Luận án Bài toán parabolic ngược

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ MINH TRIẾT
BÀI TOÁN PARA BOLI C NGƯC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 62 46 01 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG VÀ PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN
Tp. Hồ Chí Minh - 201 4
1
Mục lục
Một số kí hiệu được dùng trong luận án 4
Lời nói đầu 5
1 Một số kết quả sử dụng trong luậ n án 16
1.1 Các không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Đònh lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Tích chập và biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Khai triển sin Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc
thời gian trong miền không bò chặn 28
2.1 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và phụ thuộc vào
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
2.1.3 Ví dụ minh họa trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và
phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.4 Ví dụ mi nh ho ï a trườ ng hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và
phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic
không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic
phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc
thời gian trong miền bò chặn 71
3.1 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.2 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và phụ thuộc vào
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.3 Ví dụ minh họa trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và
phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
3.1.4 Ví dụ mi nh ho ï a trườ ng hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và
phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic
không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic
phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ
thuộc vào không gian và thờ i gian 121
4.1 Biến đổi bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Chỉnh hóa bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Kết luận 135
Danh mục công trình công bố củ a tác giả 137
Tài liệu tham khảo 138
5
Lời nói đầu
Hiện nay, bài toán ngược là một bà i toán có nhiều ứng dụng trong khoa học
và đời sống. Trong thực tế, chúng ta có rất nhiều loại bài toán ngược như: bà i
toán t ru y e à n nhiệt ngược, bài toán tán xạ ngược, bài toán biên ngược, bài toán
hình học (xem trong tài liệu [24]). Khi xét các bài toán ngược, ta có thể chia
làm hai loại là bài toán chỉnh (well-pos e d problem ) và bài toán không chỉnh
(ill-posed problem) dựa vào đònh nghóa của Hadamard. Theo Hadamard, chúng
ta có đònh nghóa bài toán chỉnh như sau:
Với X, Y là các không gian đònh chuẩn, K : X → Y là một ánh xạ (tuyến
tính hoặc phi tuyến). Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các tính
chất sau
• Tính tồn tại nghiệm: Với mọ i y ∈ Y tồ n tại (ít nhất một) x ∈ X sao cho
Kx = y.
• Tính duy nhất nghiệm: Với mọi y ∈ Y tồn tại nhiều nhất một x ∈ X sao
cho Kx = y.

• Tính ổn đònh nghiệm: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y; nghóa là, với
mọi dãy x
n
∈ X sao cho Kx
n
→ Kx thì ta suy ra x
n
→ x.
Một phương trình không thỏa (ít nhất) một trong ba tính chất trên được gọi là
không chỉnh. Thực tế, tính chỉnh hay không chỉnh của một bài toán phụ thuộc
vào nhiều yếu tố ví dụ như dữ liệu của bài toán (xem ví dụ 1.14 trang 10 trong
[24]) hoặc không gian nghiệm của bài toán (xem ví dụ 1.15 trang 11 trong [24]).
Khi một bài toán là không chỉnh, từ một sai số nhỏ trong dữ liệu do đo đạc có
thể dẫn đến sự khác biệt rất lớn của nghiệm bài to á n nếu nghiệm tồn tại. Chỉnh
hóa bài toán này là đưa ra nghiệm xấp xỉ ổn đònh cho nó. Đây là một công
việc cần thiết. Một trong những bài toán kho â ng chỉnh được khảo sát khá nhiều
là bài toán parabolic ngược thời gian hay cò n gọi là bài toán giá trò cuối. Tổng
6
quát, chúng ta có bài toán ngược t hơ ø i gian cho phương trình paraboli c nhằm tìm
hàm u : [0, T ] → H thỏa mãn
u
t
+ A(t)u = f(t, u(t)), t ∈ (0, T ), (1)
u(T ) = g, (2)
trong đó A(t) là toán tử tuyế n t ính, xác đònh dương trong không gian H thích
hợp, f là một hàm cho trước và g là dữ liệu của bài toán. Chúng ta có thể khái
quát lại lòch sử nghiên cứu bài toán (1)-(2) nhằ m đưa ra hướng nghiên cứu mới
và chọn phương pháp nghiên cứu hiệu quả áp dụng vào bài toá n.
Bắt đầu từ năm 1967, Lattes và Lion [62] đã khảo sát bài toán (1)-(2) t ro ng
trường hợp thuần nhất (f = 0) và toán tử A(t) ≡ A không phụ thuộc vào thời

gian
u
t
+ Au = 0, t ∈ (0, T ), (3)
u(T ) = g, (4)
với t o á n tử A tuyến tính, tự liên hợp, dương tro ng kho â ng gi an Hi l be rt H đồng
thời đề xuất phương pháp quasi-reversibility (QR) để chỉnh hóa bài toán. Ý
tưởng chính của phương pháp QR là t he â m một lượng chỉnh hóa thích hợp vào
phương trình chính của bài toán. Phương pháp QR sau này đượ c áp dụng trong
nhiều bài báo có khác biệt so với phương pháp QR lần đầu được Lattes và Lions
sử dụng nhưng ý tưởng được bắt nguồn từ phiên bản gốc nên các tác giả t ro ng
bài báo [9, 22] gọi phươ ng pháp được sử dụng là phương pháp QR có điều chỉnh.
Trong tài liệu [62], Lattes và Lions đã sử dụng lượng chỉnh hóa A − αA
2
với
α = α(ε) là tham số chỉnh hóa phụ thuộc vào sai số dữ liệu ε sao cho α(ε) → 0
khi ε → 0 để thay thế cho toán tử A ban đầu. Từ đó, các tác giả xét bài toán
chỉnh hóa như sau
v

