Tuyển chọn đề THI OXYZ 2002 2011

Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

1
THI I HC:

HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN

1) A- 2011
Cho hai im
(
)
(
)
2;0;1 , 0; 2;3-A B
v mt phng
(
)
: 2 4 0 - + =P x y z
Tỡm ta
im M thuc (P) cho

3= =MA MB
.
Bi gii:

Gi
(
)
; ;
M x y z
, ta cú
(
)
ẻ
M P
v
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2 2
2
2 4 0
2 1 9
2 3 9

ỡ
- - + =
ù
ù
= - + + - =
ớ
ù
+ + + - =
ù
ợ
x y z
MA MB x y z
x y z

(
)
(
)
2 2 2
2
2 4 0 2 2
2 0 3
7 11 4 0
2 1 9
ỡ
- - + = = -
ỡ
ù
ù ù
+ - + = =

ớ ớ
ù ù
- + =
- + + - =
ợ
ù
ợ
x y z x y
x y z z y
y y
x y z

(
)
(
)
; ; 0;1;3 =x y z
ho
c
(
)
6 4 12
; ; ; ;
7 7 7
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ
x y z
.

Vy ta cú
(
)
0;1;3M
hoc
6 4 12
; ;
7 7 7
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
M
.
2) A- 2011
Cho mt cu
(
)
2 2 2
: 4 4 4 0+ + - - - =S x y z x y z

v im
(
)
4;4;0A
. Vit phng trỡnh
m
t phng (OAB), bit im B thuc (S) v tam giỏc OAB u.

Bi gii:

(S) cú tõm
(
)
2;2;2 ,I
bỏn kớnh
2 3.=R
Nhn xột: O v A cựng thuc (S).

Tam
giỏc OAB u, cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip
4 2
3 3
= =
OA
r
.
Khong cỏch:
(
)
(
)
2 2
2
d ,
3
= - =I P R r

(P) i qua O cú phng tr
ỡnh dng:

(
)
2 2 2
0 0 (*)+ + = + + >ax by cz a b c

(P) i qua A, suy ra:
4 4 0 .+ = ị = -a b b a

(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
d , 2 3 .
3
2 2
+ +
= = ị = ị + = ị =
+ + + +
a b c
c c
I P a c c c a
a b c a c a c

Theo (*) suy ra (P):
0- + =x y z
hoc
0- - =x y z
.
3) B- 2011
Cho ng thng
2 1
:
1 2 1
- +
D = =
- -
x y z
v mt phng
(
)
: 3 0.
+ + - =P x y z
Gi I l
giao im ca
D
v
(
)
P
. Tỡm ta im M thuc (P) sao cho MI vuụng gúc vi
D
v
4 14=MI

.

Bi gii:

Ta im I l nghim ca h:
(
)
2 1
1;1;1
1 2 1
3 0
- +
ỡ
= =
ù
ị
- -
ớ
ù
+ + - =
ợ
x y z
I
x y z

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T
ổ Toán THPT Phong Điền

2
Gọi
(
)
; ;
M a b c
, ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
3 0
: 2 2 0
4 14
1 1 1 224
ì
+ + - =

ï
^ D
ì
ï ï
Î Û - - + =
í í
=
ï
î
ï
- + - + - =
ï
î
a b c
MI
M P a b c
MI
a b c

(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 1
3 4
1 2 2 3 3 224
ì

= -
ï
ï
Û = - +
í
ï
- + - + - + =
ï
î
b a
c a
a a a

(
)
(
)
; ; 5;9; 11
Û = -a b c
hoặc
(
)
(
)
; ; 3; 7;13
= - -a b c
.
V
ậy ta có
(

)
5;9; 11-M
hoặc
(
)
3; 7;13- -M
.
4) B- 2011
Cho đư
ờng thẳng
2 1 5
:
1 3 2
+ - +
D = =
-
x y z
và hai đi
ểm
(
)
(
)
2;1;1 , 3; 1;2- - -A B
. Tìm
tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
D
sao cho tam giác MAB có diện tích bằng
3 5.

Bài giải:

Gọi
ÎD
M
, suy ra t
ọa độ M có dạng
(
)
2 ;1 3 ; 5 2 + + - -M t t t

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
;3 ; 6 2 ; 1; 2;1
, 12; 6;
0
3 5 12 6 180 12 0
12
D
Þ = - - = - -

é ù
Þ = - - +
ë û
=
é
= Û + + + + = Û + = Û
ê
= -
ë
 
 
MAB
AM t t t AB
AM AB t t t
t
S t t t t t
t

Vậy
(
)
2;1; 5- -M
và
(
)
14; 35;19- -M
.
5) D- 2011
Cho điểm
(

)
1;2;3A
và đường thẳng
1 3
:
2 1 2
+ -
= =
-
x y z
d
. Vi
ết phương trình đường
thẳng
D
đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.

Bài giải:

Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình:
2 2 2 0.+ - + =x y z

G
ọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra
D
là đư
ờng thẳng đi qua các điểm A, B.

Ta có:
(

)
;0;0
Î ÞB Ox B b
thỏa mãn phương trình
(
)
2 2 0 1;0;0 .
+ = Þ -b B

Phương trình
1 2
: 2 2
3 3
= +
ì
ï
D = +
í
ï
= +
î
x t
y t
z t

6) D- 2011
Cho đư
ờng thẳng
1 3
:

2 4 1
- -
D = =
x y z
và m
ặt phẳng
(
)
: 2 2 0 + =P x y z
Vi
ết
phương tr
ình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
D
, bán kính b
ằng 1 và tiếp xúc với mp
(P).
Bài giải:

Gọi I là tâm của mặt cầu. Do
(
)
1 2 ;3 4 ;
ÎD Þ + +I I t t t
.
Mặt cầu tiếp xúc với (P)
(
)
(
)

(
)
(
)
2 1 2 3 4 2
2
d , 1 1
3
1
+ - + +
=
é
Û = Û = Û
ê
= -
ë
t t t
t
I P
t

Suy ra
(
)
5;11;2I
ho
ặc
(
)
1; 1; 1- - -I

.
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

3
Phng tr
ỡnh mt cu:

(
)
(
)
(
)
2 2 2
5 11 2 1- + - + - =x y z
hoc
(
)
(

)
(
)
2 2 2
1 1 1 1+ + + + + =x y z

7
) A- 2010
Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng
1 2
:
2 1 1
- +
D = =
-
x y z
v mt phng (P):
2 0- + =x y z
. Gi C l giao im ca
D
v (P),
M
l m
t im thuc
D
. Tớnh khong cỏch t M
n mp(P), bit
6=MC
.
Bi gi

i:

ng thng
D
cú vect ch phng
(
)
2;1; 1= -

v
v

m
t phng (P) cú vect phỏp tuyn
(
)
1; 2;1= -

n
.
Gi H l hỡnh chiu ca M trờn (P), ta cú:

(
)
cos cos , .=

HMC v n

Ta cú:
(

)
(
)
(
)

2 2 1
1
d , .cos . cos , 6.
6 6 6
- -
= = = = =

M P MH MC HMC MC v n

8
) A- 2010 C
ho im
(0;0; 2)-A
v
2 2 3
:
2 3 2
+ - +
D = =
x y z
. Tớnh khong cỏch t A n
D
. Vit
phng trỡnh mt cu tõm A, ct

D
ti hai im B, C sao cho
8=BC
.

Bi gii:


ng thng
D
i qua i
m
(
)
2;2; 3- -M
, nh
n
(
)
2;3;2=

v
lm vect ch
phng.

Ta cú:
(
)
(
)

2; 2;1 , 7;2; 10
ộ ự
= - ị = -
ở ỷ


MA v MA

Suy ra:
(
)
,
49 4 100
d , 3
4 9 4
ộ ự
+ +
ở ỷ
D = = =
+ +



v MA
A
v

Gi (S) l mt cu tõm A, ct
D
ti B v C sao cho

8
=BC
. Suy ra bỏn kớnh c
a (S) l:
5=R
.

9) B- 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ), trong đó A B b C c

, 0 và mặt phẳng ( ) : 1 0. Xác định và , biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với
1
mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng .
3
b c P y z b c
> - + =


Bi gi
i:

Mt phng (ABC) cú phng trỡnh:
1
1
+ + =
x y z
b c
.

Mt phng (ABC) vuụng gúc vi mt phng (P):

1 0- + =y z
, suy ra:
1 1
0- =
b c
(1)
Ta cú:
(
)
(
)
2 2
2 2
1 1 1 1 1
d O, ABC 8
3 3
1 1
1
= = + =
+ +
b c
b c
(2)

T
(1) v (2), do
, 0>b c
suy ra
1
2

= =b c
.

10) B- 2010
1
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đờng
thẳng : . Xác định tọa độ
2 1 2
x y z
-
D = =

DDDD
M
H
C
P

Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

4
điểm M
trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến bằng OM.D

Bi gi
i:

ng thng
D
i qua im
(
)
0;1;0A
v cú vect ch phng
(
)
2;1;2=

v
.
Do M thuc trc honh, nờn M cú ta
(
)
;0;0t
, suy ra:
(
)
; 1;0= -

AM t
.
(
)
(
)
2
2
, 2;2 ; 2
1
5 4 8
d , 2 0
3
2
ộ ự
ị = - -
ở ỷ
= -
ộ
+ +
ị D = = - - =
ờ
=
ở


v AM t t
t
t t
M OM t t t

t

Suy ra
(
)
1;0;0-M
ho
c
(
)
2;0;0M
.
11) D- 2010
Trong không gian Oxyz, cho hai mp(P): 3 0
và (Q): 1 0.x y z x y z+ + - = - + - =

Viết phơng trình mp(R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

Bi gi
i:

Ta cú vect phỏp tuyn ca (P) v (Q) ln lt l:
(
)
1;1;1
=

P
n
v

(
)
1; 1;1
= -

Q
n
, suy ra:
(
)
, 2;0; 2
ộ ự
= -
ở ỷ

P Q
n n
l vect phỏp tuyn ca (R).

Mt phng (R) cú phng trỡnh dng
0
- + =x z D
.
Ta cú
(
)
(
)
d ,
2

=
D
O R
suy ra:
2 2 2
2
= =
D
D
hoc
2 2= -D
.

