TOÀN VĂN Về nhóm tuyến tính trên vành chia hữu hạn địa phương yếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
oOo


TRỊNH THANH ĐÈO




VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA
HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU



LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC


Chuyên ngành:
Đại số và lý thuyết số

Mã số chuyên ngành:
62 46 05 01

Phản biện 1:
GS.TS. Nguyễn Văn Sanh

Phản biện 2:
PGS.TS. Mỵ Vinh Quang
Phản biện 3:
TS. Nguyễn Viết Đông

Phản biện độc lập 1:
GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường

Phản biện độc lập 2:
TS. Phó Đức Tài



Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. BÙI XUÂN HẢI




TP. HỒ CHÍ MINH - 2012
Lời cảm ơn
Trước tiên, tác giả luận án xin gởi lời cảm ơn trân trọng đến người thầy
đáng kính, P GS .TS . Bùi Xuân Hải, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ
tác gi a û trong su o á t quá trình ho ï c tập tư ø đại học, đến c a o học va ø nghiên cứu
sinh.
Xin cám ơn anh Mai Hoàng Biên đã cùng tham gia nhóm nghiên cứu của
tác giả và có những đóng góp quan trọng cho các kết quả của luận án.
Xin cám ơn TS. Nguyễn Viết Đông và TS. Trần Ngọc Hội đã nhiệt tình
giúp đỡ tác giả trong việc thực hiện các chuyên đề nghiên cứu sinh.
Xin cám ơn GS.TS. Đặng Đức Trọng (trưở n g khoa Toán - Tin học) đã tạo
điều kiện tốt để tác giả hoàn thành chương trình nghiên cứ u sinh.
Xin c a ù m ơn các thầy cô và đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giả
hoàn thành luận án của mình.
Xin c a ù m ơn cá c anh c h ò thuộc Phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp.HCM đã nhiệt tình giúp đỡ và chỉ dẫn các thủ

tục l i ê n quan đến công việc học tập của nghiên cứu sinh và các thủ tục bảo
vệ l u a ä n án.
Xin được gởi lời cảm ơn trân trọng đến thầy Võ Văn Phú (giáo viên trường
THPT Hồ Thò Kỷ, Tp. Cà Ma u , tỉ n h Cà Mau) đã giúp cho tác giả co ù n i ề m
đam mê học toán v a ø hình th a ø n h nhân c a ù c h học toán c u û a tác gi a û .
Cuối cùng, xin gửi lời tri ân đến gia đ ì n h , bè bạn, người thân và đồng
nghiệp đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác.
TÁC GIẢ LUẬN ÁN
2
Mục lục
Lời c am đoan 1
Lời c ả m ơn 2
Bảng ký hiệu 4
Phần giớ i thiệ u 5
Chương 1. Các kiến thức mở đầu 8
1.1 Các khái niệm và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Về các lớp vành chia không giao hoán . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Một số kết quả cổ điển liên quan đến luận án . . . . . . . . . 11
Chương 2. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia 14
2.1 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chi a kiể u 2 . . . . . . . . . . 14
2.2 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chi a hữu hạn đòa phương yếu 29
Chương 3. Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia 32
3.1 Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Nhóm tuyến tính tối đại căn trên tâm . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận củ a luận án 48
Đề xuất của luận án 50
Danh mục các công trình của tác giả 51
Các bá o cáo tại các Hội nghò, Hội thảo 51
Tài l i ệ u tham khảo 52

3
Chương 1.
Các kiến thức mở đầu
Trong chươ ng này, chúng tôi sẽ đưa ra một số khái niệm và ký hiệu liên
quan đến l u ậ n án. Bên cạnh đó, chúng tôi cũ ng phát biểu lại một số đònh lý
cổ đ i e å n của lý thu y e á t vành chia được áp dụng nhiều trong luận án như Đònh
lý Wedderburn-Artin, Jacobson, Kaplansky, Cartan-Brauer-Hua, Đònh lý tâm
hóa tử kép, . . .
1.1 Các khái ni ệ m và ký hiệu
Trong toàn bo ä luận án, chú ng tô i ký hie ä u D là vành chia và F là tâm của D,
[D : F ] là chiều cu û a D (như là không gian vectơ) trên F . Ký hiệu D
∗
và
D

:= [D
∗
, D
∗
] tương ứng là nhóm nhân của D và đạo nhóm của nhóm nhân.
Nếu S là tập con khác rỗng của D thì ta ký hiệu F [S] và F (S) tương ứng là
vành con và vành chia con của D sinh bởi S trên F . Nếu S là tập con khác
rỗng của M
n
(D) thì F [S] là vành con của M
n
(D) sinh bởi S trên F .
Ta nói rằng vành chia D là hữu hạn tâm nếu D là không gian vectơ hữu
hạn chie à u trên tâm của nó; D hữu hạn đòa phương nếu với mọi tập con hữu
hạn S của D, vành chia con F(S) của D là không gian vectơ hữu hạn chiều

trên F . Nếu a là một phần tử thuộc D thì ta có m ơ û rộng trường F ⊆ F (a).
Ta nói a đại số trên F nế u mơ û rộng trường này là mở rộng hữu hạn. Một tập
con S = Ø của D đ ư ơ ï c gọi là đại số trên F nếu mọi phần tử t hu o ä c S đều
đại số trên F . Vành chia D được gọi là đại số trên tâm (nói ngắn gọn là đại
số) nếu mọi phần tử thuộc D đều đại số trên tâm F. Ta cũng ký hiệu N
D/F
8
và RN
D/F
lần lượt là chuẩn và chuẩn rút gọn của D trên F . M o ä t phần tử
x ∈ M
n
(D) được gọi là căn trên một vành con K của M
n
(D) nếu tồn tại
n(x) nguyê n dương sao cho x
n(x)
∈ K. Một tập con S khác rỗng của M
n
(D)
được go ï i là căn trên K nếu mọi phần tử thuộc S đ e à u căn trên K. Do tâm
của vành M
n
(D) là tập hợp F I = {xI : x ∈ F }
∼
=
F , vớ i I là ma trận đơn
vò, nên trong luận án này chúng tôi đồng nhất F I với F .
Cho G là một nhóm và X là một tập con của G, ký hiệu C
G

