LUẬN văn THẠC sĩ nghiên cứu thuật toán giảm bậc mô hình ứng dụng cho bài toán điều khiển

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


`

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP






PHÙNG THỊ CHÍNH





NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH
ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN






LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa

THÁI NGUYÊN – 2014



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP




PHÙNG THỊ CHÍNH



NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH
ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN



Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa
Mã số: 60520216

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT




Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Hữu Công



THÁI NGUYÊN – 2014


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

i

LỜI CAM ĐOAN

.



Phùng Thị Chính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ii

.TS
.
.
,
Khoa Sau Đại học
.



Phùng Thị Chính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

iii
MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Danh mục các bảng v
Danh các hình ảnh (Hình vẽ, ảnh chụp, đồ thị) vi
MỞ ĐẦU 1
1. Tính cấp thiết của đề tài 1
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2
CHƢƠNG 1. GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢM BẬC MÔ HÌNH 4
1.1 Giới thiệu 4
1.2 Phát biểu bài toán giảm bậc mô hình 4
1.3 Các phương pháp giảm bậc cơ bản 5

1.3.1 Phương pháp ghép hợp 7
1.3.2 Phương pháp trên cơ sở trùng khớp tại các thời điểm 9
1.3.3 Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị 12
1.3.4 Phương pháp cân bằng nội 13
1.3.5 Các phương pháp sử dụng phép gần đúng tối ưu 14
1.3.6 Phương pháp tối ưu theo trạng thái 15
1.4 Kết luận 17
CHƢƠNG 2. NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 19
2.1 Cơ sở toán học 19
2.1.1 Phép phân tích giá trị suy biến (SVD - Singular Value Decomposition) 19
2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính 20
2.1.3 Giá trị Hankel suy biến 21
2.1.4 Chuẩn H của hệ tuyến tính 22
2.2 Thuật toán giảm bậc theo chuẩn Hankel 22
2.3 Một số ví dụ áp dụng 24

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

iv
2.3.1 Ví dụ 1 24
2.3.2 Ví dụ 2 28
2.3.3 Ví dụ 3 32
2.4 Kết luận chương 2 35
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MÔ HÌNH TRONG LĨNH VỰC ĐIỀU
KHIỂN THIẾT KẾ - MÔ PHỎNG - THÍ NGHIỆM THỰC 37
3.1 Giới thiệu mô hình xe hai bánh tự cân bằng 37
3.1.1 Mô hình cơ khí 37
3.1.2 Mô hình toán học 38
3.2 Hệ thống điều khiển cân bằng robot theo phương pháp điều khiển bền vững định
dạng vòng H

∞
43
3.2.1 Điều khiển định dạng vòng H
∞
43
3.2.2 Thiết kế bộ điều khiển định dạng vòng H
∞
đủ bậc 46
3.2.2.1 Lựa chọn hàm định dạng 46
3.2.2.2 Kết quả mô phỏng 46
3.3 Ứng dụng giảm bậc mô hình giảm bậc bộ điều khiển bền vững định dạng vòng H
∞
49
3.3.1 Giảm bậc bộ điều khiển bền vững định dạng vòng H
∞
điều khiển cân bằng robot 49
3.3.2 Ứng dụng bộ điều khiển giảm bậc để điều khiển cân bằng robot 54
3.4 Kết quả thực nghiệm điều khiển trên mô hình robot hai bánh tự cân bằng 57
3.5 Kết luận chương 3 59
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO 62


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

v

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 2.1 Kết quả giảm bậc mô hình hệ bậc 4 25

Bảng 2.2 Kết quả giảm bậc mô hình hệ bậc 8 28
Bảng 2.3 Kết quả giảm bậc mô hình hệ bậc 5 33
Bảng 3.1 Các thông số của robot 41
Bảng 3.2 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bền vững 50

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

vi
DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 2.1 Đáp ứng bước nhảy của hệ gốc và các hệ giảm bậc 26
Hình 2.2 Đặc tính tần số của hệ gốc và các hệ giảm bậc 26
Hình 2.3 Giá trị Hankel suy biến của hệ gốc bậc 4 27
Hình 2.4 Đặc tính tần số của hệ gốc và các hệ giảm bậc 7, 5, 3, 1 31
Hình 2.5 Đặc tính tần số của hệ gốc và hệ giảm bậc 6, 4, 2 31
Hình 2.6 Giá trị Hankel suy biến của hệ gốc bậc 8 32
Hình 2.7 Đáp ứng bước nhảy của hệ gốc và các hệ giảm bậc 34
Hình 2.8 Đặc tính tần số của hệ gốc và các hệ giảm bậc 34
Hình 2.9 Giá trị Hankel suy biến của hệ gốc bậc 5 35
Hình 3.1 Kích thước robot hai bánh tự cân bằng 37
Hình 3.2 Sơ đồ đơn giản của robot 38
Hình 3.3 Đáp ứng xung của mô hình hệ thống cân bằng robot 42
Hình 3.4 Mô hình điều khiển bền vững với các thông số biến đổi 44
Hinh 3.5 Đáp ứng bước nhảy h(t) của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm bậc . 52
Hình 3.6 Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm bậc 53
Hình 3.7 Sơ đồ hệ thống điều khiển cân bằng robot sử dụng bộ điểu khiển giảm bậc 3
trong Matllab – Simulink 54
Hình 3.8 Đáp ứng bước nhảy của hệ thống điều khiển cân bằng robot sử dụng bộ
điều khiển giảm bậc 3 55
Hình 3.9 Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển cân bằng robot sử dụng bộ điều khiển