V
y phng trỡnh mt phng (R):
2 2 0
- + =x z
ho
c
2 2 0
- - =x z
.
1 2
1 2
3
1
2) D- 2010 Trong không gian Oxyz, cho đờng thẳng : và : .
2 1 2
Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến bằng 1.
= +

ỡ
-
ù
D = D = =
ớ
ù
=
ợ
D D
x t
x y z
y t
z t

Ta cú: +
1
ẻDM
, nờn
(
)
3 ; ;+M t t t
.
+
2
D
i qua
(
)
2;1;0A
v cú vect ch

phng
(
)
2;1;2=

v
.
Do ú:
(
)
(
)
1; 1; ; , 2 ;2; 3 .
ộ ự
= + - = - -
ở ỷ


AM t t t v AM t t

Ta cú:
(
)
2
2
,
2 10 17
d ,
3
ộ ự

- +
ở ỷ
D = =



v AM
t t
M
v
suy ra
2
2 10 17
1
3
- +
=
t t

2
1
5 4 0
4
=
ộ
- + =
ờ
=
ở
t

t t
t

Suy ra
(
)
4;1;1
M
hoc
(
)
7;4;4
M
.
1
2) A- 2009
Trong khụng gian v
i h ta Oxyz
,
cho m
t phng
( ) : 2 2 4 0- - - =P x y z
v mt
c
u
(
)
2 2 2
S : 2 4 6 11 0x y z x y z+ + - - - - =
. Chng minh rng: mt phng (P) ct mt cu

(S) theo
mt ng trũn. Xỏc nh ta tõm v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú.

Bi gi
i:

(S) cú tõm
(
)
1;2;3I
, bỏn kớnh
5=R
.
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

5
Kho
ng cỏch t I n (P):
(

)
(
)
2 4 3 4
d , 3
3
- - -
= = <I P R
; suy ra .p.c.m

G
i H v r ln lt l tõm v bỏn kớnh ca ng trũn giao tuyn, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I
trờn (P):
(
)
(
)
2 2
d , 3, 4= = = - =IH I P r R IH
.
Ta
(
)
; ;
H x y z
tha món:
1 2
2 2
3
2 2 4 0

= +
ỡ
ù
= -
ù
ớ
= -
ù
ù
- - - =
ợ
x t
y t
z t
x y z

Gii h ta c
(
)
3;0;2H
.
13) A-2009
Trong khụng gian v
i h ta Oxyz cho mt phng
(
)
P : 2 2 1 0
x y z- + - =
v 2
ng thng

D
1
:
1 9
1 1 6
+ +
= =
x y z
v D
2
:
1 3 1
2 1 2
- - +
= =
-
x y z
. Xỏc nh ta im M thuc
ng thng
D
1
sao cho khong cỏch t M n ng thng
D
2
v khong cỏch t M n mt
ph
ng (P) bng nhau.

Bi gi
i:

2
D
qua
(
)
1;3; 1-A
v cú vect ch phng
(
)
2;1; 2= -

u
.
(
)
(
)
(
)
1
2
1 ; ; 9 6
2 ;3 ;8 6 , , 8 14;20 14 ; 4
, 3 29 88 68
ẻD ị - + - +
ộ ự
= - - - = - - -
ở ỷ
ộ ự

ị = - +
ở ỷ




M M t t t
MA t t t MA u t t t
MA u t t

Kho
ng cỏch t M n
2
D
:
(
)
2
2
,
d , 29 88 68
ộ ự
ở ỷ
D = = - +



MA u
M t t
u

Khong cỏch t M n (P):
(
)
(
)
(
)
2
2 2
1 2 12 18 1 11 20
d ,
3
1 2 2
- + - + - - -
= =
+ - +
t t t t
M P

(
)
2 2
1
11 20
29 88 68 35 88 53 0
53
3
35
53 18 53 3

1 0;1; 3 ; ; ;
35 35 35 35
=
ộ
-
ờ
ị - + = - + =
ờ
=
ở
ổ ử
= ị - = ị
ỗ ữ
ố ứ
t
t
t t t t
t
t M t M

14) B-2009 Trong khụng gian
vi h to Oxyz, cho t din ABCD cú cỏc nh
(
)
1;2;1 ,A

(
)
(
)

2;1;3 , 2; 1;1B C- -
v
(
)
0;3;1D
. Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho
khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P).

Bi gii:

Mt phng (P) tha món yờu cu bi toỏn trong hai trng hp sau:

Tr
ng hp 1: (P) i qua A, B v song song vi CD.

Vec t phỏp tuy
n ca (P):
,
ộ ự
=
ở ỷ


n AB CD
.
(
)
(
)
(

)
3; 1;2 , 8; 4; 14 8; 4; 14= - - = - - - ị = - - -


AB CD n
.

Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

6
Phng trỡnh (P):
4 2 7 15 0+ + - =x y z

Trng hp 2: (P) qua A, B v ct CD. Suy ra (P) ct CD ti trung im I ca CD.

Ta cú:
(
)
(

)
1;1;1 0; 1;0ị = -

I AI
; vect phỏp tuyn ca (P):
(
)
, 2;0;3
ộ ự
= =
ở ỷ


n AB AI

Phng trỡnh (P):
2 3 5 0
+ - =x z
.
V
y (P):
4 2 7 15 0+ + - =x y z
hoc (P):

2 3 5 0+ - =x z
.
15) B-2009
Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng
(
)

P : 2 2 5 0x y z- + - =
v hai
im
(
)
(
)
3;0;1 , 1; 1;3
A B- -
. Trong cỏc
ng thng i qua A v song song vi (P), hóy vit
phng trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l nh nht.

Bi gi
i:

Gi
D
l ng thng cn tỡm;
D
nm trong mt phng (Q) qua A v song song vi (P).

Phng tr
ỡnh (Q):
2 2 1 0- + + =x y z
.
K, H l hỡnh chiu ca B lờn
D
, (Q). Ta cú
BK BH

nờn AH l ng thng cn tỡm.

Ta
(
)
; ;H x y z
th
a món:
1 1 3
1 11 7
; ;
1 2 2
9 9 9
2 2 1 0
- + -
ỡ
= =
ù
ổ ử
ị -
-
ớ
ỗ ữ
ố ứ
ù
- + + =
ợ
x y z
H

x y z

26 11 2
; ;
9 9 9
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ

AH
. Vy phng trỡnh
3 1
:
26 11 2
+ -
D = =
-
x y z
.
16) D-2009
Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im
(
)
(
)
(
)
2;1;0 , 1;2;2 , 1;1;0A B C
v

m
t phng
(
)
P : 20 0x y z+ + - =
. Xỏc nh ta im D thuc ng thng AB sao cho ng
thng CD song song vi mt phng (P).

Bi gii:

(
)
1;1;2= -

AB
, phng trỡnh
2
: 1
2
= -
ỡ
ù
= +
ớ
ù
=
ợ
x t
AB y t
z t

.

D thuc ng thng AB
(
)
(
)
2 ;1 ;2 1 ; ;2 .ị - + ị = -

D t t t CD t t t

Vec
t phỏp tuy
n ca mt phng (P):
(
)
1;1;1=

n
.
Ta cú:
C khụng thuc mt phng (P).

(
)
1
//( ) . 0 1. 1 1. 1.2 0
2
= - + + = = -

CD P n CD t t t t
. Vy
5 1
; ; 1
2 2
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
D
.
17)
D-2009
Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng
D:
2 2
1 1 1
+ -
= =
-
x y z
v mt
phng
(
)
P : x 2y 3z 4 0
+ - + =
. Vit phng trỡnh ng thng d nm trong (P) sao cho d ct v
vuụng gúc v

i ng thng
D
.
Bi gi
i:

Ta giao im I ca
D
v
i (P) tha món h:
(
)
2 2
3;1;1
1 1 1
2 3 4 0
+ -
ỡ
= =
ù
ị -
-
ớ
ù
+ - + =
ợ
x y z
I
x y z
.

Vect phỏp tuy
n ca mt phng (P):
(
)
1;2; 3= -

n
, vect ch
phng ca
(
)
: 1;1; 1D = -

u
.
K
H
B
A
Q

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T
ổ Toán THPT Phong Điền

7
Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương
[
]
(
)
, 1; 2; 1= = - -
  
v n u
.
Phương trình
3
: 1 2
1
= - +
ì
ï
= -
í
ï
= -
î
x t
d y t
z t

.
18)
A-2008 Tro
ng không gian với hệ toạ độ Oxy
,
cho điểm
(
)
2;5;3A
và
1 2
:
2 1 2
- -
= =
x y z
d

a
) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

b
) Viết phương trình mp(
a
) ch
ứa d sao cho khoảng cách từ A đến (
a
) l
ớn nhất .

Bài giải:

a
) Đư
ờng thẳng d có vectơ chỉ phương
(
)
2;1;2
=

u
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d,
suy ra
(
)
(
)
1 2 ; ;2 2 ; 2 1; 5;2 1 .+ + = - - -

H t t t AH t t t

Vì
^AH d
suy ra
(
)
(
)
. 0 2 2 1 5 2 2 1 0 1.= Û - + - + - = Û =



AH u t t t t

Suy ra
(
)
3;1;4
H
.
b
) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
(
)
a
.
Ta có:
(
)
(
)
d A,
a
= £AK AH
. Do đó
(
)
(
)
d A,
a

l
ớn nhất
AK AHÛ =
, hay
ºK H
.
Suy ra
(
)
a
qua H và nhận
(
)
1; 4;1= -

AH
làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình của
(
)
a
là:
(
)
(
)
(
)
1 3 4 1 1 4 0 4 3 0 - - + - = Û - + - =x y z x y z

19) B-2008
Trong không gian v
ới hệ toạ độ Oxyz
,
cho ba đi
ểm
(
)
(
)
(
)
0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1
A B C- -
.
a
) Vi
ết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A,

B, C.
b
) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng

2 2 3 0x y z+ + - =
sao cho
MA MB MC
= =
.

Bài gi
ải:

a) Ta có:
(
)
(
)
(
)
2; 3; 1 , 2; 1; 1 , 2;4; 8
é ù
= - - = - - - Þ = = -
ë û
   

AB AC n AB AC
.
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận

n
làm vetơ pháp tuyến nên có phương trình:

(
)
(
)
(
)
2 0 4 1 8 2 0 2 4 6 0- + - - - = Û + - + =x y z x y z

.
b
) Ta có
. 0=
 
AB AC
nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trung
đi
ểm
(
)
0; 1;1-I
của BC.

Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình:

2 2 3 0
1 1
1 2 4
+ + - =
ì
ï
í
+ -
= =
ï
-
î
x y z
x y z

Suy ra
(
)
2;3; 7-M

20) D-2008
Trong không gian Oxyz ,cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;
0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a
) Vi
ết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A,

B, C, D.
b
) Tìm to
ạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài gi
ải:

a
) Phương tr
ình mặt cầu cần tìm có dạng:

(
)
(
)
2 2 2 2 2 2

2 2 2 0 * 0 (**)+ + + + + + = + + - >x y z ax by cz d a b c d

Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

8
Thay ta ca cỏc im A, B, C, D vo (*) ta c h phng trỡnh:
6 6 18
6 6 18
6 6 18
6 6 6 27
+ + = -
ỡ
ù
+ + = -
ù
ớ
+ + = -
ù
ù

+ + + = -
ợ
a b d
a c d
b c d
a b c d


Gi
i h phng trỡnh trờn v i chiu iu kin (**) ta c phng trỡnh mt cu:

2 2 2
3 3 3 0+ + - - - =x y z x y z
.
b
) Mt cu i qua A, C, C, D cú tõm
3 3 3
; ;
2 2 2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
I
.

Gi phng trỡnh mt phng i qua ba im A, B, C l:
(
)
2 2 2
0 0+ + + = + + >mx ny pz q m n p

.
Thay ta cỏc im A, B, C vo phng trỡnh ta c:

3 3 0
3 3 0 6 6 6 0
3 3 0
+ + =
ỡ
ù
+ + = ị = = = - ạ
ớ
ù
+ + =
ợ
m n q
m p q m n p q
n p q

Do ú phng tr
ỡnh mt phng (ABC) l:
6 0+ + - =x y z
.

Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC chớnh l hỡnh chiu vuụng gúc H ca im I trờn mt
ph
ng (ABC).

Phng trỡnh ng thng IH:
3 3 3
2 2 2

1 1 1
- - -
= =
x y z
.
Ta im H l nghim ca h phng trỡnh
6 0
3 3 3
2 2 2
1 1 1
+ + - =
ỡ
ù
ù
ớ
- - -
ù
= =
ù
ợ
x y z
x y z

Gi
i h trờn ta c
(
)
2;2;2H
.
21)

D b A 1
-2008
Trong khụng gian vi h ta Oxyz
,
cho hai ng thng

1
3 3 3
:
2 2 1
- - -
= =
x y z
d
;
2
5 6 6 13 0
:
6 6 7 0
- - + =
ỡ
ớ
- + - =
ợ
x y z
d
x y z

a
)

Ch
ng minh rng
1
d
v
2
d
ct nhau .

b)
G
i I l giao im ca
1
d
v
2
d
.
Tỡm t
a cỏc im A,

B l
n lt thuc
1
d
,
2
d
sao cho
tam giỏc IAB cõn ti I v cú din tớch bng

41
42
.
Bi gii:

a
) T
a giao im ca

1
d
v
2
d

( n
u cú )l nghim ca h phng trỡnh:

3 3 3
1
2 2 1
5 6 6 13 0 1
6 6 7 0 2
- - -
ỡ
= =
ù
=
ỡ
ù

ù
- - + = =
ớ ớ
ù ù
- + - = =
ợ
ù
ợ
x y z
x
x y z y
x y z z
Vy
1
d
ct
2
d
ti giao im
(
)
1;1;2I
.
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B

O

()
T
Toỏn THPT Phong in

9
b)
1
d
i qua i
m
(
)
1
3;3;3M
cú
vect ch phng

1
(2;2;1)u =

;
2
d

l giao tuy
n hai mt phng cú vec t phỏp tuyn ln lt l
1
(5; 6; 6)n = - -

;
2
(1; 6;6)n = -

nờn
cú ve
ct ch
phng
l
[
]
(
)
1 2
; 72; 36; 24n n = - - -

.
Ch
n vect ch phng
l
2
(6;3;2)u =


Gi
j
l gúc gia hai ng thng
1
d

v
2
d

.
Ta cú:
1 2
2
1 2
.
20 41
cos sin 1 cos
. 21 21
u u
u u
j j j
= = ị = - =



Gi s
0.
IA IB a= = >
D
i
n tớch ca tam giỏc IAB l

2
1 41 41
. . .sin . 1

2 42 42
S IA IB a a
j
= = = ị =


Vy A nm trờn mt cu (S) tõm I bỏn kớnh bng 1
:
(S) :
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 1- + - + - =x y z

Ta cú
(
)
1
A d S
= ầ
nờn ta A l nghim ca h phng trỡnh
2 2 2
3 2
3 2
3
( 1) ( 1) ( 2) 1
= +
ỡ
ù
= +
ù
ớ

= +
ù
ù
- + - + - =
ợ
x t
y t
z t
x y z

2 2 2
3 2
2 5 5 7
; ;
3 2
3 3 3 3
3
4 1 1 5
; ;
3 3 3 3
(2 2) (2 2) ( 1) 1
= +
ỡ
ộ
= - ị = = =
ù
ờ
= +
ù
ị

ờ
ớ
= +
ờ
ù
= - ị = = =
ờ
ù
ở
+ + + + + =
ợ
x t
t x y z
y t
z t
t x y z
t t t

v
(
)
2
B d S= ầ
nờn ta B l nghim ca h phng trỡnh

2 2 2
1 6
1 3
2 2
( 1) ( 1) ( 2) 1

= +
ỡ
ù
= +
ù

ớ
= +
ù
ù
- + - + - =
ợ
x t
y t
z t
x y z

2 2 2
1 6
1 13 10 16
; ;
1 3
7 7 7 7
2 2
1 1 4 12
; ;
7 7 7 7
(6 ) (3 ) (2 ) 1
= +
ỡ

ộ
= ị = = =
ù
ờ
= +
ù
ị
ờ
ớ
= +
-
ờ
ù
= ị = = =
ờ
ù
ở
+ + =
ợ
x t
t x y z
y t
z t
t x y z
t t t

Vy cú 4 cp im A,

B c
n tỡm l:

5 5 7 13 10 16
; ; ; ; ;
3 3 3 7 7 7
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
A B
hoc

5 5 7 1 4 12
; ; ; ; ;
3 3 3 7 7 7
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
A B

Ho
c
1 1 5 13 10 16
; ; ; ; ;
3 3 3 7 7 7
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
A B
hoc
1 1 5 1 4 12

; ; ; ; ;
3 3 3 7 7 7
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
A B

22)
D b A 2
-2008
Trong khụng gian h ta Oxyz, cho mt phng (P)
:
2 3 3 1 0x y z+ - + =
,
ng thng
1
3 5
:
2 9 1
- +
= =
x y z
d
v 3 im
(
)
(
)
(
)

4;0;3 , 1; 1;3 , 3;2;6 .A B C- -

a)
Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua ba im A,
B,
C v cú tõm thuc mt phng (P) .

b)
Vi
t phng trỡnh mt phng (Q) cha ng thng d v ct mt cu (S) theo mt

ng trũn cú bỏn kớnh ln nht .

Bi gii:

a
) G
i mt cu (S) cn tỡm cú phng trỡnh
2 2 2
( ) : 2 2 2 0+ + + + + + =S x y z ax by cz d


cú tõm
(
)
; ;
I a b c- - -
.
Ta cú: A, B,
C thu

c (S) v I thuc (P) nờn ta cú h phng trỡnh
:

Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

10
8 6 25 0
2 2 6 11 0
6 4 12 49 0
2 3 3 1 0
+ + + =
ỡ
ù
- - + + + =
ù

ớ
+ + + + =
ù

ù
- - + + =
ợ
a c d
a b c d
a b c d
a b c
8 6 25 0 1
10 2 14 0 2
2 4 6 24 0 3
2 3 3 1 0 1
+ + + = = -
ỡ ỡ
ù ù
+ + = = -
ù ù

ớ ớ
- + + + = = -
ù ù
ù ù
- - + + = =
ợ ợ
a c d a
a b b
a b c c
a b c d


Phng tr

ỡnh mt cu
:
2 2 2
( ) : 2 4 6 1 0
+ + - - - + =S x y z x y z
cú tõm
(
)
1;2;3
I
.
b
) Mt phng (Q) ct mt cu theo ng trũn cú bỏn kớnh ln nht l mt phng i qua tõm I ca
mt cu
.
ng thng d i qua im M(3;0;
5) v cú
vect ch phng

(2;9;1)u =

,
(
)
2; 2; 8= - -

IM

(
)

, 70; 18;22IM u
ộ ự
ị = -
ở ỷ



M
t phng (Q) cú vect phỏp tuyn

(
)
35; 9;11n = -


nờn cú phng trỡnh

(Q):
(
)
(
)
(
)
35 1 9 2 11 3 0 35 9 11 50 0.x y z x y z- - - + - = - + - =

23)

D b B 1
-2008

Trong khụng gian vi h ta Oxyz
, cho
1
3 5
:
2 9 1
- +
= =
x y z
d
v hai im
(
)
(
)
5;4;3 , 6;7;2 .A B

a)
Vit phng trỡnh ng thng
2
d
i qua hai i
m A,
B
. Chng minh rng hai ng

thng
1
d
v

2
d
chộo nhau
b)
Tỡm im C thuc
1
d
sao cho tam
giỏc ABC cú din tớch nh nht. Tớnh giỏ tr nh nht

ú
.
Bi gii:

a)

ng thng
1
d
qua im
(
)
3;0;5
M
v
nh
n
1
(2;9;1)u =

lm
vect ch
phng.

ng thng
2
d
i qua i
m
(
)
5;4;3A
v
nhn
2
(1;3; 1)u AB= = -



lm vect ch phng nờn cú
phng trỡnh
2
5 4 3
:
1 3 1
- - -
= =
-
x y z
d

.
Ta cú:
(2;4;8)=

MA
v
[
]
1 2
, ( 12;3; 3)u u = - -

[
]
1 2
, . 24 12 24 36 0u u MAị = - + - = - ạ



Vy hai ng thng
1
d
v
2
d
chộo nhau .