(X) và
N
G
(X) lần lượt là tâm hóa tử và chuẩn hóa tư û của X trong G. Ta luôn dùng
ký hiệu Z(G) để chỉ tâm của G. Vớ i R là một vành, ký hiệu R
∗
là tập hợp
tất cả các phần tử khả nghòch của R và Z(R) là tâm của R.
Các ký hiệu và khái niệm được dùng trong tài liệu này là chuẩn và được
sử dụng nhiều trong các tài liệu về lý thuyết nhóm, vành, trường, nhóm con
trong vành chia và nhóm tuyến tính tre â n vành chia, chẳng hạn như trong [6],
[8], [18], [22], [32], . . .
1.2 Về các lớp vành chi a không giao hoán
Theo đònh nghóa, rõ ràng lớp các vành chia hữu hạn tâm chứa trong các lớp
vành chia hữu hạn đòa phương; lớp các vành chia hữu hạn đòa phương chứa
trong l ơ ù p các vành chia đại số. Trong ([22], p.220-221) có một ví dụ chứng
tỏ tồn tại một vành chia hữ u hạn đòa phương nhưng không hữu hạn tâm. Liệu
lớp vành chia đại số có thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phương hay
không? Năm 1941, A. Kurosh (xem [21]) đã đưa ra giả thuyết rằng “mọi vành
chia đ a ï i số đều hữu hạn đòa phương”. Giả thuyết này còn được biết với tên
“Bài toán Kurosh về vành chia”. Bài toán Kurosh về vành chia đến nay vẫn
chưa có câu trả lời, nhưng đã có một s o á kết quả chứng minh rằng bài toán
này đú ng trong một số trường hợp đặc biệt như: F kho â ng đếm được (xem
[30]); F hữu hạn (xem [22]); F có hữu hạn trường mở rộng đại số, nói riêng
cho trường hợp F đóng đại số (xem [9], [20]).
9
Trong tài liệu này, chúng tôi xét hai lớp vành chi a mới là lớp vành chia
kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu như sau:
Đònh nghóa 1.1. Cho D là vành chia tâm F . Ta nói D là vành chia ki ể u 2
nếu với mọi x, y thuộc D, vành chia co n F (x, y) của D là không gian vectơ

hữu hạn chiều trên F .
Đònh nghóa 1.2. Ta nói vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi
tập con hữ u hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu
hạn tâm.
Lớp vành chia kiểu 2 đã được S. Akbari và M. Mahdavi-Hezavehi đònh
nghóa năm 2002 trong [5]. Rõ ràng, lớp vành chia này chứa lớp vành chi a
hữu hạn đòa phương, và là lớp vành chia con của lớp vành chia đại số. Việc
chứng t o û lớp vành chia kiểu 2 có phải là lớp vành chia trung gian thực sự của
các lớp vành chia hữu hạn đòa phương và đại số hay không là một vấn đề
khó, điều này liên quan đe á n Bài to á n Kuros h đã trình bày ở trên. Lớp vành
chia hữ u hạn đòa phương yếu là lớp vành chia do chúng tôi đònh nghóa trong
quá t rình nghiên cứu. Sở dó có tên gọi như vậy vì lớp vành này là mở rộng
của lớp vành hữu hạn đ òa phương thông qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3 . Mo ï i vành chia con của vành chia hữu hạn tâm đều hữu hạn tâm.
Chứng minh. Giả sử D là vành chia hữu hạn tâm, với tâm F . Khi đó ta có
thể xem D như là vành chia con của vành ma trận M
n
(F ). Theo Đònh lý
Amitsur-Levitzki ([1], Theorem 1), M
n
(F ) thỏa mãn đồng nhất thức đa thức
chuẩn S(x
1
, . . . , x
2n
), trong đó
S(x
1
, . . . , x
n

) =

σ∈S
n
sgn(σ)x
σ(1)
. . . x
σ(n)
là đa thức chuẩn theo n biến x
1
, . . . , x
n
. Do đó mo ï i vành chia con của D
cũng thỏa S(x
1
, . . . , x
2n
). Bây giờ, áp dụng ([18], Theorem 6.3.1, p.157) ta
được điều phải chứng minh.
10
Dựa vào đònh lý trên ta thấy rằng, nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương
thì với mọi tập con hư õ u hạn S của D, ta có vành chia con F (S) của D là hữu
hạn tâ m , nên vành chia con sinh bởi S cũng hữu hạn tâm. Do đó mọi vành
chia hữu hạn đòa phương đều là hữu hạn đòa phương yếu. Trong Chương 2,
chúng tôi xâ y dựng ví dụ chứng tỏ lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu
thực sự chư ù a lớ p vành chia hữu hạn đòa phương (Mệnh đề 2.13).
Hầu hết các kết quả đạt được của luận án đều là mở rộng của các kết
quả đã có đối với lớp vành chia hữu hạn tâm le â n lớp vành chia kiểu 2 và
lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu, và thậm chí có một số kết quả được
mở rộng lên lớp vành chia tổng quát. Như đã thảo luận ở trên, các mở rộng

này là t hư ï c sự mạ nh và có nhiều ý nghóa trong việc khảo sát lý thuye á t nhóm
tuyến tính trên vành chia nói chung, và nhóm con của nhóm nhân t re â n vành
chia nói ri e â ng.
1.3 Một số kết quả cổ điển liên quan đến luận án
Để tiện cho việc theo dõi luận án, trong mục này chúng tôi phát biểu lại một
số kết quả co å điển củ a lý thuyết vành và lý thuyế t vành chia được sử dụng
nhiều t ro ng luận án, như các đònh lý: Jacobson, Kaplansky, Cartan-Brauer-
Hua, Poincaré, . . .
Đònh lý 1.4 (Đònh lý tâm hóa tử kép-Centralizer Theorem). Cho B là vành
con của vành đơn A sao ch o K := Z(A) ⊆ Z(B) và n := [B : K] hữu hạn.
Khi đó:
i) C
A
(B) ⊗
K
M
n
(K)
∼
=
A ⊗
K
B
op
, trong đo ù B
op
là đối vành của vành B;
ii) C
A
(B) là vành đơn;

iii) Z(C
A
(B)) = Z(B);
iv) C
A
(C
A
(B)) = B;
11
v) Nếu L := Z(B) và r := [L : K] thì A ⊗
K
L
∼
=
M
r
(B ⊗
L
C
A
(B)).
Tài liệu dẫn: Xe m ([8], p.42). 
Đònh lý 1.5 (C o â ng thư ù c tháp -Tower Fo rm u l ae ). Cho L là một trường mở
rộng hữu hạn trên trường F và A là một L-đại số hữ u hạn chiều. Khi đó , nếu
α ∈ A thì N
A/K
(α) = N
L/K
(N
A/L

(α)).
Tài liệu dẫn: Xe m ([8], p.144). 
Để tiện theo dõ i đònh lý tiếp theo, chúng tôi phát bie å u lại đònh nghóa vành
Artin nư û a đơn như sau:
Đònh nghóa 1.6. Cho R là vành và M là một R-môđun (trái). Khi đó:
i) M được gọi là R-môđun đơn nếu M = 0 và M chỉ có hai R-môđun con
là (0) và M;
ii) M được gọi là R-môđun nửa đơ n ne á u M là tổ ng trực tiếp của các R-
môđun con đơn của nó;
iii) R được gọi là vành nửa đơn Artin nếu R là R-môđun nửa đ ơ n.
Tài liệu dẫn: Xe m ([22], p.26-28). 
Đònh lý 1.7 (Đònh lý Wedderburn-Artin). Cho R là một vành nửa đơn Artin.
Khi đó, tồn tại các số nguyên dương n
1
, . . . , n
r
và các vành chia D
1
, . . . , D
r
sao c h o
R
∼
=
M
n
1
(D
1
) × ···× M

n
r
(D
r
).
Số r xác đònh duy nhất, các cặp (n
1
, D
1
), . . . , (n
r
, D
r
) cũng xác đònh duy nhất
(sai khác một hoán vò).
Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (3.5), p.35). 
Đònh lý 1.8 (Đònh lý Burnside thứ nhất). Cho K là một trường đặc trưng p ≥ 0
và G là một nhó m con của GL
n
(K). Nếu G có số mũ N < ∞ và p  N thì
|G| < N
n
3
< ∞.
Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (9.4), p.151). 
12
Đònh lý 1.9 (Đònh lý Jacobson). C h o D là một vành chia đại số trên trường
hữu h a ï n F . Khi đó D giao hoán (và do đó D là một trường mở rộng đại số
của F ).
Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (13.11), p.219). 

