Chuyên đề câu hỏi phụ khảo sát hàm số

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Công thức :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
(
)
(
)
(
)
; :
o o
M x y C y f x
∈ = là
( )
(
)
( )
(
)

(
)
o o
o o o o
x x
y y x x y y y x x f x
′ ′
= − + ⇔ = − +



Các l
ư
u ý :
+ N
ế
u cho
x
o
thì tìm
y
o

=
f
(
x
o
).
+ N

ế
u cho
y
o
thì tìm
x
o
b
ằ
ng cách gi
ả
i ph
ươ
ng trình
f
(
x
) =
y
o
.
+ Tính
y
′
=
f
′
(
x
). Suy ra

y
′
(
x
o
) =
f
′
(
x
o
).
+ Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
là:
y
=
f
′
(
x
o
).(
x

–
x
o
) +
y
o
.

D
ạ
ng toán tr
ọ
ng tâm c
ầ
n l
ư
u ý :
+ Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
M
thu

ộ
c
đồ
th
ị
hàm phân th
ứ
c
ax b
y
cx d
+
=
+
c
ắ
t các tr
ụ
c t
ọ
a
độ

Ox, Oy
t
ạ
i các
đ
i
ể

m
A, B
th
ỏ
a
mãn các tính ch
ấ
t
0
OAB
OA kOB
S S
∆
=


=


+ Kho
ả
ng cách t
ừ
tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a

đồ
th
ị
hàm s
ố

ax b
y
cx d
+
=
+

đế
n ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
M
thu
ộ
c
đồ

th
ị

đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t, ho
ặ
c b
ằ
ng m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
cho tr
ướ
c.

Ví dụ 1.
Cho hàm s
ố

3 2

2 2
y x x x
= + + +
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
a)
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th

ị
và
Ox
.
b)

đ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị
.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

3 2
3 1
y x x x
= + + +
. Tìm di
ể
m M thu
ộ

c
đồ
th
ị
hàm s
ố
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M v
ớ
i
đồ
th
ị

đ
i qua
g
ố
c t
ọ
a
độ
O.
Đ
/s:

( 1;2)
M
−

Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố

1
( )
2
x
y C
x
+
=
−
.
Tìm diểm
M
thuộc đồ thị hàm số (
C
) sao cho tiếp tuyến tại
M
với đồ thị cắt các trục tọa độ
Ox,

Oy
tại
A

,
B
sao cho
OA

= 3
OB
, với
O
là gốc tọa độ.
Đ/s: Một điểm
M
là
(3;4)
M

Ví dụ 4. Cho hàm số
( )
1
x
y C
x
=
+
.
Tìm diểm
M
thuộc đồ thị hàm số (
C
) sao cho khoảng cách từ điểm

E
(1; 2) đến tiếp tuyến tại
M
với đồ thị bằng
1
.
2

Đ
/s: M
ộ
t
đ
i
ể
m M là
(0;0)
M

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1.
Cho hàm s
ố

3 2
2 6 3
y x x x
= − + −
. Vi
ế

t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
và Ox.
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Đ/s:
13 1
2 2
y x
 
= −
 
 

Bài 2. Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
= − +
có
đồ
th
ị
là (C)

Tìm trên (C) nh
ữ
ng
đ
i
ể

m M sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M c
ắ
t tr
ụ
c tung t
ạ
i
đ
i
ể
m có tung
độ
b
ằ
ng 8.
Đ
/s:
( 1; 4)
M
− −

Bài 3.

Cho hàm s
ố

2
1
x
y
x
+
=
−

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế

t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A
và B sao cho di
ệ
n tích tam giác OAB b
ằ
ng
50
3

(v
ới
O
là gốc toạ độ)
Đ/s:
(2;4)
M

Bài 4. Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
+
=
−

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt
A

và
B
sao cho
OB
= 5
OA
(với
O
là gốc toạ độ)

Đ/s:
5 17; 5 3
y x y x
= − + = − −

Bài 5. Cho hàm số
1
x
y
x
=
+

Tìm điểm
M
thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm
( 1;1)
E
−
đến tiếp tuyến tại
M
với đồ thị bằng
2.

