
.
MBCỴ
sao cho
MB 2MC=
. Chứng
minh

()
MG / / ACD

Bàitập3. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
12
G,G
là trọng tâm của các tam giác
ACD & BCD
. Chứng minh
12
GG

song song với các mặt phẳng
()()
ABC & ABD

Bàitập4. Cho hình chóp
S.ACBD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
M, N
lần lượt là trung điểm
AB,CD
.
a) Chứng minh
MN
song song với các mặt phẳng

()()
SBC & SAD

b) Gọi
P
là trung điểm
SA
. Chứng minh
SB
và
SC
đều song song với
()
MNP

Bàitập5. Cho 2 hình bình hành
ABCD & ABEF
khơng cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi
O, O '
lần lượt là tâm của
ABCD, ABEF
. Chứng minh
()
OO '/ / ADF
và
()
OO '/ / BCE

b) Gọi

M, N
là hai điểm lần lượt trên hai cạnh
AE
và
BD
sao cho
11
AM AE, BN BD
33
==

 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
()( )
AMN & CDFE

 Chứng minh
()
MN / / CDFE

Bàitập6. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang, đáy lớn
AD
và
AD 2BC=
. Gọi
O
là giao

điểm
AC & BD
,
G
là trọng tâm tam giác
SCD
.
a) Chứng minh
()
OG / / SBC

b) Gọi
M
là trung điểm
SD
. Chứng minh
()
CM / / SAB

c) Giả sử
I
nằm trong đoạn
SC
sao cho
3
SC SI
2
=
. Chứng minh
()

SA / / BID


Ngồi các cách đã biết ta có hai cách sau để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
 Cách 1.
()
()
() ()
a// P
aQ d//a
PQd
ü
ï
ï
ï
ï
ï
Ì
ý
ï
ï
ï
Ç=
ï
ï
þ

 Cách 2
()
()

() ()
P//a
Q//a d//a
PQd
ü
ï
ï
ï
ï
ï

ý
ï
ï
ï
Ç=
ï
ï
þ

Bàitập1. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M, N
lần lượt là trung điểm
SA, SD
.
a) Chứng minh

() () ()
MN / / SBC , SB / / OMN , SC / / OMN

Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page7of17

b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
()
OMN
. Thiết diện là hình gì ?
Bàitập2. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
I
và
J
lần lượt là trung điểm
AB & CD
.
M
là một điểm trên
IJ
. Gọi
()
P là mặt phẳng qua
M
, song song với
AB
và

CD
.
a) Tìm giao tuyến của
(
)
(
)
P&ICD

b) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
()
P . Thiết diện là hình gì?
Bàitập3. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M
là trung điểm của
SB
.
a) Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
()
a
qua
M
, song song với
SO
và
AD.

b) Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
(
)
b chứa
OM
và song song với
SC

Bàitập4. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
M
và
N
là hai điểm trên hai cạnh
BC
và
AD
. Xác định thiết diện của
tứ diện với mặt phẳng
()
a
qua
MN
và song song với
CD
. Hãy xác định vị trí của hai điểm
M&N để thiết diện là hình bình hành.
Bàitập5. Cho hình chóp

S.ABCD
có đày là hình bình hành tâm
O
. Gọi
K
và
J
lần lượt là trọng tâm của
các tam giác
ABC
và
SBC
.
a) Chứng minh
(
)
KJ / / SAB
b) Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
()
a chứa
KJ
và song song với
AD
.
Bàitập6. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang với
(
)
AD / /BC AD BC>

.
M
là một điểm bên
trong hình thang
ABCD . Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với SA và SB cắt
(
)
SBC và
(
)
SAD theo thứ tự tại
N
và
P
.
a) Hãy nêu cách dựng
N, P
b) Chứng minh
MN MP
SA SB
+
là khơng đổi
c) Tìm tập hợp các điểm
M
để tam giác
MNP
có diện tích lớn nhất

Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page8of17

CHƯƠNG II. QUAN HỆ SONG SONG
Vấn đề 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Bài tập 1. Cho hình chóp
S.ABCD
đáy là hình bình hành tâm
O

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA,SD .
a) Chứng minh
(
)
(
)
OMN / / SBC

b) Gọi
K
là trung điểm của
OM
. Chứng minh
()
NK / / SBC

Bài tập 2. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD và
K
là một điểm bất kì
trên cạnh
NP
. Chứng minh:
a)
(
)
(
)
MNP / / BCD

b)
()
MK / / BCD

Bài tập 3. Cho hai hình vng
ABCD
và
ABEF
khơng cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của
AB,BC,BE,AF. Chứng minh:
a)
(
)
(
)
ADF / / BNP
b)
(
)
(
)
MNPQ / / CDE
Bài tập 4. Cho hình chóp
S.ABC
. Gọi
I, J, K
lần lượt là trọng tâm các mặt bên
SAB,SBC,SAC
.

a) Chứng minh
()( )
IJK / / ABC
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
(
)
IJK

Bài tập 5. Cho hai hình vng ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên AC và BF lần lượt lấy
các điểm M, N sao cho
AM BN= . Các đường thẳng song song với AB kẻ từ
M, N
cắt
AD, AF
tại
M',N'
.
Chứng minh:
a)
()()
BCE / / ADF

b)
(
)
DF / / BCE
c)
(
)
(

)
DEF / / MNN ' M '
Bài tập 6. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
123
G,G,G
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC, AC D, ADB

a) Chứng minh
()()
123
GGG // BCD
b) Tìm thiết diện của tứ diện
ABCD
với mặt phẳng
(
)
123
GGG . Tính diện tích thiết diện, biết diện
tích tam giác
BCD
bằng
a

Vấn đề 2. Hình lăng trụ và hình hộp
Bài tập 1. Cho hình lăng trụ tam giác
ABC.A ' B ' C ' . Gọi H là trung điểm của A'B'
a) Chứng minh

()
CB ' / / AHC '
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
AB ' C ' và
()
ABC
Bài tập 2. Cho hình lăng trụ tam giác
ABC.A ' B ' C ' . Gọi M và M' lần lượt là trung điểm BC và B'C'
a) Chứng minh
AM / / A ' M '

b) Xác định
(
)
A'M AB'C'Ç
c) Xác định
(
)
(
)
AB ' C ' BA ' C 'Ç
Bài tập 3. Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D'
a) Chứng minh
()()
BA ' C ' / / ACD '
b) Xác định giao điểm
I và J của B'D với các mặt phẳng

(
)
BA 'C ' và
(
)
ACD' . Chứng minh
B'I IJ JD==

Bài tập 4. Cho lăng trụ
ABC.A ' B' C '
. Gọi
I,J,K
là trọng tâm các tam giác
ABC, ACC ', A ' B ' C'

Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page9of17

a) Chứng minh
(
)
(
)
IGK / / BB ' C 'C

b) Chứng minh
(
)
(

)
A'GK // AIB'
Bài tập 5. Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D'
. Hai điểm M, N lần lượt trên
AD,CC '
sao cho
AM CN
AD CC '
=

a) Chứng minh
(
)
MN / / ACB '
b) Xác định thiết diện của hình hộp và mặt phẳng
()
a qua MN và song song với
(
)
ACB '


Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page10of17

CHƯƠNG III. VECTO TRONG KHƠNG GIAN. QUAN HỆ VNG GĨC
VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Vấn đề 1. Chứng minh đẳng thức vecto

Bài tập 1. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Chứng minh
SA SC S B SD+=+

   

Bài tập 2. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, B C .
O
là trung điểm đoạn
MN
.
a) Chứng minh
()
1
MN AB DC
2
=+

 

b)
OA OB OC OD 0+++=

    

Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh:
IA IB IC ID 0+++=

   

