Kiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhất

ch−¬ng I

hμm sè bËc nhÊt vμ bËc hai
A. KiÕn thøc cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... .............7
B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... . ... ... ... ... .. .10
§ 1: Hμm sè ........ ........ ........ ... ... ... ... ........... ........ ........ ........ ....... ... ... ... ..10
§ 2: Hμm sè bËc nhÊt ........ ........ ........ .... ... ... ... ... ....... ........ ........ ........ .......26
§ 3: Hμm sè bËc hai ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... ... ... ... ... ........ ....... .32
C. C¸c bμi to¸n chän läc .............................................................. ... . ....... ... 38

chơng II

phơng trình v hệ phơng trình
A. Kiến thức cần nhớ.................................................. ... ... ..... ... ... ... .............43
B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan............... ... ... ... ........ ... .48
Đ 1: Đại cơng về phơng trình ... ........ ........ ........ ........ ........ .. ... ... ........ ....48
§ 2: Phơng trình bậc nhất v bậc hai một ẩn...... ........ ........ ........ . .... ....... 53
Đ 3: Một số phơng trình quy về phơng trình bậc nhất v bậc hai...... ........ ....71
Đ 4: Phơng trình v hệ phơng trình bậc nhÊt nhiỊu Èn. ... ... ... ... .......... ....... 93
§ 5: Hệ phơng trình bậc hai hai ẩn...... ........ ........ ........ ...... ... ... ... ... .... ....
101
C. C¸c bμi toán chọn lọc .................................. ............................... ....... ... 114

chơng IV

bất đẳng thức v bất phơng trình
A. Kiến thức cần nhớ............................................... ... .......... ... ... ... .............129
B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan....... ... ... ... ............... ... .133
Đ 1: Bất đẳng thức ...... ..... ........ ...... ..... ........ ...... ..... ........ ...... ....133
Đ 2: Bất phơng trình .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...154
Đ 3: Bất phơng trình v hệ bất phơng trình bËc nhÊt mét Èn . ... ... ... ... ...... 156

Đ 4: Dấu của nhị thức bậc nhất .................................................................... 162
Đ 5: Bất phơng trình v hệ bất phơng trình bậc nhÊt hai Èn ... ... ... ... ... ..... 168
§ 6: DÊu cđa tam thøc bËc hai ..................................................................... 171
§ 7: Một số phơng trình, bất phơng trình quy về bậc hai...... ........ . ... ... .....188
C. C¸c bμi to¸n chän läc .................................... ... ... ... ......................... ....... ... 194


chơng V

cung v Góc lợng giác công thức lợng giác
A. Kiến thức cần nhớ.................................................... ... . ... ... ... ... .............219
B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan............ ... ... ... ......... ... . 222
C. C¸c bμi to¸n chọn lọc .............................................................. . ........ ... 255
phần II: hình học
chơng I

vectơ
A. Kiến thức cần nhớ...................................................... ... ...... ... ... ............. 267
B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan............... ... ... ... ...... ... . 271
Đ 1: Vectơ ........ ....... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ... . ... ... ... ... ... . 271
Đ 2: Hệ trục toạ độ ........ ........ .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ....... ... ... ... ... 287
C. C¸c bi toán chọn lọc ................................................ ................. ....... ... 296

chơng II

tích vô hớng của hai vectơ v ứng dụng
A. Kiến thức cần nhớ....................................................... ... . ... ... ... ............. 305
B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... ... ... ... . ... . 307

Đ 1: Giá trị lợng giác của mét gãc bÊt k× .. ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .. 307

§ 2: Tích vô hớng của hai vectơ ........ ....... ... ... ... . . ... ... ... ...... ... ... ... ... . 309
Đ 3: Hệ thức lợng trong tam gi¸c ........ ........ ........ ....... ... ... ... ... ... ... ... .... 322
C. C¸c bμi to¸n chän läc ........................ ......................................... ....... ... 327

chơng III

phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ..................................... ... ................... ... ... ... ............. 337
B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan. ... ... ... .................... ... . 347

§ 1:
§ 2:
§ 3:
§ 4:
Đ 5:
Đ 6:

Đờng thẳng ....... ........ ........ . ... ... ... ... ... ... ... ...... . ... ... ... ... ........ 347
Đờng tròn ...... ..... ... ... ... ... ... ... ... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 359
§−êng ElÝp. ........ ........ ...... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 377
§−êng Hypebol....... ........ .... ...... ..... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 389
§−êng Parabol.... ........ ........ ... ... ... ... ........... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..... 399
Ba ®−êng C«nÝc.... ........ ........ .... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ..... .... 408

C. C¸c bμi to¸n chän läc ................................................. ............... ....... ... 410


Chương 1. Hàm số bậc nhất và hàm số bậc 2
A. Kiến thức cơ bản

I.

hàm số

1. Tập xác định của hàm số

Víi mét hμm sè y = f(x), ta cã:
D = {x | y tồn tại},
khi đó D gọi l tập xác định của hm số.
2. sự biến thiên của hàm số

Định nghĩa: Cho hm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).
1. Một hm số y = f(x) gọi l tăng hay đồng biến trong khoảng (a, b) nếu với x1,
x2 bất kỳ thuộc khoảng đó ta cã:
x1 < x2  f(x1) < f(x2).
2. Mét hμm số y = f(x) gọi l giảm hay nghịch biến trong kho¶ng (a, b) nÕu víi
x1, x2 bÊt kú thc khoảng đó ta có
x1 < x2 f(x1) > f(x2).
3. tính chẵn, lẻ của hàm số

Định nghĩa: Cho hm số y = f(x) xác định trên tập D.
Hm số y = f(x) đợc gọi l hm chẵn nếu với mäi xD ta cã:
 x  D
.

f (  x )  f ( x )



Hμm sè y = f(x) đợc gọi l hm lẻ nếu với mọi xD ta cã:

 x  D
.

f (  x )   f ( x )

NhËn xÐt:



Hμm sè ch½n nhËn trơc tung lm trục đối xứng.
Hm số lẻ nhận gốc toạ độ O lm tâm đối xứng.