gốc và bộ điều khiển giảm bậc 3 trên Matlab-Simulink 55
Hình 3.10 Đáp ứng bước nhảy của hệ thống điều khiển cân bằng robot sử dụng sử dụng
bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển giảm bậc 3 trên Matlab-Simulink 56
Hình 3.11 Đáp ứng của hệ thống xe hai bánh tự cân bằng sử dụng bộ điều khiển
giảm bậc 3 57
Hình 3.12 Đáp ứng của hệ thống xe hai bánh tự cân bằng sử dụng bộ điều khiển giảm
bậc 3 khi có nhiễu 58
Hình 3.13 Đáp ứng của hệ thống xe hai bánh tự cân bằng sử dụng bộ điều khiển giảm
bậc 3 khi thay đổi tải lệch tâm 58

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Tăng tốc độ xử lý và tính toán hiện nay là một hướng ưu tiên nghiên
cứu trong lĩnh vực kỹ thuật. Để tăng tính toán, có một số hướng tiếp cận sau:
1. Sử dụng tối ưu thông lượng bộ nhớ cho các vi xử lý song song.
2. Phân rã các bài toán và lập trình song song theo nghĩa tính toán hiệu
năng cao.
3. Quay về dùng các chip tương tự như mạng nơ ron tế bào (CNN)
4. Tìm cách giảm độ phức tạp của thuật toán mà vẫn đảm bảo sai số
theo yêu cầu.
Giảm độ phức tạp của thuật toán chính là giảm bậc mô hình mà đề tài sẽ tập
trung nghiên cứu. Như vậy đề tài có tính thời sự và cấp thiết.
Nghiên cứu về robot tự động (Autonomous robot) là một lĩnh vực
nghiên cứu đang được phát triển mạnh trong những năm gần đây. Một trong
những khó khăn nhất của vấn đề nghiên cứu robot tự động là khả năng duy trì

cân bằng ổn định trong những địa hình khác nhau. Để giải quyết vấn đề này,
các robot hầu hết có bánh xe rộng hoặc tối thiểu là ba điểm tiếp xúc so với
mặt đất để duy trì sự cân bằng. Tuy nhiên tăng kích thước hoặc số lượng bánh
xe sẽ làm giảm hiệu quả của hệ thống điều khiển do tăng trọng lượng xe, tăng
ma sát hoặc tăng lực kéo và tăng tổn hao năng lượng. Robot hai bánh tự cân
bằng là một hướng nghiên cứu sẽ giải quyết được nhược điểm. Bởi robot hai
bánh tự cân bằng chỉ sử dụng hai bánh xe nên giảm được cả trọng lượng và
chiều rộng không gian. Tuy nhiên vấn đề khó khăn cho robot là làm cách nào
để robot có thể tự cân bằng trong những điều kiện làm việc khác nhau, đồng
thời tải trọng mang theo có thể thay đổi. Với yêu cầu của robot như trên thì hệ
thống điều khiển bền vững là thích hợp nhất để điều khiển cân bằng robot.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2
Lý thuyết điều khiển H
2
/H
∞
là một lý thuyết điều khiển hiện đại cho
việc thiết kế các bộ điều khiển tối ưu và bền vững cho các đối tượng điều
khiển có thông số thay đổi hoặc chịu tác động của nhiễu bên ngoài. Tuy
nhiên, trong phương pháp thiết kế H
2
/H
∞
mà McFarlane và Glover lần đầu
tiên đưa ra vào năm 1992 và kể cả các nghiên cứu sau này về lý thuyết điều
khiển H
2

/H
∞
, bộ điều khiển thu được thường có bậc cao (bậc của bộ điều
khiển được xác định là bậc của đa thức mẫu). Bậc của bộ điều khiển cao có
nhiều bất lợi khi chúng ta đem thực hiện điều khiển trên robot, vì mã chương
trình phức tạp. Vì vậy, việc giảm bậc bộ điều khiển mà vẫn đảm bảo chất
lượng có một ý nghĩa thực tiễn.
Có nhiều phương pháp khác nhau tìm mô hình giảm bậc bộ điều khiển
phức tạp, bậc cao, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm, hạn chế riêng và
được sử dụng theo nhu cầu một cách thích hợp. Trong luận văn này tác giả tập
trung nghiên cứu phương pháp giảm bậc theo chuẩn Hankel và áp dụng thuật
toán này để giảm bậc bộ điều khiển bền vững cho mô hình robot hai bánh tự
cân bằng.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Giảm bậc mô hình áp dụng theo phương pháp cân bằng nội sẽ giúp
giảm độ phức tạp của thuật toán điều khiển, giảm thông tin thừa, tăng tốc độ
xử lý. Mô hình giảm bậc được sử dụng sẽ giúp xử lý tín hiệu một cách đơn
giản, tăng tốc độ tính toán, thiết kế hệ thống điều khiển đơn giản hơn đồng
thời vẫn đảm bảo độ chính xác yêu cầu.
Robot hai bánh có thể sử dụng thay con người trong thăm dò, … Từ
nghiên cứu về robot hai bánh tự cân bằng có thể phát triển mô hình robot hai
bánh tự cân bằng thành xe hai bánh tự cân bằng sử dụng trong giao thông vận
tải. Xe hai bánh tự cân bằng có khả năng tự cân bằng cả khi đứng yên, khi
chuyển động và cả khi xảy ra va chạm. Xe hai bánh tự cân bằng nếu được