Đònh l y ù 1 .1 0 (Đ ònh lý Cartan-Brau e r-Hua). Cho D là một vành chia v a ø K
là vành chia con của D. Khi đó, nếu nhóm nhân K
∗
chuẩn tắc trong D
∗
thì
K = D hoặc K ⊂ Z(D).
Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (13.17), p.222). 
Đònh lý 1.11 (Bổ đề Kaplansky). Giả sử F  K là một mở rộn g trườn g và
P là trường con nguyên tố của F . Khi đó, nếu mỗi a ∈ K đều căn trên F thì
CharF = p > 0. Đồng thời, hoặc K là mở rộng thuần túy không tách được
trên F hoa ë c K đại số trên P .
Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (15.13), p.258). 
Đònh lý 1.12 (Đònh lý Kaplansky). Nếu D là vành chia căn trên tâm của nó
thì D giao hoán.
Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (15.15), p.259). 
Đònh l y ù 1 .1 3 (Đònh lý Poincaré). Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m của
nhóm G đ ề u chứa một nhóm con chuẩn tắc của G với chỉ số hữu hạn là bội
số c u û a m và l a ø ươ ù c số của m!.
Tài liệu dẫn: Xe m ([19], (13.2.2), p.83). 
Nhận xét 1.14. Ta dễ thấy rằng, mọi vành chia đều là một đại số trên tâm
của nó. Do đ o ù , trong luận án này (cũng như trong các tài liệu về vành chia),
ta có the å đo à ng nhất hai khái niệm vành chia và đại số chia.
13
Chương 2.
Nhóm tuyến tính bậ c 1 trên vành chia
Nhóm tu y e á n tính bậc 1 trên vành chi a D là nhóm con của nhóm nhân
D
∗
= GL

1
(D) nên các kết quả liên quan đến nhóm t u y e á n tính bậc 1 trên
vành chia D chính là các kết quả liên quan đến nhóm con của D
∗
. Cá c đònh
lý được phát biểu và chứng m i nh trong chương này đều là các kết quả mới,
đã được chúng tôi trình bày trong các bài báo [11] và [12].
2.1 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia kiểu 2
Mục đích chính của mục này là chứng minh rằng trong một vành chia kiểu
2 không giao hoán, không tồn tại nhóm con hữu hạn sinh chứa tâm. Và tiếp
theo là khảo sát các nhóm con cu û a D
∗
thỏa mãn điều kiện căn trên một vành
chia con thực sự của D. C á c kết quả chúng tôi thu được trên lớp vành chia
kiểu 2 là mở rộng của các kết quả trên vành chia hữu hạn tâm, nhưng chúng
chưa tư ø ng được mở rộng lên cho lớp vành chia hữu hạn đòa phương. Do đo ù ,
mặc dù chưa chứng minh được sự khác nhau giữa l ơ ù p vành chia kiểu 2 và
lớp vành chia hữ u hạn đòa phương nhưng những kết quả mới nhận được trong
mục này cũng thực sự có ý nghóa, vì ít nhất là nó mang lại những sự hiểu
biết mới về lớp vành chia hữu hạn đòa phương.
Bổ đề 2.1. Cho D là vành chia tâm F , L là v a ø n h chia co n của D và chứa
F . Giả sử L là khôn g gian vectơ hữu hạn c h i ề u trên F và a ∈ L. Khi đó,
N
L/F
(a) xoắn khi và chỉ khi N
F (a)/F
(a) xoắn.
14
Chứng minh. Đặt K = Z(L) ⊇ F , m
2

= [L : K] và n = [K(a) : K]. Do
([8], Bổ đề 3, tr.145 và Hệ quả 4, tr.150), ta có
N
L/K
(a) = [RN
L/K
(a)]
m
= [N
K(a) /K
(a)]
m
2
/n
.
Bằng cách áp dụng Công thức thá p cho chuẩn (xem [8]), đẳng thức trên suy
ra
N
L/F
(a) = [N
K(a) /F
(a)]
m
2
/n
.
Do a ∈ F (a) nên N
K(a) /F (a)
(a) = a
k

, với k = [K(a) : F (a)]. Do đó
N
F (a)/F
(a
k
) = N
F (a)/F
(N
K(a) /F (a)
(a)) = N
K(a) /F
(a).
Từ đó nhận được
N
L/F
(a) = [N
F (a)/F
(a)]
km
2
/n
,
và như vậy bổ đề đã được chứng minh.
Mệnh đề 2.2. Nếu D là vành chia tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắ c của
D
∗
thì Z(N) = N ∩F
∗
.
Chứng minh. Nếu N chứa trong F

∗
thì rõ ràng Z(N) = N ∩F
∗
. Như vậy, ta
có thể giả sử N không chứa trong F . Dễ dàng chứng minh N ∩F
∗
⊆ Z(N).
Do ([31], 14.4.2, tr. 439) ta được C
D
(N) = F . Do đó Z(N) ⊆ N ∩ F
∗
. Như
vậy, Z(N ) = N ∩ F
∗
.
Trong [25], Mahdavi-Hezavehi đã chứ ng minh rằng, nếu D là vành chia
hữu hạn tâm thì Z(D

) là hữu hạn. Từ kết quả này, Mahdavi-Hezavehi cũng
đưa ra một câu hỏ i là “nếu D đại số trên tâm thì Z(D

) có là nhóm xoắn hay
không?” Câu hỏi này đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Bằng cách khảo sát
lớp vành chia kiểu 2, ta nhận được kết quả sau:
Đònh ly ù 2.3. Nếu D là và n h chia kiểu 2 thì Z(D

) là nhóm xoắn.
15
Chứng minh. Do Mệnh đề 2.2, Z(D


) = D

∩ F
∗
. Do đó, mọi phần tử
a ∈ Z(D

) đều biểu diễ n đươ ï c dướ i dạng
a = c
1
c
2
. . . c
r
, với c
i
= [x
i
, y
i
], x
i
, y
i
∈ D
∗
, i ∈ {1, . . . , r}.
Đặt D
1
= D

2
:= F (c
1
, c
2
), D
3
:= F (c
1
c
2
, c
3
), . . ., D
r
:= F (c
1
. . . c
r−1
, c
r
)
và F
i
= Z(D
i
) với i ∈ {1, . . . , r}. Do D ki e å u 2 nên [D
i
: F ] < ∞.
Do N