b) Ta cú:
C thuc ng thng
1
d

nờn t
a
(3 2 ;9 ; 5 )+ - +C t t t
v
(2 2;9 4; 8)= - - -

AC t t t

2
, (12 28; 3 10;3 2) , 162 720 888
AB AC t t t AB AC t t
ộ ự ộ ự
ị = - - + + ị = - +
ở ỷ ở ỷ


2
1 162 720 888
,
2 2
- +
ộ ự
= =
ở ỷ

ABC
t t
S AB AC

Din tớch nh nht khi

20 67 25
;20;
9 9 9
ổ ử
= ị -
ỗ ữ
ố ứ
t C
v
min
22S =
(
.v.d.t)
24)

D
b B 2
-
2008 Cho 3
i
m
(
)
(
)
(
)
1;0; 1 , 2;3; 1 , 1;3;1
A B C- -
v d:

1 0
4
- + =
ỡ
ớ
+ + =
ợ
x y
x y z

a)
Tỡm ta im D thuc ng thng d sao cho th tớc
h c
a t din ABCD bng
1.
b)
Vi
t phng trỡnh tham s ca ng thng i qua trc tõm H ca tam giỏc ABC v

vuụng gúc vi mt phng (ABC)
.
Bi gii:

Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B

O

()
T
Toỏn THPT Phong in

11
a)

(1;3;0); (0;3;2) , (6; 2;3)AB AC AB AC
ộ ự
= = ị = -
ở ỷ


Phng tr
ỡnh mt phng (ABC):
6 2 3 3 0.x y z- + - =

Din tớch tam giỏc ABC :
1 7
,
2 2
ộ ự
= =
ở ỷ

ABC
S AB AC

Gi h l khong cỏch t D n mt phng (ABC) :
3 6
7
= =
ABC
V
h
S

T
phng trỡnh ng thng d
:

1 0
4
- + =
ỡ
ớ
+ + =
ợ
x y
x y z
.
Ta cú
(
)
(
)
(
)

0;1;3 , 1;0;5 1;1; 2M N NM- ị = -

.

Phng trỡnh ng thng d:
1
3 2
=
ỡ
ù
= +
ớ
ù
= -
ợ
x t
y t
z t

Ta cú:
(
)
;1 ;3 2
D d D t t tẻ ị + -
. Do
5 (5;6; 7)
6 | 4 2 | 6
7 7 7
1 ( 1;0;5)
= -

ộ ộ
-
= ị = ị ị
ờ ờ
= - -
ở ở
t D
t
h
t D

b)
G
i
(
)
; ;
H a b c
l t
a trc tõm tam giỏc ABC
:

( 1; ; 1) ; ( 2; 3; 1) ; ( 1;0;2) ; (0;3;2)AH a b c BH a b c BC AC= - + = - - + = - =


Ta cú h phng trỡnh

. 0
2 2 0
85 135 31

. 0 3 2 7 0 ; ;
49 49 49
( ) 6 2 3 3 0
AH BC
a c
BH AC b c a b c
H ABC a b c
ỡ
=
- + + =
ỡ
ù
-
ù ù
= ị + - = ị = = =
ớ ớ
ù ù
ẻ - + - =
ợ
ù
ợ



Phng trỡnh ng thng cn
tỡm
85
6
49
135

2
49
31
3
49
ỡ
= +
ù
ù
ù
= -
ớ
ù
-
ù
= +
ù
ợ
x t
y t
z t

25)
D b D
-2008 C
ho mt phng (
a):
2 2 1 0x y z- + + =
v:
1 1

:
1 2 2
- -
= =
-
x y z
d

a)
Tỡm ta giao im ca d vi (
a)
. Tớnh sin ca gúc gia d v (
a).
b
)
Vi
t phng trỡnh mt cu cú tõm thuc d tip xỳc vi hai mt phng (
a
) v (Oxy).
Bi gii:

a
) Ta giao im ca ng thng d v mp(
a
) l nghim h phng trỡnh :

2 1 0 3/ 2
1 1
3
1 0 2 ;2; 1

1 2 2
2
2 2 1 0
2 2 1 0 1
- - = =
ỡ ỡ
- -
ỡ
= =
ù ù ù
ổ ử
+ - = = ị -
-
ớ ớ ớ
ỗ ữ
ố ứ
ù ù ù
- + + =
- + + = = -
ợ
ợ ợ
x y x
x y z
y z y A
x y z
x y z z

d cú VTCP
(1;2; 2)u = -

; (a) cú
vect phỏp tuyn
(2; 1;2)n = -

.
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

12
G
i
j
l gúc gia d v (
a)
.
4
sin
. 9
u v
u v

j
ị = =



b
) T
a giao im ca ng thng d v mp(Oxy) l nghim h phng trỡnh :

(
)
1
1 1
1 1;1;0
1 2 2
0
0
=
ỡ
- -
ỡ
= =
ù ù
= ị
-
ớ ớ
ù ù
=
=
ợ

ợ
x
x y z
y B
z
z

Mt cu cú tõm I thuc d tip xỳc vi (
a
) v (Oxy) ị
Tõm I l trung i
m AB

Tõm
5 3 1
; ;
4 2 2
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
I
bỏn kớnh R =
(
)
1
d ;( xy)
2
I O =

Phng trỡnh mt cu cn tỡm
2 2 2
5 3 1 1
( ) :
4 2 2 4
ổ ử ổ ử ổ ử
- + - + + =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
S x y z

26)
A-2007 Trong khụng gian Oxyz, cho
1
1 2
:
2 1 1
- +
= =
-
x y z
d

v
2
1 2
: 1
3
= - +
ỡ

ù
= +
ớ
ù
=
ợ
x t
d y t
z

a
) Ch
ng minh rng
1
d
v
2
d
chộo nhau.
b
) Vi
t phng trỡnh ng thng d vuụng gúc vi mt phng (P):
7 4 0x y z+ - =
v ct

hai ng thng
1
d
v
2

d
.
Bi gii:

a) +
1
d

i qua
(
)
0;1; 2-M
, cú vect ch
phng
(
)
1
2; 1;1 ,= -

u

+
2
d

i qua
(
)
1;1;3-N
, cú vect ch

phng
(
)
2
2;1;0 .=

u

Ta cú
[
]
(
)
1 2
, 1;2;4= -

u u
v
(
)
1;0;5
= -

MN
.
[
]
1 2
, . 21 0= ạ ị

u u MN
1
d
v
2
d
chộo nhau.
b
)
Gi s
d
ct
1
d

v
2
d

ln lt ti A, B. Vỡ
1 2
, ẻ ẻA d B d
nờn
(
)
(
)
(
)

2 ;1 ; 2 , 1 2 ;1 ;3 2 2 1; ; 5- - + - + + ị = - - + - +

A s s s B t t AB t s t s s
.

(P) cú vec t phỏp tuy
n
(
)
7;1; 4 .= -

n

Ta cú
(
)
^

AB P AB
cựng phng vi

n
.
5 9 1 0 1
2 2 1 5
7 1 4
4 3 5 0 2
+ + = =
ỡ ỡ
- - + - +

= =
ớ ớ
-
+ + = = -
ợ ợ
t s s
t s t s s
t s t

Phng trỡnh ca d l:
2 1
7 1 4
- +
= =
-
x y z

27) B-2007 Trong khụng gian Oxyz, cho
m
t cu
(
)
2 2 2
: 2 4 2 3 0S x y z x y z+ + - + + - =
v m
t
phng
(
)
: 2 2 14 0P x y z- + - =

.
a
) Vi
t phng trỡnh mt phng (Q) cha trc Ox v ct (S) theo 1 ng trũn cú bỏn kớnh

bng 3.

b
) Tỡm to
M thuc mt cu (S) sao cho khong cỏch t M n mp(P) ln nht.

Bi gii:

a) (S):
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 2 1 9
- + + + + =x y z
cú tõm
(
)
1; 2; 1- -I
v bỏn kớnh
3.=R

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T
ổ Toán THPT Phong Điền

13
Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo tròn có bán kính
3=R
nên (Q) chứa I.

(Q) có cặp vectơ chỉ phương là:
(
)
(
)
1; 2; 1 , 1;0;0= - - =


OI i

Þ
vectơ pháp tuyến của (Q) là:

(
)
, 0; 1;2
é ù
= = -
ë û



n OI i
.
Phương tr
ình của (Q) là:
(
)
(
)
(
)
0. 0 1. 0 2 0 0 2 0 - - + - = Û - =x y z y z

b
) G
ọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm A, B.
Nh
ận xét: Nếu
(
)
(
)

(
)
(
)
d , d ,³A P B P
thì
(
)
(
)
d ,M P
lớn nhất khi
.ºM A

Phương trình đường thẳng d:
1 2 1
.
2 1 2
- + +
= =
-
x y z

Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ phương trì
nh:
(
)
(
)
(

)
2 2 2
1 2 1
2 1 2
1 2 1 9
- + +
ì
= =
ï
-
í
ï
- + + + + =
î
x y z
x y z

Giải hệ ta tìm được hai giao điểm
(
)
(
)
1; 1; 3 , 3; 3;1 .
- - - -A B

Ta có:
(
)
(
)

(
)
(
)
d , 7 d , 1= ³ =A P B P
.
Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi
(
)
1; 1; 3- - -M
.
28) D- 2007
Trong không gian h
ệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(
)
(
)
1;4;2 , 1;2;4 A B -
và đường
thẳng
1 2
:
1 1 2
x y z
- +
D = =
-
.

a
) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc

với mặt phẳng (OAB).

b
) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
D
sao cho
2 2
MA MB+
nhỏ nhất.

Bài giải:

a
) Tọa độ trọng tâm:
(
)
0;2;2
G
. Ta có:
(
)
(
)
1;4;2 , 1;2;4= = -
 
OA OB

Vectơ ch
ỉ phương của d là:
(
)
(
)
12; 6;6 6 2; 1;1= - = -

n
.
Phương trình đường thẳng d:
2 2
2 1 1
- -
= =
-
x y z
.
b
) Vì
(
)
(
)
2
2 2 2
1 ; 2 ;2 12 48 76 12 2 28 28
ÎD Þ - - + Þ + = - + = - + ³M M t t t MA MB t t t
.
Ta có:

2 2
+MA MB
nhỏ nhất
2
Û =t
. Khi đó
(
)
1;0;4-M
.
29)
Dự bị 1
-A-2007
Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(
-1;3;-2), B(-3;7;-18) và
mp
(
)
P : 2 1 0
- + + =x y z
.
a
) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) .

b
) Tìm to
ạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA +MB nhỏ nhất.