4. trục đối xứng của đồ thị hàm số

Định nghĩa 1: Đờng thẳng x = a l trục đối xứng của đồ thị y = f(x)
với phép biến đổi toạ độ:
X x a
x  X  a
 

Y  y
y  Y

hμm sè Y = F(X) l hm số chẵn.
5. tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Định nghĩa: Điểm I(a; b) l tâm đối xứng của đồ thị y = f(x)
7

với phép biến đổi toạ độ:
X x a
x  X  a
 

Y  y  b
y  Y  b

hμm sè Y = F(X)b lμ hμm số lẻ.

II.

hàm số bậc nhất

Định nghĩa: Hm số bậc nhất lμ hμm sè cã d¹ng y = ax + b, trong đó a, b l các hằng số v
a 0.
Cho hμm sè:
y = ax + b, víi a  0.
Miền xác định D = .
Sự biến thiên: l hm số đơn điệu.
Cụ thể:
Với a > 0, hm số đồng biến.
Với a < 0, hm số nghịch biến.
Bảng biến thiên:
Với a > 0
Với a < 0
x -
x -
+
+

+
+
y
y
-
-
Đồ thị: đồ thị của hm bậc nhất l một đờng thẳng (d), do đó chỉ cần xác định
hai điểm bất kỳ thuộc (d) ta sẽ có đợc đồ thị của (d).
Nếu b = 0, đồ thị của (d) ®i qua gèc to¹ ®é O vμ ®iĨm A(1, a).
b
 Nếu b 0, đồ thị của (d) đi qua hai ®iĨm B(0, b) vμ C( , 0).
a
a>0

C

y
B
a

y=ax+b
y=ax

A
O 1

x

y

a<0

B
a

A

O

1

C
x

HƯ sè góc: hệ số a đợc gọi l hệ số góc của đờng thẳng (d).

Chú ý:



III.

Cho hai đờng thẳng (d1) vμ (d2):
(d1): y = a1x + b1 víi a1  0,
(d2): y = a2x + b2 víi a2  0.
(d1) // (d2)  a1 = a2 vμ b1  b2.
(d1) cắt (d2) a1 a2.

hàm số bậc hai

Định nghĩa: Hμm sè bËc hai lμ hμm sè cã d¹ng y = ax2 + bx + c, trong ®ã a, b, c lμ
c¸c h»ng sè vμ a  0.
8


NhËn xÐt r»ng:
2

b
b2  b2
b  b 2  4ac

ax2 + bx + c = a  x 2  2 x.  2  
+ c = x   
.

2a 
2 a 4a  4 a
4a



Tõ ®ã, nÕu ®Ỉt:
b

vμ q = 
 = b2  4ac, p = 
2a
4a
2

th× hμm sè y = ax + bx + c cã d¹ng y = a(x  p)2 + q.
Nh− vËy, nếu gọi (P0): y = ax2 thì để có đợc ®å thÞ cđa parabol y = ax2 + bx + c
ta tịnh tiến hai lần nh sau:
1. Tịnh tiến (P0) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái p đơn vị nếu p < 0, ta
nhận đợc ®å thÞ hμm sè y = a(x  p)2 gäi l (P1).
2. Tịnh tiến (P1) lên trên q đơn vị nếu q > 0, xuống dới q đơn vị nếu q < 0, ta
nhận đợc đồ thị hm số y = ax2 + bx + c.

Đồ thị hm số bậc hai: đồ thị của hm số l một Parabol (P) cã ®Ønh S(


b
,  ) vμ
2a
4a

b
lμm trơc ®èi xøng vμ:
2a
 H−íng bỊ lâm lªn trªn nÕu a > 0.
 H−íng bề lõm xuống dới nếu a < 0.
Từ đồ thị hm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên:
Với a > 0
Với a < 0

nhận đờng thẳng x = 

-

y

-

b
2a

-

x


4a

+

+

x

+

b
2a

4a

-

y

-

+

-
-
VËy, ta cã kÕt luËn:
VËy, ta cã kÕt luËn:
o Hμm số nghịch biến trên o Hm số đồng biến trên
khoảng (-; o

b
).
2a

khoảng (-;-

Hm số đồng biến trên khoảng o
b
; +).
2a
b
Khi x=- hm số đạt cực tiểu
2a
b

ymin=f(- )=2a
4a

(o

Hm số nghịch biến trên
khoảng (-

o

b
).
2a

b
; +).
2a

b
hm số đạt cực đại
2a
b

ymax=f(- )=2a
4a

Khi x=-

Để vẽ đồ thị hm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị
hm số y = ax2 mμ thùc hiƯn nh− sau:
 LÊy ba ®iĨm chủ đạo, gồm đỉnh S v hai điểm A, B ®èi xøng víi nhau qua S.

9

Nối ASB để đợc một góc rồi thực hiện vẽ ®−êng cong parabol lùon theo
®−êng gãc nμy.
Ta cã c¸c tr−êng hợp:
Với a > 0 thì:
y
y
y
(P)
B

A
-/4a

O



S
-b/a

O

-b/2a

-b/2a

O

-b/a

x

Với a < 0 thì:
y
-/4a

-b/2a

(P)
B

A

S
O

-b/2a

(P)
B

A

-b/a

x

-/4a

y

x

S

y

-b/a

x

S
B

A
(P)

O

-b/2a

-b/a

S
B

A
(P)

S

-/4a

x

-b/a
-b/2a

O
(P)

A

B

x

Nhận xét chung:




B

> 0 Parabol cắt trục honh tại hai ®iĨm ph©n biƯt.
 = 0 Parabol tiÕp xóc víi trơc honh.
< 0 Parabol không cắt trục honh.

Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan

Đ1. hàm số
Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số
Phơng pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai phơng pháp sau:
Phơng pháp 1:
Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức l tìm:
D = {x | f(x) }.
Phơng pháp 2:
Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định
của hm số l D =  \E.

 Chó ý:

Th«ng th−êng f(x) cho bëi biĨu thøc đại số thì với:
f ( x), f2 (x) có nghĩa
f (x)
 f(x) = 1
®iỊu kiƯn lμ  1
.
f2 (x)
f 2 ( x )  0
f (x)cã nghÜa
 f(x) = 2 k f1 ( x) (k   ) ®iỊu kiƯn lμ  1
.
f1 (x)  0

ThÝ dơ 1. T×m tËp xác định của các hm số:
10

a. y =

 Gi¶i

x 1
x  2x  3
2

.

b. y =

x 1 +

x 2  3x  2 .

a. Hμm số xác định khi:

x 1
x22x 3 0
.
x 3
Vậy, tập xác định của hm sè lμ D =  \{3, 1}.
b. Hμm sè x¸c ®Þnh khi:
 x  1
x  1  0
 x  1
x  2


 
  x  2  
 2
(x  1)(x  2)  0
 1  x  1
 x  3x  2  0
 x 1


Vậy, tập xác định của hm số l D = [1; 1][2; +).