F (x
i
,y
i
)/F
(c
i
) = 1 nên từ Bổ đề 2.1 suy ra N
F (c
i
)/F
(c
i
) là phần tử
xoắn. Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.1, ta được N
D
i
/F
(c
i
) xoắn. Do đó tồn tại
số n
i
nguyên dương sao cho N
D
i
/F
(c
n
i

i
) = 1. Chú ý rằng, do D
2
= D
1
nên
N
D
2
/F
(c
1
c
2
)
m
= N
D
2
/F
(c
1
)
m
N
D
2
/F
(c
2

)
m
= 1,
với m = n
1
n
2
. Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.1 ta có N
F (c
1
c
2
)/F
(c
1
c
2
) xoắn, từ đó
N
D
3
/F
(c
1
c
2
) cũng xoắn. Bằng quy nạp toán học, suy ra N
D
r
/F

(c
1
. . . c
r−1
)
xoắn.
Giả sử N
D
r
/F
(c
1
. . . c
r−1
)
n
= 1. Khi đó
N
D
r
/F
(a
n
) = N
D
r
/F
(c
1
. . . c

r−1
)
n
N
D
r
/F
(c
r
)
n
= 1.
Do đó a
n[D
r
:F ]
= 1, hay a là phần tử xoắn. Như vậy Z(D

) là nhóm xoắn.
Hệ quả 2.4. Cho D là vành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F . Khi đó
D

\ Z(D

) không chứ a phần tử thuần túy không tách được trên F .
Chứng minh. Giả sử a ∈ D

\ Z(D

) là phần tử thuần túy không tách được

trên F . Khi đó, CharF = p > 0 và tồn tại số nguyên dương m sao cho
a
p
m
∈ F . Từ Z(D

) = D

∩ F (do Mệnh đề 2.2) t a suy ra a
p
m
∈ Z(D

).
Do Đònh lý 2.3, tồn tại số nguyên dương r sao cho a
rp
m
= 1. Ký hiệu k là
cấp của phần tử a trong nhóm D
∗
. Nế u k chia hết cho p t hì tồ n tại t nguyên
dương sao cho k = pt. Khi đó
1 = a
k
= a
pt
= (a
t
)
p

.
16
Do đó a
t
= 1, điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn của k. Như vậy ta có thể
giả sử k không chia hết cho p. Khi đó, k và p
m
nguyên tố cùng nhau, nên
tồn tại các số nguyên α và β sao cho αk + βp
m
= 1. Do đó
a = a
αk+βp
m
= (a
k
)
α
(a
p
m
)
β
= (a
p
m
)
β
∈ F.
Như vậy a ∈ F ∩ D


= Z(D

), là điều mâu thuẫn. Do đó ta đượ c điều phải
chứng minh.
Đònh ly ù 1 trong [4] đã khẳng đònh rằng, nếu vành chia D hữu hạn tâm và
D
∗
hữu hạn s i nh thì D giao hoán. Bằng cách áp dụng Đònh lý 2.3, chúng tôi
mở rộng kết quả trên bằng cách khảo sát và nh chia D kiểu 2 và nhận được
kết quả sau:
Đònh ly ù 2.5. Cho D là vành chia ki ể u 2 không giao hoán với tâm F và N là
nhóm con của D
∗
chứa F
∗
. Kh i đo ù N không hữu hạ n sinh.
Chứng minh. Giả sử N = x
1
, . . . , x
n
 là nhóm con hữu hạn sinh của D
∗
và
chứa F
∗
. Khi đó, do ([31], 5.5.8, p. 113), F
∗
N


/N

là nhóm abel hữu hạn
sinh, với N

là đạo nhóm của N.
Trường hợp 1. Nếu Char(D) = 0 thì F chứa trường Q các so á hữu tỷ,
do đó Q
∗
/(Q
∗
∩ N

)
∼
=
Q
∗
N

/N

được xem như là nhóm con của nhóm abel
F
∗
N

/N

hữu hạn sinh nên nó cũng hữu hạn sinh. Xét một phần tử bất kỳ

a ∈ Q
∗
∩ N

. Khi đó a ∈ F
∗
∩ D

= Z(D

). Do Đònh lý 2.3, a là phần
tử xoắn. Do a ∈ Q nên a = ±1. Như vậy Q
∗
∩ N

là nhóm hữu hạn. Do
Q
∗
/(Q
∗
∩N

) hữu hạn sinh, nên Q
∗
là hư õ u hạn sinh. Đâ y là điều mâu thuẫn.
Trường hợp 2. Nếu Char(F ) = p > 0 thì ta ký hiệu F
p
là trườ ng con
nguyên tố của F. Ta sẽ chứng minh rằng trường F đại số trên F
p

. Thật vậy,
giả sử u ∈ F là phần tử siêu việt trên F
p
. Khi đó, nhóm F
p
(u)
∗
/(F
p
(u)
∗
∩N

)
được xem như là nhó m con của nhóm abe l hữu hạn sinh F
∗
N

/N

nên nó cũng
hữu hạn sinh. Xét phần tử bất kỳ f(u)/g(u) ∈ F
p
(u)
∗
∩N

, với f (X), g(X) ∈
F
p

[X], ((f (X), g(X)) = 1 và g(u) = 0. Tương tự như trong chứng minh trên,
17
tồn tại s nguyên dương sao cho f(u)
s
/g(u)
s
= 1. Do u là phần tử siê u vie ä t
nên f (u)/g(u) ∈ F
p
. Do đó F
p
(u)
∗
∩ N

hữu hạn, ke ù o the o F
p
(u)
∗
hữu hạn
sinh. Từ đây suy ra F
p
(u) là trường hữu hạn, là đie àu mâu thuẫn. Như vậy
trường F đ ạ i số trên F
p
, và do đó D đại số trên F
p
. Do Đònh l y ù Jacobson
([22], (13.11), p. 219) ta được D giao hoán, là điều mâu thuẫn.
Vậy đònh lý đã được chứng minh.

Từ Đònh lý 2.5 (với chú ý rằng, nếu nhóm nhân của một trường là hữu
hạn si nh thì trường đó hữu hạn) ta được kết quả sau, được xem như là trường
hợp tổng quát của Đònh lý 1 trong [25]:
Hệ quả 2.6. Cho D là vành chia kiểu 2. Nếu nhóm nhân D
∗
là hữu hạn sinh
thì D là trường hữu hạn.
Nếu nhóm nhân D
∗
có một nhóm con tối đại hữu hạn sinh thì D
∗
là nhóm
hữu hạn sinh, nên t ư ø Hệ quả 2.6 ta được kết quả sau:
Hệ quả 2.7. Ch o D là vành chia kiểu 2. Nếu nhóm nh a â n D
∗
có mộ t nhóm
con tối đại hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn.
Hệ quả 2.8. Cho D là vành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F và S là
nhóm con của D
∗
. Đặ t N = SF
∗
. Kh i đó nhóm thương N/N