Bài gi
ải:

a) Ta có
( 2;4; 16)AB = - -

cùng ph
ươ
ng với
(
)
1;2; 8a = - -

.
Mặt phẳng (
P) có
vectơ pháp tuyến

(
)
2; 1;1n = -

. Ta có
[
]
(
)
, 6;15;3n a =
 
cùng ph
ương với
(2;5;1)

Phương trình mặt phẳng

ch
ứa AB và vuông góc với (P) là
:


(
)
(
)
(
)
2 1 5 3 1 2 0 2 5 11 0
x y z x y z+ + - + + = Û + + - =

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T
ổ Toán THPT Phong Điền

14

b) Vì
khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với mặt phẳng (P). Gọi A'
là
điểm đối xứng với A qua (P)
.
Phương trình
AA' :
1 3 2
2 1 1
+ - +
= =
-
x y z

Ta có
AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của hệ:
2 1 0
(1;2; 1)
1 3 2
2 1 1
- + + =
ì
ï
Þ -
í
+ - +
= =
ï
-
î

x y z
H
x y z

Vì H
là trung đi
ểm của AA' nên ta có
:

(
)
'
'
'
2
2 ' 3;1;0
2
= +
ì
ï
= + Þ
í
ï
= +
î
H A A
H A A
H A A
x x x
y y y A

z z z

Ta có
' ( 6;6; 18)= - -

A B
(cùng ph
ương với
(
)
1; 1;3-
)
Phương trình đường thẳng A'B :
3 1
1 1 3
- -
= =
-
x y z

V
ậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
(
)
2 1 0
2;2; 3
3 1
1 1 3
x y z
M

x y z
- + + =
ì
ï
Þ -
í
- -
= =
ï
-
î

30)
Dự bị 2
-A-2007 Trong
không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
(
)
(
)
2;0;0 , 0;4;0 ,A B

(
)
2;4;6C
và đư
ờng thẳng d:

6 3 2 0
6 3 2 24 0

- + =
ì
í
+ + - =
î
x y z
x y z

a
) Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.

b
) Viết phương trình đường thẳng
//
D d
và c
ắt các đường thẳng AB,
OC.
Bài giải:

a) Ta có v
ectơ ch
ỉ phương của đường thẳng AB là
( 2;4;0)-
hay
( 1;2;0)a = -

, v
ectơ ch
ỉ phương

của đường thẳng OC là
(2;4;6)

hay
(1;2;3)b =

.
và
(2;0;0)OA =

cùng ph
ương với
(1;0;0)
c =


Lúc đó:
, . 6
é ù
=
ë û
  
a b c
¹ 0 Û AB và OC chéo nhau.
b)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

(
)
12;0;36-

hay
(
)
1;0;3u = -


Ta có
(
)
, 6;3;2a u
é ù
=
ë û
 

Phương trình mặt phẳng (
a
) đi qua A, có P
VT
,
é ù
ë û
 
a u
:
(
)
(
)
(

)
(
)
: 6 2 3 0 2 0 0 6 3 2 12 0x y z x y z
a
- + - + - = Û + + - =

Ta có
(
)
, 2 3; 3;1
b u
é ù
= -
ë û
 

Phương trình mặt phẳng (
b
)
qua O có vectơ pháp tuy
ến là
(
)
3; 3;1n = -

:
(
)
: 3 3 0x y z

b
- + =
.

V
ậy phương trình đường thẳng
D
song song v
ới d cắt AB, BC là:
6 3 2 12 0
3 3 0
+ + - =
ì
í
- + =
î
x y z
x y z

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T

ổ Toán THPT Phong Điền

15
31)
Dự bị 1
–B-2007 Trong
không gian với hệ toạ độ Oxyz
,
cho các điểm
(
)
(
)
3;5; 5 , 5; 3;7A B- - -

và mặt phẳng

(
)
P : 0x y z+ + =
.
a
) Tìm giao
điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
.

b
) Tìm điểm M thuộ
c (P) sao cho
2 2

MA MB
+
nhỏ nhất
.
Bài giải:

a
) Đư
ờng thẳng AB có VTCP
(
)
(
)
8; 8;12 4 2; 2;3a = - = -



Phương trình đường thẳng AB:
3 2
5 2
5 3
= - +
ì
ï
= -
í
ï
= - +
î
x t

y t
z t

Điểm

(
)
(
)
3 2 ;5 2 ; 5 3I t t t AB P- + - - + Î Ç
khi

(
)
(
)
(
)
3 2 5 2 5 3 0 1t t t t- + + - + - + = Û =

V
ậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại
(
)
1;3; 2
I - -
.
b
) Gọi H là trung điểm của đoạn AB.

Tam giác MAB có trung tuyến MH nên:
2
2 2 2
2
2
+ = +
AB
MA MB MH

Do đó MA
2
+ MB
2
nh
ỏ nhất
Û
MH
2
nh
ỏ nhất
.
Ta đ
ể thấy
(
)
(
)
1;1;1 ,
H M PÎ
.

Suy ra
MH nhỏ nhất
Û MH ^
(P) và để ý rằng mặt phẳng (P):
0x y z+ + =
có
vectơ pháp

(
)
1;1;1OH =

và OÎ (P) Þ
(
)
0;0;0M Oº
.
V
ậy, với M(0, 0, 0) thì MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.

(
khi đó, ta có
min(MA
2
+ MB
2

) = OA
2
+ OB
2
= (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)
32)
Dự bị 1
- B- 2007
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
(
)
(
)
2;0;0 , 0; 3;6A M -
.
a
) Chứng minh rằng mặt phẳng
(
)
2 9 0
+ - =P : x y
tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính
MO. Tìm to
ạ độ tiếp điểm .

b
) Vi
ết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục
Oy,

Oz t
ại các điểm tương
ứng B,
C sao cho
3=
OABC
V

(đ
.v.t.t ).
Bài giải:

a)
Theo giả thiết
(
)
(
)
(
)
2;0;0 , 0; 3;6 , 0;0;0A M O-
.
Bán kính mặt cầu
(
)
2
2
3 6 3 5= = - + =R MO
.
Khoảng cách từ tâm M của mặt cầu đến mặt phẳng (P):

2 9 0x y+ - =



(
)
(
)
0 6 9
15
d , 3 5
5 5
- -
= = = =M P R

Vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO
.
Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là:

3
3 2
1 2
6
6
=
ì
+
ì
=
ï ï

Û = - +
í í
ï ï
=
=
î
î
x t
x y
y t
z
z
(t Î R)
Thế vào phương trìn
h (P) ta có:
(
)
2 2 3 9 0 3t t t+ - - = Û =

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T

ổ Toán THPT Phong Điền

16
V
ậy tọa độ tiếp điểm I của mặt cầu với mặt phẳng (P) là
(
)
3;3;6
t
.
b)
G
ọi b là tung độ của B, c là cao độ của điểm C
.

Vì
(
)
2;0;0A OxÎ
nên phương trình (Q):
1
2
+ + =
x y z
b c

Ta có
(
)
0; 3;6M -

Î
mặt phẳng (yOz) nên:
3 6
1 6 3
- + = Û - =b c bc
b c
(1)

Ta lại có
1 2 1
. . 3
3 3 2 3
= = = =
OABC OBC
bc
V OA S bc
Þ
9=bc
(2)
Từ (1) và (2) ta có
9 9
hay
6 3 9 6 3 9
= = -
ì ì
í í
- = - = -
î î
bc bc
b c b c

3
3 hay
2
6
ì
= -
ï
Û = =
í
ï
= -
î
b
b c
c

V
ậy có 2 mặt phẳng (Q) có phương trình là:
1
2 3 3
+ + =
x y z
hoặc
2
1
2 3 6
- - =
x y z

.
33)
Dự bị 1
- D-2007 C
ho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 1
- + +
= =
-
x y z
d
và
mp
(
)
P : 2 0
x y z+ + + =
.
a
) Tìm giao điểm M của d và P .

b
) Vi
ết phương trình
( )D Ì P
sao cho
D ^
d

và
(
)
d , 42M D =
.
Bài giải:

a)
Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Phương trình số của d:
3 2
2
1
= +
ì
ï
= - +
í
ï
= - -
î
x t
y t
z t
có
vec tơ chỉ phương là

(
)

2;1; 1a = -


Thế vào phương trình (P):
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 1 2 0 1 1; 3;0t t t t M+ + - + + - - + = Û = - Þ -
.
M
ặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có vectơ pháp tuyến là

(
)
, 2; 3;1
Q P
n a n
é ù
= = -
ë û
  

Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là:

(
)
(
)
(
)
(
)
: 2 1 3 3 1 0 0 2 3 11 0
Q x y z x y z- - + + - = Û - + - =

b
) Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu của d
lên mp(P) là:
d':
2 0
2 3 11 0
+ + + =
ì
í
- + - =
î
x y z
x y z
có
vectơ chỉ phương

(
)
'

4;1; 5
d
a
= -


Þ
Phương trình tham số của d':
1 4
3
5
= +
ì
ï
= - +
í
ï
= -
î
x t
y t
z t

Trên d' tìm điểm N sao cho MN =
42
. Vì
(
)
' 4 1; 3 ; 5N d N t t tÎ Þ + - + -
.

Q
P
D
N
M
d
d'
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T
ổ Toán THPT Phong Điền

17

(
)
(
)
2 2
2 2
4 5 42 42= + + - = =MN t t t t
2

1
1
1
=
é
Þ = Û
ê
= -
ë
t
t
t


* V
ới
(
)
2
1 5; 2; 5t N= Þ - -

Đường thẳng
D
1
qua N
1
nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương

(
)

(
)
1
'
, 6;9; 3 3 2; 3;1
P d
a n a
D
é ù
= = - - = - -
ë û
  
.