α
(t) + Av
α
(t) −αA
2
v
α
(t) = 0, t ∈ (0, T ), (5)
v
α

(T ) = g, (6)
7
với A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H. Sau đó, v
α
(0) sẽ được
sử dụng làm điều kiện đầu cho nghiệm u
α
của phương trình (3). Tiếp theo, các
tác giả xét bài toán
u

α
(t) + Au
α
(t) = 0, t ∈ (0, T ), (7)
u
α
(0) = v
α
(0), (8)
và sử dụng u
α
(t) làm nghiệm xấp xỉ cho nghiệ m của bài toán (3)-(4). Tuy
nhiên, các tác giả chỉ khẳng đònh u
α
(T ) hội tụ về g khi α → 0 mà không đề
cập đến tốc độ hội tụ của các u
α
(t) với t < T .
Sau đó, vào năm 1973 Miller [30] đã tổng quát hóa phương pháp QR bằng

một phương pháp mà tác giả gọi là phương pháp stabilized quasi-reversibility
(SQR) để chỉnh hóa bài toán (3)-(4) trong trường hợp thuần nhất. Cụ thể, Miller
khảo sát bài toán chỉnh hóa như sau
v

α
(t) + f
α
(A)v
α
(t) = 0, t ∈ (0, T ), (9)
v
α
(T ) = g, (10)
với α = α(ε) là tham số chỉnh hóa phụ thuộc vào sai số dữ liệu ε và f
α
(A)
thỏa m o ä t số đie à u kiện cho trước sao cho có thể sử dụng làm lượng chỉnh hóa
tối ưu cho toán tử A.
Năm 1974, Showalter [42] khảo sát bài toán (3)-(4) trong trường hợp toán
tử A là toán tử tuyến tính, trội cực đại và dựa vào phương pháp QR đưa ra một
dạng bài toán chỉnh hóa khác với Lattes và Lions
v

α
(t) + αAv

α
(t) + Av
α

(t) = 0, t ∈ (0, T ), (11)
v
α
(T ) = g. (12)
Sau đó, v
α
(0) được sử dụng làm điều kiện đầu cho nghiệm u
α
của phương
trình (3) và xét bài toán tương tự bài toán (7)-(8). Trong [42], Showalter đã
chứng minh rằng lim
α→0
u
α
(T ) = g. Hơn nữa, nếu tồn tại một nghiệm chính
xác u của bài toán (3)-(4) thì nghiệm xấp xỉ u
α
và các đạ o hàm cấ p m của
8
nghiệm xấp xỉ là u
(m)
α
lần lượt hội tụ đều về nghiệm chính xác u và đạo hàm
u
(m)
của bài toán giá trò cuối (3)-(4). Đây là điểm cải tiến hơn so với kết quả
trong tài liệu [62] của Lattes và Lions.
Cùng khảo sát bài toán (3)-(4), Clark và Oppenheimer [11], Denche và
Bessila [13] đã sử dụng phương pháp quasi-boundary value (QBV) để chỉnh hóa
bài toán. Ý tưởng chính của phươ ng phá p QBV là thêm một lượng chỉnh hóa

thích hợp vào điều kiện biên theo thời gian. Ý tưởng này được Showalter đề
xuất vào năm 1985 trong [43]. Cụ thể, trong [11] Clark và Oppenheimer đã sử
dụng điều kiện
u
ε
(T ) + εu
ε
(0) = g.
Trong [13], Denche và Bessila đã sử dụ ng điều kiện
u
ε
(T ) − εu

ε
(0) = g.
Từ đo ù , các tác giả kế t hợp phư ơ ng t rình chính ban đầu với đ i e à u kiện biên
theo thời gian đã được thay thế để có được bài toán chỉnh hóa và thu được
nghiệm chỉnh hóa ổn đònh cho bài toán ban đầu.
Từ năm 1998 đến nay, nhiều tác giả đã nghiên cứu bài toán parabolic
ngược phi tuyến (3)-(4) bằng các phương pháp khác nhau như Alekseeva với
phương pháp QR trong bài báo [6], Đặ ng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn với
phương pháp SQR trong bài báo [48] và phương pháp chặt cụt chuỗi trong [51],
Nguyễn Huy Tuấn và đồng tác giả với phương pháp chỉnh hóa trực tiếp trên
dạng nghiệm trong [52], Phan Thành Nam với phương pháp chặt cụt chuỗi trong
[31] và Nguyễn Huy Tuấn với phương pháp QR có điều chỉnh trong [56].
Với toán tử A(t) = −∆, bài toán (1)-(2) trở thà nh bài toán ngược thời gian
cho phương trình nhiệt với hệ số hằng như sau
u
t
(x, t) −u