 Chó ý:

Trong c©u a), nÕu các em học sinh biến đổi hm số về dạng y =

1
.
x3

rồi khẳng định hm số xác định khi x + 3  0  x  3 vμ do đó tập
D = \{3}. Đây l lời giải sai vì phép biến đổi hm số không phải l
phép biến đổi tơng đơng.
Thí dụ 2. Tìm tập xác định của c¸c hμm sè:
a. y =

2  3x 

1
1  2x

.

 1
víi x  1

b. y =  x  3
.
 2  x víi x  1


 Gi¶i
a. Hμm sè xác định khi:
2 3x 0
x 2 / 3
1
 
x< .

2
x  1 / 2
1  2 x 0
1

Vậy, tập xác định của hm số l D = ; .
2

b. Hm số xác định khi:
x  3  0 víi x  1
x  3 víi x  1

x  1
 
 
.

2  x  0 víi x  1
x  2 víi x 1
x 1
Vậy, ta đợc D = .

Nhận xét:

Nh vậy, trong thí dụ trên:
ở câu a), miêu tả điều kiện có nghĩa của biểu thức trong dấu căn
ở dạng đơn v ở mẫu số.
ở câu b), chúng ta gặp dạng hm số hợp.
11


Thí dụ 3. Tìm m để hm số sau xác định trên đoạn [1; 3]:
y = 1 2x 2  mx  m  15 .

 Gi¶i
Hμm sè nghÜa khi:
1  2x2 + mx + m + 15  0  2x2 + mx + m + 15  1.
(1)
Bi toán đợc chuyển về việc tìm m để (1) nghiệm đúng với x [1; 3].
Điều kiện cần: Bất phơng trình nghiệm đúng với x[1; 3]
Nghiệm đúng với x = 1, x = 2
 9  m  8

| 2 m  17 | 1  1  2 m  17  1 
 


22  m = 8.
| 3m  23 | 1  1  3m  23  1  8  m 
3

Vậy, với m = 8 l điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với x [1; 3].
Điều kiện đủ: Víi m = 8, ta cã:
(1)  2x2  8x + 7  1  1  2x2  8x + 7  1
2 x 2  8x  8  0
(x  2) 2  0


  2
  2
 1  x  3.
2 x  8x  6  0
x  4 x  3  0


VËy, với m = 8 thoả mÃn điều kiện đầu bi.

Dạng toán 2: Xét sự biến thiên của hàm số
Phơng pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai phơng pháp sau:
Phơng pháp 1:
Sử dụng định nghĩa.
Phơng pháp 2:

Thực hiện theo các b−íc:
B−íc 1:LÊy x1, x2(a, b) víi x1  x2 ta thiÕt lËp tØ sè:
f (x 1 )  f (x 2 )
A=
.
x1  x 2
B−íc 2: Khi ®ã:
 NÕu A > 0 víi mäi x1, x2(a, b) vμ x1  x2 thì hm số
đồng biến trên (a, b).
Nếu A < 0 víi mäi x1, x2(a, b) vμ x1  x2 thì hm số
nghịch biến trên (a, b).
Thí dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của các hm số:
a. y = f(x) = x + 3.
b. y = f(x) = x2 + x + 1.

 Gi¶i

a. Víi x1, x2   vμ x1  x2 ta cã:
f(x1 )  f(x 2 )
(x  3)  (x 2  3)
= 1
=1>0
A=
x1  x 2
x1  x 2
12


VËy, hμm sè ®ång biÕn.
b. Víi x1, x2   vμ x1  x2 ta cã:

A=

(x 2  x1  1)  (x 2  x 2  1)
f(x1 )  f(x 2 )
2
= 1
= x1 + x2 + 1.
x1 x 2
x1 x 2

Khi đó:



1
1
thì A > 0 suy ra hm số đồng biến trên ( ; +).
2
2
1
1
Nếu x1, x2 <  th× A < 0 suy ra hm số nghịch biến trên (; ).
2
2

Nếu x1, x2 > 

 Chó ý:

1. Víi hμm sè y = f(x) = ax + b, a  0, th×:

LÊy x1, x2   vμ x1  x2 ta cã:
f (x 1 )  f (x 2 )
(ax 1  b )  (ax 2  b)
=
= a.
x1  x 2
x1  x 2

A=

Khi đó:
Nếu a > 0 thì hm số đồng biến trên .
Nếu a < 0 thì hm số nghịch biến trên .

2. Với hm số y = f(x) = ax2 + bx + c, a  0, th×:
LÊy x1, x2   vμ x1  x2 ta cã:
2
f (x1 )  f (x 2 )
(ax1  bx1  c)  (ax 2  bx 2  c)
2
=
x1  x 2
x1  x 2
b
= a(x1 + x2 + ).
a

A=

Khi ®ã:

a. Víi a > 0, ta cã:


NÕu x1, x2 >
(



b
thì A > 0 nên hm số đồng biến trên
2a

b
+ ).
2a

Nếu x1, x2 <

b
thì A < 0 nên hm số nghịch biến trên
2a

b
).
2a
b. Với a < 0, ta cã:

(; 



NÕu x1, x2 > 
(

b
th× A < 0 nên hm số nghịch biến trên
2a

b
+ ).
2a

13




Nếu x1, x2 <
(;

b
thì A > 0 nên hm số đồng biến trên
2a

b
).
2a

Thí dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của các hm số:
a. y = f(x) = x3 + 2x + 8.

b. y = f(x) = x3 + 3x2 + 7x + 1.

