GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6

Chương 6 THẾ LƯU
I.ĐỊNH NGHĨA THẾ LƯU:
Trong một chuyển động chất lỏng lý
tưởng đựợc gọi là dòng chảy thế (thế lưu) khi
thoả mãn điều kiện :
dsu
B
A
∫

không phụ
thuộc vào đường đi từ
A đến B
Để điều kiện trên thỏa mãn, cần có một
hàm ϕ(x,y) sao cho
ϕ
gradu
=

(6.1)
ϕ : hàm thế vận tốc
Như vậy để là một chuyển động thế thì
chuyện động khi có một hàm thế vận tốc ϕ.
Và từ (6.1) suy ra
0
=
uRot

hay
0
=

ϖ

Chuyển động thế là một chuyển động
không quay
II. MỘT SỐ Ø KHÁI NIỆM
1
A
B
n
m
1. Hàm thế vận tốc (ϕ):
ϕ là hàm sao cho:
Trong tọa độ descarde
y
u
x
u
yx
∂
∂
=
∂
∂
=
ϕϕ
;
(6.2)
Trong tọa độ cực
θ
ϕϕ

θ
∂
∂
=
∂
∂
=
r
u
r
u
r
1
;
(6.3)
+ Phương trình đường đẳng thế:
Khi cho ϕ = Const => đường đẳng
thế
+ Phương trình Laplace : từ (6.1) có thể
suy ra :
00
2
2
2
2
=∆⇒=
∂
∂
+
∂

∂
ϕ
ϕϕ
yx
(6.4)
Hàm dòng (ψ) :
Trong dòng chảy lưu chất không nén thì
các thành phần vận tốc của nó thoả mãn
phương trình liên tục
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
y
x
nên tồn
tại một hàm ψ(x,y) sao cho
2

x
u
y
u

yx
∂
∂
−=
∂
∂
=
ψψ
;
(6.5)
hay trong tọa độ cực
1
;
r
u u
r r
θ
ψ ψ
θ
∂ ∂
= = −
∂ ∂
(6.6)
ψ đựoc gọi là hàm dòng
Một số tính chất của hàm dòng:
•
Trong chuyển động thế ψ thoả mãn
phương trình Laplace

0

2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
yx
ψψ
(6.7)
Khi chuyển động thế
uRot

= 0 do đó
=>
0
yx
0
yyxx
0
y
u
x
u
2
2
2

2
x
y
=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
⇔=








∂
ψ∂
∂
∂
−






∂

ψ∂
∂
∂
−⇔=
∂
∂
−
∂
∂
•
Khi cho ψ = C thì đây chính là phương
trình một đường dòng

0
=⇒=
ψψ
dC
=>
0
=
∂
∂
+
∂
∂
dx
x
dy
y
ψψ

hay
0
=−
dxudyu
yx
=>
yx
u
dy
u
dx
=
( phương
trình đường dòng)
3
•
Lưu lượng đi qua giữa 2 đường dòng
A,B bằng ψ
B
- ψ
A
dyudxudq
xy
+−=
dy
y
dx
x
dq
∂

∂
+
∂
∂
=
ψψ
= dψ
∫
=
B
A
AB
dq
ψ
=
AB
ψψ
−
2. Mối quan hệ giữa hàm dòng và hàm thế:
yx
u
x
∂
∂
=
∂
∂
=
ψϕ
và

xy
u
y
∂
∂
−=
∂
∂
=
ψϕ

yyxx
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−
ψϕψϕ
=>
0
=
∂
∂
∂
∂

+
∂
∂
∂
∂
yyxx
ψϕψϕ
Do đó họï các đường dòng và các đường đẳng
thế trực giao với nhau tạo thành một
lưới được gọi là lưới thủy động.
II.MỘT SỐ CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ
ĐƠN GIẢN
1. Chuyển động
thẳng đều vận tốc
U
0
song song với
trrục nằm ngang
4
dq
u
x
u
y
dy
dx
x
y
ψ
1

ψ
2
ψ
3
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
U
0
U
0
U
0
•
Đây là một chuyển
động thế vì
0
=
uRot


•
Hàm thế :
xU
0

=
ϕ
(6.8)
•
Hàm dòng :
yU
0
=
ψ
(6.9)
2. Điểm nguồn và điểm hút:
a) Điểm nguồn : đặt tại gốc toạ độ với lưu
lượng q
• Đây là một chuyển động thế
• Hàm thế:
Trong tọa độ cực :
)ln(
2
r
q
π
ϕ
=
(6.10)
Trong tọa độ descarte:
)ln(
4
22
yx
q