xx
(x, t) = f(x, t, u), t ∈ [0, T ), (13)
u(x, T ) = g(x), (14)
là một bài toán đã được khảo sát nhiều gần đây.
9
Trong mie à n kho â ng bò chặn R, bài toán (13)-(14) t ro ng trường hợp nguồn
nhiệt thuần nhất f = 0 đã được nghiên cứu bằng nhiề u phương pháp khác nhau
bởi các tác giả như Fu và các đồng tác giả [15] với phương pháp chặt cụt tích
phân, Qian và các đồ ng tác giả [37 ] với phư ơ ng phá p chỉnh hóa trư ï c t i e á p trên
dạng nghiệm, Đinh Nho Hào và đồng tác giả [19] vơ ù i phương pháp mollification,
Rashidinia và đồng tác giả [40] với phương pháp chặt cụt tích phân, Wang và
các đồng tác giả [59] với phương pháp chỉnh hóa Shannon Wavelet, Tổng quát
hơn, bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt phi tuyế n đã được nghiên
cứu bởi các tác giả như Nguye ã n Huy Tuấn và đ o à ng tác giả đã vơ ù i phương pháp
chặt cụt tích phân trong bài báo [53] và phương pháp QBV có điều chỉnh trong
bài báo [54], Phạm Hoàng Quân và đồng tác giả trong bài báo [36].
Trong miền bò chặn, bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt thuần
nhất f = 0 đã được nghiê n cứu bởi Nguyễn Huy Tuấn và đồng tác giả trong
bài báo [55] với phương pháp QR điều chỉnh bắt nguồn từ ý tưởng của Clark và
Oppenheimer trong bài báo [11]. Tiếp theo, Nguyễn Huy Tuấn và các đồng tác
giả nghiên cứu tiếp tục nghiên cứu bài toán (13)-(14) trong trườ ng hơ ï p ngu o à n
nhiệt không thuần nhất (f = 0) bằng phương pháp QR trong bài báo [46] và
phương pháp chặt cụt chuỗi trong bài báo [49]. Tổng quát hơn, Phạm Hoàng
Quân, Đặ ng Đức Trọng và các đo à ng tác giả [35, 38, 47] cũng đã chỉnh hóa
bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt phi tuyế n. Ngoài ra, bài toán
(13)-(14) còn được xét trong trường hợp hai chiều [0, π] ×[0, π] bởi Nguyễn Huy
Tuấn và đồng tác giả [50], Phan Thành Nam và các đồng tác giả [32].
Với trường hợp toán tử A trong bài toán (3)-(4) phụ thuộc vào thời gian
nghóa là A ≡ A(t), bài toán (3)-(4) trở thành
u

t
+ A(t)u = 0, t ∈ (0, T ), (15)
u(T ) = g. (16)
Bài toán (15)-(16) tổng quát hơn bài toán (3)-(4) và hiện nay được chú ng
tôi và một số tác giả khác nghiên cứu khảo sát. Dù vậy, the o sự tìm kiếm của
10
chúng tôi số lượng bài báo nghiên cứu trường hợp toán tư û A phụ thuộc vào thời
gian ít hơn rất nhiều so với trường hợp t o á n tử A không phụ thuộc vào thời
gian. Bắt đầu từ bài báo của Krein [25] năm 1957, tác giả đã nghiên cứu bài
toán (15)-(16) và sử dụng phương pháp log-convexity để đưa ra ước lượng sai số
dạng H

older. Sau đó, phương pháp này được phát triển bởi Agmon và Nirenberg
[4, 61] và các tác giả đã đưa ra đánh giá sai số
u(t) ≤ c u(T )
µ(t)
u(0)
1−µ(t)
trong đó c là một hằng số dương. Năm 2011, Đinh Nho Hào và Nguyễ n Văn
Đức [21] đã sử dụng phương pháp non-local boundary value method (phương
pháp này đã được sử dụng trong các bài báo [18, 20]) để chỉnh hóa bài toán
thuần nhất (15)-(16) (f ≡ 0) và đưa ra đánh giá sai số dạng H

older với s o á mũ
của sai số được cải thiện hơn so với kết quả của Agmon và Nirenberg.
Với trường hợp bài toán không thuần nhất (f = 0), Nguyễn Thò Ngọc Oanh
[34] xét hệ
∂u
∂t
−

n

i=1
∂
∂x
i

a
i
(x, t)
∂u
∂x
i

+ a(x, t)u = f, (x, t) ∈ Ω ×[0, T ),
u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω ×[0, T ),
u(x, T ) = g(x), x ∈ Ω,
trong đó Ω là một ô (tích các khoảng mở) trong R
n
, n = 2, 3. Tác giả đã sử
dụng phương pháp gradie nt lie â n hợp với một bước dừng được cho ï n thích hợp
nhằm tính toán nghi e ä m xấp xỉ của bài toán. Tuy nhi e â n, trong [34] tá c gi ả đã
viết:
We note that the question of the convergence rate of the method
when noise level, s pace and time-st e p sizes approach zero, as for
most general ill-posed problems, is open and out of the scope of this
paper.
11
Như vậy, trong [34] tác giả đã không đề cập đến ước lượng sai số cụ thể
giữa nghiệm xấp xỉ và nghi e ä m chính xác của bài toá n mà chỉ đưa ra một nghiệm