 Gi¶i

a. Víi x1, x2   vμ x1  x2 ta cã:
3
(x3  2x1  8)  (x 3  2x 2  8) (x1  x 3 )  (2x1  2x 2 )
f(x1 )  f(x 2 )
2
2
= 1
=
A=
x1  x 2
x1  x 2
x1  x 2
1
1 2
2
2
2
= x1  x 2 + x1x2 + 2 = (x1 + x2)2 + ( x1  x 2 ) + 2 > 0, x.
2
2
Vậy, hm số đồng biến trên .
b. Với x1, x2   vμ x1  x2 ta cã:
2
(x3  3x1  7x1  1)  (x 3  3x 2  7x 2  1)
f(x1 )  f(x 2 )
2

2
A=
= 1
x1  x 2
x1  x 2
3
2
2
(x1  x3 )  3(x1  x 2 )  7(x1  x 2 )
2
2
= x1  x 2 + x1x2 + 3x1 + 3x2 + 7
2
x1  x 2
1
1 2
= (x1 + x2)2 + ( x1  x 2 ) + 3(x1 + x2) + 7
2
2
2
1
1 2
5
2
= [(x1 + x2)2 +6(x1 + x2) + 9] + ( x1  x 2 ) +
2
2
2
1
1 2

5
= [(x1 + x2) + 3]2 + ( x1  x 2 ) + > 0, x.
2
2
2
2
VËy, hμm số đồng biến trên .

=

Thí dụ 3. Khảo sát sự biến thiên của các hm số:
a. y = f(x) =

 Gi¶i

2x  1
.
3x  1

b. y = f(x) =

x2  x  1
.
x 1

a. ViÕt l¹i hμm sè d−íi d¹ng:
5
2
.
y= +

3
3(3x  1)
1
Víi x1, x2   \{ } vμ x1 < x2 ta cã:
3
3x1 < 3x2  3x1  1 < 3x2  1  3(3x1  1) < 3(3x2  1)

14




5
5
2
5
2
5
>
 +
> +
3(3x1  1)
3(3x 2  1)
3
3(3x1  1)
3
3(3x 2 1)

f(x1) > f(x2).
1

Vậy, hm số luôn nghịch biến trên \{ }.
3
b. Viết lại hm số dới d¹ng:
1
yx
.
x 1
Víi x1, x2   \{1} vμ ë vỊ cïng mét phÝa so víi 1, ta cã:

 1
1  
1 
1 

 x1 
   x2 
  x1  x 2   

x1  1  
x2  1 
f(x1 )  f(x 2 ) 
 x1  1 x 2  1 


A
x1  x 2
x1  x 2
x1  x 2
x1  x
 x1  x2   x  1 x 2  1

 1  2   1 
1
>0

x1  x 2
 x1  1 x2  1
VËy, hμm sè lu«n đồng biến trên \{1}.

Thí dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của các hm số:
a. y = f(x) =

x2  2 .

x 2  2x  3 .

b. y = f(x) =

 Gi¶i

a. Víi x1, x2   vμ x1  x2 ta cã:
2
x1  2  x 2  2
f (x 1 )  f (x 2 )
2
=
A=
x1  x 2
x1  x 2

=

2
( x 1  2)  ( x 2  2 )
2

(x 1  x 2 )( x  2  x  2 )
2
1

2
2

=

x1  x 2
x  2  x2  2
2
2
1

.

Khi ®ã:
 NÕu x1, x2 > 0 th× A > 0 suy ra hm số đồng biến trên (0; +).
Nếu x1, x2 < 0 th× A < 0 suy ra hμm số nghịch biến trên (; 0).
b. Với x1, x2  vμ x1  x2 ta cã:
2
x1  2x1  3  x 2  2x 2  3
f (x 1 )  f (x 2 )
2

=
x1  x 2
x1  x 2
2
2
x1  x 2  2
(x1  2x1  3)  (x 2  2x 2  3)
=
=
.
2
2
2
x1  2x1  3  x 2  2x 2  3
(x1  x 2 ) x1  2x1  3  x 2  2x 2  3
2

A=





Khi ®ã:
 NÕu x1, x2 > 1 th× A > 0 suy ra hm số đồng biến trên (1; +).

15




NÕu x1, x2 < 1 th× A < 0 suy ra hm số nghịch biến trên (; 1).

Thí dụ 5. Cho hμm sè:
y = f(x) =

 Gi¶i

ax
.
x2

a. Víi a = 1, hÃy khảo sát sự biến thiên của hm số trên (2; +).
b. Tìm a để hm số đồng biến trªn (2; +).

Víi x1, x2  (2; +) vμ x1  x2 ta cã:
ax 1
ax 2

f (x 1 )  f (x 2 )
x  2 x2  2
2a
= 1
=
.
A=
x1  x 2
(x 1  2)(x 2  2)
x1  x 2
a. Víi a = 1, suy ra:

A < 0 víi mäi x1, x2(2; +) vμ x1  x2.
VËy, víi a = 1 hm số nghịch biến trên (2; +).
b. Để hm số đồng biến trên (2; +) điều kiện lμ:
A > 0 víi mäi x1, x2(2; +) vμ x1  x2  2a > 0  a < 0.
VËy, với a < 0 thoả mÃn điều kiện đầu bi.

Dạng toán 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Phơng pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tìm tập xác định D của hm số, khi đó:
Nếu D lμ tËp ®èi xøng (tøc lμ xD  xD), ta thực hiện tiếp
bớc 2.
Nếu D không phải l tËp ®èi xøng (tøc lμ xD mμ xD), ta kÕt
luËn hm số không chẵn cũng không lẻ.
Bớc 2: Xác định f(x) , khi ®ã:
 NÕu f(x) = f(x) kÕt luËn hμm sè lμ hμm ch½n.
 NÕu f(x) = f(x) kÕt ln hμm sè lμ hμm lỴ.
 Ngoμi ra kÕt ln hm số không chẵn cũng không lẻ.
Thí dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hm số sau:
x2 1
.
x 1
x2  1
c. y = f(x) =
.
x

a. y = f(x) =

 Gi¶i

16

b. y = f(x) =

x 4  3x 2  1
.
x2  4

d. y = f(x) = |x|3(x21).


a. Vì tập xác định D = \{1} không phải l tập đối xứng nên hm số không chẵn,
không lẻ.
b. Tập xác định D = \{2} l tËp ®èi xøng.
XÐt:
(x)4  3(x)2  1
x 4  3x 2  1
f(–x) =
=
= f(x).
x2  4
( x)2  4
VËy, hm số chẵn.
c. Tập xác định D = \{0}  lμ tËp ®èi xøng. XÐt:
(x)2  1
x2  1
f(–x) =
=
= f(x)
x

x
Vậy, hm số lẻ.
d. Tập xác định D =   lμ tËp ®èi xøng. XÐt:
f(–x) = |–x|3[(–x)21] = |x|3(x21) = f(x).
VËy, hμm sè ch½n.