.
b) Chứng minh:
MA MB MC M D 4MI+++=

    
, với M tuỳ ý.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho:
MA MB MC MD+++

   
nhỏ nhất.
Vấn đề 2. Phân tích một vecto theo nhiều vecto
Bài tập 1. Cho tứ diện
SABC
. M là trung điểm
SA
,
G
là trọng tâm tam giác
ABC
. Phân tích các vectơ
SM, SG, MG
 
theo các vectơ

SA, SB, SC
  

Bài tập 2. Cho tứ diện
SABC
,
I
là trung điểm của
AB
,
E
là trung điểm của
SI
,
G
là trọng tâm tam giác
ABC
,
K
là trung điểm của
CG
. Hãy phân tích
EK
theo các vectơ
SA, SB, SC
  

Bài tập 3. Cho tứ diện
SABC
,

M
là trung điểm của
AB
,
K
là điểm thỏa mãn KC 2KB=-
 
và
N
là trung
điểm của
SK
. Hãy phân tích MN

theo các vectơ
SA, SB, SC
  

Bài tập 4. Cho tứ diện
ABCD
, I, J lần lượt là trung điểm các cạnh
AB
và
CD
. Các điểm M, N lần lượt thuộc
các cạnh
BC, AD sao cho
BM 2MC, AN 2 ND==
. Chứng minh bốn điểm I, J, M, N đồng phẳng
Hướng dẫn:

33
IJ IM IN
44
=+



Bài tập 5. Cho hình hộp
ABCD.EFGH . Gọi
I, K
lần lượt là tâm các hình bình hành
ABFE, BCGF
. Chứng
minh 3 vectơ
BD, IK ,GF

đồng phẳng
Hướng dẫn.
BD 2GF 2IK=- -


Bài tập 6. Cho tứ diện
ABCD
và điểm
M
thỏa mãn SM m.SA n.SB p.SC=++


với
mnp1++=

. Chứng
minh
(
)
MABCỴ

Bài tập 7. Cho tứ diện
ABCD
và điểm
M
thỏa mãn
SM 3SA SB SC=

. Chứng minh
(
)
MABCỴ
Vấn đề 3. Tích vơ hướng và ứng dụng
Bài tập 1. Cho hình chóp tứ giác có đáy
ABCD là một hình vng. Tất cả các cạnh bên và cạnh đáy của hình
chóp đều bằng
a
. Hãy tính các tích vơ hướng sau:
SA.SB
 
,
SA.SC
 
,
SA.BA

 

Bài tập 2. Cho tứ diện
S.ABC
có
SA SB SC AB AC a=== = =
,
BC a 2=
. Tính góc giữa
SC
và
AB

Bài tập 3. Cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D' cạnh
a
. Tính các góc
(
)
AC, A ' D '
và
(
)
AC, BA '

Bài tập 4. Cho tứ diện
ABCD có
AB CD , AC BD^^
. Chứng minh BC AD^
Bài tập 5. Cho tứ diện

ABCD có
AB AC, AB BD^^
và hai điểm P, Q thuộc hai cạnh AB,CD sao cho
PA k.PB,QC k.QD==
  
(
)
k1¹ . Chứng minh
AB PQ^

Bài tập 6. Cho hình chóp
S.ABC
có
SA SB SC==
và


ASB ASC=
. Chứng minh
BC SA^

Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page11of17

Bài tập 7. Cho hình chóp
S.ABC
có
SA SB SC==
và



0
BAC BAD 60==
,

0
CAD 90=

a) Chứng minh
AB CD^

b) Gọi
I,J
lần lượt là trung điểm
AB,CD
. Chứng minh
IJ AB^
và
IJ CD^

Bài tập 8. Cho tứ diện
ABCD
có
AC BD a ; AB CD 2a ; AD BC a 6== == ==
. Tính góc giữa
AD
và
BC

Bài tập 9. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BC
và
AD
. Tính góc giữa
AB
và
CD

biết
AB CD a==
và
a3
MN
2
=

Bài tập 10. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang vng tại
A
. Cạnh
AB 2a=
,
AD DC a==
,
SA AD^
,

