XÂY DỰNG VÀNH CHIA THEO MALCEVNEUMANN, VÀNH CHIA HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ NHƯ THUẬN
XÂY DỰNG VÀNH CHIA THEO
MAL'CEV-NEUMANN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Tp. Hồ Chí Minh - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ NHƯ THUẬN
XÂY DỰNG VÀNH CHIA THEO
MAL'CEV-NEUMANN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. BÙI XUÂN HẢI
Tp. Hồ Chí Minh - 2012
Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới
các thầy cô trong khoa Toán - Tin học, trường đại học Khoa học tự nhiên TP. Hồ
Chí Minh, đặc biệt là các thầy trong bộ môn Đại số đã giảng dạy tận tình cho tôi
trong suốt thời gian học cao học. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS BÙI XUÂN HẢI. Thầy luôn là người chỉ dạy nhiệt tình và chu đáo
trong quá trình thực hiện luận văn. Nhân đây, cho phép em gửi lời cảm ơn sâu
sắc nhất đến thầy. Và cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình,
bạn bè và đồng nghiệp. Những người đã mang tới nguồn động viên to lớn để tôi
có thêm nghò lực vượt mọi khó khăn hoàn thành luận văn này.
Tp.HCM, ngày 01 tháng 01 năm 2012
Lê Như Thuận
Mục lục

Lời nói đầu 6
1 Kiến thức chuẩn bò 8
1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Vành chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Vành nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Trường và lý thuyết Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Vành chia theo Mal'cev-Neumann 20
2.1 Nhóm sắp thứ tự toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Tập sắp thứ tự tốt WO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Vành chia theo Mal'cev-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Ví dụ về vành chia theo Mal'cev-Neumann . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu 32
3.1 Một vài khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Xây dựng vành chia hữu hạn đòa phương yếu . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Giả thuyết Herstein trên vành chia hữu hạn đòa phương yếu . . . . 38
4
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Kết luận 43
Chỉ mục 44
Tài liệu tham khảo 46
5
Lời nói đầu
Vành chia là một nội dung toán học có rất nhiều ứng dụng trong nội tại toán học
và nhiều ngành khoa học khác. Việc xây dựng và phát triển các lớp vành chia mới
hiện là chủ đề được nhiều nhà toán học quan tâm. Ta biết rằng, với một vành có
đơn vò R, R
∗
là tập các phần tử khả nghòch của R, khi đó ta nói R là vành chia
nếu R
∗

= R\{0}. Dựa vào đònh nghóa này, các nhà toán học đã xây dựng ra nhiều
phương pháp hữu hiệu để xác đònh vành chia. Trong luận văn này ta sẽ nói rõ cách
thức xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neumann trên lớp chuỗi Laurent thông qua
vành nhóm. Tiếp đến, ta sẽ xây dựng lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu và
nghiên cứu giả thiết Herstein trên vành chia hữu hạn đòa phương yếu.
Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày nội dung về vành nhóm kG, R((G, ω)), vành nhóm xoắn
R[G, ω], vành tự do Rx
i
: i ∈ I. Đồng thời nêu rõ các tính chất về mở
rộng trường-mở rộng Galois, nhóm xoắn, nhóm con á chuẩn tắc, nhóm giải
được làm cơ sở cho chương 3 .
Chương 2: Trong chương này, ta làm rõ nội dung về nhóm sắp thứ tự toàn phần,
tập sắp thứ tự tốt WO, đònh lý về vành chia theo Mal'cev-Neumann A =
R((G, ω)) và các hệ quả là các phép nhúng R[G, ω], Rx
i
: i ∈ I trong
R((G, ω)) và ví dụ về vành chia theo Mal'cev-Neumann.
Chương 3: Trên cơ sở về việc xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neumann đã xây
dựng ở chương 2, chương này sẽ trình bày nội dung về vành chia hữu hạn
đòa phương yếu với giả thuyết Herstein trên đó.
6
Các kí hiệu trong luận văn
Kí hiệu Ý nghóa
A/B Nhóm thương hoặc vành thương
,  Nhóm con chuẩn tắc thực sự, nhóm con chuẩn tắc
Cen(A), Z(A) Tâm của nhóm (hoặc của vành) A
C
A
(B) Tâm hóa tử của B trong A

[h, k] Giao hoán tử nhân của h và k
[G, G] Nhóm con hoán tử (đạo nhóm) của G
G
(i)
Đạo nhóm thứ i của G
[G : H] Chỉ số của nhóm con H trong nhóm G
[K : F ] Bậc của mở rộng trường
|u| Cấp của phần tử u
Aut(R) Tập các tự đẳng cấu của R
kG Vành nhóm của nhóm G trên vành k

i
A
i
Tổng trực tiếp của các vành A
i
k{x
i
: i ∈ I} Vành các đa thức trên k
kx
i
: i ∈ I Vành tự do trên trường k sinh bởi {x
i
: i ∈ I}
degf Bậc của đa thức f
supp(α) Giá của phần tử α
ACC Điều kiện dây chuyền giảm
DCC Điều kiện dây chuyền tăng
W O Thứ tự tốt
CharF Đặc trưng của vành (trường) F

dim
K
F Số chiều của K−không gian vector F
Kerϕ Nhân của đồng cấu ϕ
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bò
Trong chương này sẽ trình bày một số nội dung kiến thức cơ bản quan trọng nhằm
phục vụ cho nội dung của các chương sau. Đây là các nội dung đã được làm rõ
trong các giáo trình mà tác giả sẽ đề cập cụ thể. Vì vậy, chỉ xin phép trình bày
ngắn gọn các nội dung này.
1.1 Nhóm
Ta nhắc lại một số khái niệm về nhóm. Cho G là một nhóm nhân với đơn vò 1
và H là một nhóm con của G. Nhóm con H gọi là nhóm con thực sự của G nếu
H = G. H được gọi là chuẩn tắc trong G hay H là nhóm con chuẩn tắc của G
nếu gHg
−1
⊆ H, ∀g ∈ G, kí hiệu là H  G. Nhóm G được gọi là nhóm đơn
nếu G không có nhóm con chuẩn tắc thực sự nào khác 1. Gọi X là tập con khác
rỗng của G thì nhóm con của G sinh ra bởi X kí hiệu là X. Khi X hữu hạn và
G = X thì ta nói G là hữu hạn sinh.
Giả sử X là nhóm con khác rỗng của G. Tâm hóa tử của X trong G là tập
hợp {g ∈ G : gx = xg, ∀x ∈ X}, kí hiệu là C
G
(X). Tâm hóa tử của G trong G
được gọi là tâm của G kí hiệu là CenG hay Z(G).
Nếu H là một nhóm con của G thì tập hợp {g ∈ G : gHg
−1
= H} được gọi
8

Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
là chuẩn hóa tử của H trong G, kí hiệu là N
G
(H). Hiển nhiên H  N
G
(H) ≤ G
Với H và K là hai nhóm con của G thì [h, k] = hkh
−1
k
−1
với h ∈ H, k ∈ K
được gọi là giao hoán tử của h và k. Nhóm con sinh bởi các giao hoán tử này kí
hiệu là [H, K]. Do [h, k] = [k, h]
−1
nên ta có [H, K] = [K , H].
Nhóm [G, G] được gọi là nhóm con hoán tử của G kí hiệu là G

. Rõ ràng G
là nhóm Aben (giao hoán) nếu và chỉ nếu G

= 1. Đặt G
(1)
:= G

, với i ≥ 1, ta
đònh nghóa G
(i)
bởi quy nạp G
(i)
= (G

(i−1)
)

. Khi đó G
(i)
được gọi là đạo nhóm
thứ i của G. Từ đây cho ta dãy các nhóm con của G: G > G
(1)
> G
(2)
. . . . Ta
có G
(i)
là nhóm con chuẩn tắc của G.
Đònh nghóa 1.1.1 (Nhóm giải được). Nhóm G gọi là nhóm giải được nếu G
(n)
= 1
với n là một số nguyên dương nào đó.
Dễ nhận thấy mỗi nhóm Aben đều là nhóm giải được. Nhóm lũy linh cũng là
một nhóm giải được.
Đònh nghóa 1.1.2 (Nhóm xoắn). Cho G là một nhóm. Phần tử u ∈ G được gọi
là phần tử xoắn nếu nó có cấp hữu hạn. Nếu mọi phần tử của G đều là phần tử
xoắn thì G được gọi là nhóm xoắn. Trong trường hợp G có một phần tử xoắn duy
nhất là phần tử đơn vò thì ta nói G là nhóm không xoắn.
Đònh nghóa 1.1.3 (Nhóm con á chuẩn tắc). Cho G là nhóm với đơn vò 1. Nhóm
con H của G được gọi là nhóm con á chuẩn tắc trong G nếu tồn tại một dãy sắp
thứ tự tốt các nhóm con của G
H = G
1
< G

2
< . . . < G
n
= G sao cho G
i
 G
i+1
với i ∈ {1, 2, . . . , n −1}.
ở đây, n là một số nguyên dương nào đó.
Đònh nghóa 1.1.4 (Tháp nguyên dương). Cho G là nhóm nhân với quan hệ thứ tự
“ < ”. Tháp nguyên dương P của G được đònh nghóa là tập các phần tử x ∈ G
với x > 1 sao cho P có các thuộc tính:
i) P.P ⊆ P.
ii) G\{1} là hợp rời của P và P
−1
= {x
−1
: x ∈ P }.
iii) z
−1
P z ⊆ P, ∀z ∈ G.
9
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Rõ ràng, cho P ⊆ G thỏa mãn ba thuộc tính trên thì ta có thể đònh nghóa
quan hệ thứ tự “ < ” trên đó bởi:
x < y ⇔ x
−1
y ∈ P ⇔ yx
−1
∈ P.

Và ta thấy rằng, quan hệ “ < ” này làm cho G tạo thành nhóm thứ tự với tháp
nguyên dương P , ta viết (G, P ). Vì thế, sẽ thuận tiện hơn để ta đònh nghóa quan
hệ thứ tự trên nhóm thông qua xác đònh tháp nguyên dương của chúng. Từ việc
xây dựng này, ta đi đến đònh lý quan trọng về nhóm thứ tự khi xét trên lớp các
nhóm tự do. Tuy nhiên, trước hết ta cần đònh lý sau
Đònh lý 1.1.5 (Magnus-Witt). Cho G là một nhóm tự do và xét dãy giảm các
nhóm con sau:
G ⊇ G
(1)
⊇ G
(2)
⊇ . . .
ở đây G
(1)
= [G, G] và G
(n+1)
= [G
(n)
, G
(n)
], ∀n ≥ 1. Khi đó

n≥1
G
(n)
= {1} và
G
(n)
/G
(n+1)

là nhóm Aben tự do.
Chứng minh. Nội dung chứng minh của đònh lý này khá rõ trong [5] trang 380-383.
Vì vậy, xin phép không trình bày lại ở đây.
Đònh lý 1.1.6. Mọi nhóm Aben không xoắn hay nhóm tự do đều là nhóm thứ tự.
Chứng minh. Khi G là nhóm Aben không xoắn được đề cập khá rõ trong [8] trang
102, mục 6.31. Ta tập trung vào làm rõ trường hợp khi G là nhóm tự do. Trong
trường hợp này, ta sẽ xây dựng trên G tháp nguyên dương P . Theo Đònh lý 1.1.5
(Magnus-Witt) (trang 10), ta có G
(n)
/G
(n+1)
là nhóm aben tự do nên theo trường
hợp như đã xét lúc đầu, thì tồn tại tháp nguyên dương P
n
mà trên đó nó xác đònh
một nhóm Aben thứ tự. Trên cơ sở đó, ta sẽ xây dựng trên G tháp nguyên dương
P như sau:
Đặt P là tập con của G gồm tất cả các phần tử g = 1 thỏa mãn tính chất:
Nếu n là số nguyên dương (duy nhất) sao cho g ∈ G
(n)
\G
(n+1)
thì lớp ghép trái
gG
(n+1)
nằm trong P
n
. Dùng phản chứng, ta có thể kiểm tra được G\{1} là hợp
rời của P và P
−1

. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra hai thuộc tính còn lại của P . Trước hết,
P.P ⊆ P . Thật vậy, giả sử g, h là các phần tử của P , tức ta có
g ∈ G
(n)
\G
(n+1)
, g G
(n+1)
∈ P
n
,
h ∈ G
(m)
\G
(m+1)
, hG
(m+1)
∈ P
m
10
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
với n, m là hai số nguyên dương. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
m ≥ n. Khi m > n thì h ∈ G
(m)
⊆ G
(n+1)
nên gh ∈ G
(n)
\G
(n+1)

và ghG
(n+1)
=
gG
(n+1)
∈ P
n
. Kết hợp với đònh nghóa P suy ra gh ∈ P. Trường hợp m = n thì
hiển nhiên gh ∈ G
(n)
\G
(n+1)
và từ gG
(n+1)
, hG
(n+1)
∈ P
n
cũng có ghG
(n+1)
∈
P
n
, thế thì gh ∈ P. Vậy P.P ⊆ P .
Tiếp theo, lấy z là phần tử bất kì của G. Gọi g là phần tử của P , nghóa là
g ∈ G
(n)
\G
(n+1)
, g G

