Câu 8 9 pt + oxy đại học

Câu 8 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, trung điểm M của BC.
Một đường thẳng qua H cắt các cạnh AB và AC tại P và Q sao HP = HQ. Biết rằng P
;



11 81
25 25
, phương trình các
đường thẳng (BC):
xy0
, (MH):
xy  4 6 0
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh B có tọa độ
nguyên.

☺Bài giải:
Tìm những điểm, đường có thể tìm được trước:
M là giao điểm của BC và MH nên tọa độ M là nghiệm của hệ:
 
 
 
BC : x y
M;
MH : x y





  



0
22
4 6 0

Phát hiện mối quan hệ đặc biệt trong hình vẽ: Nhận xét:
MH PQ
.
Chứng minh mối quan hệ phát hiện được trong hình vẽ:
Kẻ đường thẳng qua C song song với PQ, cắt AH và AB tại I và K.
Theo định lý Thales:
HP AH HQ
IK AI CI

. Vì HP = HQ nên IK = IC. Do
đó I là trung điểm của CK nên MI là đường trung bình của tam giác
KBC.

Vậy:
MI / /AB
MI CH
AB CH








. Mặt khác ta có
CM IH
do đó M là trực tâm tam giác CHI nên
MH CK
. Vì
CK / / PQ
nên
MH PQ
.
Từ mối quan hệ đã có, dựng điểm liên quan đến tính chất: Tìm tọa độ đỉnh H là hình chiếu của P trên HM.
Vì
     
MH MH
MH : x y n ; u ;       4 6 0 4 1 1 4
(Hoán đổi vị trí và đổi dấu một đại lượng).
Do MH vuông góc với PH nên đường thẳng PH nhận vector chỉ phương của MH làm vector pháp tuyến. Do đó
 
PH MH
n u ;14
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm có vector pháp tuyến cho trước: Phương trình đường thẳng PH
qua P
;



11 81
25 25
và có vector pháp tuyến
 

;14
là:
 
x y PH : x y
   
       
   
   
11 81 67
1 4 0 4 0
25 25 5
.
H là giao điểm của PH và MH nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
 
 
PH : x y
H;
MH : x y

  







  

67

40
11 14
5
55
4 6 0
.
Quyết định gọi ẩn phụ của một điểm trên đường thẳng để giải quyết trọn vẹn bài toán: Gọi B
 
b;b
trên đường
thẳng
 
BC : x y0
.
Từ điểm đã gọi ẩn, tìm kiếm điểm khác trong hình vẽ cũng tính được tọa độ theo điểm đã gọi:
Vì M là trung điểm của BC nên:
 
C M B
C M B
x x x
C b; b
y y y



  





2
44
2
.
Tìm kiếm mối quan hệ hình học sẵn có để đưa ra 1 phương trình tìm ra tọa độ điểm đã đặt ẩn: Vì H là trực tâm
của tam giác ABC nên
BP CH
.
Xét
PB b ;b ,CH b ;b
   
     
   
   
11 81 9 6
25 25 5 5
.
Vì
BP CH PB.CH b b b b
     
         
     
     
11 9 81 6
00
25 5 25 5

 
b b b b B ; B ;


         


2
167 117 117 117 117
2 0 1 1 1
25 25 50 50 50
.
Loại bỏ nghiệm hình không mong muốn bằng dữ kiện phân loại của bài toán: Tọa độ của B là các số nguyên nên
chỉ có
 
B;11
thỏa mãn điều kiện. Do đó ta có
 
C;33
.
M
A
B
C
K
H
P
I
Q
Xác định hướng dựng hình tìm ra điểm còn lại:
A là giao điểm của BP (đường thẳng đi qua hai điểm đã biết B và P) và AH (đường thẳng qua H và vuông góc
với BC).
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước:
Vì

   
BP
BP ; / / ; u ;

     


14 56
1 4 1 4
25 25
(Rút gọn hai đại lượng của vector cho
14
25
để được vector chỉ phương
của BP đơn giản hơn). Do đó
 
BP
n; 41
. Do đó
 
BP : x y  4 5 0
.
Ta có:
   
BC BC
n ; u ;   1 1 1 1
. Do đó đường thẳng AH qua H nhận vector chỉ phương của BC làm vector pháp
tuyến là:
 
AH : x y  50

.
Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
 
 
 
AH : x y
A;
BP : x y

  



  


50
05
4 5 0
.
Kết luận: Vậy tọa độ các đỉnh cần tìm là:
     
A ; ,B ; ,C ;0 5 1 1 3 3
.
☺Bài tập áp dụng:
Bài 1 (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia – Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần 5): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy cho tam giác ABC có H là trực tâm,
C;




3
3
2
. Đường thẳng AH có phương trình
xy  2 1 0
. Đường thẳng
 
d
đi qua H, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q (khác điểm A) thỏa mãn HP = HQ và
 
d
có phương trình:
xy  2 3 7 0
. Tìm tọa độ các đỉnh A và B. Đáp số:
   
A ; ,B ;3 7 0 3
.