ThÝ dơ 2. XÐt tÝnh chẵn, lẻ của các hm số sau:
a. y f (x)  1  x  1  x. .
b. y = f(x) =

3

2x  3 

3

2x  3

 Gi¶i

a. Tập xác định D = [1; 1] l tập ®èi xøng. XÐt:
f(–x) = 1  ( x) + 1  ( x) = 1  x + 1  x = f(x).
Vậy, hm số chẵn.
b. Hm số xác định trên D = l tập đối xứng. Ta có:
f(x) = 3 2( x)  3  3 2( x)  3 =  3 2x  3 + 3 2x  3 = f(x).
VËy, hμm sè lμ ch½n.

ThÝ dơ 3. Xác định m để hm số y = f(x) = x3 + (m21)x2 + m1 l hm
lẻ.

Giải

Hm số xác định trên D = l tập đối xứng.
Khi ®ã, ®Ĩ hμm sè lμ lỴ ®iỊu kiƯn lμ:
 2
m  1  0
f(–x) = –f(x), m  
 m = 1.
m  1  0

VËy, víi m = 1 thoả mÃn điều kiện đề bi.

Chú ý: Với hm ®a thøc bËc n d¹ng: y = f(x) =

n

i
 a i x thì:

i0

Nếu các hệ số bậc lẻ bằng 0 thì hm số l hm chẵn.
Nếu các hệ số bậc chẵn bằng 0 thì hm số l hm lẻ.
Nếu tồn tại ít nhất một hệ số bậc chẵn v một hệ số bậc lẻ khác 0
thì hm số không chẵn cũng không lẻ.
17


ThÝ dô 4. Cho hμm sè y = f(x) =

 Gi¶i

1
(m  1)x  mx  1
2

. Tuú theo m hÃy xét tính

chẵn, lẻ của hm số.

Ta xét các trờng hợp:

Trờng hợp 1: Với m = 0, ta đợc:
1
.
x2 1
Hm số ny xác định trên D = \{1, 1} lμ tËp ®èi xøng vμ cã:
1
1
f(x) =
= 2
= f(x),
2
x 1
(x) 1
do đó, nó l hm chẵn.

y=

Trờng hợp 2: Với m = 1, ta đợc:

y=

1
.
x 1

Hm số ny xác định trên D = \{1} l tập không đối xứng do đó hm số không
chẵn, không lẻ.

Trờng hợp 3: Víi m  0  m  1.
Khi ®ã, hμm sè g(x) = (m + 1)x2 + mx  1 không chẵn cũng không lẻ do đó hm
số y = f(x) cũng không chẵn, không lẻ.
Kết luận:
Với m = 0, hm số l chẵn.
Ngoi ra nó không chẵn, không lẻ.

Thí dụ 5. Cho a, b , xác định tất cả các hm số f(x) sao cho:
f(ax) + f(x) = b, víi x   .

 Gi¶i

a
a
a
x suy ra x = t vμ ax = + t. Khi ®ã:
2
2
2
a
a

(1)  f( + t) + f( t) = b, t  
2
2
a
b
a
b
 f( + t) + f( t) = 0, t .
2
2
2
2
a
b
a
b
Đặt g(t) = f( + t) , suy ra g(t) = f( t) . Khi ®ã:
2
2
2
2
(2)  g(t) + g(t) = 0, tR  g(t) = g(t), t
g(t) l hm lẻ trên  .
a
b
VËy hμm sè f(x) = g(x ) + víi g(x) l hm lẻ tuỳ ý trên .
2
2

(1)

Đặt t =

18

(2)


Dạng toán 4: Sơ l-ợc về phép tịnh tiến
Phơng pháp thực hiện
Sử dụng kết quả: Trong mặt phẳng toạ độ, cho (G) l đồ thị của hm số y = f(x), p
vμ q lμ hai sè tuú ý. Khi ®ã:
1. §å thÞ hμm sè y = f(x) + q cã đợc khi tịnh tiến (G)
Lên trên q đơn vị nếu q > 0.
Xuống dới q đơn vị nếu q < 0.
2. Đồ thị hm số y = f(x p) có đợc khi tịnh tiến (G)
Sang phải p đơn vị nếu p > 0.
Sang trái p đơn vị nếu p < 0.
2
2 3x
Thí dụ 1. Cho (H): y = . Hỏi muốn có đồ thị hm số y =
thì phải
x
x
tịnh tiến (H) nh thế no ?

Giải

Ta có:
2 3x

2
=
3.
x
x
Vậy, muốn có đồ thị của hm số ny ta cần tịnh tiến (H) xuống dới 3 đơn vị.
Thí dụ 2. HÃy lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy để nhận đợc ®å
x2  7
x 2  2x  3
thÞ hμm sè y =
từ đồ thị (H): y =
2x
2x

y=

Giải

Ta có:
x2 7
x 2  2x  3
x 2  2 x 3 2(2 x)
=
=
2.
2x
2x
2x
Vậy, muốn có đồ thị của hm số ny ta cần tịnh tiến (H) xuống dới 2 đơn vị.
y=

Chú ý: Các em học sinh hẳn sẽ thắc mắc về lí do xác định đợc phép biểu
x2 7
, để trả lời câu hỏi ny thông thờng
2x
chúng ta lựa chọn cách trình by, giả sử:
x2 7
y=
= f(x) + b
2x
x2  7
x 2  2x  3
x 2  ( b  2 )x  3  2 b
=

+b=
.
2x
2x
2x
B»ng viƯc ®ång nhÊt hƯ sè, ta suy ra:
1  1

 b = 2.
0  b  2
 7  3  2 b


diƠn trªn cho hμm sè y =

19


Vậy, ta đợc:
x2 7
y=
= f(x)2.
2x
Do đó, đồ thị của hm số đợc suy ra bằng phép tịnh tiến (H) theo Oy
xuống dới 2 đơn vị.