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

3
thiết kế tốt thì khi va chạm nó chỉ bị văng ra và vẫn giữ được phương thẳng
đứng nhờ hệ thống tự cân bằng lắp trên nó do đó sẽ đảm bảo an toàn cho

người sử dụng. Do đó, nghiên cứu về giảm bậc mô hình áp dụng cho điều
khiển robot hai bánh tự cân bằng có tính khoa học và thực tiễn rất lớn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

4
CHƢƠNG 1
GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢM BẬC MÔ HÌNH
1.1 Giới thiệu
Hầu hết các phương pháp điều khiển đều dựa trên cơ sở mô hình toán
học của đối tượng điều khiển và bộ điều khiển (còn gọi là hệ động học). Tuy
nhiên trong thực tiễn thường gặp những hệ động học mô tả bởi mô hình toán
học phức tạp, có bậc rất cao dẫn tới việc nắm bắt trạng thái hoạt động của hệ
phục vụ cho mục tiêu phân tích hệ gặp không ít khó khăn và càng khó khăn
khi muốn tổng hợp và điều khiển hệ. Những việc đó hiển nhiên sẽ trở nên dễ
dàng hơn khi sử dụng một mô hình đơn giản hơn, bậc thấp hơn được chọn sao
cho có các đặc điểm quan trọng của mô hình bậc cao. Do vậy vấn đề giảm bậc
mô hình được đặt ra là rất cần thiết và rất hữu ích trong việc thiết kế hệ thống
điều khiển đối tượng.
Trong thực tế, hầu hết các hệ động học có động học là phi tuyến, tuy
nhiên đa số các hệ này có thể đưa về dạng mô hình động học tuyến tính với
những giả thiết nhất định. Vì vậy, hầu hết những công trình liên quan đến
giảm bậc mô hình đã được công bố trên các tạp chí khoa học trong nước và
quốc tế đều áp dụng cho đối tượng có động học tuyến tính. Từ đây, chúng tôi
đưa ra bài toán giảm bậc mô hình cho hệ tuyến tính như sau:
1.2 Phát biểu bài toán giảm bậc mô hình
Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, có
nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương
trình sau:
Cxy

BuAxx

(1.1)
trong đó, x R
n
, u R
p
, y R
q
, A R
nxn
, B R
nxp
, C R
qxn
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

5
Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình mô tả bởi hệ phương
trình đã cho trong (1.1) là tìm mô hình mô tả bởi hệ các phương trình:

rrr
rrrr
xCy
uBxAx

(1.2)
trong đó, x

r
R
r
, u R
p
, y
r
R
q
, A
r
R
rxr
, B
r
R
rxp
, C
r
R
qxr
, với r n;
Sao cho mô hình mô tả bởi phương trình (1.2) có thể thay thế mô hình
mô tả bởi phương trình trong (1.1) ứng dụng trong phân tích, thiết kế, điều
khiển hệ thống.
1.3 Các phƣơng pháp giảm bậc cơ bản
Gần 50 năm qua, đã có hàng trăm công trình nghiên cứu để giải quyết
bài toán giảm bậc của mô hình bậc cao được công bố và đề xuất các phương
pháp tiếp cận khác nhau. Tuy nhiên, theo quan điểm của tác giả, đối với một
mô hình bậc cao cho trước, các phương pháp đã đề xuất trên thức tế có thể

phân loại theo 3 nhóm chính.
Nhóm phương pháp thứ nhất được đề xuất dựa trên cơ sở bảo toàn
những giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao để xác định bậc của
mô hình bậc thấp. Và các tham số của mô hình bậc thấp được xác định sao
cho trước tác động của tín hiệu tại đầu vào, đáp ứng của mô hình bậc thấp gần
đúng với đáp ứng của mô hình gốc. Những đề xuất sớm nhất về mô hình giảm
bậc trong các công trình của Marshall [24], Davison [8], của Mitra[26] và của
Aoki [2] thuộc nhóm phương pháp thứ nhất này. Nhưng, Hickin và Sinha [15]
đã chứng tỏ rằng cả ba phương pháp đề xuất sớm nhất bởi Marshall, Davison
và Mitra là những trường hợp riêng của phương pháp ghép hợp do Aoki đề
xuất.
Nhóm phương pháp giảm bậc thứ hai được đề xuất trên cơ sở áp dụng
tiêu chí tối ưu mà không quan tâm tới giá trị riêng quan trọng của mô hình
gốc. Nghiên cứu đầu tiên là của Anderson, ông đề xuất phương pháp hình học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

