Phương trình toán lý và cơ sở toán ứng dụng Lê Xuân Đại

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG
DỤNG

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2015.

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

1/1


Giới thiệu môn học

Nội dung môn học

Nội dung môn học
1

2

3

Môn học trang bị cho sinh viên các kiến thức
cơ bản của phương trình tốn lý và cơ sở tốn
ứng dụng.

Mơn học giúp sinh viên hiểu được vai trò và
ứng dụng của phương trình tốn lý trong các
ngành khoa học cũng như trong cuộc sống.
Kết thúc môn học sinh viên biết ứng dụng các
mơ hình phương trình tốn lý đơn giản cho các
bài toán trong chuyên ngành.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

2/1


Giới thiệu môn học

Nội dung môn học

Nội dung bao gồm các chương sau:
Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai
Bài tốn Cauchy và phương trình sóng
Chuỗi Fourier và ứng dụng
Phương pháp tách biến
Bài toán biên và ứng dụng
Bài toán biên cấp cao
Hàm Green và bài toán biên
Phương pháp biến đổi tích phân
1

2

3

4

5

6

7

8

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

3/1


Giới thiệu môn học

Nhiệm vụ của sinh viên

Nhiệm vụ của sinh viên

Đi học đầy đủ (nếu vắng quá phân nửa số buổi
học trong học kỳ, giáo viên có quyền đề nghị

cấm thi).
Tham dự giờ giảng trên lớp và làm tất cả các
bài tập.
Đọc bài mới trước khi đến lớp.
Nghiên cứu phần mềm tính tốn MatLab để
tính tốn mơ phỏng.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

4/1


Giới thiệu môn học

Phương pháp đánh giá

Phương pháp đánh giá

1

2

Thi giữa kỳ tự luận - 40%.
Thi viết tự luận cuối kỳ (90 phút) - 60%

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.

TP.

5/1


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phan Huy Thiện. Phương trình tốn lý. NXB
GIÁO DỤC VIỆT NAM (2010)
Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực. Phương
pháp toán cho vật lý, tập 1. NXB ĐHQG HÀ
NỘI (2007)
Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa. Phương
pháp toán cho vật lý, tập 2. NXB ĐHQG HÀ
NỘI (2008)
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

6/1


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Nguyễn Kim Đính. Phép biến đổi Laplace.
NXB ĐHQG TPHCM (2011)
Đặng Đình Áng. Biến đổi tích phân. NXB
GIÁO DỤC VIỆT NAM (2009)
Tyn Myint-U, Lokenath Debnath. Linear
Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers. Birkhauser, Boston, Basel, Berlin
(2007).
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

7/1


Những kiến thức cơ bản

Định nghĩa

Định nghĩa
Phương trình đạo hàm riêng là phương trình có
dạng
F (x, y , . . . , u, ux , uy , . . . , uxx , uxy , . . .) = 0, (1)
F −là hàm nhiều biến với biến số là
x, y , . . . , u, ux , uy , . . . , uxx , uxy , . . . .

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

8/1


Những kiến thức cơ bản

Định nghĩa

Ta phải tìm hàm số u(x, y , . . .) sao cho phương
trình (1) là đồng nhất thức theo những biến này,
khi ta thay u(x, y , . . .) và những đạo hàm riêng
của nó vào phương trình trên
∂u
∂u
, uy =
,...
ux =
∂x
∂y
∂ 2u
∂ 2u
uxx = 2 , uxy =
,...
∂x
∂x∂y
.........
Lúc này hàm số u(x, y , . . .) được gọi là nghiệm
của phương trình đạo hàm riêng (1).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

9/1


Những kiến thức cơ bản

Định nghĩa

Chúng ta khơng chỉ tìm nghiệm riêng lẻ mà còn
nghiên cứu mọi tập hợp nghiệm, và trong trường
hợp riêng chọn ra những nghiệm riêng với những
điều kiện bổ sung vào phương trình (1).
Phương trình đạo hàm riêng (1) sẽ trở thành
phương trình vi phân thơng thường, nếu chỉ có 1
biến số.
Cấp của đạo hàm cao nhất trong phương trình vi
phân, được gọi là cấp của phương trình vi phân
này.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

10 / 1

Những kiến thức cơ bản

Ví dụ

∂u
∂u
+ xy 2
= 0− PTĐHR cấp 1.
∂y
∂x
2
∂u
∂u
Ví dụ 2.
+ 3 sin x
+ u − 1 = 0−
∂x
∂y
PTĐHR cấp 1.
2
∂u
2∂ u
Ví dụ 3.
=a
− PTĐHR cấp 2.
∂t
∂x 2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
Ví dụ 4. 2 + 2 + 2 = 0− PTĐHR cấp 2.
∂x