không hữu hạn
sinh.
Chứng minh. Giả sử N/N

hữu hạn sinh. Từ N


= S

và F
∗
/(F
∗
∩ S

)
∼
=
S

F
∗
/S

suy ra F
∗
/(F
∗
∩ S

) là nhóm abel hữu hạn sinh. Tương tự chứng
minh của Đònh lý 2.5 ta được D giao hoán. Đây là điều mâu thuẫn.
Từ Hệ quả 2.8 ta có ngay kết quả sau:
Hệ quả 2.9. Nếu D là vành c h i a kiểu 2 khôn g giao hoán thì D
∗
/D


không
hữu hạn sinh.
Để chứ ng minh đònh lý tiếp theo, ta cần tính chất hữu ích sau đây của
vành chia kiểu 2.
18
Bổ đề 2.10 . Cho D là vành chia kiểu 2 v ơ ù i tâm F và N là nhóm con á chuẩn
tắc của D
∗
. Nếu với mọi x, y thuộc N, tồn tại số nguyên dương n
xy
(phụ
thuộc x và y) sao cho x
n
xy
y = yx
n
xy
thì N ⊆ F .
Chứng minh. Do N là nhó m con á chuẩn tắc của D
∗
nên tồ n tại một dãy
các nhó m con
N = N
1
 N
2
 . . .  N
r
= D
∗

.
Giả sử x, y ∈ N và K := F (x, y). Bằng cách đặt M
i
= K∩N
i
, ∀i ∈ {1, . . . , r}
ta được dãy các nhóm con
M
1
 M
2
 . . .  M
r
= K
∗
.
Với mọi a ∈ M
1
≤ N
1
= N, tồn tại các số nguyên dương n
ax
và n
ay
sao cho
a
n
ax
x = xa
n

ax
và a
n
ay
y = ya
n
ay
.
Khi đó, với n := n
ax
n
ay
ta có
a
n
= (a
n
ax
)
n
ay
= (xa
n
ax
x
−1
)
n
ay
= xa

n
ax
n
ay
x
−1
= xa
n
x
−1
,
và
a
n
= (a
n
ay
)
n
ax
= (ya
n
ay
y
−1
)
n
ax
= ya
n

ay
n
ay
y
−1
= ya
n
y
−1
.
Do đo ù a
n
∈ Z(K). Như vậy M
1
căn tre â n Z(K). Do D là vành chia kiểu 2
nên K hữu hạn tâm. Do đó, từ Đònh lý 1 trong [14] ta được M
1
⊆ Z(K). Nói
riêng, x và y gi ao hoán nhau. Như vậy N là nhóm abel. Do ([31], 14.4.4, tr.
440), N ⊆ F .
Sau đây ta xe m xé t một giả thuyết của Herstein trong [17] : “Cho D là
vành chia với tâ m F . Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc của D
∗
sao cho N
căn trê n F thì N ⊆ F ”. Trong đònh lý sau, bằng cách xét trường hợp D là
vành chia kiểu 2 và N chuẩn tắc trong D
∗
, chúng tôi chứng minh kết luận
trên cũng đúng t hậ m chí cho trường hợp N căn trên một vành chia con thực
sự K của D, không nhất thiết là tâm F .

19
Đònh lý 2.11. Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F , K là vành chia con thực
sự củ a D và N là n h o ù m con chu a å n tắc c u û a D
∗
. Khi đó, nếu N căn trên K
thì N ⊆ F .
Chứng minh. Giả sử N không chứa trong tâm F . Nếu N \K = Ø thì N ⊆ K.
Do ([31], p. 433), hoặc K ⊆ F hoặc K = D. Do giả thiết, K = D, suy ra
K ⊆ F . Từ đó N ⊆ F, là điều mâ u thu ẫ n. Vậy N \ K = Ø.
Tiếp theo, ta chỉ cần chứng minh rằng các phần tử của N thỏa mã n điều
kiện của B o å đe à 2.10 là đủ. Thậy vậy, giả sử a, b ∈ N. Ta xét các trường hợp
sau:
Trường hợp 1: a ∈ K.
a) b ∈ K. Giả sử a
n
b = ba
n
với mọi n ∈ N. Khi đo ù a + b = 0, a = ±1 và
b = ±1. Như vậy
x = (a + b)a (a + b)
−1
, y = (b + 1)a(b + 1)
−1
∈ N.
Do N căn trên K nên tồn tại các số nguyên dương m
x
và m
y
sao cho
x

m
x
= (a + b)a
m
x
(a + b)
−1
, y
m
y
= (b + 1)a
m
y
(b + 1)
−1
∈ K.
Đặt m = m
x
m
y
, ta có
x
m
= (a + b)a
m
(a + b)
−1
, y
m
= (b + 1)a

m
(b + 1)
−1
∈ K.
Tính toán trực tiếp từ các đẳng thức trên, ta được
x
m
b−y
m
b+x
m
a−y
m
= x
m
(a+b)−y
m
(b+1) = (a+b)a
m
−(b+1)a
m
= a
m
(a−1).
Suy ra
(x
m
− y
m
)b = a

m
(a −1) + y
m
− x
m
a.
Nếu x
m
− y
m
= 0 thì b = (x
m
− y
m
)
−1
[a(a
m
− 1) + y
m
− x
m
a] ∈ K, điều
này mâu thuẫn với sự lựa chọn của b. Do đó x
m
− y
m
= 0, và như vậy
a
m

(a −1) = y
m
(a −1). Do a = 1 nên a
m
= y
m
= (b + 1)a
m
(b + 1)
−1
, và do
20
đó a
m
b = ba
m
. Điều này mâu thuẫn với điều giả sử. Vậy to à n tại n nguyên
dương sao cho a
n
b = ba
n
.
b) b ∈ K. Xét x ∈ N \ K. Ta có xb ∈ K nên tư ø trường hợp a), tồn tại
các so á nguyên dương r, s sao cho
a
r
xb = xba
r
và a
s

x = xa
s
.
Từ các đẳ ng thức trên ta được
a
rs
= (xb)
−1
a
rs
(xb) = b
−1
(x
−1
a
rs
x)b = b
−1
a
rs
b,
và như vậy a
rs
b = ba
rs
.
Trường hợp 2: a ∈ K.
Do N căn trên K nên tồn tại m nguye â n dương sao cho a
m
∈ K. Do

Trường hợp 1, tồn tại n nguyên dương sao cho a
nm
b = ba
nm
.
Bằng cá ch xét câu hỏi về sự tồn tại của nhóm con tối đại căn trên tâm
của vành chia D, trong ([2], Theorem 5) các tác giả đã chứng minh rằng nếu
D là vành chia hữu hạn tâm với tâm F sao cho đặc trưng của D khác với chỉ
số của D trên F thì D
∗
không chứa nho ù m con tối đại căn trên tâm F . Bâ y
giờ, trong trư ơ ø ng hợp vành chia kiểu 2 vô hạn tâm, ta được kết quả sau:
Đònh lý 2.12 . Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F sao cho [D : F ] = ∞
và charF = p > 0. Khi đó nhóm nhân D
∗
không chứa nhóm con tối đại căn
trên F .
Chứng minh. Giả sử M là nhóm con tối đại của D
∗
và M căn trên F . Đặt
G = D