6
trên cơ sở của phép chiếu trực giao, mô hình bậc thấp từ đó được xác định là
mô hình tối thiểu hóa tích phân bình phương các sai số trong miền thời gian;
nghĩa là bài toán L
2
[1]. Các tiêu chí tối ưu khác cũng được sử dụng như tiêu
chí L
2
áp dụng đối với đáp ứng trong công trình của Wilson [42], phương
pháp gradient trong công trình của Bandlet và các tác giả khác [3], L
2
áp dụng
với trọng đáp ứng trong miền ràng buộc về tính ổn định, tính đồng thời điều

khiển và kiểm tra của hệ trong công trình của Hyland và Bernstein [17], L
2
áp
dụng với tín hiệu đầu vào trong công trình của Nath và San[29]. Các phương
pháp tìm mô hình tối ưu bậc thấp trong miền tần số được đề xuất trong công
trình của Langholz và Bishtritz [20], Elliott và Wolovich đề xuất quy trình
tìm mô hình giảm bậc trong miền tần số [11].
Nhóm phương pháp giảm bậc thứ ba được đề xuất trên cơ sở chọn
trùng khớp một số đặc tính khác ngoài những thuộc tính về đáp ứng. Nghiên
cứu sớm nhất là của Chen và Shieh, các tác giả đã chứng tỏ rằng nếu phát
triển một số hàm truyền của mô hình hệ bậc cao theo cách chia liên tục mẫu
số cho tử số và làm tròn, thì dẫn tới một mô hình bậc thấp có đáp ứng đối với
xung nhảy bậc bám sát được đáp ứng của mô hình gốc [7]. Sự hấp dẫn chủ
yếu của phương pháp này nằm ở chỗ tính toán đơn giản hơn so với các
phương pháp thuộc các nhóm trước. Thay vì sử dụng hàm truyền do Chen và
Shieh đề xuất, phương pháp trùng khớp theo các thời điểm do Gibarillo và
Lees [13] là một phương pháp khá hay. Nhưng, sau đó Samash đã chứng tỏ
rằng phương pháp phát triển hàm truyền và phương pháp trùng khớp thời
điểm là tương đương và chẳng qua là phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân
gần đúng hàm theo chuỗi của Pade [34]. Một hạn chế lớn của phương pháp
gần đúng Pade là đôi khi các mô hình bậc thấp tìm được có thể không ổn định
dù rằng mô hình gốc bậc cao ổn định. Điều này dẫn đến việc phát triển
phương pháp gần đúng Routh do Hutton và Friedlan đề xuất đối với mô hình
có một đầu vào và một đầu ra [16]. Một phiên bản dành cho hệ có nhiều đầu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

7
vào, nhiều đầu ra được Sinha và các đồng tác giả khác phát triển [37]. Một
giải pháp nhằm đảm bảo tính ổn định của mô hình bậc thấp được đề xuất trên

cơ sở kết hợp giữa phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp theo
thời điểm do Hickin và Sinha đề xuất [15]. Mô hình giảm bậc ổn định sử dụng
phương pháp gần đúng theo chuỗi Chebyshev Pade do Bistritz và Lanholz đề
xuất [4], nhưng phương pháp này xem ra khá phức tạp trong tính toán khi áp
dụng vào thực tiễn.
Tuy nhiên, vẫn còn một số phương pháp đề xuất khác không thuộc bất
kỳ một trong các nhóm kể trên. Đáng quan tâm nhất là phương pháp nhiễu
loạn được Sannuti và Kokotovic đề xuất [33] và phương pháp thuật toán phân
tích giá trị suy biến SVD với đề xuất đầu tiên là của Moore [27], sau đó là các
phương pháp xấp xỉ nhiễu loạn suy biến (Singular Perturbation
Approximation) [45], xấp xỉ chuẩn Hankel (Hankel-Norm Approximation)
[46].
1.3.1 Phương pháp ghép hợp
Trong số các phương pháp đề xuất trên cơ sở bảo lưu các giá trị riêng
quan trọng của hệ gốc trong mô hình giảm bậc, phương pháp tổng quát nhất là
phương pháp ghép hợp do Aoli nghiên cứu, xây dựng năm 1968 dựa trên mối
quan hệ trực quan [2]:
= Kx (1.3)
trong đó, K là một ma trận chiếu không đổi có kích thước (r x n) và được gọi
là ma trận ghép hợp. Phương trình trong (1.3) gọi là luật ghép hợp.
Lấy vi phân cả hai vế của phương trình trong (1.3) và thay x từ phương
trình trong (1.1) vào, ta có:
KBuKAx

(1.4)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

8
So sánh phương trình trong (1.3) với phương trình (1.1), mối quan hệ

giữa các ma trận trong hai tập của các phương trình trạng thái thu được như
sau:
KCC
BKB
AKKA
r
r
(1.5)
Dễ dàng nhận thấy rằng luật ghép hợp không tầm thường tồn tại khi và
chỉ khi các giá trị riêng của A
r
là một tập con thuộc tập các trị riêng của A. Từ
đó, ma trận ghép hợp có thể được xác định là:
K = D[I
r
0]V
-1
(1.6)
trong đó, D là ma trận không suy biến có kích thước (r x r) và V là ma trận
hình thức của A: các cột của V là các véc tơ riêng suy rộng của A. Thường
chọn D sao cho K là một ma trận thực. Trong trường hợp riêng, khi D là một
ma trận đơn vị thì A
r
tìm được dưới dạng đường chéo hoặc dạng Jordan. Các
trị riêng của A
r
là các trị riêng của A tương ứng với r cột đầu tiên của V.
Lastman và Shinha minh chứng có cách chọn một cách tự nhiên đối với K để
được K = V [I
r