xấp xỉ có thể tính to á n số được bằng một phép lặp cho bởi phương pháp gradient
liên hợp đồng thời đưa ra một số ví dụ trong các trường hợp cụ thể minh họa
cho tính hiệu quả của phép lặp.
Từ những liệt kê các bài toán liên quan đến phương trình parabolic đã được
khảo sát từ trước đến nay, chúng tôi thấy rằng bài toán ngược thời gian cho
phương trình parabolic với trường hợp hệ số dẫn nhiệt không phụ thuộc biến
thời gian t đã được khảo sát rất nhiều tuy nhiên số lượng công trình nghiên
cứu t rư ơ ø ng hơ ï p he ä số dẫn nhi e ä t phụ thuộ c t rất ít và hạn chế nên vấn đề mà
chúng tôi khảo sát trong luận án này là có tính mới mẻ. Cụ thể, trong luận án
chúng tôi sẽ tập trung khảo sát và chỉnh hóa một trường hợp cụ thể của bài
toán parabolic ngược là bài toán ngược thờ i gian với hệ số dẫn nhiệt loại này.
Trong thực tế, sự truyền nhiệt của một vật phụ thuộc vào nhiều yếu tố trong đó
có yếu tố quan trọng nhất là vật liệu. Ngoài ra, mỗi vật liệu thì có hệ số dẫn
nhiệt khác nhau và các vật liệu cũ ng có sự biến đổi theo thời gian do các yếu tố
khác nhau ví dụ như hao mòn, oxy hóa, nên hệ số đó sẽ phụ thuộc và o môi
trường (không gian) và thời gian. Mục đích chính của chú ng tôi khi khảo sát
bài toán là nghiên cứu chỉnh hóa bài toán ngược cho phương trình parabolic với
hệ so á dẫn nhie ä t phụ thuo ä c t, đưa ra đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chỉnh
hóa và nghiệm chính xác đồng thời tiế n hành các thực nghiệm tính toán nhằm
minh họa cho các kết quả chỉnh hóa. Cụ thể, trong chươ ng 2 và 3 chúng tôi xét
trường hợp hệ số dẫn nhiệt a = a(t). Vì vậy, như đã nói ở trên vật liệu của
vật the å truyền nhiệt có thể bò biến đổi do tác động của môi t rư ơ ø ng nên hệ số
dẫn nhiệ t mà chu ù ng t a có đư ơ ï c cũng không chính xác. Do đó, chúng tôi khảo
sát thêm trường hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhie ã u khi xét bài toán parabolic ngược
thời gian thuần nhất ở tiểu mục 2.1.2 và 3.1.2. Trong chương 4, chúng tôi chỉnh
hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic với hệ số dẫn nhiệt
a = a(x, t) và nguồn nhie ä t ở vế phải là một hàm phi tuyến f(x, t, u, u
x
, u
xx

).
12
Đây là kết quả chỉnh hóa cho mộ t trường hợp tổng quát và khó mà bước đầu
chúng tôi đang tiếp cận và sẽ t i e á p tục khảo sát kó hơn trong tương lai.
Với lòch sử nghiên cứu bài toán đã phân tích ở trên, ta thấy rằng các phương
pháp được sử dụng để khảo sát bài toán parabolic ngược rất đa dạng. Ta có thể
khái quát lại các cách xử lí như sau
1. Phương pháp tác động trực tiếp trên bài toán: ta thêm một lượng chỉnh
hóa thích hợp vào phương trình chính hoặc điều kiện bie â n theo thời gian
(phương pháp QR hoặc QR điều chỉnh, SQR, QBV, ) rồi giải bài toán để
tìm nghiệm xấp xỉ.
2. Phương pháp tác động trực tie á p trên dạ ng nghi e ä m của bà i toán: ta the â m
một lượng chỉnh hóa thích hợ p hoặc chặt cụt nhữ ng tần số gây nên sự
không ổ n đònh vào trong dạ ng nghiệm chính xác của bài toán (phương
pháp chặt cụt, phương pháp chỉnh hóa Fourier, phương pháp QBV điều
chỉnh, ) từ đó ta có ngay nghiệm xấp xỉ.
3. Phương pháp gián tiếp: ta xấp xỉ dữ kiện hoặc thu hẹp không gian để bài
toán ban đầu trở nên chỉnh (phương pháp molli f i c a t i o n của tác giả Đinh
Nho Hào).
4. Phương pháp tính toán số: ta đưa ra các dãy lặp để tìm nghiệm xấp xỉ
của bài toán cụ thể như các phương pháp Landweber, phương pháp lặp,
phương pháp gradient liên hợp
Ngoài ra, khi a = a(t) trong tài liệu [10] trang 15 tác giả có đưa ra phương
pháp sử dụng một phép đổi biến đơn giản nhằm đưa phư ơ ng trình parabolic với
hệ số phụ thuộc thời gian về dạng phương trình nhiệt với hệ số hằng (tác giả gọi
là ``equation reducible to the heat equation"). Theo phư ơ ng pháp này, xét hàm
µ(t) =

t
0

a(s)ds thì µ(·) là hàm đơn điệu tăng ngặt trong [0, µ(T )]. Sử dụ ng
phép đổi bi e á n v(x, µ(t)) = u(x, t), ta có thể đưa bài toá n (2.1)-(2.2) về dạng
13
bài toán nhiệt ngư ơ ï c với hệ so á hằng. Tuy nhiên, khi xét bài toán trong trường
hợp tổng quát hơn như: nguo à n nhiệt không thuần nhất, phi tuyến và hệ số dẫn
nhiệt bò nhiễu, phụ thuộc vào không gian và thời gian thì phương pháp tiếp
cận này khó áp dụng. Vì lí do đó, t ro ng luận án chúng tôi đònh hướng sử dụng
phương pháp tác động trực tiếp trên dạng nghiệm của bài toán và chủ yếu dùng
3 loại phương pháp chỉnh hóa sau: phương pháp chặt cụt tích phân, phương pháp
chặt cụt chuỗi, phương pháp QBV có điều chỉnh để chỉnh hóa bài toán ngược
thời gian cho các loại phương trình parabolic từ đơn giản đến phức tạp như các
trường hợp thu ầ n nhất, không thuần nhất và phi tuyến với hệ số dẫn nhiệt không
hằng trong miền không bò chặn R và miền bò chặ n [0, π]. Cụ thể, luận án được
chia làm 4 chương chính.
Chương 1: Chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản và bất đẳng thức
cần thiết cho quá trình chứng minh các kết quả trong luận án.
Chương 2: Chúng tôi khảo sát các bài toán sau
Bài toán 1: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất
với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bò chặn R
u
t
(x, t) = a(t)u
xx
(x, t), (x, t) ∈ R ×[0, T ),
u(x, T ) = g(x), x ∈ R,
với a(·) ∈ C[0, T ] thỏa mãn điều kiện tồn tại p, q > 0 sao cho
0 < p ≤ a(t) ≤ q,
với mọi t ∈ [0, T ] và g ∈ L
2
(R). Khi xét bài toán 1, chúng tôi đồng thời khảo