(n+1)
∈ P
n
. Khi đó z
−1
gz ∈ G
(n)
\G
(n+1)
và
z
−1
gz = g(g
−1
z
−1
gz) ∈ g[G, G
(n)
] = gG
(n+1)
do đó z
−1
gzG
(n+1)
∈ P
n
, tức là z
−1
gz ∈ P . Hay khác đi, z
−1

P z ⊆ P .
1.2 Vành chia
Đònh nghóa 1.2.1. Cho vành D với đơn vò là 1. Vành D được gọi là một vành
chia nếu mọi phần tử khác 0 của D đều khả nghòch. Nói khác đi, nếu ký hiệu D
∗
là tập các phần tử khả nghòch của D thì D được gọi là vành chia nếu và chỉ nếu
D
∗
= D \{0}.
Tiếp theo phần này, xin đề cập đến hai đònh lý nổi tiếng và quan trọng đối với đề
tài của chúng ta. Đó chính là Đònh lý Wedderburn và Đònh lý Cartan-Brauer-Hua.
Đònh lý 1.2.2 (Wedderburn). Mọi vành chia hữu hạn đều là trường.
Chứng minh. Việc chứng minh đònh lý này đã được làm khá rõ trong [8], trang
214-215 hay trong [10], trang 427 nên xin phép không chứng minh lại ở đây.
Bây giờ, để nghiên cứu Đònh lý Cartan-Brauer-Hua, ta nhắc lại các khái niệm:
Cho D là một vành chia, D
∗
là nhóm nhân của D. Với a, b ∈ D và x, y ∈ D
∗
,
phần tử dạng ab − ba được gọi là giao hoán tử cộng, xyx
−1
y
−1
gọi là giao hoán
tử nhân. Khi đó ta có mệnh đề
Mệnh đề 1.2.3. Cho D là vành chia. Nếu y ∈ D giao hoán với tất cả các giao
hoán tử cộng của D thì y ∈ Z(D).
Chứng minh. Dùng phương pháp phản chứng. Giả sử y /∈ Z(D). Thế thì xy = yx
với x ∈ D. Do giả thiết nên y giao hoán với các giao hoán tử cộng x(xy) −(xy)x

11
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
và xy −yx = 0. Mặt khác ta có x(xy) −(xy)x = x(xy −yx) . Suy ra y phải giao
hoán với x. Mâu thuẫn.
Đònh nghóa 1.2.4. Cho a là một phần tử của vành D và ánh xạ δ
a
: D → D được
xác đònh bởi δ
a
(x) = ax −xa. Khi đó, ta nói rằng δ
a
là một nội dẫn xuất của D
liên kết với a. Một nhóm cộng của D được gọi là Lie ideal trong D nếu nó bất
biến đối với mọi δ
a
(a ∈ D).
Ta có thể kiểm tra được các tính chất sau:
δ
a
(x + y) = δ
a
(x) + δ
a
(y)
và
δ
a
(xy) = xδ
a
(y) + δ

a
(x)y,
với mọi x, y ∈ D.
Mệnh đề 1.2.5. Cho K  D là các vành chia sao cho K là một Lie ideal trong
D. Nếu charK = 2 thì K ⊆ Z(D).
Chứng minh. Xét các phần tử bất kỳ a ∈ D \ K và c ∈ K. Ta sẽ chứng minh
ac = ca. Thật vậy, do K là Lie ideal trong D nên
δ
2
a
(c) = ca
2
− 2aca + a
2
c ∈ K
và
δ
a
2
(c) = a
2
c − ca
2
∈ K
Cộng chúng lại với nhau ta có 2a
2
c−2aca = 2a(ac −ca) ∈ K. Nghóa là 2aδ
a
(c) ∈
K. Nếu δ

a
(c) = 0 thì 2δ
a
(c) ∈ K
∗
(với K
∗
là nhóm nhân của K), thế nên
a ∈ K
∗
. Đây là một mâu thuẫn. Vì vậy trường hợp này không xảy ra, tức là phải
có δ
a
(c) = 0. Vậy ac = ca. Bây giờ lấy c

∈ K
∗
, thì a và ac

đều nằm trong D \K,
theo lý luận trên, chúng sẽ giao hoán với c. Vậy c

= a
−1
ac

cũng giao hoán với c.
Kéo theo c ∈ Z(D).
Đònh lý 1.2.6 (Cartan-Brauer-Hua). Cho cặp vành chia K ⊆ D. Nếu K
∗

là nhóm
con chuẩn tắc trong D
∗
thì K = D hoặc K ⊆ Z(D).
Chứng minh. Xét các phần tử bất kỳ a ∈ D \K và c ∈ K. Ta sẽ chứng minh cho
chúng giao hoán. Giả sử ngược lại, tức là ac = ca. Xét phần tử b = a − 1 ∈ D
∗
(vì nếu không a = 1 thì luôn giao hoán với c). Ta có
a(a
−1
ca − b
−1
cb) = ca −ab
−1
cb = c(b + 1) −(b + 1)b
−1
cb = c −b
−1
cb
12
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Nếu c − b
−1
cb = 0 thì c = b
−1
cb, tức bc = cb nghóa là c giao hoán với b = a − 1
suy ra c giao hoán với a, mâu thuẫn. Vậy c−b
−1
cb = 0. Mà c ∈ K và K chuẩn tắc
trong D nên b

−1
cb ∈ K, do đó c −b
−1
cb ∈ K
∗
. Suy ra a(a
−1
ca −b
−1
cb) ∈ K
∗
.
Để ý K
∗
 D
∗
. Thế nên ta có được a ∈ K
∗
. Đây là một mâu thuẫn.
Trên cơ sở của Đònh lý Cartan-Brauer-Hua vừa chứng minh ở trên, ta sẽ mở
rộng cho vành chia với các nhóm con á chuẩn tắc. Giả sử D là một vành chia và
n là một số nguyên dương nào đó. Xét mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2.7. Nếu K là một vành chia, H là vành chia con của K, và
G
1
 G
2
 . . .  G
n
= K

∗
G
1
⊂ N
K
(H) và G
1
 Z(K) thì H ⊂ Z(K) hoặc H = K.
Chứng minh. Việc chứng minh mệnh đề này được thực hiện bằng quy nạp. Tất
cả đã được làm rõ trong [10] (mục 14.3.4 - 14.3.7) trang 434-439. Vì nội dung
chứng minh khá dài nên xin phép không trình bày lại ở đây.
Từ mệnh đề này ta dễ dàng thu được đònh lý sau
Đònh lý 1.2.8. Cho K là một vành chia. Nếu H là một vành chia con của K bất
biến dưới nhóm con G (tức G ⊂ N
K
(H)), với G là nhóm con á chuẩn tắc trong
K
∗
và G  Z(K) thì H ⊆ Z(K) hoặc H = K.
Đònh lý 1.2.9. Cho D là một vành chia và G là một nhóm con á chuẩn tắc của
D
∗
. Khi đó, nếu G  Z(D) thì C
D
(G) = Z(D).
Chứng minh. Vì vành chia con C
D
(G) bất biến dưới nhóm con G và G  Z(D),
hơn nữa C
D