V
ậy phương tr
ình
D
1
:
5 2 5
2 3 1
- + +
= =
-
x y z

* Với
(
)

2
1 3; 4;5t N= - Þ - -

Đường thẳng
D
2
qua N
2
nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương

(
)
2
'
, 3 2; 3;1
P d
a n a
D
é ù
= = - -
ë û
  

Vậy phương trình
D
2
:
3 4 5
2 3 1
+ + -

= =
-
x y z

34)
D
ự bị 1
-
D-2007 Trong không gian
v
ới hệ toạ độ Oxyz, cho mp
(P)
:
2 2 1 0
x y z- + - =
và 2
đư
ờng thẳng

1 2
1 3 5 5
: ; : .
2 3 2 6 4 5
x y z x y z
d d
- - - +
= = = =
- -

a

) Vi
ết phương trình mặt phẳng (Q) chứa
1
d
và (Q) vuông góc với (P).

b
) Tìm các
điểm
1 2
, N dÎ ÎM d
sao cho MN /
/ (P) và cách (P) m
ột khoảng bằng 2.

Bài giải:

a) d
1
đi qua
(
)
1;3;0A
và có
vectơ chỉ phương

(
)
2; 3;2a = -


.
Mặt phẳng (P) có PVT
(
)
1; 2;2
P
n = -


Mặt phẳng (Q) chứa d
1
và
^ (P) nên (Q) có
vectơ pháp tuy
ến
(
)
, 2; 2; 1
Q P
n a n
é ù
= = - - -
ë û
  

V
ậy (Q) qua A có vectơ pháp tuyến

(
)

2; 2; 1
Q
n = - - -

nên phương tr
ình (Q):

(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 1 0 0 2 2 8 0x y z x y z- - - - - - = Û + + - =

b
) Phương tr
ình trình tham số d
1
:
1 2
3 3
2
= +
ì
ï
= -
í
ï
=

î
x t
y t
z t
. Do
(
)
1
1 2 ;3 3 ;2M d M t t tÎ Þ + -

Phương trình tham số d
2
:
5 6 '
4 '
5 5 '
= +
ì
ï
=
í
ï
= - -
î
x t
y t
z t
. Do
(
)

2
5 6 ';4 '; 5 5 'M d N t t tÎ Þ + - -

Vậy
(
)
6 ' 2 4;4 ' 3 3; 5 ' 2 5MN t t t t t t= - + + - - - -

. Mặt phẳng (P) có PVT
(
)
1; 2;2
P
n = -


Vì MN // (P)
. 0Û =
 
P
MN n
(
)
(
)
(
)
1 6 ' 2 4 2 4 ' 3 3 2 5 ' 2 5 0 '
Û - + - + - + - - - = Û = -t t t t t t t t

Ta l
ại có khoảng cách từ MN đến (P) bằng d(M, P) vì
MN // (P)

(
)
(
)
1 2 2 3 3 2 2 1
2
1 4 4
+ - - + -
=
+ +
t t t
6 12 6 1
6 12 6
6 12 6 0
- + = =
é é
Û - + = Û Û
ê ê
- + = - =
ë ë
t t
t
t t

* V
ới

(
)
(
)
1 1
1 ' 1 3;0;2 , 1; 4;0 .t t M N= Þ = - Þ - -

Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

18
* V
i

(
)
(
)
1 1

0 ' 0 1;3;0 , 5;0; 5 .t t M N= ị = ị -

35) A- 2006
Trong khụng gian v
i h to Oxyz, cho hỡnh lp phng ABCD.A'B'C'D' vi
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1 .A B D A
G
i M v N ln lt l trung im ca AB v CD.

a
) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng A'C v MN.

b
) Vit phng trỡnh mp cha A'C v to vi mt phng
(Oxy)
mt gúc
a
bi
t
1
cos
6

a
=

Bi gii:

a
) G
i (P) l mt phng cha AC v song song vi MN. Khi ú:
(
)
(
)
(
)
d ' , d , .=A C MN M P

Ta cú:
(
)
(
)
(
)
1 1
1;1;0 , ;0;0 , ;1;0 ' 1;1; 1 , 0;1;0
2 2
ổ ử ổ ử
ị = - =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

C M N A C MN

(
)
' , 1;0;1
ộ ự
ị =
ở ỷ

A C MN
.
Mt phng (P) i qua im
(
)
' 0;0;1
A
, cú vec t phỏp tuyn l
(
)
1;0;1
=

n
, cú
phng t
rỡnh l:
(
)
(

)
(
)
1. 0 0. 0 1. 1 0 1 0- + - + - = + - =x y z x z
.
Vy
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1
0 1
1
2
d ' , d ,
2 2
1 0 1
+ -
= = =
+ +
A C MN M P
.
b
) G
i mt phng cn tỡm l (Q):
(
)

2 2 2
0 0+ + + = + + >ax by cz d a b c
.
Vỡ (Q) i qua
(
)
' 0;0;1A
v
(
)
1;1;0C
nờn:
0
0
+ =
ỡ
= - = +
ớ
+ + =
ợ
c d
c d a b
a b d
.
Do ú, phng trỡnh ca (Q) cú dng:
(
)
(
)
0.

+ + + - + =ax by a b z a b

Mt phng (Q) cú vec t phỏp tuyn
(
)
; ;= +

n a b a b
, mp
(Oxy) cú vect phỏp tuy
n
(
)
0;0;1=

k
.
Vỡ gúc gia (Q) v (Oxy) l
a
m
1
cos
6
a
=
nờn
(
)
1
cos ,

6
n k
=




(
)
(
)
(
)
2
2 2
2
2 2
2
1
6 2
2
6
a b
a b
a b a b ab
b a
a b a b
+
= -
ộ

= + = + +
ờ
= -
ở
+ + +

Vi
2
= -a b
, ch
n
1
= -b
,
c mt phng
(
)
1
: 2 1 0 + - =Q x y z

Vi
2= -b a
, chn
1=a
, c mt phng
(
)
2
: 2 1 0.
- - + =Q x y z

36)
B-2006
Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im
(
)
0;1;2A
v
hai ng thng:


1 2
1
1 1
: 1 2 ; :
2 1 1
2 .
x t
x y z
d y t d
z t
= +
ỡ
- +
ù
= - - = =
ớ
-
ù
= +

ợ

a
) Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A ,ng thi so
ng song
vi
1
d
v
2
d
.
b
) Tỡm to im N thuc
1
d
v i
m M thuc
2
d
sao cho ba i
m A,
M,
N thng hng
.
Bi gii:

a
) Vect ch
phng ca

1
d
v
2
d
ln lt l:
(
)
1
2;1; 1= -

u
v
(
)
2
1; 2;1= -

u
.
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()

T
Toỏn THPT Phong in

19
ị
Vect phỏp tuy
n ca (P) l: Vect
[
]
(
)
1 2
, 1; 3; 5 .= = - - -

n u u

Vỡ (P) qua
(
)
(
)
0;1;2 : 3 5 13 0.
ị + + - =A P x y z

Do
(
)
(
)
1 2

0;1; 1 , 1; 1;2
- ẻ - ẻB d C d
nhng
(
)
,
ẽB C P
nờn
(
)
1 2
, //
d d P
.
Vy phng trỡnh mt phng cn tỡm l (P):
3 5 13 0+ + - =x y z
.
b
) Vỡ
1 2
, ẻ ẻM d N d
nờn
(
)
(
)
2 ;1 ; 1 , 1 ; 1 2 ;2+ - - + - - +M m m m N n n n
.
(
)

(
)
(
)
2 ; ; 3 , 1 ; 2 2 ;
, 2 6 6; 3 3 3; 5 5 .
ị = - - = + - -
ộ ự
ị = - - - - - - - - - -
ở ỷ


AM m m m AN n n n
AM AN mn m n mn m n mn m

A, M, N th
ng hng
(
)
(
)
, 0 0, 1 0;1; 1 , 0;1;1 .
ộ ự
= = = - ị -
ở ỷ


AM AN m n M N

37) D-2006

Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im
(
)
1;2;3A
v hai ng thng:

1 2
2 2 3 1 1 1
: ; :
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d d
- + - - - +
= = = =
- -

a
) Tỡm ta im A' i xng vi im A qua ng thng
1
d
.
b
) Vit phng trỡnh ng thng
D
i qua A, vuụng gúc vi
1
d
v c
t
2

d
.
Bi gii:

a
) M
t phng
(
)
a
i qua
(
)
1;2;3A
v vuụng
gúc v
i
1
d
, cú phng trỡnh l:


(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 0 2 3 0 - - + - = - + - =x y z x y z

Ta giao im H ca
1
d
v
(
)
a
l nghim ca h:

(
)
0
2 2 3
1 0; 1;2
2 1 1
2 3 0
2
=
ỡ
- + -
ỡ
= =
ù ù
= - ị -
-
ớ ớ
ù ù
- + - =
=
ợ

ợ
x
x y z
y H
x y z
z

Vỡ A i xng vi A qua
1
d
nờn H l trung im ca AA
(
)
' 1; 4;1 .ị - -A

b
) Vỡ
D
i qua A, vuụng gúc vi
1
d
v c
t
2
d
, nờn
D
i qua giao im B ca
2
d

v
(
)
a
.
T
a giao im B ca
2
d
v
(
)
a
l nghim ca h:


(
)
2
1 1 1
1 2; 1; 2
1 2 1
2 3 0
2
=
ỡ
- - +
ỡ
= =
ù ù

= - ị - -
-
ớ ớ
ù ù
- + - =
= -
ợ
ợ
x
x y z
y B
x y z
z
.
Vect ch phng ca
D
l:
(
)
1; 3; 5= = - -


u AB
.

Phng tr
ỡnh ca
D
l:
1 2 3

.
1 3 5
- - -
= =
- -
x y z

38)
D
b 1
-
A- 2006
Trong khụng gian v
i h to Oxyz,

cho hỡnh l
ng tr ng ABC.A'B'C'
cú
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , 2;0;0 , 0;2;0 , ' 0;0;2 .A B C A

a
) Chng minh A'C vuụng gúc vi BC'.

Vit phng trỡnh mt phng (ABC').

b
) Vi
t phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng B'C' trờn mt phng (ABC').