sát hai trường hợp hệ số dẫn nhi e ä t a(·) chính xác và bò nhiễu.
Bài toán 2: B à i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không
thuần nhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bò chặn R
u
t
(x, t) −a(t)u
xx
(x, t) = f (x, t), (x, t) ∈ R ×[0, T ),
u(x, T ) = g(x), x ∈ R,
14
với a(·) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L
2
(R) và f(·, t) ∈ L
2
(R), ∀t ∈ [0, T ]
thỏa một số điều ki e ä n cho trước.
Bài toán 3: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến
với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bò chặn R
u
t
(x, t) −a(t)u
xx
(x, t) = f(x, t, u), (x, t) ∈ R × [0, T ),
u(x, T ) = g(x), x ∈ R,
với a(·) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L
2
(R) và f là hàm Lipschitz toàn
cục theo u thỏa f (·, t, 0) ∈ L
2
(R), ∀t ∈ [0, T ].

Chương 3: Chúng tôi khảo sát các bài toán sau
Bài toán 4: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất
với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bò chặn [0, π]
u
t
(x, t) = a(t)u
xx
(x, t), (x, t) ∈ (0, π) ×[0, T ),
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ],
u(x, T ) = g(x), x ∈ (0, π),
với a(·) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L
2
(0, π).
Bài toán 5: B à i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không
thuần nhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bò chặn [0, π]
u
t
(x, t) −a(t)u
xx
(x, t) = f (x, t), (x, t) ∈ (0, π) ×[0, T ),
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ],
u(x, T ) = g(x), x ∈ (0, π),
trong đó a(·) được cho như trong bài toán 1 và g ∈ L
2
(0, π) và f (·, t) ∈
L
2
(0, π), ∀t ∈ [0, T ].
Bài toán 6: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến
15

với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bò chặn [0, π]
u
t
(x, t) − a(t)u
xx
(x, t) = f (x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ (0, π) × [0, T ),
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ],
u(x, T ) = g(x), x ∈ (0, π),
trong đó a(t) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L
2
(0, π) và f là hàm Lipschitz
toàn cục theo u thỏa f(·, t, 0) ∈ L
2
(0, π), ∀t ∈ [0, T ]. .
Chương 4: Chúng tôi khảo sát bài toán sau
Bài toán 7: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến
với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào không gian và thời gian trong miền không bò
chặn R
u
t
(x, t) −a(x, t)u
xx
(x, t) = f (x, t, u, u
x
, u
xx
), (x, t) ∈ R ×[0, T ),
u(x, T ) = g(x), x ∈ R,
trong đó a, f, g là các hàm cho t rư ơ ù c lần lượt thỏa mãn các điều kiện (i)-(iii)
sau

i) Tồn tại p, q > 0 sao cho
0 < p ≤ a(x, t) ≤ q,
với mọi (x, t) ∈ R × [0, T ].
ii) Tồn tại L > 0 không phụ thuộc vào x, t, u
1
, v
1
, w
1
, u
2
, v
2
, w
2
thỏa mãn
|f(x, t, u
1
, v
1
, w
1
) − f (x, t, u
2
, v
2
, w
2
)| ≤ L(|u
1

− v
2
| + |v
1
− v
2
| + |w
1
− w
2
|),
với mọi (x, t, u
1
, v
1
, w
1
), (x, t, u
2
, v
2
, w
2
) ∈ R × [0, T ] × (L
2
(R))
3
.
iii) Với mọi t ∈ [0, T ], ta có
f(·, t, 0, 0, 0) ∈ L

2
(R).
iv) g ∈ L
2
(R).
16
Chương 1
Một số kết quả sử dụng trong luận á n
Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản và bất đẳng
thức cần thiết cho luận án.
1.1 Các không gian hàm cơ bản
Ta kí hiệu Ω là một tập đo được trong R
k
.
Đònh nghóa 1.1.1. (Đònh nghóa không gian L
p
(Ω))
Cho f đo được trên Ω. Nếu |f|
p
(1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω ta đònh nghóa
f
L
p
(Ω)
=


Ω
|f|
p

dx

1
p
.
Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f|
p
(1 ≤ p < ∞) k h a û tíc h trên Ω gọi là
L
p
(Ω).
Đònh lí 1.1.1. (L
p
(Ω), .
L
p
(Ω)
) là một không gi a n Banach.
Trong luậ n án này để ngắ n gọn, ta kí hi e ä u chuẩn t ro ng không gian L
2
(R)
và L
2
(0, π) lần lượt là .
2
và ..
Đònh nghóa 1.1.2. Cho tập mở Ω ⊆ R
k
, k ∈ N. Ta đặt
L