(G) = D nên theo Đònh lý 1.2.8 (trang 13) phải có C
D
(G) ⊆ Z(D).
Vậy thì C
D
(G) = Z(D).
Mệnh đề 1.2.10. Giả sử D là vành chia tâm F , N là nhóm con á chuẩn tắc của
D
∗
. Khi đó Z(N ) = N ∩ F .
Chứng minh. Nếu N chứa trong F thì mệnh đề được chứng minh. Giả sử N  F.
Theo Đònh lý 1.2.9 (trang 13) ta có C
D
(N) = Z(D) = F nên Z(N) ⊆ N ∩ F .
Chiều ngược lại của bao hàm thức là hiển nhiên. Vậy Z(N ) = N ∩ F .
Đònh lý 1.2.11. Cho D là vành chia, G là nhóm con không Aben của D
∗
và
G

⊆ Z(D). Khi đó, G không á chuẩn tắc trong D
∗
.
13
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Chứng minh. Xem chứng minh trong [10] mục 14.3.3, trang 433.
Đònh lý 1.2.12. Nếu D là một vành chia, G là nhóm con á chuẩn tắc của D
∗
và
G  Z(D) thì G không giải được.

Chứng minh. Theo Đònh lý 1.2.9 thì G không Aben. Giả sử G
(n)
= 1, thì tồn tại
r sao cho G
(r)
 Z(D) và G
(r+1)
⊆ Z(D). Lại có G
(r)
á chuẩn tắc trong D. Vì
G không Aben nên điều này mâu thuẫn với Đònh lý 1.2.11.
1.3 Vành nhóm
Cho k là vành bất kì, và G là một nhóm nhân. Khi đó ta có thể xây dựng vành
nhóm kG =

σ∈G
kσ như sau:
Các phần tử của kG là một tổng hình thức hữu hạn dạng

g∈G
a
g
g. Phép cộng
trong kG được thực hiện theo theo quy tắc

g∈G
a
g
g +


g∈G
b
g
g =

g∈G
(a
g
+ b
g
)g
và phép nhân giữa các phần tử của kG được thực hiện bằng cách sử dụng phép
nhân trong G, tức là
(

g∈G
a
g
g)(

h∈G
b
h
h) =

u∈G
c
u
u
ở đây c

u
=

a
g
b
h
với mọi (g, h) ∈ G ×G sao cho gh = u.
Chú ý rằng với phép nhân trong kG, các phần tử của k(= k.1) giao hoán với các
phần tử của G(= 1.G). Tuy nhiên, k G chỉ giao hoán khi cả k và G đều giao hoán.
Đònh nghóa 1.3.1. Với phép cộng và phép nhân như trên, (kG, +, .) lập thành
một vành và được gọi là vành nhóm.
Việc chứng minh đònh nghóa trên là thỏa đáng được thực hiện thông qua chứng
minh (kG, +, .) là một vành. Chứng minh nó là một nhóm cộng giao hoán là đơn
giản. Ta chỉ cần kiểm tra tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
trên kG. Xét các phần tử trong kG như sau
x =

g∈G
a
g
g, y =

h∈G
b
h
h, z =

k∈G
c

k
k
14
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Khi đó, từ tính chất mà phần tử trong k = k.1 giao hoán với các phần tử trong
G = 1.G ta có
xy + xz =

g∈G
a
g
g.

h∈G
b
h
h +

g∈G
a
g
g.

k∈G
c
k
k
= g(

g∈G

a
g

h∈G
b
h
)h + g(

g∈G
a
g

k∈G
c
k
)k
= g(

g∈G
a
g

h∈G
b
h
h +

g∈G
a
g


k∈G
c
k
k)
= g{

g∈G
a
g
(

h∈G
b
h
h +

k∈G
c
k
k)}
=

g∈G
a
g
g(

h∈G
b

h
h +

k∈G
c
k
k) = x(y + z)
Vậy ta có đònh nghóa trên là tốt.
Đònh nghóa 1.3.2. Khi G là nhóm sinh bởi {x
i
, i ∈ I} thì kG là k− vành tự do
kx
i
, i ∈ I.
Đònh nghóa 1.3.3. Vành chuỗi Laurent các đa thức một biến k((x)) là vành có
các phần tử dạng tổng hình thức

∞
−∞
f
i
x
i
, ở đây các hệ số f
i
∈ k với i < 0 chỉ
có hữu hạn các phần tử khác không. Phép nhân trong k((x)) là phép nhân thông
thường mà phần tử của k giao hoán với biến x.
Đònh nghóa 1.3.4 (vành xoắn Hilbert). Cho k là một vành, σ là một tự đẳng cấu
của k. Ta có thể xây dựng vành đa thức và vành chuỗi lũy thừa của biến x trên k

thông qua tính chất các phần tử của k giao hoán với x. Bởi vậy, thay vì xb = bx
với b ∈ k ta giả sử rằng xb = σ(b)x. Khi đó ta có vành đa thức, kí hiệu k[x; σ]
gồm các đa thức trái dạng

n
i=0
a
i
x
i
, với phép nhân được đònh nghóa bởi
(
n

i=0
a
i
x
i
)(
n

j=0
b
j
x
j
) =
n


i=0
n

j=0
a
i
σ
i
(b
j
)x
i+j
Việc chứng minh k[x; σ] là một vành là không khó, ta chỉ cần kiểm tra tính chất
phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Điều này xin được bỏ qua. Vành các
chuỗi lũy thừa k[[x; σ]] cũng được đònh nghóa hoàn toàn tương tự tương tự (xem
thêm [8], trang 8-11).
15
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Đònh nghóa 1.3.5 (Vành các chuỗi Laurent). Từ Đònh nghóa 1.3.4 ta có thể xây
dựng vành các chuỗi Laurent k((x; σ)) gồm các chuỗi Laurent dạng

∞
−∞
a
i
x
i
với quy tắc x
i
b = σ(b)x và phép nhân được đònh nghóa tương tự như trong Đònh

nghóa 1.3.4.
Đònh nghóa 1.3.6 (Vành nhóm k ∗G). Cho k là vành và G là một nhóm tác động
lên k như là một nhóm của các tự đẳng cấu. Vành R = k ∗G gồm các phần tử là
tổng hình thức hữu hạn dạng