SA AB^
,
a3
SA
3
=
. Tính góc giữa
SB
và
CD
;
SD
và
BC


ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
Vấn đề 1. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Bài tập 1. Cho tứ diện
S.ABC
có tam giác
ABC
vng tại
B
và
(
)
SA ABC^

a) Chứng minh

(
)
BC SAB^

b) Chứng minh tam giác
SBC vng tại B
c) Gọi
AH
là đường cao
SABD
. Chứng minh
AH SC^

Bài tập 2. Cho tứ diện
ABCD
có
ACD, BCD
là hai tam giác cân tại
A
và
B
. Chứng minh
AB CD^

Bài tập 3. Cho tứ diện
OABC
có
OA, OB,OC
đơi một vng góc với nhau. Gọi
H

là điểm thuộc mặt phẳng
(
)
ABC
sao cho
()
OH ABC^
. Chứng minh rằng:
a)
()
BC OAH^
b) H là trực tâm tam giác ABC
c)
2222
1111
OH OA OB OC
=++

Bài tập 4. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vng tâm
O
.
()
SA ABCD^ . Gọi
H, I, K
lần lượt là
hình chiếu vng góc của

A
lên
SB,SC,SD
.
a) Chứng minh
(
)
(
)
(
)
BC SAB ,CD SAD , BD SAC^^^
b) Chứng minh:
AH SC, AK SC^^

c) Chứng minh
()
HK S AC^
. Từ đó suy ra
HK AI^

Bài tập 5. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thoi tâm
O
. Biết
SA SC=
và
SB SD=

a) Chứng minh
()
SO ABCD^
b) Gọi
I, J
lần lượt là trung điểm
AB, BC
. Chứng minh
(
)
IJ SBD^
Bài tập 6. Cho tứ diện
S.ABC
có
(
)
SA ABC^
. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác
ABC
và
SBC
.
Chứng minh rằng:
a)
AH, SK, BC
đồng quy
b)
(
)
SC BHK^

c)
(
)
HK SBC^
Bài tập 7. Cho hình chóp
S.ABCD
, đáy là hình vng cạnh
a
. Mặt bên
SAB
là tam giác đều và
SC a 2=
.
Gọi
H, K
là trung điểm
AB, AD

a) Chứng minh
()
SH ABCD^
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page12of17

b) Chứng minh
AC SK^
và
CK SD^

Bài tập 8. Cho hình chóp
S.ABC
có đáy là tam giác vng tại
B
.
(
)
SA ABC^ . Kẻ các đường cao
AH, AK, BM
của các tam giác
SAB, SAC, ABC

a) Chứng minh
() ()
BC SAB , AH SBC^^

b) Chứng minh
(
)
SC AHK^
c) Chứng minh
(
)
BM / / AHK
Bài tập 9. Cho lăng trụ
ABC.A ' B ' C '
. Gọi
H
là trực tâm
ABC

và biết rằng
()
A'H ABC^
.
a) Chứng minh
AA' BC , AA ' B ' C '^^

b) Gọi
(
)
(
)
MM ' AHA ' BCC' B '=Ç , trong đó
MBC,M'B'CỴỴ
. Chứng minh BCC ' B ' là hình chữ nhật
và
MM ' BC^

Bài tập 10. Cho tam giác
ABC
cân đỉnh
A
có

0
BAC 120=
, cạnh
BC a 3=
. Lấy điểm S nằm ngồi mặt
phẳng chứa ABC sao cho

SA a=
. Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
SBC

a) Chứng minh
(
)
OA SBC^

b) Tính
OA
khi
SBCD
vng tại
S

Bài tập 11. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vng cạnh
a
,
()
SA ABCD^ và
SA a=
. Gọi
I,K
lần
lượt là trung điểm của