0]
T
D
-1
[21].
Có một số nhận xét về phương pháp ghép hợp như sau:
Để xác định mô hình giảm bậc cần phải tính các giá trị riêng và các véc
tơ riêng của ma trận A, trong khi đó ma trận A có thể có kích thước rất lớn.
Mặc dù có các phương pháp tính các giá trị riêng đó, nhưng cần mất thời gian
đáng kể.
Khuếch đại một chiều ở chế độ xác lập có thể không được bảo toàn và
kết quả là trước tác động của tín hiệu có dạng nhảy bậc, các đáp ứng của mô
hình gốc và của mô hình giảm bậc có thể khác nhau đáng kể. Sự không phù
hợp đáp ứng này có thể được khắc phục nếu sử dụng phối hợp giữa phương
pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp các thời điểm theo thời gian [15].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

9
Một câu hỏi quan trọng đối với phương pháp ghép hợp là chọn các giá
trị riêng như thế nào? Câu hỏi này có đáp án khi kết hợp một tiêu chuẩn áp
dụng trong kỹ thuật phân tích, tổng hợp hệ thống. Tiêu chuẩn tỷ số năng
lượng dựa trên cơ sở xét tổng năng lượng đáp ứng xung ở đầu ra của mô hình
gốc, bảo toàn các giá trị riêng có đóng góp nhiều nhất vào tổng đó đã được
dùng để xác định bậc thích hợp nhất cho mô hình giảm bậc do Lucas đề xuất
[23]. Tác giả Commault sử dụng những xung đơn vị để tìm một đại lượng đo
tầm ảnh hưởng bởi từng trị riêng của ma trận A làm cơ sở xác định các giá trị
quyết định [9]. Một tiêu chuẩn khác có thể lấy tham khảo do Skelton và
Yousuff đề xuất chọn các giá trị riêng của hệ để bảo lưu là sự đóng góp của
từng mode biến đổi theo thời gian vào đặc tính giữa các đầu vào và ra của hệ

[39], [44].
Một hạn chế khác của phương pháp ghép hợp cũng như của phần lớn
các phương pháp giảm bậc là các trạng thái của mô hình giảm bậc không
mang ý nghĩa vật lý nào. Điều này dẫn đến khó khăn trong những trường hợp
mô hình giảm bậc được xét cùng với các khâu khác của một quá trình khi
chúng được liên kết với nhau thông qua biến trạng thái. Phương pháp nhiễu
xạ không suy biến do Fernando và Nicholson đề xuất [12] khắc phục được
một bước khó khăn đã nêu. Moore cũng đề xuất khái niệm tính trội động học
trong công trình nổi tiếng liên quan đến cân bằng nội [27]. Trong hệ cơ sở cân
bằng nội Moore đã phát hiện rằng thứ tự giá trị riêng trên đường chéo của các
gramian biểu thị sự đóng góp của hệ động học vào việc xác lập quan hệ giữa
đầu vào và đầu ra của hệ thống.
1.3.2 Phương pháp trên cơ sở trùng khớp tại các thời điểm
Một phương pháp tiếp cận khác để thu được mô hình giảm bậc đã đề
xuất trên cơ sở chọn trùng khớp đáp ứng xung của mô hình giảm bậc với đáp
ứng xung của mô hình gốc tại các điểm thời gian. Phương pháp phân tích liên
tục phân số hàm truyền do Chen và Shieh đề xuất [7] là phương pháp sớm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

10
nhất thuộc loại này dù rằng sự liên hệ giữa phương pháp trùng khớp tại các
thời điểm với phương pháp gần đúng Pade được phát hiện bởi Samash [34].
Sau đó, dạng tổng quát của phương pháp này áp dụng đối với hệ có nhiều đầu
vào và nhiều đầu ra đã được Hichkin và Sinha phát triển [15].
Đối với các hệ thống động học được biểu diễn bởi phương trình trong
(1.1) ma trận hàm truyền được cho bởi:
G(s) = C(sI – A)
-1
B (1.7)

Phát triển chính tắc ma trận hàm truyền G(s) theo chuỗi Laurentz trong
trường hợp này cho kết quả như sau:
n
i
i
i
sJsG
0
)1(
)(
(1.8)
trong đó, J
i
= CA
i
B (1.9)
ở đây, J
i
được biết đến là các tham số Markov của hệ và bất biến dưới phép
biến đổi tuyến tính áp dụng lên các biến trạng thái. Nếu ma trận hàm truyền
G(s) không có các cực ở điểm gốc tọa độ của mặt phẳng phức s, có thể khai
triển theo chuỗi Taylor đối với G(s) như sau:
0
)1(
)(
i
i
i
sJsG
(1.10)

trong đó, J
i
= CA
-(i+1)
B (1.11)
Và, nếu hàm g(t) là biến đổi Laplace ngược của G(s) thì:
0
1
)!()1()(
i
ii
Jidttgt
(1.12)
trong đó, i là một số nguyên dương; J gắn với giá trị thời điểm của ma trận
xung qua một hệ số nhân.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