∩ M. Với mỗi x ∈ G, tồn t ạ i n(x) nguyên dương s ao cho x
n(x)
∈ F .
Như vậy x
n(x)
∈ D

∩ F = Z(D


). Do Đònh lý 2.3 ta được Z(D

) xoắn,
do đ o ù x xoắn. Như vậy G là nhóm xoắn. Do M

≤ G nên M

cũng là
nhóm xoắ n. Với mọi x, y ∈ M

, đặt H = x, y và D
1
= F (x, y). Khi đó
n := [D
1
: F ] < ∞ và H là nhóm con xoắn của D
∗
1
≤ GL
n
(F ). Do ([22],
(9.9), p. 154), H là nhóm hữu hạn. Do charF = p > 0 nên từ ([22], (13.3),
21
p.215) ta được H là nhóm cyclic. Nói rie â ng, ta được x và y giao hoán với
nhau, và như vậy M

là nhóm abel. Từ đó su y ra M là nhóm giải được. Như
vậy M là nhóm con tối đại giải đượ c của D
∗

. Do đó, từ Hệ quả 2 trong [2]
và Đònh lý 6 trong [3] ta được [D : F ] < ∞, là điều mâu thuẫn. Vậy đònh lý
đã được chứng minh.
2.2 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu
Nhắc lạ i rằng, vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi tập con
hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm
(Đònh nghóa 1.2). Ta đã chứng minh rằng mọi vành chia hữu hạn đòa phương
đều hữu hạn đòa phương yếu. Trong phần này , chúng tôi sẽ xây dựng m o ä t ví
dụ chứng tỏ lớp vành hữu hạn đòa phương và lớp vành hữu hạ n đòa phương
yếu là khác nhau. Để thực hiện điều này, dựa vào việc xây dựng vành chia
chuỗi Laurent tổng quát của Malcev-Neumann, chúng tôi xây dựng một vành
chia chuỗi Laurent với vành cơ sơ û là một mở rộng của trường các số hữu
tỷ Q. Vành chia mà chúng tôi xây dựng trong mệnh đề sau là vành chia hữu
hạn đòa phương yếu nhưng thậm chí không đại số trên tâm .
Mệnh đề 2.13. Tồn tại một vành chia hữu hạn đòa phươn g yếu nhưng không
đại số trên tâm.
Chứng minh. Ký hiệu G =
+∞

i=1
Z là tổng trực tiếp vô hạn của nhóm cộng Z.
Với mỗi chỉ số nguyên dương i, ta ký hiệu x
i
= (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) là phần tử
thuộc G với giá trò 1 ở vò trí thứ i và giá trò 0 ở tất cả các vò trí còn lại. Khi
đó G là mo ä t nhóm abel tự do sinh bởi tất cả các x
i
. Hơ n nữa, mọi phần tử
x ∈ G đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng
x =


i∈I
n
i
x
i
,
với n
i
∈ Z và I l à mo ä t tậ p hợp con hữu hạn của N.
22
Tiếp theo ta trang bò một thứ tự trên G như sau: với mọi x = (n
1
, n
2
, . . .)
và y = (m
1
, m
2
, . . .) trong G, ta đònh nghóa x < y nếu n
1
< m
1
hoặc tồn tại
k ∈ N sao cho n
1
= m
1
, . . . , n

k
= m
k
và n
k+1
< m
k+1
. Rõ ràng G với thứ
tự như trê n là mộ t tậ p thứ tư ï toàn phần.
Giả sử p
1
< p
2
< . . . < p
n
< . . . là một dãy vô hạn các số nguyên tố và
K = Q(
√
p
1
,
√
p
2
, . . .) là trường con của trường số thực R sinh bởi trường số
hữu tỷ Q và các phần tử
√
p
1
,

√
p
2
, . . . Với mọi i ∈ N, giả sử f
i
: K → K là
một Q-đẳng cấu thỏa mãn điều kiện
f
i
(
√
p
i
) = −
√
p
i
, và f
i
(
√
p
j
) =
√
p
j
với mọi j = i.
Dễ dàng chứng minh rằng f
i

f
j
= f
j
f
i
với mọi i, j ∈ N.
• Bước 1. Chứng minh rằng , với mọ i x ∈ K ta có f
i
(x) = x với mọi i ∈ N
khi và chỉ khi x ∈ Q:
Chiều đảo là hiển nhiên. Giả sử x ∈ K sao cho f
i
(x) = x với mọi i ∈ N.
Bằng cách đặt K
0
= Q và K
i
= Q(
√
p
1
, . . . ,
√
p
i
) với i ≥ 1, ta được dãy mở
rộng trường
K
0

⊂ K
1
⊂ . . . ⊂ K
i
⊂ . . .
Nếu x ∈ Q thì tồn tại i ≥ 1 sao cho x ∈ K
i
\ K
i−1
. Do đó ta có thể biểu
diễn x = a + b
√
p
i
, với a, b ∈ K
i−1
và b = 0. Do f
i
(x) = x, ta suy ra
0 = x − f
i
(x) = 2b
√
p
i
, là điều mâu thuẫn.
• Bước 2. Xây dựng vành chia chuỗi Laurent D:
Với mỗi x = (n
1
, n

2
, . . .) =

i∈I
n
i
x
i
∈ G, đònh nghóa Φ
x
:=

i∈I
f
n
i
i
. Rõ
ràng Φ
x
∈ Gal(K/Q) và ánh xạ Φ : G → Gal(K/Q) xác đònh bởi Φ(x) = Φ
x
là m o ä t đo à ng cấu nhóm.
Dễ dàng chứng mi nh các điều sau:
i) Φ(x
i
) = f
i
, ∀i ∈ N.
ii) Nếu x = (n

1
, n
2
, . . .) ∈ G thì Φ
x
(
√
p
i
) = (−1)
n
i
√
p
i
.
23
Để cho tiện trong trình bày, trong phần còn lại của chứng minh, ta xem
phép t o á n trong G là phép toán nhân và phần tử đơn vò của G là 1. Với G
và K như trên, xét các tổng hình thức dạng
α =

x∈G
a
x
x, a
x
∈ K.
Với mỗi α như vậy, đònh nghóa giá của α bở i
supp(α) = {x ∈ G : a

x
= 0}.
Đặt
D = K((G, Φ)) :=

α =

x∈G
a
x
x, a
x
∈ K | supp(α) được sắp thứ tự tốt

.
Với α =

x∈G
a
x
x và β =

x∈G
b
x
x thuộc D, đònh nghóa
α + β =

x∈G
(a

x
+ b
x
)x, và αβ =

z∈G


xy=z
a
x
Φ
x
(b
y
)

z.
Với các phép toán như trên, D = K((G, Φ)) là một vành chia (xem [22], pp.
243-244).
Hơn nữa, ta dễ dàng chứng minh các điều sau:
iii) Với mọi x ∈ G và a ∈ K t a có xa = Φ
x
(a)x.
iv) Với mọi i = j ta có x
i
√
p
i
= −

√
p
i
x
i
và x
j
√
p
i
=
√
p
i
x
j
.
• Bước 3. Tìm tâm của D:
Đặt H = {x
2
: x ∈ G} và
Q((H)) =