39)
D b 2
- A- 2006 Trong khụng gian Oxyz,
cho mt phng
(
)
: 3 2 4 0
x y z
a
+ - + =
v hai
i
m
(
)
(
)
4;0;0 , 0;4;0A B
.Gi I l trung im ca on thng AB.

a
) Tỡm to giao im ca ng thng AB vi mt phng
( )

a
.
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T
ổ Toán THPT Phong Điền

20
b
) Xác định toạ độ K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng
( )
a
,
đồng thời K cách đều gốc
to
ạ độ O và mặt phẳng
( )
a
.

40)
D

ự bị 1
-
B- 2006 Tron
g không gian v
ới hệ tọa độ Oxyz
,
cho hai đư
ờng thẳng
:


1 2
1
3 1
: 1 ; :
1 2 1
2
x t
x y z
d y t d
z
= +
ì
- -
ï
= - - = =
í
-
ï
=

î

a
) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d
1
và song song với đường d
2
.
b
) Xác đ
ịnh điểm A trên d
1
và điểm B
trên d
2
sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất .

41)
Dự bị
2 - B- 2006
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho
mp
(
)
P : 2 2 5 0
x y z- + + =
và
các đi
ểm
(

)
(
)
0;0;4 , 2;0;0 .A B

a
) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (
P).
b
) Viết phương trình mặt cầu đi qua O,
A,
B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
.
42)
Dự bị 1
- D-2006 Tron
g không gian với hệ toạ độ Oxyz
, cho mp(P):
4 3 11 26 0x y z- + - =
và
hai đường thẳng

1 2
3 1 4 3
: ; d : .
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d
- + - -
= = = =

-

a
) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau .
b
) Viết phương trình đường thẳng
( )D Ì P
, đồng thời cắt cả d
1
và d
2
.
43) A-2005
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
- + -
= =
-
x y z
d
và
mặt phẳng
(
)

P : 2 2 9 0
x y z+ - + =
.
a) Tìm to
ạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằ
ng 2.
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
.

Vi
ết phương trình tham

số của đường thẳng
D
nằm trong mặt phẳng (P), biết
D
đi qua A và vuông góc với d.

Bài giải:

a) Phương trình tham số của d:
1
3 2
3
x t
y t
z t
= -
ì
ï

= - +
í
ï
= +
î
.
Ta có:
(
)
(
)
(
)
2 2
1 ; 3 2 ;3 , ,
3
d
t
I d I t t t I P
- +
Î Þ - - + + =

(
)
(
)
4
, 2 1 3
2
d

t
I P t
t
=
é
Þ = Û - = Û
ê
= -
ë

V
ậy có hai điểm
(
)
(
)
1 2
3;5;7 , 3; 7;1 I I- -
.
b) Vì
(
)
1 ; 3 2 ;3
A d A t t tÎ Þ - - + +
.
Ta có
(
)
(
)

(
)
(
)
2 1 3 2 2 3 9 0 1A P t t t tÎ Û - + - + - + + = Û =

Vậy
(
)
0; 1;4A -
.

M
ặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
(
)
2;1; 2 .n = -


Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
(
)
1;2;1 .u = -


Vì
(
)
PD Ì
và

d
D ^
nên
D
có vectơ chỉ phương
[
]
(
)
, 5;0;5u n u
D
= =
  
.
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

21
Phng trỡnh tham s ca
: 1

4
x t
y
z t
=
ỡ
ù
D = -
ớ
ù
= +
ợ

44) B-2005
Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh lng tr ng ABC.
A
1
B
1
C
1
vi

(
)
(
)
(
)
(

)
1
0; 3;0 , 4;0;0 , 0;3;0 , 4;0;4 .
A B C B-

a) Tỡm to cỏc nh A
1
, C
1
. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm l A v tip xỳc vi mt

ph
ng (BCC
1
B
1
).
b) Gi M l trung im ca A
1
B
1
. Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A, M v

song song vi BC
1
. Mt phng (P) ct ng thng A
1
C
1
ti im N. Tớnh di

MN.
Bi gii:

a)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
0; 3;4 , 0;3;4 4;3;0 , 0;0;4 A C BC BB- ị = - =

.
Vec t phỏp tuyn ca
(
)
1 1
BCC B
l
(
)
1
, 12;16;0n BC BB
ộ ự
= =
ở ỷ

.

Phng trỡnh mt phng
(
)
1 1
BCC B
:
(
)
12 4 16 0 3 4 12 0x y x y- + = + - =
.
Bỏn kớnh mt cu:
(
)
(
)
1 1
2 2
12 12
24
,
5
3 4
dR A BCC B
- -
= = =
+
.

Phng trỡnh mt cu
:
(
)
2
2 2
576
3
25
x y z+ + + =
.
b) Ta cú:
(
)
1
3 3
2; ;4 , 2; ;4 , 4;3;4 .
2 2
M AM BC
ổ ử ổ ử
- = = -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ


Vect phỏp tuyn ca (P) l
(
)
1
, 6; 24;12

P
n AM BC
ộ ự
= = - -
ở ỷ


.
Phng tr
ỡnh (P):
(
)
6 24 3 12 0 4 2 12 0
x y z x y z- - + + = + - + =
.
Ta th
y
(
)
(
)
4;0;0 .
B Pẽ
Do ú (P) i qua A, M v song song vi
1
BC
.

Ta cú:
(

)
1 1
0;6;0AC =

. Phng trỡnh tham s ca ng thng
1 1
AC
l:
0
3
4
x
y t
z
=
ỡ
ù
= - +
ớ
ù
=
ợ

(
)
1 1
0; 3 ;4N AC N tẻ ị - +
. Vỡ
(
)

N Pẻ
nờn
(
)
0 4 3 8 12 0 2.t t+ - + - + = =

Vy
(
)
(
)
(
)
2
2 2
3 17
0; 1;4 2 0 1 4 4
2 2
N MN
ổ ử
- ị = - + - + + - =
ỗ ữ
ố ứ
.
45) D-2005 Trong khụng gian Oxyz, cho
1 2 1
:
1
3 1 2
- + +

= =
-
x y z
d
v
2
2 0
:
3 12 0
+ - - =
ỡ
ớ
+ - =
ợ
x y z
d
x y

a) Chng minh rng d
1
v d
2
song song vi nhau
.

Vi
t phng trỡnh mt phng (P) cha c

hai ng thng d
1

v d
2
.

b) Mt phng to d Oxy ct hai ng thng d
1
, d
2
ln lt ti cỏc im
A, B.
Tớnh din

tớch tam giỏc OAB (O l gc to ).

Bi gi
i:

a)
1
d
i qua
(
)
1
1; 2; 1M - -
v cú vect ch phng
(
)
1
3; 1;2u = -

.
2
d
cú vect ch phng l
(
)
2
1 1 1 1 1 1
; ; 3; 1;2
3 0 0 1 1 3
u
- -
ổ ử
= = -
ỗ ữ
ố ứ

.
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T

Toỏn THPT Phong in

22
Vỡ
1 2
u u
=

v
1 2 1 2
//
M d d dẽ ị
.
Mt phng (P) cha
2
d
nờn phng trỡnh cú dng:

(
)
(
)
(
)
2 2
2 3 12 0 0 . x y z x y
a b a b
+ - - + + - = + >

Vỡ

(
)
(
)
(
)
1
1 2 1 2 1 6 12 0 2 17 0
M P
a b a b
ẻ - + - + - - = + =
.

Chn
17 2.
a b
= ị = -
Phng trỡnh (P) l:
15 11 17 10 0.x y z+ - - =

b) Vỡ
, 0
A B
A B Oxz y yẻ ị = =
.
Vỡ
1
A dẻ
nờn
(

)
1 2 1
5 5;0; 5
3 1 2
A A
A A
x z
x z A
- +
= = ị = = - ị - -
-
.

(
)
2
2 0 12
12;0;10
12 0 10
B B B
B B
x z x
B d B
x z
- - = =
ỡ ỡ
ẻ ị ị
ớ ớ
- = =
ợ ợ

(
)
(
)
(
)
5;0; 5 , 12;0;10 , 0; 10;0 OA OB OA OB
ộ ự
= - - = ị = -
ở ỷ

.
Lỳc ú:
1 1
, .10 5
2 2
OAB
S OA OB
D
ộ ự
= = =
ở ỷ

(.v.d.t)

46)
D
b A 1
-

2005 Trong khụng gian Oxyz,
cho 3 i
m
(
)
(
)
(
)
1;1;0 , 0;2;0 , 0;0;2 .
A B C

a)
Vi
t phng trỡnh mt phng (P) qua gc ta O v vuụng gúc vi BC.

Tỡm t
a giao


im ca AC vi mt phng (P).

b)
Ch
ng minh tam giỏc
ABC l tam giỏc vuụng.
Vi
t phng trỡnh mt cu ngoi tip t

di
n OABC.

Bi gi
i:

a)Ta cú
(
)
0; 2;2BC = -

. Mt phng (P) qua
(
)
0;0;0O
v vuụng gúc v
i BC cú phng trỡnh l

0. 2 2 0 0- + = - =x y z y z

Ta cú
(
)
1; 1;2AC = - -

, phng trỡnh tham s ca AC l
1
1
2
= -

ỡ
ù
= -
ớ
ù
=
ợ
x t
y t
z t
.

Th
phng trỡnh
(AC) vo
phng trỡnh mp
(P). Ta cú
1
1 2 0
3
- - = =t t t
. Th
1
3
=t
vo
phng tr
ỡnh
(AC) ta cú
2 2 2

; ;
3 3 3
M
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
l giao im ca AC vi mp(P)
.
b) Vi
(
)
1;1;0A
,
(
)
0;2;0B
,
(
)
0;0;2C
. Ta cú:
(
)
1;1;0AB = -

,
(
)
1; 1;2AC = - -

ị

. 1 1 0
= - = ^

AB AC AB AC
ị

D
ABC
vuụng ti A

Ta
d
thy
DBOC
cng vuụng ti O. Do ú A, O nhỡn on BC di 1 gúc vuụng. Do ú A, O
nm trờn mt cu ng kớnh BC,
cú
tõm I l trung im ca BC. Ta d dng tỡm c
(
)
0;1;1
I

v
2 2
1 1 2
= + =R

.

Vy pt mt cu ngoi tip t din OABC l :
(
)
(
)
2 2
2
1 1 2
+ - + - =x y z

47)
D b A 2
-2005 Trong khụng gian Oxyz,
cho 3 im
(
)
(
)
(
)
2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4A C S
.
a) Tỡm
ta im B thuc mp(
Oxy) sao cho
t giỏc OABC l hỡnh ch nht. Vit

phng tr
ỡnh mt cu qua 4 im O, B, C, S.