11
Kết hợp phương trình trong (1.9) và phương trình trong (1.10), thấy
rằng:
J
i
= J
i+1
với i>1 (1.13)
sao cho việc sử dụng “thông số Markov suy rộng” có thể bảo gồm cả J
i
.
Để xác định được mô hình bậc thấp, các ma trận A

r
, B
r
, C
r
được tìm sao
cho một số tham số Markov suy rộng của mô hình giảm bậc trùng với các
tham số Markov của mô hình gốc. Nhờ vào sự trùng khớp tại các thời điểm
đáp ứng của mô hình giảm bậc với đáp ứng của mô hình gốc, mà trước tác
động của tín hiệu có thể phân tích theo chuỗi lũy thừa tại đầu vào như tín hiệu
dạng bước nhảy nấc, dạng các đường dốc hay các hàm, các đáp ứng trong
chế độ xác lập giống nhau. Mặt khác, sự phù hợp các tham số Markov sẽ
nâng cao tính gần đúng cả trong vùng quá độ hoặc dạng rời rạc của đáp ứng.
Quá trình tìm các ma trận A
r
, B
r
, C
r
được biết đến là quy trình khả hiện
vật lý thành phần, trong đó ma trận khối Hankel được tạo thành, gồm có các
tham số Markov suy rộng:
211
21
11


.
.
.

)(
jikkki
jkkk
jkkk
ij
jjj
jjj
jjj
kH
(1.14)
Nếu i> và j> là tương ứng với các chỉ số quan sát và điều khiển của
mô hình gốc của hệ, thì hạng của H
ij
(k) là n, và khả hiện vật lý tối thiểu bậc n
dễ dàng tìm được bằng cách theo quy trình đưa về dạng Hermite chuẩn do
Rozsa và Sinha đề xuất [32]. Nếu quá trình đó được dừng lại sau r bước với
r<n
j
, thì khả hiện vật lý thành phần có m tham số Markov suy rộng được trùng
khớp bắt đầu từ J
k
, trong đó:
m = r/q + r/p (1.15)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

12
ở đây, p và q có ý nghĩa là số đầu vào và đầu ra của hệ như phương trình (1.1).

Theo như cách ở trên, quy trình khả hiện vật lý thành phần có thể được
coi là phương pháp gần đúng Pade suy rộng áp dụng đối với trường hợp hệ đa
biến có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra.
Hạn chế chính của tất cả những phương pháp kiểu trùng khớp các thời
điểm là sự ổn định của mô hình giảm bậc không được bảo toàn dù rằng mô
hình gốc hoạt động ổn định. Để khắc phục hạn chế này đã có nhiều phương
pháp được nghiên cứu, tiến cử. Trong đó, đáng chú ý nhất trong các tiến cử
này là phương pháp gần đúng Routh được Hutton và Friendland nghiên cứu,
phát triển đối với hệ có một đầu vào và một đầu ra [16]. Dạng đa biến, nhiều
đầu vào và nhiều đầu ra do Sinha và các đồng tác giả khác phát triển [37] qua
việc tìm các phần chẵn, lẻ của đa thức đặc trưng gốc. Điều này cho phép xác
định các ma trận A
r
, B
r
dưới dạng chính tắc. Ma trận C
r
lúc đó phải tìm sao
cho thu được càng nhiều điểm trùng khớp giữa các đáp ứng càng tốt.
Sự hấp dẫn chủ yếu của phương pháp trùng khớp tại các điểm theo thời
gian là giảm đáng kể số lượng tính toán. Hạn chế chủ yếu của các phương
pháp nằm ở phương diện thực tiễn vì không tồn tại bất kỳ mối liên hệ trực tiếp
nào giữa các trạng thái của mô hình gốc bậc cao với các trạng thái của mô
hình giảm bậc.
1.3.3 Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị
Đây là một phương pháp hấp dẫn đối với bài toán giảm bậc mô hình
của mô hình vì bản chất vật lý của mô hình gốc được bảo toàn.Trên cơ sở chia
véc tơ trạng thái thành hai phần; véc tơ trạng thái thuộc mode “chậm” và véc
tơ trang thái thuộc mode “nhanh”. Do đó, phương trình trong (1.1) được viết
lại như sau (ở đây x

2
biểu diễn cho các trạng thái thuộc mode nhanh):
uBxAxAx
uBxAxAx
22221212
12121111


(1.16)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

13
Đối với một hệ thống hoạt động ổn định, các trạng thái thuộc mode
“nhanh” suy giảm nhanh hơn cá trạng thái thuộc mode “chậm”. Vì vậy, sau
thời gian quá độ, có lý để cho đạo hàm x
2
bằng 0. Điều đó cho phép loại sự có
mặt của x
2
ra khỏi phương trình trong (1.16) để thu được:
uBAABxAAAAx .)(.
2
1
22121121
1
2212111