∂y
∂z

Ví dụ 1. 3x

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

11 / 1


Những kiến thức cơ bản

Phương trình tuyến tính

Định nghĩa
Phương trình vi phân được gọi là tuyến tính, nếu
hàm số F tuyến tính theo biến
u, ux , uy , . . . , uxx , uxy , . . . và những hệ số chỉ phụ
thuộc vào biến số x, y , . . . .
Phần lớn ta sẽ nghiên cứu những phương trình
tuyến tính; những phương trình có dạng tổng quát
hơn thường sẽ được biến đổi về những phương
trình tuyến tính.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

12 / 1


Những kiến thức cơ bản

Ví dụ

Ví dụ 1. Phương trình tuyến tính cấp 1 hai biến
∂u
∂u
A +B
+ Cu = f ,
∂x
∂y
trong đó A, B, C , f là hàm hai biến phụ thuộc vào
x, y .
Ví dụ 2. Phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u
∂u
A 2 +2B
+C 2 +D +E +Fu = g ,
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y

trong đó A, B, C , D, E , F , g là hàm hai biến phụ
thuộc vào x, y .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

13 / 1


Những kiến thức cơ bản

Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2

PTVPĐHR tuyến tính cấp 2 được gọi là
Eliptic nếu AC − B 2 > 0
Parabolic nếu AC − B 2 = 0
Hyperbolic nếu AC − B 2 < 0
thuần nhất nếu g = 0, không thuần nhất nếu
g = 0.

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

14 / 1


Những kiến thức cơ bản

1

2

3

4

Ví dụ

∂ 2u ∂ 2u
Phương trình Laplace 2 + 2 = 0 là
∂x
∂y
phương trình eliptic.
2
∂u
2∂ u
Phương trình truyền nhiệt
=a
là
∂t
∂x 2
phương trình parabolic.
2
∂ 2u
2∂ u
Phương trình sóng 2 = a
là phương

∂t
∂x 2
trình hyperbolic.
∂ 2u ∂ 2u
Phương trình Tricomi y 2 + 2 = 0 là PT
∂x
∂y
eliptic ở y > 0 và là PT hyperbolic ở y < 0.

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

15 / 1


Những kiến thức cơ bản

Bài tập

Tìm các miền trong đó các phương trình sau đây
là hyperbolic, parabolic, elliptic
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
+2
−3 2 =0
∂x 2
∂x∂y

∂y
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
− 2x
+ y 2 = u + 1.
∂x 2
∂x∂y
∂y
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

16 / 1


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Đặt vấn đề

Cho phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến
∂ 2u
∂ 2u
∂u
∂u

∂ 2u
+C 2 +D +E +Fu = g ,
A 2 +2B
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
trong đó A, B, C , D, E , F , g là hàm hai biến phụ
thuộc vào x, y .
Bài toán. Bằng cách đổi biến
ξ = ϕ(x, y ), η = ψ(x, y ) và giả sử tồn tại phép
biến đổi ngược, ta sẽ nhận được phương trình mới
có dạng đơn giản nhất tương đương với phương
trình ban đầu. Vấn đề chọn biến mới như thế nào?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

17 / 1


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Đặt vấn đề

ux = uξ ξx + uη ηx , uy = uξ ξy + uη ηy .
uxx = uξξ (ξx )2 +2uξη ξx ηx +uηη (ηx )2 +uξ ξxx +uη ηxx
uxy =

uξξ ξx ξy +uξη (ξx ηy +ξy ηx )+uηη ηx ηy +uξ ξxy +uη ηxy
uyy = uξξ (ξy )2 +2uξη ξy ηy +uηη (ηy )2 +uη ξyy +uη .ηyy
Thay vào phương trình ban đầu ta được
a11uξξ + 2a12uξη + a22uηη + G = 0, trong đó
a11 = A(ξx )2 + 2Bξx ξy + C (ξy )2,
a12 = Aξx ηx + B(ξx ηy + ξy ηx ) + C ξy ηy ,
a22 = A(ηx )2 + 2Bηx ηy + C (ηy )2.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

18 / 1


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình đặc trưng

Định nghĩa
Đường ϕ(x, y ) = C = const được gọi là đường
cong tích phân đặc trưng, nếu nó là nghiệm của
phương trình
∂ϕ
A
∂x

2

∂ϕ ∂ϕ

+ 2B .
+C
∂x ∂y

∂ϕ
∂y

2

= 0.