Đ/s:
(0;0), ( 2; 2).
M M
− −

Bài 6. Cho hàm số

2
1
x
y
x
+
=
−

Tìm điểm
M
thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm
( 1;1)
E
−
đến tiếp tuyến tại
M
với đồ thị lớn nhất.
Đ/s:
max
2 (0;2), ( 2;0).
d M M= ⇔ −

Bài 7. Cho hàm số
3
2 1
x
y
x
−

=
+

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm
1 1
;
2 2
I
 
−
 
 
đến tiếp tuyến tại
M
bằng
7 2
.
10

Đ
/s:
7 11.
y x
= +

Bài 8.
Cho hàm s
ố

2 5

2
x
y
x
+
=
−
(1)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế

n c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân
bi
ệ
t A và B sao cho OA = 9OB (v
ớ
i O là g
ố
c to
ạ

độ
)
Ví dụ 9.
Cho hm s

ố

3
1
x
y
x
−
=
+
(C)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
, bi
ế
t ti

ế
p tuy
ế
n c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i A, c
ắ
t tr
ụ
c Oy t
ạ
i B sao cho OA = 4OB.
Ví dụ 10.
Cho hàm s
ố

2
2 3
x
y
x
+
=
+
(1).
Vi

ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l

ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t
A
,
B
và tam giác
OAB
cân t
ạ
i g
ố
c t
ọ
a
độ

O
.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)

Công thức :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
(
)
(
)
(
)
; :
o o
M x y C y f x
∈ = là
( )
(
)
( )
(

)
(
)
o o
o o o o
x x
y y x x y y y x x f x
′ ′
= − + ⇔ = − +



Các l
ư
u ý :
+ N
ế
u cho
x
o
thì tìm
y
o

=
f
(
x
o
).

+ N
ế
u cho
y
o
thì tìm
x
o
b
ằ
ng cách gi
ả
i ph
ươ
ng trình
f
(
x
) =
y
o
.
+ Tính
y
′
=
f
′
(
x

). Suy ra
y
′
(
x
o
) =
f
′
(
x
o
).
+ Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
là:
y
=
f
′
(
x
o
).(

x
–
x
o
) +
y
o
.

D
ạ
ng toán tr
ọ
ng tâm c
ầ
n l
ư
u ý :
Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
M

thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm phân th
ứ
c
ax b
y
cx d
+
=
+
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
Khi
đ
ó ta có các tính ch
ấ
t sau:

+ M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AB

+ Di
ệ
n tích tam giác
IAB
luôn không
đổ
i, v
ớ
i
I
là giao
đ
iêm c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n
+ Chu vi tam giác
IAB

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
+ Bán kính
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác
IAB
d
ạ
t gái tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.
Ví dụ 1.
Cho hàm s
ố

2
( )
1
x
y C
x
+
=
−
.
G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế

p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
M
là trung

đ
i
ể
m c
ủ
a
AB.
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng di
ệ
n tích tam giác
IAB
không
đổ
i, v
ớ
i
I
là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ

th
ị
(
I
là giao c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n)
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

2 3
( )
2
x
y C
x
−
=
−
.
G
ọ
i
M
là m

ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti

ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
Tìm
đ
i
ể
m
M

đề

độ
dài
đ
o
ạ
n
AB
ng
ắ
n nh
ấ
t.
Đ/s:
(3;3), (1;1)

M M

Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố

2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
−
.
G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ

th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
Tìm
đ

i
ể
m
M

đề
chu vi
tam giác
IAB
nh
ỏ
nh
ấ
t, v
ớ
i
I
là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.

Đ/s:
1 3
M
x = ±

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1.
Cho hàm s
ố

2 3
( )
2
x
y C
x
−
=
−
.
G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể

m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ

i
A, B.
Tìm
đ
i
ể
m
M

đề

đườ
ng
tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
IAB
có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t, v
ớ
i
I
là tâm

đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
Đ/s:
(3;3), (1;1)
M M

Hướng dẫn:
Tam giác
IAB
vuông t
ạ
i
I
nên
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác

IAB
có
đườ
ng kính là
A
B, suy ra di
ệ
n tích
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p là
2
2
π π
4
AB
S R= =
, t
ừ

đ
ó bài toán quy v
ề
tìm
M

để

độ
dài
AB
ng
ắ
n nh
ấ
t.
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Bài 2. Cho hàm số
2 3
( )
mx
y C
x m
+
=
−
.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác
IAB có diện tích bằng 64.