(1.17)
Mô hình giảm bậc biểu diễn bởi phương trình trong (1.17) bây giờ có

thể giải để tìm trực tiếp các trạng thái. Rõ ràng, trong phương pháp này, ảnh
hưởng của các trạng thái thuộc mode “nhanh” đã bỏ qua. Nhưng, khi cần thiết
thì có thể xác định lại được bằng cách biến đổi phương trình trong (1.17) về
phương trình trong (1.16).
Khó khăn chính khi sử dụng phương pháp này là vấn đề phân chia một
cách hợp lý véc tơ các trạng thái theo các mode. Đó là điều khá phức tạp vì
trên thực tế các biến trạng thái bị liên kết với nhau đến mức không thể tách
riêng để mà có thể quyết định liệu một trạng thái nào đó thuộc mode này hoặc
mode kia.
1.3.4 Phương pháp cân bằng nội
Phương pháp cân bằng ma trận (cân bằng nội) do Moore đề xuất [27].
Đối với một hệ được mô tả bởi phương trình trong (1.1), gramian đặc trưng
cho khả năng điều khiển và cho khả năng quan sát của hệ được định nghĩa
như sau:
dteBBeW
tATAt
c
T
0
(1.18)
dteCCeW
tATAt
o
T
.
0
(1.19)
Phương pháp cân bằng ma trận nội được thực hiện bằng cách áp dụng
điều kiện tương đương lên quá trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

14
gramian điều khiển và quan sát động học của hệ trong tư duy hệ hở. Việc
tương đương hóa hai ma trận đường chéo như thế cho phép xác định được
một ma trận không suy biến T, từ đó xác đinh được một biến đổi tổ hợp
*
Txx
có thể chuyển mô hình gốc biểu diễn trong hệ cơ sở bất kỳ (1.1) thành
một hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không gian cân bằng nội
như sau:
**
1*1*
CTxy
BuTATxTx

(1.20)
Từ không gian cân bằng trên, mô hình bậc thấp có thể tìm được bằng
cách loại bỏ các trị riêng ít đóng góp vào sự tạo dựng mối quan hệ giữa đầu
vào và đầu ra của hệ.
Phương pháp cân bằng nội cũng đã được phát triển đối với bài toán cần
phải xem xét theo tư duy hệ kín. Cụ thể, Jonekheere và Silverman đã chứng
minh tính bất biến theo hệ tọa độ của tập giá trị riêng đặc trưng cho hệ trong
cấu trúc vòng kín và đề xuất mô hình giảm bậc đối với bộ bù trừ động học
[19]; Mustafa và Glover đề xuất một sự kết hợp giữa phương pháp cân bằng
nội với phương pháp H để xác định tham số bộ điều khiển giảm bậc và đề
xuất phương án bù trừ trong miền tần số [28].
1.3.5 Các phương pháp sử dụng phép gần đúng tối ưu
Thay vì tìm mô hình giảm bậc mô hình bảo toàn các giá trị riêng quan
trọng của mô hình gốc bậc cao, người ta có thể bỏ qua điều kiện bảo toàn đó

và chọn các tham số của một mô hình có bậc cụ thể chọn trước (giảm bậc) sao
cho trước tác động của tín hiệu đầu vào, đáp ứng của mô hình giảm bậc gần
đúng tối ưu (theo nghĩa nào đó), với đáp ứng của mô hình gốc. Cũng có thể
thực hiện quá trình gần đúng tối ưu trong miền tần số nếu như là một sự lựa
chọn thích hợp với nhu cầu cụ thể.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

15
Nhiều tác giả đề xuất áp dụng tiêu chí gần đúng khác nhau theo miền
thời gian. Anderson đề xuất phương pháp hình học trên cơ sở phép chiếu trực
giao, mô hình giảm bậc tìm được là mô hình tối thiểu hóa tích phân bình
phương các sai số [1], Shinha và Pille đề xuất phương pháp sử dụng ma trận
tựa nghịch đảo để tìm mô hình giảm bậc trên cơ sở tổi thiểu hóa tổng bình
phương sai số tại những điểm lấy mẫu khác nhau giữa các đáp ứng. Các tiêu
chuẩn gần đúng tối ưu khác cũng được đề xuất áp dụng như Shinha và đồng
tác giả [37]; Banaler và đồng tác giả [3]; Bistritz và Lanholtz [4]. Elliott và
Wolovich đề xuất một quy trình tối ưu theo miền tần số, có giá trị đối với hệ
đa biến [11].
Nói chung, các mô hình giảm bậc thu được bằng phương pháp tối ưu
phù hợp với mô hình gốc hơn so với các mô hình thu được bằng phương pháp
ghép hợp. Và về mặt tính toán, do sử dụng hiệu quả các phương pháp tính số
tối ưu nên sẽ giảm được đáng kể số lượng tính toán. Tuy nhiên, không có gì
để đảm bảo rằng các mô hình giảm bậc này khi được sử dụng làm đối tượng
được điều khiển thì phần tử điều khiển có thể đạt được tối ưu. Thêm vào đó,
không có mối liên hệ trực tiếp giữa các trạng thái của mô hình giảm bậc với
các trạng thái của mô hình gốc bậc cao.
1.3.6 Phương pháp tối ưu theo trạng thái
Từ các điều kiện cần đối với quá trình tối ưu theo tiêu chí L
2

áp dụng
với sai số đầu ra (hệ phương trình thu được từ việc cho đạo hàm bậc nhất của
hàm tiêu chí theo các biến số bằng không), Hyland và Bernstein đã phát hiện
thấy sự tồn tại một phép chiếu tối ưu [17]. Qua các thành phần cấu thành phép
chiếu tối ưu đó, quan hệ giữa tham số của mô hình giảm bậc được xác lập
theo các tham số của mô hình gốc. Hơn nữa, điều kiện để mô hình giảm bậc
có tính điều khiển và kiểm tra đối với một mô hình gốc điều khiển và quan sát
được cũng được xác lập qua điều kiện về hạng của các ma trận thích hợp và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