+=
π
ϕ
(6.11)
• Hàm dòng :
Trong tọa độ cực :
θ
π
ψ
2
q
=
(6.12)
Trong tọa độ descarte:






=
x
y
arctg
q
π
ψ
2
6.13)
b) Điểm hút: đặt tại gốc toạ độ với lưu

lượng q. Các hàm dòng hàm thế tương tự như
đểm nguồn nhưng thay q bằng –q .
5

3. Xoáy tự do: đặt tại gốc toạ độ và có lưu số
vận tốc
∫
==Γ
C
constdsu

Ta có:
0
=
r
u
và
Const
r
u
=
Γ
=
π
θ
2
Tương tự :
6
O
ϕ

ψ
3
ψ
2
ψ
1
ψ
4
• Hàm thế:
θ
π
ϕ
2
Γ
=
hay






=
x
y
arctg
q
π
ϕ
2

(6.14)
• Hàm dòng :
)ln(
2
r
π
ψ
Γ−
=
hay
)ln(
4
22
yx
+
Γ−
=
π
ψ
(6.15)
Ghi chú:
Γ>0: xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ;
Γ<0: xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ;
3. Lưỡng cực: là cặp điểm nguồn + hút có
cùng lưu lượng q đặt cách nhau một đoạn ε
vôâ cùng nhỏ với điều kiện khi ε→0 thì
7
O
ψ
ϕ

1
Γ>0: xoáy dương
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
x
y
ϕ
3
ϕ
2
ϕ
1
εq→m
0
( m
o được
gọi là cường độ (moment)
lưỡng cực).
Trường hợp điểm nguồn và hút nằm trên
trục hoành:
• Hàm thế :

















+






−−








+







+=+=
2
2
2
2
2
ln
2
ln
4
yxyx
q
hn
εε
π
ϕϕϕ
=













+






−
+






+
2
2
2
2
2
2
ln
4
yx
yx
q

ε
ε
π
=












++−
+++
2
2
2
2
2
2
4
4
ln
4
yxx
yxx

q
ε
ε
ε
ε
π
=






+−
++
22
22
ln
4 yxx
yxxq
ε
ε
π
=







+−
+
22
2
1ln
4 yxx
xq
ε
ε
π
(Chú ý: ln(1+x) = x-x
2
/2 + x
3
/3 - . . . .)







+−
=
22
2
4 yxx
xq
ε
ε

π
ϕ

Lưỡng cực






+−
=
>−
22
0
2
4
lim
yxx
xq
i
ε
ε
π
ϕ
ε
=







+
22
0
2 yx
xm
π
6.16)
8
hay trong tọa độ cực :
r
m
π
θ
ϕ
2
cos
0
=
(6.17)
• Hàm dòng : Tương tự có
22
0
2
yx
y
m
+

−
=
π
ψ
hay
r
m
π
θ
ψ
2
sin
0
−=
6.18)
III. CHỒNG CHẬP CÁC CHUYỂN ĐỘNG
THẾ
1. Chuyển động quanh nửa cố thểâ:
Chuyển động thẳng đều ngang (u
0
) +
nguồn (q) tại gốc toạ độ
9
ψ
+q
-q
)(
2
)ln(
4

0
2
0
2
x
y
arctg
q
yu
yx
q
xu
π
ψ
π
ϕ
+=
++=
(6.19)
Điểm dừng (điểm có vận tốc bằng không):
(6
.20)
2. Chuyển động quanh trụ tròn:
Chuyển động thẳng đều (u
0
), nằm ngang +
lưỡng cực (m
0
)









+=+==
2
0
00
2
1
2 ru
m
cosru
r
cosm
cosru
oo
π
θ
θ
π
θϕ
(6.21)









−=−=
2
0
00
2
1
2 ru
m
sinru
r
sinm
sinru
oo
π
θ
θ
π
θψ
(6.22)
Xét đường dòng ψ = 0 =>
10
+q
A
u
0
0;00

==⇔=
yx
uuu
0
22
22
0
2
0
0
2
4
0
2
4
u
q
x,y
yx
yq
y
yx
xq
u
x
π
π
ϕ
π
ϕ

−==→







=
+
=
∂
∂
=
+
+=
∂
∂

0
2
1
2
0
0
=









−
ru
m
sinru
o
π
θ
(6.23)
Suy ra θ=0 : đường dòng là trục hoành
và
0
0
u2
m
r
π
=
: đường dòng là vòng tròn
tâm O bán kính r (6.24)
Vi lưu chất không thể di chuyển cắt ngang
đường dòng, nên vào vò trí của đường dòng
0
0
u2
m
r