σ∈G
a
σ
σ, với phép nhân được đònh nghóa bởi
(a
σ
σ)(b
τ
τ) = a
σ
σ(b
τ
)(στ ).
Việc chứng minh R = k ∗G là một vành thực chất chỉ cần kiểm tra tính chất
phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Xin được bỏ qua.
1.4 Trường và lý thuyết Galois
Đònh nghóa 1.4.1. Cho K là một trường, F được gọi là một mở rộng trường của
K (gọi tắt là mở rộng của K) nếu K là trường con của F , kí hiệu F/K.
Ta thấy, nếu F là một mở rộng của K thì 1
F
= 1
K
. Hơn nữa, F là một không
gian vector trên K (xem thêm Đònh nghóa 1.4.5). Số chiều của của K−không gian
vector F kí hiệu là [F : K] gọi là bậc của mở rộng F/K. Nếu [F : K] < ∞, ta

nói F là mở rộng hữu hạn trên K. Trong trường hợp ngược lại gọi là mở rộng vô
hạn trên K.
Đònh nghóa 1.4.2. Nếu F là một trường và X ⊆ F thì trường con (tương ứng là
vành con) sinh bởi X là giao của tất cả các trường con (tương ứng là vành con)
của F chứa X.
Nếu F là một mở rộng của K và X ⊆ F thì trường con (tương ứng là vành
con) sinh bởi K ∪ X được gọi là trường con (tương ứng là vành con) sinh bởi X
trên K và kí hiệu là K(X) (tương ứng là K[X]).
Nếu X = {u
1
, u
2
, . . . , u
n
} thì trường con K(X) (tương ứng là K[X]) của F kí
hiệu là K(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) (tương ứng K[u
1
, u
2
, . . . , u
n
]). Trường K(u
1
, u

2
, . . . , u
n
)
được gọi là mở rộng hữu hạn sinh của K (nhưng không nhất thiết là có số chiều
hữu hạn trên K). Nếu n = 1 tức X = {u} thì K(u) gọi là mở rộng đơn của K.
16
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Chú ý 1.4.3. K(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) và K[u
1
, u
2
, . . . , u
n
] phụ thuộc vào cấp của u
i
và K(u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
)(u
n

) = K(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) và K[u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
][u
n
] =
K[u
1
, u
2
, . . . , u
n
]
Đònh lý 1.4.4. Nếu F là một mở rộng trường của K, u, u
i
∈ F ,và X ⊆ F thì ta
có các khẳng đònh sau:
i) Trường K(u) gồm tất cả các phần tử dạng f(u)/g(u) = f(u)g(u)
−1
, với
f, g ∈ K[x], g(u) = 0.

ii) Trường K(X) gồm tất cả các phần tử dạng
f(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)/g(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) = f(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)g(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
−1
ở đây n ∈ N, n ≥ 1, f, g ∈ K[x
1
, x

2
, . . . , x
n
], u
1
, u
2
, . . . , u
n
∈ X
và g(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) = 0.
iii) Vành K[u] gồm tất cả các phần tử dạng f(u) với f là đa thức hệ số trong K
(tức f ∈ K[x]).
iv) Vành K[X] gồm tất cả các phần tử dạng h(u
1
, u
2
, . . . , u
n
), ở đây u
i
∈ X, n
là số nguyên dương và h ∈ K[x
1

, x
2
, . . . , x
n
].
v) Với mỗi v ∈ K(X) (tương ứng K[X]), tồn tại tập con hữu hạn X

của X để
v ∈ K(x) (tương ứng K[X]).
Chứng minh. Ta chứng minh ii) và v). Các trường hợp còn lại hoàn toàn tương
tự. Ta có mỗi trường chứa K và X phải chứa tập
E = {f(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)/g(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)|n ≥ 1}
ở đậy f, g ∈ K[x
1
, x
2
, . . . , x
n

]; u
i
∈ X, g(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) = 0. Khi đó, E ⊆ K(X).
Ngược lại, giả sử f, g ∈ K[x
1
, x
2
, . . . , x
m
] và f
1
, g
1
∈ K[x
1
, x
2
, . . . , x
n
], ta đònh
nghóa h, k ∈ K[x
1
, x
2

, . . . , x
m+n
] bởi
h(x
1
, x
2
, . . . , x
m+n
) = f(x
1
, x
2
, . . . , x
m
)g
1
(x
m+1
, x
m+2
, . . . , x
m+n
)
−g(x
1
, x
2
, . . . , x
m

)f
1
(x
m+1
, x
m+2
, . . . , x
m+n
)
và k(x
1
, x
2
, . . . , x
m+n
) = g(x
1
, x
2
, . . . , x
m
)g
1
(x
m+1
, x
m+2
, . . . , x
m+n
).

Khi đó, với bất kì u
1
, u
2
, . . . , u
m
, v
1
, v
2
, . . . , v
n
∈ X sao cho g(u
1
, u
2
, . . . , u
m
) =
0, g (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) = 0 ta có
f(u
1
, u
2

, . . . , u
m
)
g(u
1
, u
2
, . . . , u
m
)
−
f
1
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
)
g
1
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
)
=

h(u
1
, u
2
, . . . , u
m
, v
1
, v
2
, . . . , v
n
)
k(u
1
, u
2
, . . . , u
m
, v
1
, v
2
, . . . , v
n
)
∈ E
17
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Do đó, E là một nhóm với phép cộng. Tương tự, tập các phần tử khác không

của X làm thành một nhóm với phép nhân. Từ đó suy ra E là một trường. Vì
X ⊆ E, K ⊆ E nên K(X) ⊆ E. Vậy K(X) = E.
Với u ∈ K(X) thì theo chứng minh ở ii), ta có
u = f(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)/g(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) ∈ K(X

)
với X

= {u
1
, u
2
, . . . , u
n
}.
Đònh nghóa 1.4.5. Cho F là một mở rộng trường của K. Phần tử u ∈ F được gọi
là đại số trên K nếu nó là nghiệm của một đa thức khác không f ∈ K[x]. Nếu
u không là nghiệm của bất kì đa thức khác không f ∈ K[x] nào thì u được gọi là

siêu việt trên K. F được gọi là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử của F
đều đại số trên K. F được gọi là mở rộng siêu việt nếu có ít nhất một phần tử
của K là siêu việt trên K.
Đònh lý 1.4.6. Nếu F là một mở rộng trường của K và u ∈ F là đại số trên K
thì ta có
i) K(u)
∼
=
K[x]/(f) với f ∈ K[x] là đa thức đơn khởi (monic) bất khả quy bậc
n ≥ 1 xác đònh duy nhất bởi f(u) = 0 và K(u) = K[u].
ii) {1
K
, u, u
2
, . . . , u
n−1
} là một cơ sở của không gian vector K(u) trên K và
[K(u) : K] = n.
iii) Mỗi phần tử của K(u) có thể viết duy nhất ở dạng a
0
+a
1
u+. . . +a
n−1
u
n−1
với a
i
∈ K.
Chứng minh. i) Ánh xạ sau là toàn cấu vành: φ : K[x] → K[u] với g → g(u).