AB, SC

a) Chứng minh
()
IK SDC^

b) Tính độ dài đoạn
IK

Bài tập 12. Cho tứ diện
ABCD
có
()
AB BCD^ ,
BCDD
vng tại
C
. Gọi
H
là hình chiếu của
B
lên
AC

a) Chứng minh các mặt bên của tứ diện đểu là tam giác vng
b) Chứng minh
()
CD ABC^ và BHDD vng tại H
c) Gọi
K

là hình chiếu của
B
lên
AD
. Chứng minh
HK AD^

Vấn đề 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài tập 1. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
AB a, A D a 3==
. Cạnh bên
()
SA ABCD^ và SA a= . Tính:
a) Góc giữa
SB, SC, SD
với mp
()
ABCD
b) Góc giữa
SB
và
CD

c) Góc giữa
SD và
(

)
SAB
Bài tập 2. Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
a
, cạnh
()
SA ABCD^ và SA a 2= .
Tính góc giữa:
a)
SC
và
()
ABCD
b)
SC và
(
)
SAB
c)
SC
và
(
)
SBD
Bài tập 3. Cho hình chóp
S.ABCD có
a3
SA SB SC
2

===
và đáy là tam giác vng tại A , cạnh BC a= .
Tính góc giữa
SA
và
()
ABC
Bài tập 4. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vng cạnh
a
.
()
SA ABCD^ và
SA a 6=
. Tính:
a) Góc giữa
SC
và
()
ABCD
b) Góc giữa
SB và
(
)
SAC
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page13of17


c) Góc giữa
AC
và
(
)
SBC

Bài tập 5. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
()
BC a, SA ABCD=^ ,
SC
tạo với
(
)
SAB một
góc
a và tạo với đáy một góc b . Chứng minh rằng
()()
a cos .cos
AB
sin
a+b a-b
=
a

Vấn đề 3. Thiết diện
Bài tập 1. Cho hình chóp
S.ABCD

có đáy là hình chữ nhật,
()
SA ABCD^
. Hãy xác định thiết diện của hình
chóp và mặt phẳng
()
P
qua
A
, vng góc với
SC
.
Bài tập 2. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang vng tại
A
và
B
với
AB BC a, AD 2a== =
,
SA

vng góc với đáy và
SA 2a=
. Gọi
M
là một điểm trên cạnh
AB
. Mặt phẳng

()
a qua
M
vng góc với
AB
.
Đặt
()
AM x 0 x a=<<

a) Tìm thiết diện của hình chóp
S.ABCD với
()
a . Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo
a
và
x

Bài tập 3. Cho hình chóp
S.ABC
có đáy là tam giác vng tại
B
,
AB a, AC 2a==
,
(
)
SA ABC^
và

SA 2a=
. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng
()
P đi qua A và vng góc với SC . Tính diện tích thiết diện
Bài tập 4. Cho hình chóp
S.ABC
có
ABCD
cân tại
B
,
(
)
SA ABC^
,
a3
AB BC a,SA
2
== =
. Điểm
(
)
MAB,AM x0x =<<, mặt phẳng
()
a qua
M
và vng góc
AB

a) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

()
a
b) Tính diện tích của thiết diện theo
a
và
x
. Tìm
x
để diện tích thiết diện lớn nhất.
Bài tập 5. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vng tâm
O
, cạnh
a
,
()
a6
SO ABCD ,SO
2
^=
.
Mặt phẳng
()
P qua A vng góc với SC . Xác định và tính diện tích thiết diện của
()
P với hình chóp

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
Vấn đề 1. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau
Bài tập 1. Cho tứ diện
OABC có ba cạnh OA,OB,OC đơi một vng góc với nhau. Chứng minh
()()()()()()
OAB OBC , OAB OAC , OAC OBC ,^^^
Bài tập 2. Cho tứ diện
S.ABC
có
(
)
SA ABC^ và tam giác
ABC
vng tại
B
. Chứng minh
(
)
(
)
SAB ABC^ ,
(
)
(
)
SAC ABC^ ,
()()
SBC SAB^
Bài tập 3. Cho tứ diện
S.ABC

có
(
)
(
)
SAC ABC^ và
SA SC=
. Gọi
K
là trung điểm
AC
. Chứng minh
(
)
SK ABC^
Bài tập 4. Cho tứ diện
S.ABC có
(
)
SA ABC^ và tam giác ABC vng cân tại B .
a) Chứng minh
()()
SBC SAB^
b) Gọi
M
là trung điểm
AC
. Chứng minh
(
)