1
loc
(Ω) =

f : Ω → R đo được : f ∈ L
1
(ω) vớ i mọi ω ⊆ R
k
thỏa
ω l a ø tập compăc chứa trong Ω}
17
Đònh nghóa 1.1.3. (Đạo hàm suy rộng)
Cho f ∈ L
1
loc
(Ω), α = (α
1
, , α
k
) ∈ Z
k
, α
i
≥ 0 (i = 1, , k). Hàm
g
α
∈ L
1
loc
(Ω) gọi là đạo hàm riêng suy rộng thứ α của f nếu


Ω
fD
α
ϕdx = (−1)
|α|

Ω
g
α
ϕdx,
với mọi ϕ ∈ C
∞
c
(Ω). Ở đây, |α| = α
1
+ + α
k
và D
α
ϕ =
∂
|α|
ϕ
∂x
α
1
1
∂x
α

k
k
.
Đònh nghóa 1.1.4. (Không gian Sobolev)
Với m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, ta đònh nghóa
W
m,p
(Ω) = {f ∈ L
p
(Ω) : D
α
f ∈ L
p
(Ω), |α| ≤ m}
với chuẩn f 
W
m,p
(Ω)
=


|α|≤m
D
α
f
p
L
p
(Ω)


1
p
.
Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu H
m
(Ω) = W
m,2
(Ω).
Đònh lí 1.1.2. Không gian H
m
(Ω) là không gian Hilb ert với tích vô hướng
f, g =

|α|≤m

Ω
D
α
fD
α
gdx.
Đònh lí 1.1.3. Cho T > 0 và X là k h o â n g gian Banach với chuẩn .
X
. K h o â n g gian
C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm tất cả những hàm liên tục u : [0, T ] → X
với chuẩn u
C([0,T ];X)
= sup
t∈[0,T ]
u(t)

X
.
1.2 Đònh lí ánh xạ co
Đònh lí 1.2.1. Cho X là một không gian Banach với chuẩn .
X
, M là một tập
hợp đóng trong không gian X, ánh xạ f : M → M sao cho tồn tại 0 < k < 1
f(x
1
) − f (x
2
)
X
≤ k x
1
− x
2

X
với mọi x
1
, x
2
trong M. Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm bất động của f,
nghóa là có duy nhất phần tử x
0
∈ M sao cho f(x
0
) = x
0

.
18
1.3 Tích chập và biến đổi Fouri er
Đònh nghóa 1.3.1. Cho f ∈ L
1
(R) và g ∈ L
2
(R), ta đònh nghóa tích chập
(f ∗g)(x) =
1
√
2π
+∞

−∞
f(x − y)g(y)dy (x ∈ R),
và biến đổi Fourier
Ff(ω) =
1
√
2π
+∞

−∞
f(x)e
−iωx
dx (ω ∈ R).
Trong toàn bộ luận án này chúng tôi kí hiệu Ff là biến đổi F o u ri e r của
hàm f được đònh nghóa như trong đònh nghóa 1.3.1.
Tính chất 1.3.1. (Các tính chất cơ bản)

i) Nếu f ∈ L
1
(R) và g ∈ L
1
(R) (hoặc g ∈ L
2
(R)) thì f ∗ g ∈ L
1
(R) (hoặc
L
2
(R)) và
F(f ∗g)(ω) = Ff(ω)Fg(ω).
ii) Nếu f ∈ L
1
(R) và các đạo hàm của f là f

, , f
(m)
∈ L
1
(R), m ∈ N thì
F(f
(m)
)(ω) = (iω)
m
Ff(ω).
iii) (Đònh lí Plancherel)
Nếu f ∈ L
2

(R) thì Ff
2
= f
2
với .
2
là chuẩn trong không gian L
2
(R).
1.4 Khai triển sin Fourier
Cho hàm f ∈ L
2
(0, π). Đặt

f(x) =



f(x), 0 < x < π
−f(−x), −π < x < 0
19
thì

f ∈ L
2
(−π, π), ta có các hệ số Fourier
a
n
=
1

π
π

−π

f(x) cos(nx)dx = 0,
b
n
=
1
π
π

−π

f(x) sin(nx)dx =
2
π
π

0
f(x) sin(nx)dx,
và ta có khai triển
f =
∞

n=1
b
n
sin(nx).

Đây là khai triển trực giao của f theo họ {sin(nx)} trong không gian
L
2
(0, π). Khai triển này gọi l à khai tri e å n sin Fourier. Khi đó, ta có đẳng
thức sau gọi là đẳng thức Parseval
f
2
=
π
2
∞

n=1
|b
n
|
2
,
với . là chuẩn trong không gian L
2
(0, π).
1.5 Một số bất đẳng thức
Đònh lí 1.5.1. (Bất đẳng thức Holder) (xem trong [1])
Cho f, g đo đ ư ơ ï c trên một tập đo đ ư ơ ï c Ω,
1
p
+
1
q
= 1, 1 < p, q < ∞. Nếu

f ∈ L
p
(Ω), g ∈ L
q
(Ω) thì

Ω
|fg|dx ≤



Ω
|f|
p
dx


1
p



Ω
|g|
q
dx


1
q

.
Đònh lí 1.5.2. (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman) (xem trong [8])
Cho T > 0, C
1
, C
2
≥ 0 và λ(.) ∈ L
1
(0, T ) thỏa λ ≥ 0 hầu khắp nơi. Giả sử
ϕ ∈ L
1
(0, T ) và ϕ ≥ 0 hầu khắp nơi sao cho λϕ ∈ L
1
(0, T ).
i) Nếu ϕ(t) ≤ C
1
+ C
2
t