Do K[x] là miền nguyên chính (PID), Kerφ = (f) với f ∈ K[x] mà f(u) = 0. Vì
u đại số nên Kerφ = 0 và do φ = 0 nên Kerφ = K[x]. Từ đó phải có f = 0 và
degf ≥ 1. Mặt khác, với c là hệ số đầu của f (tức hệ số ứng với số mũ cao nhất
của x trong f(x)) thì c
−1
f là đa thức đơn khởi. Và do (f) = (c
−1
f) nên ta luôn
có thể giả sử f là đơn khởi. Từ đồng cấu vành trên, theo đònh lý đẳng cấu thứ
nhất ta có
K[x]/(f) = K[x]/Kerφ
∼
=
Imφ = K[u]
Lại có K[u] là miền nguyên nên ideal (f) là ideal nguyên tố. Mà f là bất khả
quy nên (f) nên (f) tối đại. Do đó K[x]/(f)
∼
=
K[u] là một trường. Nghóa là
K(u) = K[u].
18
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
ii) Mỗi phần tử của K(u) = K[u] có dạng g(u) với g ∈ K[x]. Ta có thể viết
g = qf + h với q, h ∈ K[x] mà degh < degf. Do đó
g(u) = q(u)f(u)+h(u) = 0+h(u) = b
0
+b
1
u+b
2

u
2
+. . .+b
m
u
m
, m < n = degf
Hơn nữa {1
K
, u, u
2
, . . . , u
n−1
} độc lập tuyến tính trên K. Thật vậy, giả sử
a
0
+ a
1
u + a
2
u
2
+ . . . + a
n−1
u
n−1
= 0, a
i
∈ K
Thì g = a

0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a
n−1
x
n−1
nhận u là nghiệm và có degg ≤
n − 1. Vì f|g (theo ii)) và degf = n nên phải có g = 0, tức là a
i
= 0, ∀i. Vậy
{1
K
, u, u
2
, . . . , u
n−1
} độc lập tuyến tính trên K nên nó là cơ sở của K(u). Từ
đây dễ có [K(u) : K] = n và iii).
Đònh nghóa 1.4.7. Đa thức đơn khởi bất khả quy f trong Đònh nghóa 1.4.5 trên
gọi là đa thức bất khả quy của u. Bậc của u trên K là degf = [K(u) : K].
Đònh nghóa 1.4.8 (Chuẩn). Cho F/K là mở rộng hữu hạn bậc n. Với phần tử
a ∈ F , ta đònh nghóa ánh xạ L
α
: F −→ F bới L
a

(x) = ax, ∀x ∈ F . Hiển nhiên
L
a
là một toán tử tuyến tính trong K−không gian vector F . Chuẩn của phần tử
a, kí hiệu là N
F/K
(a) được đònh nghóa bởi N
F/K
(a) := det(L
a
), ở đây det(L
a
) là
đònh thức của toán tử L
a
.
Từ đònh nghóa ta thấy N
F/K
: F −→ K là hàm từ F vào K. Hơn nữa ta có
mệnh đề sau
Mệnh đề 1.4.9. Cho F là mở rộng bậc n trên trường K. Khi đó ta có những
khẳng đònh sau:
i) N
F/K
(ab) = N
F/K
(a)N
F/K
(b), ∀a, b ∈ F.
ii) N

F/K
(a) = a
n
, ∀a ∈ F .
Chứng minh. Điều này dễ dàng được suy ra từ đònh nghóa kết hợp với tính chất
của đònh thức của toán tử tuyến tính.
19
Chương 2
Vành chia theo
Mal'cev-Neumann
Để xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neumann, chúng ta cần kiến thức liên quan
đến nhóm sắp thứ tự toàn phần (totally ordered) và luật W O (well-ordered) trên
nhóm thứ tự. Vì vậy, để tiện cho việc nghiên cứu, trước hết ta sẽ làm rõ một số
kiến thức về nội dung này.
2.1 Nhóm sắp thứ tự toàn phần
Đònh nghóa 2.1.1. Cho nhóm G (đơn vò 1) với quan hệ thứ tự “ < ”, tháp nguyên
dương P = {x ∈ G|1 < x}. Khi đó (G, <) được gọi là nhóm sắp thứ tự toàn
phần nếu với mọi r, s, t thuộc G ta đều có hoặc r < s hoặc r = s hoặc s < r,
đồng thời r < r
2
và nếu r < s thì rt < st, tr < t s (để ý khi r < s ta cũng có thể
viết s > r).
Nhận xét 2.1.2. Với mọi r, s, t trong (G, <), ta có r < rs và s < sr.
Thật vậy, nếu rs ≤ r thì rs
2
≤ rs. Nhưng lại có s < s
2
nên rs < rs
2
. Mâu

thuẫn. Vậy r < rs. Tương tự cho trường hợp còn lại. Bây giờ trên (G, P ) ta xây
dựng quan hệ Ác-si-mét “ ∼ ” như sau:
20
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Đònh nghóa 2.1.3. Cho hai phần tử bất kỳ s, r ∈ (G, P ). Ta nói r và s quan hệ
Ác-si-mét nếu s ≤ r
m
và r ≤ s
n
với m, n là hai số nguyên dương nào đó và viết
là s ∼ r. Dễ kiểm tra đây là quan hệ tương đương. Lớp tương đương của s kí hiệu
là [s] gọi là lớp Ác-si-mét. Từ đây, ta đònh nghóa [r] < [s] nếu r
n
< s, ∀n ≥ 1.
Đònh nghóa này là thỏa đáng. Thật vậy, Giả sử có [r

] = [r] và [s

] = [s], ta phải
chứng minh [r

] < [s

], tức là phải chứng minh cho r
m
< s

, ∀m ≥ 1. Dùng phản
chứng, giả sử tồn tại số tự nhiên k để r
k

≥ s

. Khi đó, từ [r

] = [r] và [s

] = [s]
theo đònh nghóa, tồn tại các số nguyên dương i, j sao cho r

≤ r
i
và s ≤ s
j
. Kết
hợp với giả thiết ta có (r
k
)
j
≥ s
j
≥ s, tức r
kj
≥ s. Mặt khác, [r] < [s] nên
r
n
< s, ∀n ≥ 1. Đặc biệt, khi n = (kj)i thì (r
kj
)
i
< s. Do vậy (r

kj
) ≥ s > (r
kj
)
i
nên r

> r
i
. Đây là một mâu thuẫn.
Mệnh đề 2.1.4. Với r, s, t ∈ (G, <) ta luôn có
i) Nếu [r] < [s] thì r < s.
ii) Nếu [r] < [s] và [s] < [t] thì [r] < [t].
iii) Nếu [r] < [s] và [s] ≤ [t] thì [r] ≤ [t]. Ở đây ta hiểu [r] ≤ [s] là [r] < [s] hoặc
[r] = [s].
Chứng minh. i) Từ [r] < [s] ta có r
n
< s, ∀n ≥ 1. Trường hợp n = 1 cho ta kết
quả.
ii) Vì [r] < [s] nên r
n
< s, ∀n ≥ 1, và [s] < [t] nên s
m
< t, ∀m ≥ 1. Do đó
r
n
< s ≤ s
m
< t.
Vậy theo đònh nghóa, ta có [r] < [t].