Vì ϕ(x, y ) = C nên
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy = 0.
∂x
∂y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

19 / 1


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình đặc trưng

Phương trình đặc trưng
A(dy )2 − 2B.dxdy + C (dx)2 = 0
1

2

3

Nếu B 2 − AC > 0 √ PTĐHR có 2 họ đặc
thì
trưng Ady − √ + B 2 − AC )dx = 0 và
(B
Ady + (B + B 2 − AC )dx = 0
Nếu B 2 − AC = 0 thì PTĐHR có 1 họ đặc
trưng Ady − Bdx = 0
Nếu B 2 − AC < 0 thì PTĐHR có 2 họ đặc
trưng Ady − (B + i |B 2 − AC |)dx = 0 và
Ady + (B − i |B 2 − AC |)dx = 0

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

20 / 1


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình loại Hyperbolic

Đối với phương trình Hyperbolic thì B 2 − AC > 0
nên ta có 2 đường cong tích phân ξ(x, y ) và
η(x, y ) do đó a11 = 0 và a22 = 0. Lúc này phương
trình thu được có dạng uξη = Φ(ξ, η, uξ , uη ). Đây
là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình loại
Hyperbolic. Nếu đổi biến thêm 1 lần nữa
ξ+η
ξ−η
1
α=
,β=
, ta được uξ = (uα + uβ ),
2
2
2
1
1
uη = (uα − uβ ), uξη = (uαα − uββ ). Vậy
2
4
uαα − uββ = 4Φ1. Đây là dạng chính tắc thứ hai
của phương trình loại Hyperbolic.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

21 / 1

Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình loại Parabolic

Đối với phương trình Parabolic thì B 2 − AC = 0
nên ta có 1 đường cong tích phân ξ(x, y ) do đó
a√ = A(ξ√2 + 2Bξx ξy + C (ξy )2 =
11
x)
( Aξx + C ξy )2 = 0. Từ đó suy ra
a√ = Aξx√ + B(ξx ηy + ξy ηx ) + C ξy ηy =
ηx
12
√
√
( Aξx + C ξy )( Aηx + C ηy ) = 0. Lúc này
phương trình thu được có dạng
uηη = Φ(ξ, η, uξ , uη ). Đây là dạng chính tắc của
phương trình loại Parabolic.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

22 / 1


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình loại Elliptic

Đối với phương trình Elliptic thì B 2 − AC < 0 nên
ta có 2 đường cong tích phân phức
ξ(x, y ) = ϕ(x, y ) và η(x, y ) = ϕ(x, y ) do đó
a11 = 0 và a22 = 0. Lúc này phương trình thu
được có dạng uξη = Φ(ξ, η, uξ , uη ) giống như
phương trình loại Hyperbolic. Để không gặp biến
ξ+η
phức, ta đổi biến thêm 1 lần nữa α =
,
2
ξ−η
1
β=
, ta được uξη = (uαα + uββ ). Vậy
2i
4
uαα + uββ = 4Φ1. Đây là dạng chính tắc của
phương trình loại Elliptic.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

23 / 1


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Ví dụ

Ví dụ 1.
Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
x 2uxx − y 2uyy = 0
A = x 2, B = 0, C = −y 2. B 2 − AC = x 2y 2 > 0.
Đây là phương trình thuộc dạng Hyperbolic.
Phương trình đặc trưng x 2(dy )2 − y 2(dx)2 = 0 ⇒
xy = C1
xdy + ydx = 0
y
⇔
= C2
xdy − ydx = 0
x
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

24 / 1


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Ví dụ

y
Thực hiện phép đổi biến ξ = xy , η = . Khi đó ta
y x

có ux = uξ ξx + uη ηx = uξ y − uη 2 ,
x
1
uy = uξ ξy + uη ηy = uξ x + uη .
x
uxx = (ux )x =
∂ 2u 2
∂ 2u y 2 ∂ 2u y 2
∂u y
y −2
. 2 + 2. 4 + 2 . 3
∂ξ 2
∂ξ∂η x
∂η x
∂η x
2
2
∂ u 2
∂ u
∂ 2u 1
+
uyy = (uy )y = 2 x + 2
. .
∂ξ
∂ξ∂η ∂η 2 x 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015.
TP.

25 / 1