(
)
SBM SAC^
Bài tập 5. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thoi tâm
O
. Các tam giác
SAC, SBD
cân tại
S
. Chứng
minh:
a)
()
SO ABCD^
b)
(
)
(
)
SAC SBD^
Bài tập 6. Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
.
I
là trung điểm
BC

,
D
là điểm đối xứng của
A
qua
I
, dựng đoạn
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page14of17

a6
SD
2
=
vng góc với
()
ABC . Chứng minh:
a)
(
)
(
)
SAB SAC^

b)
(
)
(
)

SBC SAD^
Bài tập 7. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng
a
.
a) Tính độ dài đường cao của hình chóp
b) Gọi
M
là trung điểm
SC
, chứng minh
()()
MBD SAC^
Bài tập 8. Cho hình chóp
S.ABC
có đáy là tam giác vng tại
C
, mặt bên
SAC
là tam giác đều nằm trong mặt
phẳng vng góc với mp
(
)
ABC

a) Chứng minh
()()
SBC SAC^
b) Gọi

I
là trung điểm
SC
, chứng minh
()()
ABI S BC^

Bài tập 9. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thoi cạnh a .
SA SB SC a===
. Chứng minh:
a)
()()
ABCD SBD^
b) Tam giác
SBD
là tam giác vng.
Bài tập 10. Cho tứ diện
ABCD có
()
AB BCD^ . Trong tam giác BCD vẽ các đường cao
BE, DF
cắt nhau tại
O
. Trong mp
(
)
ACD kẻ
DK AC^

, gọi
H
là trực tâm của tam giác
ACD

a) Chứng minh
()()
ACD ABE^
và
()()
ACD DFK^

b) Chứng minh
()
OH ACD^
Bài tập 11. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vng tâm
O
cạnh
a
,
()
SO ABCD^ và
a
SO
2
=
. Gọi
I,J

lần lượt là trung điểm của
AB,CD
. Chứng minh
()()
SAC SBD^ ,
(
)
(
)
SAB SIJ^ ,
()()
SAB SCD^
Bài tập 12. Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A'B'C'D'. Gọi
OACBD=Ç
, dựng CK BD^ tại K
a) Chứng minh
C'K BD^
b) Chứng minh
(
)
(
)
C'BD C'CK^

c) Dựng
CH C' K^ tại H . Chứng minh
(
)

CH C ' BD^
Bài tập 13. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vng cạnh
a
, cạnh bên
()
SA ABCD^ . Gọi
M, N

là 2 điểm theo thứ tự thuộc
BC, DC
sao cho
a3a
BM , DN
24
==
. Chứng minh
()()
SAM SMN^
Bài tập 14. Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SABD cân tại S và nằm trong mp vng
góc với đáy,
H
là trung điểm
AB
.
a) Chứng minh

( )()()()()
SH ABCD , SAB SBC , SAB SAD^^^
b) Khi
AB AD=
,
K
là trung điểm
BC
. Chứng minh
(
)
(
)
SHC SDK^
Bài tập 15. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
AB a AD=<
. Hai mặt phẳng
(
)
SAD
và
(
)
SAB

cùng vng góc với đáy.
a) Chứng minh
()

SA ABCD^
b) Chứng minh
()()
SCB SAB^

c) Đặt


ASC , BSC=a =b
. Chứng minh
2
2
22
a
SC
sin sin
=
b- a

Vấn đề 2. Góc giữa hai mặt phẳng
Bài tập 1. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
. Biết
AB a=
và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60 . Tính
góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh


Page15of17

Bài tập 2. Cho hình chóp
S.ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
.
(
)
SA ABC^ và
a3
SA
2
=
. Tìm góc
giữa
(
)
SBC
và
(
)
ABC

Bài tập 3. Cho tứ diện
ABCD
có
()