α =

x∈H
a
x
x, a
x

∈ Q | supp(α) được sắp thứ tự tốt

.
Dễ dàng kiể m tra H là một nhóm con của G và với mọ i x ∈ H ta có
Φ
x
= Id
K
.
24
Ký hi e ä u F là tâm của D. Ta sẽ chứng minh rằng F = Q((H)). Giả sử
α =

x∈H
a
x
x ∈ Q((H)). Khi đó, với mọi β =

y∈G
b
y
y ∈ D, ta có Φ
x
(b
y
) = b
y
và Φ
y
(a

x
) = a
x
. Do đó
αβ =

z∈G


xy=z
a
x
Φ
x
(b
y
)

z =

z∈G


xy=z
a
x
b
y

z,

βα =

z∈G


xy=z
b
y
Φ
y
(a
x
)

z =

z∈G


xy=z
a
x
b
y

z.
Như vậy, αβ = βα với mọi β ∈ D. Nghóa là α ∈ F .
Ngược lại, giả sử α =

x∈G

a
x
x ∈ F. Đặt S là tập hợp tất cả các phần tử x
xuất hiện trong dạng biểu diễn của α. Khi đó ta chỉ cần chứng minh rằng, với
mọi x ∈ S ta có x ∈ H và a
x
∈ Q. Thật vậy, từ α ∈ F ta được
√
p
i
α = α
√
p
i
và αx
i
= x
i
α với mọi i ≥ 1, nghóa là

x∈S
√
p
i
a
x
x =

x∈S
Φ

x
(
√
p
i
)a
x
x và

x∈S
a
x
(xx
i
) =

x∈S
Φ
x
i
(a
x
)(x
i
x). Do đó, từ các đi e à u đượ c liệt kê ở Bước 2,
ta được
√
p
i
a

x
= Φ
x
(
√
p
i
)a
x
= (−1)
n
i
√
p
i
a
x
và a
x
= Φ
x
i
(a
x
) = f
i
(a
x
) với
mọi x = (n

1
, n
2
, . . .) ∈ S. Từ đẳng thức thứ nhất ta suy ra n
i
là số nguy e â n
chẵn với mọi i ≥ 1. Do đó x ∈ H. Từ đẳng thức thứ hai ta suy ra a
x
= f
i
(a
x
)
với mọi i ≥ 1, nên từ kết quả của Bước 1 ta được a
x
∈ Q. Như vậy, với mọi
x ∈ S ta có x ∈ H và a
x
∈ Q, nghóa là α ∈ Q((H)).
• Bước 4. Chứng tỏ rằng vành chia D không đại số trên tâm F :
Xét tổng vô hạn
γ = x
−1
1
+ x
−1
2
+ . . .
Do x
−1

1
< x
−1
2
< . . . nên supp(γ) là một tập được sắp thứ tự tốt. Suy ra,
γ ∈ D. Xét đẳng thức
a
0
+ a
1
γ + a
2
γ
2
+ . . . + a
n
γ
n
= 0, a
i
∈ F. (1)
Chú ý rằng X = x
−1
1
x
−1
2
. . . x
−1
n

không xu ấ t hiện trong dạng biểu diễn của
γ, γ
2
, . . ., γ
n−1
và hệ số của X trong dạng biểu diễn của γ
n
là n!, nên hệ
số của X trong biểu thức ở vế trái của đẳng thức (1) là a
n
.n!. Do đ o ù a
n
= 0.
25
Bằng quy nạp, ta dễ dàng suy ra rằng
a
0
= a
1
= . . . = a
n
= 0.
Như vậy, với mọi n ∈ N, tập hợp {1, γ, γ
2
, . . . , γ
n
} độc lập tuyến tính trên
F , nên γ không đại số trên F . Vậy D không đại số trên F .
• Bước 5. Xây dựn g v a ø n h c h i a con R
∞

của D sao cho R
∞
là hữ u hạn đò a
phương yếu:
Xét phần tử γ như trong Bước 4. Với mọi n ≥ 1, ta đặt
R
n
= F (
√
p
1
,
√
p
2
, . . . ,
√
p
n
, x
1
, x
2
, . . . x
n
, γ),
và R
∞
=
∞


n=1
R
n
. Trước tiên ta chứng minh rằng R
n
là vành chia hữu hạn
tâm với mọi n nguyên dương. Xét phần tử
γ
n
= x
−1
n+1
+ x
−1
n+2
+ ··· (tổng vô hạn).
Do γ
n
= γ − (x
−1
1
+ x
−1
2
+ ··· + x
−1
n
) nên ta được γ
n

∈ R
n
và
F (
√
p
1
, . . . ,
√
p
n
, x
1
, . . . x
n
, γ) = F (
√
p
1
, . . . ,
√
p
n
, x
1
, . . . x
n
, γ
n
).

Chú ý rằng γ
n
giao ho á n với mọi
√
p
i
và mo ï i x
i
thỏa mãn 1 ≤ i ≤ n. Do đó
R
n
= F(
√
p
1
, . . . ,
√
p
n
, x
1
, . . . x
n
, γ
n
)
= F(γ
n
)(
√

p
1
, . . . ,
√
p
n
, x
1
, . . . x
n
).
Kết hợp với các đẳng thức (
√
p
i
)
2
= p
i
, x
2
i
∈ F ,
√
p
i
x
j
= x
j

√
p
i
, i = j,
√
p
i
x
i
= −x
i
√
p
i
, ta suy ra rằng, mọi phần tử β thuộ c R
n
đều được biểu diễn
dưới dạng
β =

0≤ε
i
,µ
i
≤1
a
(ε
1
, ,ε
n

,µ
1
, ,µ
n
)
(
√
p
1
)
ε
1
. . . (
√
p
n
)
ε
n
x
µ
1
1
. . . x
µ
n
n
,
trong đó a
(ε

1
, ,ε
n
µ
1
, ,µ
n
)
∈ F (γ
n
).
26
Như vậy R
n
là mộ t không gian vectơ trên trường F (γ
n
), với cơ sở hữu
hạn B
n
gồm tập hợp tất cả các tích
(
√
p
1
)
ε
1
. . . (
√
p

n
)
ε
n
x
µ
1
1
. . . x
µ
n
n
, 0 ≤ ε
i
, µ
i
≤ 1.
Do γ
n
giao hoán vơ ù i mo ï i phần tử
√
p
i
và với mọi x
i
thỏa mãn 1 ≤ i ≤ n, ta
suy ra F (γ
n
) ⊆ Z(R
n

). Do đó
dim
Z(R
n
)
R
n
≤ dim
F (γ
n
)
R
n
< ∞,
và như vậy R
n
là vành chia hữu hạn tâm.
Với mọi tập hợp hữu hạn S ⊆ R
∞
, tồn tại n nguyên dương sao cho
S ⊆ R
n
. Do đó, vành chia con của R
∞
sinh bởi S trên F chứa trong vành
chia hữ u hạn tâm R
n
. Nói riêng, vành chia con của R
∞
sinh bởi S là vành

chia hữu hạn tâm. Như vậy R
∞
là và nh chia hữu hạn đòa phương yếu.
• Bước 6. Tìm tâm của R
∞
.
Đặt S
n
= {
√
p
1
, . . . ,
√
p
n
, x
1
, . . . , x
n
}. Do với mọi i = j, ta có x
2
i
,
(
√
p
i
)
2