0
λ(s)ϕ(s)ds hầu khắp nơi tro n g (0, T ) thì ta có
ϕ(t) ≤ C
1
e
C
2
t
R
0

λ(s)ds
20
hầu khắp nơi trong (0, T ).
ii) Nếu ϕ(t ) ≤ C
1
+ C
2
T

t
λ(s)ϕ(s)ds hầu khắp nơi trong (0, T ) thì ta có
ϕ(t) ≤ C
1
e
C
2
T
R
t
λ(s)ds
hầu khắp nơi trong (0, T ).
Bổ đề 1.5.1. Cho 0 < ε < M và g(x) =
1
εx + e
−xM
, x ≥ 0. Khi đó, ta có
g(x) ≤
M
ε(1 + ln(
M

ε
))
≤
M
ε ln(
M
ε
)
,
với mọi x ≥ 0.
Chứng minh.
Ta có đạo hàm của hàm g như sau
g

(x) =
Me
−xM
− ε
(εx + e
−xM
)
2
. (1.1)
Khi đó, phương trình g

(x) = 0 có nghiệm x
0
=
1
M

ln(
M
ε
). Hơn nữa,
g

(x) > 0 với mọi x ∈ [0, x
0
) và g

(x) < 0 với mọi x ∈ (x
0
, +∞). Từ đó, ta
suy ra
g(x) ≤ g(x
0
) = g

1
M
ln

M
ε

=
M
ε

1 + ln(

M
ε
)

≤
M
ε ln

M
ε

,
với mọi x ≥ 0.
Kết thúc chứng minh.
Bổ đề 1.5.2. C h o 0 ≤ t ≤ s ≤ M, 0 < ε < M, ω ∈ R và M
0
= max{1; M},
chúng ta có các bất đẳng thư ù c sau
i)
e
(s−t−M)ω
2
εω
2
+ e
−Mω
2
≤ M
0


ε ln(
M
ε
)

t−s
M
,
ii)
e
−tω
2
εω
2
+ e
−Mω
2
≤ M
0

ε ln(
M
ε
)

t−M
M
.
21
Chứng minh.

i) Ta có
e
(s−t−M)ω
2
εω
2
+ e
−Mω
2
=
e
(s−t−M)ω
2
(εω
2
+ e
−Mω
2
)
s−t
M
(εω
2
+ e
−Mω
2
)
M+t−s
M
≤

e
(s−t−M)ω
2
(e
−Mω
2
)
M+t−s
M
(εω
2
+ e
−Mω
2
)
s
M
−
t
M
=
1
(εω
2
+ e
−Mω
2
)
s
M

−
t
M
.
Áp dụng bổ đề 1.5.1 với x = ω
2
, ta được
e
(s−t−M)ω
2
εω
2
+ e
−Mω
2
≤

M
ε ln

M
ε


s
M
−
t
M
≤ M

0

ε ln

M
ε

t−s
M
,
với M
0
= max{1; M}.
ii) Thế s = M vào phần (i), chúng ta có
e
−tω
2
εω
2
+ e
−Mω
2
≤ M
0
(ε ln

M
ε
)


t −M
M
.
Kết thúc chứng minh.
Bổ đề 1.5.3 . Cho ε > 0, ta giả sử rằng a
ε
, a là hai hàm dương thỏa mãn
a
ε
− a
C[0,T ]
≤ ε, b
ε
là mo ä t số dương phụ thuộc vào ε sao cho lim
ε→0
b
ε
= +∞
và lim
ε→0
εb
2
ε
= 0. Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0; δ) thì
|e
R
s
t
ω
2

(a
ε
(r)−a(r))dr
− 1| ≤ 2T εb
2
ε
với mọi 0 ≤ t ≤ s ≤ T và ω ∈ [−b
ε
; b
ε
].
Chứng minh.
Do điều kiện a
ε
− a
C[0,T ]
≤ ε, ta co ù
|a
ε
(r) − a(r)| ≤ a
ε
− a
C[0,T ]
≤ ε,
với mọi r ∈ [0, T ].
Suy ra
−ε ≤ a
ε
(r) − a(r) ≤ ε.
22

Nên
−εT ≤ −ε(s − t) ≤

s
t
(a
ε
(r) − a(r))dr ≤ ε (s −t) ≤ εT.
Vì vậy, ta được
e
−εT b
2
ε
− 1 ≤ e
−εT ω
2
− 1 ≤ e
ω
2
R
s
t
(a
ε
(r)−a(r))dr
− 1 ≤ e
εT ω
2
− 1 ≤ e
εT b

2
ε
− 1.
Do đó, ta suy ra
|e
ω
2
R
s
t
(a
ε
(r)−a(r))dr
− 1| ≤ h
ε
(t) = max{



1 − e
−εT b
2
ε



; |e
εT b
2
ε

− 1|}.
Ta cũng có
lim
ε→0
|e
−εT b
2
ε
− 1|
| − εT b
2
ε
|
= 1,
lim
ε→0
|e
εT b
2
ε
− 1|
|εT b
2
ε
|
= 1.
Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0, δ) thì
|e
−εT b
2