16
hai phương trình Lyapunov biến dạng ghép nhau trong hệ phương trình chiếu
tối ưu (OPEQ). Ý nghĩa của việc xác định các điều kiện cần theo tiêu chí tối
ưu L
2
đối với bài toán giảm bậc mô hình dưới dạng OPEQ nằm ở tính đa
nghiệm của bài toán tối ưu vì hiệu quả của việc ghép hai phương trình
Lyapunov biến dạng trong OPEQ có thể thấy giống như kết quả của một điều
kiện ràng buộc thêm với tiêu chí L
2
. Từ đó, điều kiện đủ đối với bài toán giảm
bậc mô hình có thể thu được, khi áp dụng cả tiêu chí L
2
và điều kiện giới hạn
H đinh trước [18]. Tuy nhiên, khi áp dụng OPEQ do Hyland và Bernstein
phát triển sẽ gặp rất nhiều khó khăn, trở ngại. Thứ nhất, nhu cầu biết trước
tham số của mô hình gốc bậc cao đòi hỏi thực hiện quá trình nhận hệ động
học trước khi tiến hành giảm bậc. Thứ hai, mô hình gốc yêu cầu phải ổn định
và phải đồng thời điều khiển và quan sát được, nhưng thực tế hệ động học sau

khi nhận dạng có thể gồm cả phần bất ổn định hoặc không điều khiển, kiểm
tra đồng thời. Thứ ba, tín hiệu đầu vào đảm bảo kích thích liên tục, trong khi
tín hiệu đầu vào thực tế ở dạng bất kỳ. Thứ tư, ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi
các trạng thái của mô hình gốc không được bảo lưu ở các trạng thái của mô
hình giảm bậc. Thêm vào đó là khó khăn gắn với mục tiêu tính toán do phải
tách hai phương trình Lyapunov biến dạng mà việc tách riêng biệt hai phương
trình biến dạng ghép không dễ dàng vì phép chiếu tối ưu ghép hai phương
trình biến dạng có bản chất xiên.
Nhằm vượt qua ba trở ngại nêu đầu tiên ở trên, San và Nath [36] đã đề
xuất phương pháp mới xây dựng OPEQ để xác định tham số của mô hình
giảm bậc. Ý tưởng của phương pháp nằm ở chỗ xem bài toán L
2
giảm bậc
như bài toán nhận dạng hệ động học trong trường hợp bậc thấp hơn bậc thực
tế nhưng xác lập đối với sai số đầu vào [37]. Từ các điều kiện cần để thu được
sự khác biệt nhỏ nhất giữa tham số của mô hình giảm bậc và tham số của một
mô hình giả định, một phép chiếu tối ưu được phát hiện. Thông qua các thành

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

17
phần của phép chiếu, các tham số của mô hình giảm bậc được xác lập theo
các tham số của mô hình giả định. Các điều kiện về hạng của những ma trận
tương ứng và hai phương trình Lyapunov biến dạng cũng được xác lập. Mặc
dù phương pháp này tránh được khâu nhận dạng hệ động học, nhưng OPEQ
do San và Nath xác lập vẫn phải đối mặt với phép chiếu xiên, trở ngại chính
làm phức tạp và khó khăn trong thực tiễn tính toán.
Khó khăn đó có thể vượt qua khi chọn phương pháp tối ưu theo trạng
thái do San đề xuất [35]. San đã phát hiện thấy sự tồn tại ánh xạ không đồng
dạng giữa véc tơ trạng thái của mô hình gốc với các véc tơ trạng thái của mô

hình giảm bậc. Từ đó, qua việc thừa số hóa ánh xạ không đồng dạng, thay vì
phép chiếu tối ưu xiên, phép chiếu tối ưu trực giao được xác lập và OPEQ đối
với bài toán giảm bậc của mô hình có dạng mới, đơn giản hơn. Hiệu ứng của
phép thừa số hóa ánh xạ không đồng dạng đã được tác giả chứng minh có tác
dụng như đã dùng thêm một điều kiện ràng buộc nữa thêm vào quá trình giải
hệ có các phương trình điều kiện Lyapunov ghép với nhau. Tuy nhiên, tầm
quan trọng của phương pháp do San đề xuất trong quá trình xây dựng OPEQ
nằm ở chỗ bảo toàn được ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái mong
muốn của hệ gốc trong các trạng thái của mô hình giảm bậc.
1.4 Kết luận
Một mô hình đối tượng hay bộ điều khiển phức tạp, bậc cao thì sẽ gây
khó khăn cho việc thiết kế hệ thống điều khiển. Vì vậy, việc giảm bậc mô
hình để thu được mô hình đơn giản hơn mà vẫn đảm bảo sai số trong phạm vi
cho phép đồng thời bảo toàn một số đặc tính quan trọng của hệ gốc như tính
ổn định và thụ động có ý nghĩa lớn.
Các phương pháp khác nhau tìm mô hình giảm bậc đối với một mô
hình đối tượng hoặc bộ điều khiển phức tạp, bậc cao đều có những ưu điểm,
hạn chế riêng và được sử dụng theo nhu cầu một cách thích hợp. Trong đó,