AD BCD^ và
AD a=
. Biết tam giác
BCD
là tam giác đều cạnh
2a
. Tính
góc giữa hai mặt phẳng
(
)
ABC và
()
BCD
Bài tập 4. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
có đáy
ABCD
bằng a , mặt bên hợp với mặt đáy một góc
0
45
.
Tính góc giữa các mặt phẳng:
a)
(
)
(
)
SAB & SCD

b)

(
)
(
)
SAB & SBC
Bài tập 5. Cho hình chóp
S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh
a
tâm O ,
SA a 3=
,
()
SA ABCD^ . Tính
góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a)
()()
SAB & SCD

b)
()( )
SBC & ABC
c)
()( )
SBD & ABD
Bài tập 6. Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O

cạnh bằng
a
,
()
a3 a6
OB , SO ABCD ,SO
33
=^ =
.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng
SA
và
SC

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng
(
)
SAB và
()
ABCD
Bài tập 7. Cho lăng trụ đứng
ABC.A ' B ' C '
có đáy
ABC
là tam giác cân
AB AC a==
và góc

0
BAC 120= ,

cạnh bên
BB ' a=

a) Gọi
I
là trung điểm của
CC '
. Chứng minh rằng tam giác
AB ' I
vng tại
A

b) Tính cosin góc giữa
()
ABC và
(
)
AB ' I
Vấn đề 3. Thiết diện
Bài tập 1. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vng cạnh
a
,
()
SA ABCD^ và
SA a 3=
. Gọi
()
a là mặt

phẳng chứa
AB
và vng góc với
(
)
SCD

a) Mặt phẳng
()
a cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ?
b) Tinh diện tích thiết diện
Bài tập 2. Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC
có đáy bằng
a
và cạnh bên bằng
a3
2
. Gọi
()
a là mặt phẳng
qua
A
, song song với
BC
và vng góc với
(
)
SBC
a) Tìm thiết diện của mặt phẳng

()
a với hình chóp S.ABC
b) Tính diện tích thiết diện
Bài tập 3. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang vng tại
A
, hai đáy là
AD 2a, BC a==
. Biết
(
)
AB a, SA ABCD=^

a) Chứng minh
()()
SAC SCD^
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
()
P chứa
AB
và vng góc với
(
)
SDC

KHOẢNG CÁCH
Bài tập 1. Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có đáy bằng
a

và đường cao
a3
SO
3
=
. Gọi I là trung điểm
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page16of17

của
BC
,
K
là hình chiếu vng góc của
O
lên
SI

a) Tính khoảng cách từ
O
đến
SA

b) Chứng minh
()
BC SOI^

c) Chứng minh
(

)
OK SBC^
d) Tính khoảng cách từ
O
đến
(
)
SBC
Bài tập 2. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD , cạnh đáy bằng
a
và đường cao
a
SO
2
=

a) Tính khoảng cách từ
O
đến
SD

b) Gọi
I
à trung điểm
BC
,
K
là hình chiếu vng góc của
O

lên
SI
. Chứng minh:
() ( )
BC SOI ,OK SBC^^
c) Tính khoảng cách từ
O
đến
(
)
SBC
d) Tính khoảng cách giữa
SI
và
DC

Bài tập 3. Cho tứ diện
ABCD
có cạnh
()
AD ABC^
,
AC AD 4==
,
AB 3=
,
BC 5=
. Tính
(
)

(
)
dA,BCD

Bài tập 4. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vng cạnh
a
, tâm
O
,
(
)
SA ABCD ,SA a 3^=

a) Tính khoảng cách từ
A đến
(
)
SBC
b) Tính khoảng cách từ
O
đến
(
)
SBC
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm
SABD

đến
(
)
SAC
Bài tập 5. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vng cạnh
a
.
()
SA ABCD^
và
SA a=
. Tính
()
dSC,BD

Bài tập 6. Cho tứ diện
S.ABC có
(
)
SA ABC^ . Gọi
H, K
lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC .
a) Chứng minh
AH, SK, B C
đồng quy
b) Chứng minh
(
)