π
=
có thể thay bằng một trụ tròn bán
kính
0
0
u2
m
R
π
=
thì bản chất dòng chảy vẫn
không đổi.
Như vậy để có hình ảnh của một dòng đều
qua một trụ tròn với bán kính
0
0
u2
m
R
π
=
ta có
thể thay bằng một
dòng đều kết hợp
với một lưỡng cực
có cường độ m
o
= 2π
11

A
B
C
D
u
C
= -2u
0
u
D
= 2u
0
p
A
= p
B
= ρu
0
2
/2
p
C
= p
D
= -3ρu
0
2
/2
u
o

R
2
. Thay m
o
vào (6.22) và (6.23) các hàm
thế và hàm dòng viết lại như sau:








+=
2
2
1
r
R
cosru
o
θϕ
(6.25)









−=
2
2
1
r
R
sinru
o
θψ
(6.26)
− Phân bố vận tốc trên mặt trụ: ( r = R)





=
−=
∂
∂
=
=
0
2
1
0
r
Rr

u
sinu
r
u
θ
θ
ϕ
θ
(6.27)
− Điểm dừng trên mặt trụ:
⇒=θ⇔=
θ
và00u
có hai điểm dừng
A. B trước và sau mặt trụ.
− Điểm có vận tốc cực đại trên mặt trụ:
0D0C
max
u2u;u2u
2
3
;
2
uu
=−=
π
=θ
π
=θ⇔=
θ

⇒ C, D nằm trên
và dưới mặt trụ
− Phân bố áp suất trên mặt trụ:
12
Vì chuyển động không quay, áp dụng
phương trình Bernoulli cho một điểm trên
mặt trụ và một điểm từ ở vô cực:
2
u
p
2
u
p
2
tr
tr
2
0
ρ
+=
ρ
+
∞
Giả sư û p
∝
=p
a
ta suy ra :
)sin41(
2

u
)
u
sinu4
1(
2
u
)
u
u
1(
2
u
p
2
2
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
tr
2
0
dư

tr
θ−
ρ
=
θ
−
ρ
=−
ρ
=
Tại A, B:
2
u
pp
2
0
BA
ρ
==
Tại C, D:
2
u3
pp
2
0
DD
ρ
−==
Do biểu đồ phân bố áp suất đối xứng qua cả
ox lẫn oy nên tổng lực tác dụng lên mặt trụ

trong trường hợp này = 0
3. Chuyển động quanh trụ tròn xoay:
Chuyển động quanh trụ tròn + xoáy tự do
(Γ)
θ
π
Γ
θϕ
2
1
2
2
−








+=
r
R
cosru
o
(6.28)
rln
r
R

sinru
o
π
Γ
θψ
2
1
2
2
+








−=
(6.29)
Phân bố vận tốc trên mặt trụ: r = R
13
=> có 1 điểm dừng
222222
42412
oooootr
um/um/sinsin)(/u(pp
πΓπθΓθρ
−−−=−
∞

0
=
r
u
và
π
Γ
θ
θ
2
1
2
0
R
sinuu
−−=
(6.30)
− Điểm dừng trên mặt trụ
R
sinuu
π
Γ
θ
2
20
0
−=⇔=






>
=
<
⇒−=
0
0
0
0
4
4
4
4
Ru
Ru
Ru
Ru
sin
πΓ
πΓ
πΓ
π
Γ
θ
Phân bố áp suất trên mặt trụ:
Tương tự như trong trường hợp chảy đều
qua một hình trụ không quay, áp dụng
phương trình Bernoulli cho một điểm trên
mặt trụ và một điểm từ ở vô cực:

2
u
p
2
u
p
2
tr
tr
2
0
ρ
+=
ρ
+
∞
(6.31)
Thay u
tr
từ (6.30) vào ta có sự phân bố áp
suất trên mặt trụ:
14
=> có 2 điểm dừng
=> không có điểm
dừng
Γ = 0
Γ < 4πRu
o
Γ = 4πRu
o

Γ > 4πRu
o
∫
∞
−−=
π
θθ
2
0
dsinR)pp(F
try
(6.32)
Lực tác dụng lên mặt trụ theo phương đúng
(6.33)
Thay (6.32) vào (6.33) và tích phân
Γρ
oy
uF
=
(6.34)
Phương trình (6.34) chính là đònh luật lực
nâng Kutta - Joukowsky
Sự phân bố áp suất trên mặt trụ khi Re lớn
15
16
17