ε
− 1|
| − εT b
2
ε
|
≤ 2,
|e
εT b
2
ε
− 1|
|εT b
2
ε
|
≤ 2.
Nên
|e
−εT b
2
ε
− 1| ≤ 2εT b
2
ε
,
|e
εT b
2
ε

− 1| ≤ 2εT b
2
ε
.
Cuối cùng, ta được
|e
ω
2
R
s
t
(a
ε
(r)−a(r))dr
− 1| ≤ h
ε
(t) ≤ 2εT b
2
ε
.
Kết thúc chứng minh.
Bổ đề 1.5.4. Tồn tại δ > 0 sao cho





√
ε


ln
1
ε

1
2
< 1,
ε
3
4

ln
1
ε

3
2
< 1,
với mọi ε ∈ (0, δ).
23
Chứng minh.
Ta có lim
ε→0
√
ε

ln

1
ε


1
2
= 0, nên tồn tạ i δ

> 0 sao cho
√
ε

ln

1
ε

1
2
< 1
với mọi ε ∈ (0, δ

).
Ta cũng có lim
ε→0
ε
3
4

ln

1
ε


3
2
= 0, ne â n tồn tại δ

> 0 sao cho ε
3
4

ln

1
ε

3
2
<
1 với mọi ε ∈ (0, δ

).
Chọn δ = min{δ

; δ

}, ta có






√
ε

ln
1
ε

1
2
< 1,
ε
3
4

ln
1
ε

3
2
< 1,
với mọi ε ∈ (0, δ).
Kết thúc chứng minh.
Bổ đề 1.5.5. Cho x ∈ R, λ > 0, 0 ≤ a ≤ b, và b = 0. Khi đó, ta có
e
xa
1 + λe
xb
<λ
−

a
b
. (1.2)
Chứng minh.
Ta có
e
xa
1 + λe
xb
=
e
xa
(1 + λe
xb
)
a
b
(1 + λe
xb
)
1−
a
b
≤
e
xa
(1 + λe
xb
)
a

b
≤ λ
−
a
b
.
Kết thúc chứng minh.
Bổ đề 1.5.6. Cho α ≥ 0, 0 < β < 1, γ > 0 v a ø a(t) là hàm thỏa mãn điều kiện
tồn tại p, q > 0 sao cho
0 < p ≤ a(t) ≤ q, (1.3)
với mọi t ∈ [0, T ]. Khi đó, với mọi m ≥ 1 ta có
24
i)
e
−m
2
(F (t)+α)
β+e
−m
2
(F (T )+α)
≤ β
q(t−T )
pT +α
,
ii)
βe
−m
2
(F (t)+α)

β+e
−m
2
(F (T )+α)
≤ β
pt+α
qT +α
,
iii)
βe
−m
2
(γ+α)
β+e
−m
2
(F (T )+α)
≤ β
γ+α
qT +α
,
trong đó F (t) =

t
0
a(s)ds, 0 ≤ t ≤ T.
Chứng minh.
i) Áp dụng bổ đề 1.5.5 với λ =
1
β

, ta có
e
−m
2
(F (t)+α)
β+e
−m
2
(F (T )+α)
=
1
β

e
−m
2
(F (t)+α)
1+
1
β
e
−m
2
(F (T )+α)

≤
1
β

1

β

−
F (t)+α
F (T )+α
=

1
β

c(t)
, (1.4)
với c(t) =
F (T ) − F (t)
F (T ) + α
.
Từ (1.3), ta có
F (T ) ≥
T

0
pds = pT,
F (T ) − F (t) =
T

t
a(s)ds ≤
T

t

qds = q(T −t).
Vì vậy, ta có c(t) ≤
q (T −t)
pT +α
. Do đó, từ (1.4) ta được
e
−m
2
(F (t)+α)
β+e
−m
2
(F (T )+α)
≤ (
1
β
)
q(T −t)
pT +α
= β
q(t−T )
pT +α
.
ii) Do (1.4), ta có
βe
−m
2
(F (t)+α)
β+e
−m

2
(F (T )+α)
≤ β

1
β

c(t)
= (β)
1−c(t)
.
25
Sử dụng điều kiện (1.3), ta có đánh giá
1 − c(t) =
F (t) + α
F (T ) + α
,
≥
pt + α
qT + α
.
Do 0 < β < 1, ta suy ra
βe
−m
2
(F (t)+α)
β+e
−m
2
(F (T )+α)

≤ β
pt+α
qT +α
.
iii) Áp dụng bổ đề 1.5.5 với λ =
1
β
, ta có
βe
−m
2
(γ+α)
β+e
−m
2
(F (T )+α)
=
e
−m
2
(γ+α)
1+
1
β
e
−m
2
(F (T )+α)
≤


1
β

−
γ+α
F (T )+α
= β
γ+α
F (T )+α
.
Áp dụng điều kiện (1.3), ta được
γ + α
F (T ) + α
≥
γ + α
qT + α
.
Do 0 < β < 1, ta suy ra
βe
−m
2
(γ+α)
β+e
−m
2
(F (T )+α)
≤ β
γ+α
qT +α
.

Kết thúc chứng minh.
Bổ đề 1.5.7. Tồn tại δ > 0 sao cho









√
εln

1
ε

< 1,
ε
3
4
ln

1
ε

< 1,
ε
3
4


ln

1
ε

2
< 1,
với mọi ε ∈ (0, δ).