(
)
SC BHK ,HK S BC^^
c) Xác định đường vng góc chung của
BC
và
SA

Bài tập 7. Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC
có cạnh đáy bằng
3a
, cạnh bên bằng
2a
. Tính
(
)
(
)
dS,ABC

theo
a

Bài tập 8. Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện theo
a

Bài tập 9. Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
a
,
(
)
SA ABCD , SA a^=. Tính
(
)
dSB,AD,
(
)
dBD,SC
MỘT SỐ BÀI TỐN CHỌN LỌC
Bài tập 1. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vng cạnh
a
,
()
SA ABCD , SA a 2^=

a) Chứng minh các mặt bên là các tam giác vng
b) Chứng minh
()()
SAC SBD^
c) Tính góc giữa

SC
và
(
)
SAB
d) Tính góc giữa
(
)
SBD
và
()
ABCD

e) Tính
()
()
dA,SCD

Bài tập 2. Cho hình chóp
S.ABC
có đáy
ABC
là tam giác vng tại
C
và
()
SB ABC^ , biết
AC a 2=
,
BC a=

,
SB 3a=

a) Chứng minh
(
)
AC SBC^
b) Gọi
BH
là đường cao của tam giác
SBC
. Chứng minh
SA BH^

c) Tính góc giữa
()
SA & ABC
Bài tập theo chuyên đề Hình học lớp 11 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh

Page17of17

Bài tập 3. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và có góc

0

BAD 6 0=
,
SA SB SD a===

a) Chứng minh
()( )
SAC ABCD^
b) Chứng minh tam giác
SAC
vng
c) Tính
(
)
(
)
dS,ABCD

Bài tập 4. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vng cạnh
a
mặt bên
SAB
là tam giác đều. gọi
E, F
là trung điểm của
AB
và

CD
.
a) Cho biết
SCDD
vng cân tại
S
. Chứng minh
(
)
SE SCD^ và
()
SF SAB^
b) Gọi
H
là hình chiếu vng góc của
S
lên
EF
. Chứng minh
SH AC^

c) Tính góc giữa
BD
và
(
)
SAD
Bài tập 5. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy

ABCD
là hình vng cạnh
a
,
SA ABCD^
và
SA 2a=

a) Chứng minh
()()
SAB SBD^
;
(
)
(
)
SCD SAD^

b) Tính góc giữa
SD
và
()
ABCD ;
SB
và
(
)
SAD ;
SB
và

(
)
SAC
c) Tính
(
)
(
)
(
)
(
)
dA,SCD ;dB,SAC

Bài tập 6. Cho hình chóp
S.ABC
có
ABCD
vng tại
A
,

0
B60=
,
AB a=
, hai mặt bên
(
)
SAB

và
(
)
SBC

vng góc với đáy;
SB 2a= . Hạ
(
)
BH SA H SA^Ỵ,
(
)
BK SC K SC^Ỵ
a) Chứng minh
()
SB ABC^
b) Chứng minh
(
)
SC BHK^

c) Chứng minh
BHKD
vng
d) Tính cosin góc tạo bởi
SA
và
()
BHK
Bài tập 7. Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD
có đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
a5
2
. Gọi
O
là tâm của hình
vng
ABCD
và
M
là trung điểm của
SC

a) Chứng minh
()()
MBD SAC^
b) Tính góc giữa
SA
và
()
ABCD
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng
(
)
MBD và
()
ABCD

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng
(
)
SAB và
()
ABCD
Bài tập 8. Cho hình lăng trụ
ABC.A ' B ' C '
có
(
)
AA ' ABC^ và
AA ' a=
, đáy
ABC
là tam giác vng tại
A

có
BC 2a , AB a 3==

a) Tính
()
(
)
dAA',BCC'B'

b) Tính
(
)

(
)
dA,A'BC

c) Chứng minh
(
)
AB A CC ' A '^ và tính
(
)
(
)
dA',ABC'