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2013

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO

()
T
ổ Toán THPT Phong Điền

23

b) Tìm tọa độ điểm
1
A
đ
ối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.

Bài giải:

a)
T
ứ giác OABC là hình chữ nhật
Þ

=
 
OC AB
Þ B(2;4;0)
* Đo
ạn OB có trung điểm là
(
)
1;2;0
H
.
Đi
ểm
H c
hính là tâm đư
ờng tròn ngoại tiếp tam giác
vuông OBC. Vì A, O, C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I(1;2;2) là tâm mặt
cầu và bán kính R =
1 1
4 16 16 3
2 2
= + + =SB
,

Vậy phương trình mặt cầu là
(
)
(
)

2 2
2
1 2 ( 2) 9
- + - + - =x y z

b)
(
)
0;4; 4
SC = -

ch
ọn
(
)
0;1; 1-
là
vectơ ch
ỉ phương của SC.

Pt tham số đường thẳng SC
:
0
4
=
ì
ï
=
í
ï

= -
î
x
y t
z t

Mp(P) qua
(
)
2;0;0A
và vuông góc v
ới SC có phương trình là
:
(
)
0 2 0 0- + - = Û - =x y z y z

Th
ế phương trình
tham
s
ố của SC và phương trình

(P)
2tÞ =
và suy ra
(
)
0;2;2M
.

Gọi
(
)
1
; ;A x y z
là đi
ểm đối xứng với A qua SC.

Có M là trung đi
ểm của
1
AA
nên
2 2.0 2
0 2.2 4
0 2.2 4
+ = = -
ì ì
ï ï
+ = Þ =
í í
ï ï
+ = =
î î
x x
y y
z z
Vậy
(
)

1
2;4;4A -

48)
D
ự bị B
-
1 2005 Trong không gian Oxyz, cho
1
:
1 1 2
= =
x y z
d
và
2
1 2
:
1
= - -
ì
ï
=
í
ï
= +
î
x t
d y t
z t

a) Xét v
ị trí tương đối của
1
d
và
2
d
.

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc
1
d
và N thu
ộc
2
d
sao cho đư
ờng thẳng MN song song với


m
ặt phẳng (P)
:
0
- + =x y z
và độ dài đọan
2MN =
.

Bài giải:

a)
1
d
qua
(
)
0,0,0
O
và có vectơ chỉ phương
(
)
1,1,2=

a

2
d
qua
(
)
1;0;1B -
và có vectơ chỉ phương
(
)
2;1;1b = -


Ta có:
(
)
, 1; 5;3a b
é ù
= - -
ë û
 
,

(
)
1;0;1OB = -


1 2
, . 1 3 4 0 , a b OB d d
é ù
Þ = + = ¹ Û
ë û
  
chéo nhau

b)
(
)
1
'; ';2 '
M d M t t tÎ Þ
;

(
)
2
1 2 ; ;1
N d N t t tÎ Þ - - +

(
)
2 ' 1; '; 2 ' 1MN t t t t t t= - - - - - +

. Vì MN // (P)
(
)
1; 1;1
p
MN nÛ ^ = -
 

. 0 2 ' 1 ' 2 ' 1 0Û = Û - - - - + + - + =
 
p
MN n t t t t t t
'Û = -t t
.
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

24
(
)
(
)
2 2
2
' 1 4 ' 1 3 ' 2
= - + + - =MN t t t
(
)
2
' 0
14 ' 8 ' 2 2 2 ' 7 ' 4 0
4
'
7
=
ộ
ờ
- + = - =
ờ
=

ở
t
t t t t
t

* Vi
' 0t =
ta cú
(
)
(
)
0;0;0
M O P ẻ

(
lo
i
)

* Vi
4
'
7
=t
ta cú
4 4 8 1 4 3
; ; ; ; ;
7 7 7 7 7 7
M N

ổ ử ổ ử
-
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

49)
D b B
-2 2005 Trong khụng gian Oxyz,
cho im
(
)
5;2; 3M -
v mp(P):
2 2 1 0+ - + =x y z
.

a) Gi
1
M
l hỡn
h chiu ca M
trờn
mt phng (P). Xỏc nh ta im
1
M
v tớnh
di
an
1
MM

.
b)
Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua M v cha ng thng:
1 1 5
2 1 6
- - -
= =
-
x y z
.
Bi gii:

a) Tỡm
1
M
l h/c ca M lờn mp (P)
. Mp (P) cú
vect phỏp tuyn

(
)
2;2; 1n = -


P
hng tr
ỡnh tham s
1
MM
qua M v

(
)
^
P
l
5 2
2 2
3
= +
ỡ
ù
= +
ớ
ù
= - -
ợ
x t
y t
z t

Th vo p
h
ng
trỡnh(P):
(
)
(
)
(
)

2 5 2 2 2 2 3 1 0
+ + + - - - + =t t t
18 9 0 2
+ = = -t t
.

Vy
(
)
(
)
1 1
1; 2; 1
MM P Mầ = - -

Ta cú
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1
5 1 2 2 3 1 16 16 4 36 6= - + + + - + = + + = =MM

b) ng thng
1 1 5
:
2 1 6

- - -
D = =
-
x y z
i qua A(1;1;
5) v cú
vect phỏp tuyn

(
)
2;1; 6a = -


Ta cú
(
)
4;1; 8AM = -

.
Mt phng (Q) i qua M, cha
D

mp (Q) qua A cú
vect phỏp tuy
n
l
(
)
, 2;8;2AM a
ộ ự

=
ở ỷ

hay
(
)
1;4;1
n
ờn Phng trỡnh
(Q):
(
)
(
)
(
)
5 4 2 3 0
- + - + + =x y z
4 10 0 + + - =x y z
.
50)
D
b D
-
1 2005
Trong khụng gian v
i h ta
Oxyz
,
cho lng tr

ng
1 1 1
OAB.O A B
vi
(
)
(
)
(
)
1
2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4A B O
.

a) Tỡm ta cỏc im
1 1
, A B
. Vit phng trỡnh mt cu qua 4 i
m O, A, B,
1
O
.


b) G
i M l trung im ca AB.

M
t phng (P) qua M vuụng gúc vi
1

O A
v ct

OA,
1
OA
ln lt ti N, K . Tớnh di on
KN.

Bi gii:

a) Vỡ
(
)
(
)
1 1
2;0;4
AA Oxy A^ ị

(
)
(
)
1 1
0;4;4
BB Oxy B^ ị

Vit phng trỡnh mt cu (S) qua O, A, B, O
1

Gi phng trỡnh mt cu (S):


2 2 2
2 2 2 0+ + - - - + =x y z ax by cz d



Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Luyn thi i hc 2013

Giỏo viờn:

Lấ B B
O

()
T
Toỏn THPT Phong in

25
Vỡ
(
)
0ẻ ị =O S d


(

)
4 4 0 1ẻ ị - = ị =A S a a


(
)
16 8 0 2ẻ ị - = ị =B S b b

v
(
)
1
16 8 0 2ẻ ị - = ị =O S c c

V
y (S) cú tõm
(
)
1;2;2
I
.
Ta cú
2 2 2 2
= + + -
d a b c R
ị
2
1 4 4 9= + + =R

Vy pt mt cu (S) l:

(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 2 2 9
- + - + - =x y z

b) Tớnh KN
Ta cú
(
)
1,2,0M
,
(
)
1
2,0, 4= -

O A

Mp(P) qua
M vuụng gúc v
i
1
O A
nờn nhn
1

O A
hay
(
)
1;0; 2
-
lm vect phỏp tuy
n.

ị
phng tr
ỡnh
(P):
(
)
(
)
(
)
1 1 0 2 2 0 0x y z- + - - - =

(P):
2 1 0- - =x z

PT tham s OA l
0
0
=
ỡ

ù
=
ớ
ù
=
ợ
x t
y
z
.
Th
vo phng trỡnh
(P):
(
)
(
)
1 0 1 1,0,0- = ị = ị ầ =t t OA P N


Phng trỡnh tham s
1
OA
l:
0
2
=
ỡ
ù
=

ớ
ù
=
ợ
x t
y
z t
vi
(
)
1
2;0;4OA =

hay (1;0;2) l
vect ch phng
.
Th
vo phng trỡnh
(P):
1
4 1 0
3
- - = ị = -t t t
(
)
1
1 2
;0;
3 3
OA P K

ổ ử
ị ầ = - -
ỗ ữ
ố ứ

V
y
(
)
2 2
2
1 2 20 20 2 5
1 0 0 0
3 3 9 3 3
ổ ử ổ ử
= + + - + + = = =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
KN

51)
D
b D
2005
Trong khụng gian v
i h ta Oxyz
, cho
hỡnh l
p phng ABCD.A
1

B
1
C
1
D
1

vi
(
)
(
)
(
)
1
0;0;0 , 2;0;0 , 0;2;2
A B D
.

a) Xỏc nh ta cỏc im cũn li ca hỡnh lp phng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
Gi M l trung

i
m ca BC
.
Ch
ng minh rng hai mt phng (
AB
1
D
1
) v (
AMB
1
) vuụng gúc nhau.



b) Chng minh rng t s khang cỏch t im N thuc ng thng AC
1
(N A) ti 2


mt phng (
AB
1
D
1
) v (AMB
1
) khụng ph thuc vo v trớ ca im N.

Bi gii
:
a)
Ta cú
(
)
(
)
(
)
0,0,0 ; 2,0,0 ; 2,2,0
A B C
;D(0;2;0),
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1
0,0,2 ; 2,0,2 ; 2,2,2 ; 0,2,2
A B C D

Mp
(
)
1 1

AB D
cú cp VTCP l:
(
)
1
2,0,2=

AB
,
(
)
1
0,2,2=

AD

ị mp
(
)
1 1
AB D
cú 1 PVT l
(
)
1 1
1
, 1, 1,1
4
ộ ự
= = - -

ở ỷ

u AB AD

mp
(
)
1
AMB
cú cp VTCP l:
(
)
2,1,0
=

AM
,
(
)
1
2,0,2
=

AB
v
(
)
2,1,0M