Đ/s:
58
2
m = ±

Bài 3. Cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x
−
=
+
.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp
tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
Đ/s:
2(1 3)
y x= + ±

Bài 4. Cho hàm số
( )
1
x
y C
x
=
−

.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp
tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng
2(2 2)
+ .
Đ/s:
4
y x
y x
= −


= − +


Bài 5.
Cho hàm s
ố

3 2
3 1
y x x
= + −
.
G
ọ
i M là m
ộ
t
đ

i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i M c
ắ
t các tr
ụ
c t
ọ
a
độ

t
ạ
i A, B. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M
bi
ế
t OB = 3OA, v
ớ
i O là g
ố
c t
ọ
a
độ
.
Đ/s:
( 1;1)
M
−

Bài 6.
Cho hàm s
ố

y =
2 1
1
−
−
x
x
. G
ọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp
tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác
IPQ.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
 Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox.
Kí hiệu k = tanα.
 Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.
 Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi
−
=

−
M N
d
M N
y y
k
x x

 Đường thẳng d đi qua điểm M(x
1
; y
1
) và có hệ số góc k thì có phương trình
(
)
1 1
: .
= − +
d y k x x y

Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.

 Cho hai đường thẳng
1 1 1
2 2 2
:
:
d y k x m
d y k x m
= +



= +


+ d
1
và d
2
song song v
ớ
i nhau thì có cùng h
ệ
s
ố
góc :
1 2
1 2
d d
k k
m m
=



≠



+

d
1
và
d
2

vuông góc
v
ớ
i nhau thì có tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
1 :
1 2 2
1
1
. 1 .
= − ⇔ = −
d d d
d
k k k
k

 Đạo hàm tại một điểm x
o

thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó.
Tức là
(
)
.
′
=
tt o
k y x

Ví dụ 1:
Xác
đị
nh h
ệ
s
ố
góc k c
ủ
a các
đườ
ng cho d
ướ
i
đ
ây ?
a)
2 1 2
2 3 1 0 3 2 1 .
3 3 3

−
+ − = ←→ = − + ⇔ = + → = −
x y y x y x k
b)
1 3 1
5 3 0 5 3 .
5 5 5
− + + = ←→ = − ⇔ = − → =
x y y x y x k
c)
2 3 0 2 3 2.
+ + = ←→ = − → =
x y y x k

Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2
( 1) 2 3
y x m x mx
= + − + +

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n
a) t
ạ
i

đ
i
ể
m có hoành
độ
x = –3 song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d : 5x – y + 3 = 0
b) t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = 1 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d’ : x – 2y + 3 = 0
Ví dụ 3:
Cho hàm s
ố

4 2
2( 1) 8 2
y x m x m
= + − − −

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i các
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví dụ 4:
Cho hàm s
ố

3
x m
y
x m
+
=
−

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a

đồ
th
ị
và tr
ụ
c Oy vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d : x – 2y + 1 = 0
Ví dụ 5:
Cho hàm s
ố

3 2
1
y x x x
= + − +

G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua

đ
i
ể
m A(1 ; 2) và có h
ệ
s
ố
góc k. Tìm k
để
d c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao
cho ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ

i
đồ
th
ị
t
ạ
i B, C vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví dụ 6:
Cho hàm s
ố

3 2
3 3.
y x x x
= − + +
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2 ; 1) và có h
ệ
s
ố
góc k.

Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho
a) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Hướng dẫn giải :
Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
3 2 3 2
3 3 ( 2) 1 3 2 ( 2)
− + + = − + ⇔ − + + = −
x x x k x x x x k x

2
2
2
( 2)( 1) ( 2)
( ) 1 0, (1)
=

⇔ − − − = − ⇔


= − − − =

x
x x x k x
g x x x k

a)
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) vô nghi
ệ
m
5
0 1 4(1 ) 0 .
4
⇔ ∆ < ⇔ + + < ⇔ < −

k k
Vậy với
4
5
< −
k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.
Điều đó xảy ra khi
5
0 1 4(1 ) 0
4
(2) 0 (2) 1 0
1