Dạng toán 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số
Phơng pháp thực hiện
1. Chứng minh rằng đồ thị hm số y = f(x) nhận ®−êng th¼ng x = a lμm trơc ®èi
xøng, ta thùc hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ
X x a
x X a


Y  y
y  Y

hμm sè cã d¹ng:
Y = f(X + a)  Y = F(X)
(1)
B−íc 2: NhËn xÐt r»ng hm số (1) l hm số chẵn.
Bớc 3: Vậy, đồ thị hm số nhận đờng thẳng x = a lm trục đối xứng.

2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hm số y = f(x) nhận đờng thẳng x = a lμm
trơc ®èi xøng, ta thùc hiƯn theo các bớc sau:
Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ
X  x  a
x  X  a
 

Yy

y  Y

hμm sè cã d¹ng:
Y = f(X + a)  Y = F(X)
(1)
Bớc 2: Đồ thị hm số nhận đờng thẳng x = a lμm trơc ®èi xøng
 hμm sè (1) lμ hμm sè ch½n  tham sè .
B−íc 3: KÕt luận.
3. Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đờng thẳng y = a,
ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Gọi (H) l đờng cong ®èi xøng víi (C): y = f(x) qua ®−êng y = a.
Bớc 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)(H)
M1(x1; y1)(C) sao cho M ®èi xøng víi M1 qua đờng thẳng y = a
x1, y1 thoả mÃn:
y 1  f ( x 1 )

x 1  x
y  y  2 a
 1

B−íc 3:

Khư x1, y1 tõ hệ (I) ta đợc phơng trình của đờng cong (H).

Thí dụ 1. Tìm trục đối xứng của đồ các thị hμm sè:
a. y = x2 + 4x + 3.
b. y = x4 + 2x2 + 2.

Giải

a. Giả sử đồ thị hm số có trục đối xứng l x = a.
20

(I)


Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:
X x  a
x  X  a
 

Y  y
y  Y

hμm sè:
Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 lμ hμm sè ch½n.
Ta cã:
Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 = X2 + 2(a + 2)X + a2 + 4a + 3.
Hμm sè (1) l hm số chẵn
a+2=0a=2
Vậy, đồ thị hm số có trục đối xứng l đờng thẳng x + 2 = 0.

b. Giả sử đồ thị hm số có trục đối xøng lμ x = a.
Khi ®ã, víi phÐp biÕn ®ỉi toạ độ:
X x a
x X a


Y  y
y  Y
hμm sè:
Y = (X + a)4 + 2(X + a)2 + 2 lμ hμm sè ch½n
Ta cã:
Y = (X + a)4 + 2(X + a)2 + 2
= X4 + 4aX3 + (6a2 + 2)X2 + (4a3 + 4a)X + 2a + 2
Hμm sè (1) lμ ch½n:
4a  0

  3
 a = 0.

4a  4a  0
Vậy, đồ thị hm số có trục đối xứng l trôc tung.

(1)

(1)

ThÝ dô 2. Cho hμm sè:
y = x4 + 4mx32(m1)x22mx + 1.
Tìm m để đồ thị hm số có trục đối xứng song song với Oy.

Giải

Giả sử đồ thị hm số có trục đối xứng song song với Oy lμ x = a (a  0).
Khi ®ã, víi phép biến đổi toạ độ:
X x a
x X  a
 

Y  y
y  Y
hμm sè:
Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m–1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1 lμ ch½n.
Ta cã:
Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m – 1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1
= X4 + (4a + 4m)X3 + (6a2 + 12ma – 2m + 2)X2 +
+ (4a3 + 12ma2 – 4ma + 4a – 2m)X +
+ a4 + 4ma2–2(m–1)a2–2ma + 1.

(1)
21


Hμm sè (1) ch½n:
4a  4m  0
a   m


  3
  3
2

2
4m  2m  3m  0
4a  12ma  4ma  4a  2m  0


m0
1  13
 4m2 + 2m  3 = 0 m =
.
4
1 13
Vậy, với m =
thoả mÃn điều kiện đầu bi.
4

Dạng toán 6: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Phơng pháp thực hiện
1. Chứng minh rằng đồ thị hm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) lm tâm đối xứng, ta
thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ
X x a
x  X  a
 

Y  y  b
y  Y  b

hμm sè cã d¹ng:
Y + b = f(X + a)  Y = F(X)
(1)

B−íc 2: NhËn xÐt r»ng hμm sè (1) lμ hμm sè lỴ.
B−íc 3: VËy, đồ thị hm số nhận điểm I(a, b) lm tâm ®èi xøng.
2. T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ®å thị hm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) lm tâm
đối xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thực hiện phép biến đổi toạ độ
X x  a
x  X  a
 

Y  y  b
y  Y  b

hμm sè cã d¹ng:
Y + b = f(X + a)  Y = F(X)
(1)
B−íc 2: §å thị hm số nhận I(a, b) lm tâm đối xứng
hμm sè (1) lμ hμm sè lỴ  tham sè .
Bớc 3: Kết luận.
3. Tìm hai điểm A, B thuộc ®å thÞ hμm sè y = f(x) ®èi xøng qua ®iĨm I(a, b), ta thùc
hiƯn theo c¸c b−íc sau:
B−íc 1: LÊy hai ®iĨm A(xA, y(xA)) vμ B(xB, y(xB)) thc ®å thị hm số.
Bớc 2: Hai điểm A v B đối xøng qua ®iĨm I(a, b)
x A  x B  2 a
toạ độ A v B.
y A y B 2 b



4. Tìm phơng trình đờng cong ®èi xøng víi (C): y = f(x) qua ®iĨm I(x0, y0), ta thùc
hiƯn theo c¸c b−íc sau:

B−íc 1: Gäi (H) lμ ®−êng cong ®èi xøng víi (C) qua ®iĨm I(x0, y0).
Bớc 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)(H)
M1(x1, y1)(C) sao cho M ®èi xøng víi M1 qua I

22


  x1, y1 tho¶ m·n:
y1  f (x1 )

x1  x  2x 0
y  y  2 y
0
 1

Bớc 3:

(I)

Khử x1, y1 từ hệ (I) ta đợc phơng trình của đờng cong (H).

Thí dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hm số sau:
a. y = 2x36x + 3.

 Gi¶i

b. y =

x
.