iii) Giả sử [r] > [t] thì do [r] < [s] nên theo ii) ta có [s] < [t]. Mâu thuẫn.
Mệnh đề 2.1.5. Cho r, s, t ∈ (G, <). Ta có các điều sau đây:
i) Nếu r < s < t và [r] = [t] thì [r] = [s].
ii) Với mọi n ≥ 1 thì [r
n
] = [r] .
Chứng minh. i) Từ [r] = [t] ta có r < t
m
và t < r
n
với m, n nguyên dương nào
đấy. Với r < s thì r < s ≤ s
m
, và s < t nên s < r
n
. Vậy ta có r < s
m
và s < r
n
nghóa là [r] = [s].
ii) Với mọi n ≥ 1 ta luôn có r ≤ r
n
và (r
n
)
k
≤ r
nk+1
, ∀k ≥ 1. Theo đònh
nghóa phải có [r

n
] = [r] .
21
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Đònh lý 2.1.6. Cho r, s, r
i
∈ (G, <), i ∈ N. Khi đó ta có
i) Phần tử [rs] = max{[r], [s]} = [max{r, s}].
ii) Tổng quát,

i∈I
[r
i
] = max{[r
i
], i ∈ I} = [max{r
i
, i ∈ I}] với r
i
∈ G và I hữu
hạn.
Chứng minh. Trường hợp tổng quát đúng với hữu hạn thừa số nếu nó đúng với
hai phần tử. Vì vậy, ta sẽ chứng minh đònh lý đúng trong trường hợp hai thừa số.
Thật vậy, trường hợp r = s là tầm thường. Giả sử r < s ta sẽ có s < rs < s
2
.
Theo Mệnh đề 2.1.5 (trang 21) ta có [s] = [s
2
] nên [s] = [rs].
Ngược lại, nếu r > s thì tương tự như trên, từ r < rs < r

2
và [r] = [r
2
] ta có
[rs] = [r]. Vậy [rs] = max{[r], [s]} = [max{r, s}].
2.2 Tập sắp thứ tự tốt WO
Đònh nghóa 2.2.1. Tập S ⊆ (G, <) được gọi là tập sắp thứ tự tốt (WO) nếu mọi
tập con không rỗng của S đều chứa phần tử nhỏ nhất.
Mệnh đề 2.2.2. Cho (G, <) là tập sắp thứ tự toàn phần. Với S xác đònh như trên,
các trường hợp sau là tương đương:
i) S là W O.
ii) S thỏa điều kiện DCC, tức là bất kì dãy s
1
≥ s
2
≥ . . . trong S đều tồn tại
n hữu hạn sao cho s
n
= s
n+k
, với mọi k ≥ 1.
iii) Bất kì dãy {s
1
, s
2
, . . .} trong S đều chứa dãy con {s
n1
, s
n2
, . . .}, ở đây n1 <

n2 < . . . là dãy sao cho s
n1
≤ s
n2
≤ . . . .
Chứng minh. Từ ii) ⇒ i), iii) ⇒ ii) là đơn giản. Ta chứng minh i) ⇒ iii).
Thật vậy, giả sử {s
1
, s
2
, . . .} là dãy trong tập S (S là tập W O) của G
+
. Do S
là W O nên tồn tại min{s
i
, i ≥ 1} ta đặt là s
n1
. Khi đó, ta có thể chọn n2 để
s
n2
= min{s
i
, i > n1}. Hiển nhiên s
n1
≤ s
n2
. Cứ tiếp tục quá trình, ta sẽ thu
được dãy s
n1
≤ s

n2
≤ . . . thỏa yêu cầu.
22
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Mệnh đề 2.2.3. Cho S, T là các tập W O của tập sắp thứ tự toàn phần (G, <).
Khi đó
i) S ∪ T là W O.
ii) U := ST = {st, s ∈ S, t ∈ T} cũng W O. Hơn nữa, với bất kì u ∈ U chỉ có
hữu hạn các s ∈ S và t ∈ T để u = st.
iii) Tổng quát, nếu S
i
, i = 1, n là W O thì
n

i=1
S
i
= {s
1
s
2
. . . s
n
, s
i
∈ S
i
} cũng
W O.
Chứng minh. i) Trong S lấy dãy {s

1
, s
2
, . . .} và lấy dãy {t
1
, t
2
, . . .} trong T .
Vì S và T là WO nên tồn tại s = min{s
i
, i ≥ 1} và t = min{t
i
, i ≥ 1}. Rõ
ràng {s
i
, t
i
, i ≥ 1} tạo thành dãy trong S ∪ T. Đặt u = min{s, t} thì ta có
u = min{s
i
, t
i
, i ≥ 1}. Vậy S ∪T là W O.
ii) Ta chứng minh ý thứ nhất. Đặt u
i
= s
i
t
i
, s

i
∈ S, t
i
∈ T, i ≥ 1. Theo Mệnh
đề 2.2.2.iii (trang 22), sau khi xây dựng qua các dãy con ta có thể giả sử:
s
µ(1)
≤ s
µ(2)
≤ . . . ≤ . . .
và
t
µ(υ1)
≤ t
µ(υ2)
≤ . . . ≤ . . .
Lúc này ta có dãy con của dãy {u
i
, i ≥ 1} là u
µ(υ1)
≤ u
µ(υ2)
≤ . . . ≤ . . . . Vì thế,
theo Mệnh đề 2.2.2.iii (trang 22) ta có U = ST là W O.
Với ý thứ hai, cần chỉ ra với bất kì u ∈ U chỉ có hữu hạn các s ∈ S và t ∈ T để
u = st. Giả sử ngược lại, có vô hạn các s = s
i
∈ S và t = t
j
∈ T mà u = st,

i, j = {1, 2, }. Ta viết u = s
1
t
1
= s
2
t
2
= . . Sau khi thay thế {s
1
, s
2
, . . .} bởi
một dãy con (do S là tập W O) ta có thể giả sử rằng s
1
≤ s
2
≤ . . Nếu t
i
< t
i+1
với i nào đó thì s
i
t
i
≤ s
i+1
t
i
< s