∈ F , x
i
x
j
= x
j
x
i
,
√
p
i
√
p
j
=
√
p
j
√
p
i
, x
i
√
p
j
=
√
p

j
x
i
, x
i
√
p
i
=
−
√
p
i
x
i
, nên mọi phần tử của F [S
n
] đều đượ c biể u die ã n dướ i dạng
α =

0≤ε
i
,µ
i
≤1
a
(ε
1
, ,ε
n

,µ
1
, ,µ
n
)
(
√
p
1
)
ε
1
. . . (
√
p
n
)
ε
n
x
µ
1
1
. . . x
µ
n
n
, (2)
với a
(ε

1
, ,ε
n
,µ
1
, ,µ
n
)
∈ F.
Hơn nữa, tập hợp B
n
gồm tất cả các t ích
(
√
p
1
)
ε
1
. . . (
√
p
n
)
ε
n
x
µ
1
1

. . . x
µ
n
n
, 0 ≤ ε
i
, µ
i
≤ 1
là tập hợp hữu hạn gồm 2
2n
phần tử, do đó F [S
n
] là không gian vectơ hữu
hạn chiều trên F . Như vậy, F[S
n
] = F (S
n
). Do đó, mọi phần tử của F (S
n
)
đều được biểu diễn dưới dạng (2).
Tiếp theo, ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng Z(F (S
n
)) = F. Trước
tiên, ta chứng minh Z(F (S
1
)) = F . Thật vậ y , giả sử rằng α ∈ Z(F (S
1
)). Do

27
x
2
1
, (
√
p
1
)
2
= p
1
∈ F, x
1
√
p
1
= −
√
p
1
x
1
, và α ∈ F (S
1
) = F (
√
p
1
, x

1
), nên ta
có t he å bie å u die ã n α dươ ù i dạng
α = a + b
√
p
1
+ cx
1
+ d
√
p
1
x
1
, a, b, c, d ∈ F.
Do α giao hoán vơ ù i x
1
và
√
p
1
nên ta được
ax
1
+ b
√
p
1
x

1
+ cx
2
1
+ d
√
p
1
x
2
1
= ax
1
− b
√
p
1
x
1
+ cx
2
1
− d
√
p
1
x
2
1
,

và
a
√
p
1
+ bp
1
− c
√
p
1
x
1
− dp
1
x
1
= a
√
p
1
+ bp
1
+ c
√
p
1
x
1
+ dp

1
x
1
.
Từ đ ẳ ng thứ c thứ nhất ta được b = d = 0, thay vào đẳng thức thứ hai ta suy
ra c = 0. Như vậy α = a ∈ F , và từ đó ta được Z(F (S
1
)) = F .
Giả sử n ≥ 1 và α ∈ Z(F (S
n
)). Do (2), ta có thể biễu diễn α dưới dạng
α = a
1
+ a
2
√
p
n
+ a
3
x
n
+ a
4
√
p
n
x
n
, với a

1
, a
2
, a
3
, a
4
∈ F (S
n−1
).
Từ đẳng thức αx
n
= x
n
α, ta suy ra rằng
a
1
x
n
+ a
2
√
p
n
x
n
+ a
3
x
2

n
+ a
4
√
p
n
x
2
n
= a
1
x
n
−a
2
√
p
n
x
n
+ a
3
x
2
n
−a
4
√
p
n

x
2
n
.
Do đó, a
2
+ a
4
x
n
= 0, và từ đây ta được a
2
= a
4
= 0. Bây giơ ø , từ đẳng thư ù c
α
√
p
n
=
√
p
n
α, ta được
a
1
√
p
n
− a

3
√
p
n
x
n
= a
1
√
p
n
+ a
3
√
p
n
x
n
,
và do đó a
3
= 0. Như vậy, α = a
1
∈ F (S
n−1
), nghóa là α ∈ Z(F (S
n−1
)).
Vậy Z(F (S
n

)) ⊆ Z(F (S
n−1
)). Bằng quy nạp theo n, ta có thể kết luận rằng
Z(F (S
n
)) ⊆ Z(F (S
1
)) với mọi n ≥ 1. Từ
F ⊆ Z(F (S
n
)) ⊆ Z(F (S
1
)) = F,
ta suy ra Z(F (S
n
)) = F với mọi n ≥ 1.
Bây giờ ta giả sử rằng α ∈ Z(R
∞
). Khi đó, tồn tại n nguyên dương sao
cho α ∈ R
n
, và rõ ràng α ∈ Z(F (S
n
)) = F . Từ đó ta được Z(R
∞
) = F .
28
• Bước 7. Chứng tỏ rằng R
∞
không đại số trên tâm.

Ta đã chứng minh trong Bước 4 rằng γ không đại số trên F . Mà γ ∈ R
∞
và F = Z(R
∞
) nên ta được R
∞
không đại số trên tâm.
2.3 Nhóm tuy ế n tính bậc 1 trên vành chia hữu hạn
đòa phương yếu
Trở l ạ i giả thuyết của I.N. He rs t e i n được nhắ c đến ở trước Đònh lý 2.11, B.X.
Hải và L.K. Huỳnh (xem [14]) đã chứng minh giả thuyết trên đúng cho trường
hợp vành chia hữu hạn tâm. Trong mục này chúng tôi sẽ chứng minh nó cũng
đúng cho trường hợp vành chia hữu hạn đòa phương yếu. Trước hết, ta cần
bổ đề sau:
Bổ đề 2.14. Nếu D là vành chia hữu hạn đò a phương yếu thì Z(D

) là nhóm
xoắn.
Chứng minh. Do Mệnh đề 2.2, Z(D

) = D

∩ F. Với mọi x ∈ Z(D

), tồn
tại các a
i
, b
i
∈ D

∗
sao cho
x = a
1
b
1
a
−1
1
b
−1
1
a
2
b
2
a
−1
2
b
−1
2
. . . a
n
b
n
a
−1
n
b

−1
n
.
Đặt S = {a
i
, b
i
: i = 1, n}. Do D hữu hạn đòa phương yếu nên vành chi a
con L của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn t â m . Đặt m := [L : Z(L)]. Do
x ∈ F nên x giao hoán với mọi phần tử của S. Do đó x ∈ Z(L). Như vậy,
x
m
= N
L/Z(L)
(x) = N
L/Z(L)
(a
1
b
1
a
−1
1
b
−1
1
a
2
b
2

a
−1
2
b
−1
2
. . . a
n
b
n
a
−1
n
b
−1
n
) = 1.
Do đó x xoắn.
Từ bổ đề trên, ta được kết quả sau được xem như là mở rộng của Đònh
lý 1 trong [17] từ lớp vành chia hữu hạn tâm sang lớp vành chia hữu hạn đòa
phương yếu.
29