2x  1

a. Gi¶ sư hm số nhận điểm I(a, b) lm tâm đối xứng.
Với phép biến đổi toạ độ:
X x a x  X  a


Y  y  b y  Y b
khi đó hm số có dạng:
Y + b = 2(X + a)36(X + a) + 3
 Y = 2X3 + 6aX2 + (6a 6)X + 2a3 6a + 3  b
Hμm sè (1) lμ lỴ

a  0
6a  0
  3
.

2a  6a  b  3  0 b 3

Vậy, hm số có tâm đối xứng I(0; 3).
b. ViÕt l¹i hμm sè d−íi d¹ng:
1
1
y= 
.
2 2(2x 1)
Giả sử hm số nhận điểm I(a; b) lm tâm đối xứng.
Với phép biến đổi toạ độ:
X x  a x  X  a



Y  y  b y  Y  b
khi ®ã hμm sè cã d¹ng:
1
1
1
1
Y+b= 
 Y = b
.
2
2X  2a  1
2 [2(X  a)  1]
Hμm sè (1) lμ lỴ
1

1
b  2
 b0

 
.
 2
2a  1  0
a   1


2


1 1
Vậy, hm số có tâm đối xứng I( ; ).
2 2

(1)

(1)

23


Chú ý:


Đồ thị hm số:

y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, víi a  0 luôn nhận điểm U(

b
b
, f( )) lm
3a
3a

tâm đối xứng.


y = f(x) =

ax  b

d a
, víi c  0, D = adbc 0 luôn nhận điểm I( , ) lm
c c
cx d

tâm đối xứng.


y = f(x) =

ax 2  bx  c
e
e
, víi a, d  0 lu«n nhận điểm I( , f( )) lm tâm
d
d
dx e

đối xøng.
ThÝ dơ 2. Cho hμm sè:
y=

 Gi¶i

(2m  1)x  m 2
.
mx 1

Tìm m để đồ thị hm số nhận điểm I(1; 1) lm tâm đối xứng.

Điểm I(1; 1) l tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ:
X x 1
x X  1
 

Y  y  1
y  Y  1
hμm sè sau lμ hμm lỴ
(2m  1)(X  1)  m  2
(2m  1)(X  1)  m  2
Y+1=
Y=
 1.
mX  m  1
m(X  1) 1
Để hm số l hm lẻ trớc tiên nó phải có tập xác định D l tập đối xứng, tức l
m = 0 hoặc m = 1.
Thử lại:
Với m = 0, ta đợc:
Y = X, l hm số lẻ.
Với m = 1, ta đợc:
X2
2
Y=
1 = , l hm số lẻ.
X
X
Vậy, với m = 0 hoặc m = 1 thỏa mÃn điều kiện đầu bi.

Thí dụ 3. Cho hm số:

(Cm): y =

Giải

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân
biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

Hai ®iÓm A(xA,

24

x 2  4mx  5m
.
x2

x 2  4mx A  5m
x 2  4mx B  5m
A
) vμ B(xB, B
) thuéc (Cm).
xA  2
xB  2


Hai ®iĨm A vμ B ®èi xøng víi nhau qua gốc toạ độ
(1)
x A x B 0
2
2
 x A  4mx A  5m x B  4mx B  5m


 0 (2)

xA  2
xB  2

Thay (1) vo (2) ta đợc:
(2m1) x 2 = 5m
A
Để tồn tại hai điểm A v B thì phơng trình (3) ph¶i cã nghiƯm.
Do 0 < x 2  4 nªn:
A

(3)

4
1
m
5m
 4  2
3.

2m  1
m  0

1
4
VËy, víi
< m hoặc m < 0 thoả mÃn điều kiện đầu bi.
2

3

0<

Dạng toán 7: Tìm ph-ơng trình đ-ờng cong đối xứng
Thí dụ 1. Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị hm số (C) qua
đờng thẳng y = 1, biÕt:
a. (C): y = 2x + 3.

b. (C): y =

x 1
.
x 1

Giải
a. Gọi (H) l đờng cong đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 1.
Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)
M1(x1; y1)(C) với y1 = 2x1 + 3
sao cho M đối xứng với M1 qua đờng thẳng y = 1   x1, y1 tho¶ m·n:
 x1  x
x  x
  1
.

 y1  y  2
 y1  2  y
Thay (I) vμo (1), ta ®−ỵc:
y = – 2x – 1.
VËy, ®−êng cong (H) cã phơng trình: y = 2x 1.

b. Gọi (H) l đờng cong đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 1.
Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)
x 1
M1(x1; y1)  (C) víi y1 = 1
x1  1
sao cho M đối xứng với M1 qua đờng thẳng y = 1   x1, y1 tho¶ m·n:
 x1  x
x  x
  1
.

 y1  y  2
 y1  2  y

(1)

(I)

(1)

(I)

25


Thay (I) vo (1), ta đợc:
x3
y=
.
x 1

Vậy, đờng cong (H) có phơng trình: y =

x3
.
x 1

Thí dụ 2. Cho hm số:
(C): y =

Giải

(x 1) 2
.
x2

Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1).

Gäi (H) lμ ®−êng cong ®èi xøng víi (C) qua điểm I(1; 1).
Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)
(x 1) 2
 M1(x1, y1)(C) víi y1 = 1
x1  2
sao cho M ®èi xøng víi M1 qua ®iĨm I(1; 1)   x1, y1 tho¶ m·n:
 x1  x  2
x  2  x
  1
.

 y1  y  2
 y1  2  y

Thay (I) vμo (1), ta đợc:
x2 1
y=
.
x
x2 1
Vậy, đờng cong (H) có phơng trình : y =
.
x

(1)

(I)

Đ2. hàm số bậc nhất
Dạng toán 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
bậc nhất
Phơng pháp thực hiện
Dựa trên lý thuyết trong phần kiÕn thøc cÇn nhí.
ThÝ dơ 1. Cho hμm sè y = x + 3.
a. Xác định giao điểm của đồ thị hm số với trục tung v trục honh.
Vẽ đồ thÞ hμm sè.
b. Gäi A vμ B theo thø tù l hai giao điểm nói trên. Tính diện tích
OAB (O l gốc toạ độ).
c. Gọi l góc nhọn tạo bởi đồ thị hm số với trục Ox. Tính tan,
suy ra số đo góc .
d. Bằng đồ thị tìm x ®Ó y > 0, y  0.
26

Giải
a. Đồ thị cắt trục Oy tại A có:
x = 0  y = 0 + 3 = 3 A(0, 3).
y=x+3 y
Đồ thị cắt trục Ox tại B cã:
3 A
y = 0  0 = x + 3  x = 3  B(3, 0).
b. Ta cã:
1
1
9
SOAB = OA.OB = .3.3 =
(đơn vị diện tích).
O
2
2
2

c. Trong OAB, ta cã ABO = , suy ra:
OA 3
 = 1  = 450.
tan =
OB 3
d. Từ đồ thị suy ra:
y > 0  x < 3, øng víi phhÇn đồ thị phía trên trục Ox.
y 0 x 3, ứng với phhần đồ thị phía dới trục Ox.