i+1
t
i+1
. Đây là một mâu thuẫn. Vậy phải có
t
1
≥ t
2
≥ . . . là một dãy vô hạn. Điều này mâu thuẫn với T là một tập W O (theo
Mệnh đề 2.2.2). Chứng minh iii) hoàn toàn tương tự, xin được bỏ qua.
Cũng từ mệnh đề này ta có hợp hữu hạn các tập W O là W O, tập con của tập
W O cũng là W O.
Đònh lý 2.2.4. Cho S là tập con W O của P trong nhóm thứ tự (G, P ). Đặt
S
n
= {s
1
s
2
. . . s
n
, s
i
∈ S} với n ≥ 1 và S
∞
=

n≥1
S
n

⊆ P. Khi đó
23
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
i) S
∞
là W O.
ii) Bất kì u ∈ S
∞
đều nằm trong hữu hạn các tập S
n
.
Chứng minh. i) Dùng phản chứng. Giả sử rằng S
∞
không là W O. Khi đó, tồn
tại dãy giảm vô hạn trong S
∞
là u
1
> u
2
> u
3
> . . . . Vì u
i
∈ S
∞
=

n≥1
S

n
nên
ta có thể viết u = s
i1
s
i2
. . . s
in
i
với s
ij
∈ S.
Đặt s
i
∗
= max{s
i1
, s
i2
, . . . , s
in
i
∈ S}. Theo Đònh lý 2.1.6.ii (trang 22) ta có
[u
i
] = [s
i1
s
i2
. . . s

in
i
] = [max{s
i1
, s
i2
, . . . , s
in
i
}] = [s
i
∗
]
Vì s
i
∗
∈ S nên {[s
i
∗
]} có phần tử nhỏ nhất, nghóa là với dãy [s
1
∗
] ≥ [s
2
∗
] ≥ . . .
thì sẽ có k
∗
để [s
k

∗
] = [s
k
∗
+1
] = . . . . Vì u
1
> u
2
> . . . nên [u
1
] ≥ [u
2
] ≥ . . .
(theo Mệnh đề 2.1.4.ii, trang 21) và tồn tại k để [u
k
] = [u
k+1
] = . . . = u.
Nếu ta chọn các dãy khác u

1
> u

2
> . . . ; u

1
> u


2
> . . . trong S
∞
thì bằng lập
luận tương tự ta cũng chỉ ra được các lớp u

, u

, . . . tương ứng như trên. Các lớp
Ác-si-mét này đều nằm trong S nên trong chúng có phần tử nhỏ nhất (do S là
W O). Do đó, ta có thể giả sử dãy u
1
> u
2
> . . . được chọn sao cho u là nhỏ nhất
có thể.
Sau khi lược bỏ đi một số hữu hạn các u
i
ta có thể giả sử u = [u
i
] = [s
i
∗
]. Ta
gọi phần tử nhỏ nhất trong các s
i
∈ S, i ≥ 1 là s
U
. Thế thì u
1

≥ s
i
∗
≥ s
U
.
Mặt khác, ta có [u
1
] = [s
U
] nên tồn tại số tự nhiên m sao cho u
1
≤ s
m
U
(hiển
nhiên m ≥ 2) và vì u
j
< u
1
, ∀j > 1 nên u
j
< s
m
U
, ∀j > 1. Vì vậy, không mất
tính tổng quát, giả sử dãy u
1
> u
2

> . . . được chọn sao cho m là nhỏ nhất có thể.
Nghóa là: s
m−1
U
< u
j
< s
m
U
, j ≥ 1 và ta có u
j
≥ s
j
∗
≥ s
U
.
Với u
j
∈ S
∞
ta có thể biểu diễn ở 1 trong 4 dạng sau:
u
j
= s
j
∗
(2.1)
u
j

= v
j
s
j
∗
(2.2)
u
j
= s
j
∗
w
j
(2.3)
u
j
= v
j
s
j
∗
w
j
(2.4)
ở đây v
j
, w
j
∈ S
∞

. Với dạng (2.1) chỉ có hữu hạn các s
j
∗
nên không thỏa mãn.
Ta tập trung vào (2.4) vì từ đây ta có thể áp dụng để xét 2 dạng còn lại một cách
đơn giản.
24
Luận văn Thạc só Toán học Chuyên ngành Đại số.
Vì s
m−1
U
< u
j
< s
m
U
nên
s
m−1
U
< v
j
s
j
∗
w
j
< s
m
U

và do s
j
∗
≥ s
U
nên
v
j
≥ s
m−1
U
, w
j
≥ s
m−1
U
Vì nếu không, với v
j
≥ s
m−1
U
thì
v
j
s
j
∗
≥ s
m−1
U

v
j
≥ s
j
∗
≥ s
m−1
U
s
U
= s
m
U
Đây là một mâu thuẫn (hoàn toàn tương tự ta có w
j
< s
m−1
U
).
Với dãy v
1
, v
2
, . . . bằng lập luận như trên, ta có thể chỉ ra phần tử nhỏ nhất
v = min{[v
j
], j ≥ 1}. Do v
j
< u
j

nên v ≤ u. Từ tính nhỏ nhất của u suy ra
v = u thế nên v < s
m−1
U
= s
m−1
V
. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của m.
ii). Cũng bằng phản chứng, giả sử có u ∈ S
∞
mà nó không nằm trong
hữu hạn các tập S
n
. Với mỗi 1 ≤ i < ∞, ta có thể viết u = s
i1
s
i2
. . . s
in
i
với
2 ≤ n
1
< n
2
< . . . và s
ij
∈ S. Do S
∞
là W O nên ta có thể giả sử u là phần

tử nhỏ nhất có thể. Ta có u = s
i1
(s
i2
. . . s
in
i
) ∈ S.S
∞
. Hơn nữa, vì S và S
∞
đều là W O nên theo Mệnh đề 2.2.3.ii, trang 23 tồn tại phần tử v ∈ G sao cho
v = s
i2
. . . s
in
i
với 1 ≤ i < ∞, tức v không nằm trong hữu hạn các tập S
n
. Mặt
khác s
i1
> 1 với mọi i. Do đó v < u. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của
u.
2.3 Vành chia theo Mal'cev-Neumann
Trong phần này ta luôn ký hiệu R là một vành, (G, <) là một nhóm sắp thứ tự
toàn phần, P = {x ∈ G : x > 1} là tháp nguyên dương của G, và ω : G −→
Aut(R) là đồng cấu nhóm thỏa ω(g) = ω
g
với g ∈ G. Xét vành R((G, ω)) gồm

các tổng hình thức (không nhất thiết hữu hạn) dạng: α =

g∈G
α
g
g với α
g
∈ R.
Với mỗi α như thế ta đònh nghóa
supp(α) := {g ∈ G|α
g
= 0}.
Từ đây ta có đònh nghóa về vành theo Mal'cev-Neumann như sau:
25