B
|

x

3

Thí dụ 2. Vẽ đồ thị của các hm sè:
2 x víi x  0

a. y =  1
.
 2 x víi x  0


víi x  1
x  1
.
 2 x  4 víi x  1

b. y =

Giải Bạn đcọ tự vẽ hình.
a. Đồ thị gồm hai tia:
Tia Ot trùng với đồ thị hμm sè y = 2x víi x  0.
1
 Tia Ot' trùng với đồ thị hm số y = x với x < 0.
2
b. Đồ thị gồm hai tia:
Tia A1B ®i qua hai ®iĨm A(1; 2) vμ B(2; 3).
 Tia A2B ®i qua hai ®iĨm A(0; 4) vμ B(2; 3).

Thí dụ 3. Khảo sát sự biến thiên v vẽ đồ thị các hm số:

a. y = |x1|.
b. y = |2x1| + |2x 1|.

Giải

y
a. Ta biến đổi:
1
B
x 1 nÕu x  1  x  1 nÕu x  1
I
y= 
= 
.
 (x  1) nÕu x  1 1  x nÕu x  1
1
O
Do ®ã, ®å thÞ hμm sè lμ hai tia IA (víi I(1; 0) vμ A(2,
y = x1
1)) vμ IB (víi B(0, 1)).
Dùa vo đồ thị chúng ta nhận đợc bảng biến thiên cña hμm sè nh− sau:
x -
1
+
+
-
y
0

y = |x1|

A
1

x

y = 1x

27


Điều đó chứng tỏ:
Hm số nghịch biến trên (; 1).
Hm số đồng biến trên (1; +).




b. Viết lại hm số d−íi d¹ng:
1

 4x nÕu x   2

1
1

y =  2 nÕu   x  .
2
2


1

 4x nÕu x 2

Do đó, đồ thị hm số gồm:




1
Tia IA với A(1; 4) v I( ; 2).
2
1
Đoạn thẳng IJ với J( ; 2).
2
Tia JB víi B(1; 4).

y
4

A
I
1

2

O

y = 4x

B
J
1

x

y = 4x

ThÝ dô 4. Cho hμm sè:
(dm): y = (m1)x + 2m3.
a. Tìm m để hm số l đồng biến, nghịch biến, không đổi.
b. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định.

Giải

a. Điều kiện ®Ó hμm sè ®ång biÕn:
m – 1 > 0  m > 1.
Điều kiện để hm số nghịch biến:
m 1 < 0 m < 1.
Điều kiện để hm số không đổi biến:
m 1 = 0 m = 1.
b. Giả sử đồ thị hm số luôn đi qua ®iĨm M(x0 ; y0), ta cã:
y0 = (m1)x0 + 2m3, m  (x0 + 2)m – x0 – 3 – y0 = 0, m
x  2  0
x  2
  0
  0
.
y 0  1
x 0  y 0 3 0

Vậy, đồ thị hm số luôn đi qua điểm cố định M(2 ; 1).

Thí dụ 5. Cho họ đờng thẳng (dm) có phơng trình:
(dm): (m1)x + (2m3)ym1 = 0.
1. Xác định m để:
a. (dm) đi qua A(2, 1).
b. (dm) có hớng đi lên.
c. (dm)//Ox.
28


d. (dm) vuông góc với đờng thẳng (1): 3x + 2y100 = 0.
e. (dm) song song với đờng thẳng (2): x2y + 12 = 0.

2. Tìm điểm cố định m họ (dm) luôn đi qua.

Giải
1. Ta lần lợt có:
a. (dm) ®i qua ®iĨm A(2, 1) ®iỊu kiƯn lμ:
(m1).2 + (2m3).1m1 = 0  3m – 6 = 0  m = 2.
b. (dm) có hớng đi lên điều kiện lμ:
3
ab < 0  (m1)(2m3)  1 < m < .
2
c. (dm) song song víi Ox ®iỊu kiƯn lμ:
m – 1 = 0  m = 1.
d. (dm) vu«ng gãc với đờng thẳng (1) điều kiện l:
9
3(m1) + 2(2m3) = 0  7m = 9  m = .
7

e. (dm) song song với đờng thẳng (2) điều kiện l:
m 1 2m  3
5

 4m = 5  m = .
1
4
2
2. Giả sử đồ thị hm số luôn đi qua ®iÓm M(x0 ; y0), ta cã:
(m1)x0 + (2m3)y0m1 = 0, m
 (x0 + 2y0 – 1)m – x0 – 3y0 – 1 = 0, m
 x  2y 0  1  0
x  5
  0
  0
.
 x 0  3y 0  1  0
y 0  2
Vậy, đờng thẳng (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5 ; – 2).

ThÝ dô 6. Cho hai hμm sè f(x) = (m2 + 1)x  4 vμ g(x) = mx + 2, víi m  0.
Chøng minh r»ng:
a. C¸c hμm sè f(x), f(x) + g(x), f(x)  g(x) lμ các hm đồng biến.
b. Hm số g(x) f(x) l hm nghịch biến.

Giải

a. Ta lần lợt xét:
Hm số f(x) cã hÖ sè a = m2 + 1 > 0 do ®ã nã lμ hμm ®ång biÕn.
 Hμm sè:

f(x) + g(x) = (m2 + 1)x  4 + mx + 2 = (m2 + m + 1)x  2.
cã hÖ sè:
2

1
3

a = m2 + m + 1 =  m   +
>0
2
4

do ®ã, nã lμ hμm ®ång biÕn.

29