∆ > + + >
> −
 

⇔ ⇔
  
≠ = − ≠
 

≠

k
k
g g k
k

V
ậ
y v
ớ
i
4
5
1

> −



≠

k
k
thì hai
đồ
th
ị

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i

ể
m phân bi
ệ
t.
c)
Do nghi
ệ
m x = 2 > 0 nên
để
ba giao
đ
i
ể
m có hoành
đ
ô d
ươ
ng thì (1) ph
ả
i có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t và khác 2.
G
ọ
i hai nghi
ệ

m
đ
ó là x
1
; x
2
. Khi
đ
ó ta có
1 2
1 2
0
1 0
1
0 1 0
+ >
>


⇔ ⇔ < −
 
> − − >


x x
k
x x k

K
ế

t h
ợ
p v
ớ
i di
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i ba giao
đ
i
ể
m
ở
câu b ta d
ượ
c
4
1
5
− < < −
k là giá tr
ị
c
ầ
n tim.

Ví dụ 7:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3 1.
y x mx mx
= − + +

a) Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n song song v

ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆: 4x + y + 1= 0.
b) Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m x = −2 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ

ng ∆′: 2x + 3y + 2= 0.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
2
3 2
6 6
2 3 1
12 6 0
2

′
= − +

= − + + →

′′ ′′
= − → = ⇔ =


y x mx m
y x mx mx
m
y x m y x

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n có h
ệ
s
ố
góc là
2 2
3
6. 6 .
2 4 2 2
 
′
= = − + = − +
 
 
u
m m m m
k y m m m

Đườ
ng th
ẳ
ng ∆ có h
ệ
s
ố
góc xác
đị
nh b
ở
i
:4 1 0 4 1 4.
∆
∆ + + = ⇔ = − − → = −
x y y x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố

n song song v
ớ
i ∆ nên
2
2
2
3
4 3 2 8 0
4
2
3
∆
=


= ⇔ − + = − ⇔ − − = ⇔

= −


u
m
m
k k m m m
m

V
ậ
y, v
ớ

i
4
2;
3
= = −
m m thì ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là
(
)
2 24 12 13 24
′
= − = + + = +
tt
k y m m m
Đườ
ng th
ẳ
ng ∆′ có h
ệ
s
ố
góc xác
đị
nh b
ở
i
2 2 2
:2 3 2 0 3 2 2 .
3 3 3
′
∆

′
∆ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − → = −
x y y x y x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m x = −2 vuông góc v
ớ
i ∆′ nên
( )
2 45
. 1 13 24 1 26 48 3
3 26
′
∆
= − ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ = −
tt
k k m m m
Vậy, với
45
26
= −m thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số
3 2
( 2) 3.
= − − + +
y x m x mx

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1.
b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0.
Bài 2. đồ thị hàm số y = –x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1
Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
3 2,
y x x x
= + + +
có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k.
a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm.
b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau.
Bài 4. Cho hàm số y = x
4
+ mx
2
– m – 1.
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương
của đồ thị hàm số.

Bài 5. Cho hàm số
(
)
3 1
.
+ −
=
+
m x m
y
x m

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị

hàm s
ố
v
ớ
i tr
ụ
c Ox song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = –x –5.


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)
Ví dụ 1: Cho hàm số
2 1
,

1
−
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
,
2
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C).
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với
2
=
AB OA

Đ/s: d: x + y – 8 = 0
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2

+ mx + 1 có
đồ thị là (C
m
); (m là tham s
ố).
Xác định m để (C
m
) c
ắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) t
ại D và
E vuông góc với nhau.
Đ/s:
9 65
8
−
=m
Ví dụ 4:
(Trích
đề
thi
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A n
ă
m 2011)

Cho hàm s
ố

1
,
2 1
− +
=
−
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = x + m luôn c
ắ
t
đồ
th

ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t A, B v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m. G
ọ
i k
1
; k
2
là h
ệ
s
ố
góc c
ủ

a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i A, B. Tìm k
để
t
ổ
ng
1 2
+
k k

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ

/s:
(
)
1 2
min
1; 2
= − + = −
m k k
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho hàm s
ố

1
,
2
+
=
−
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). G
ọ
i I là giao
đ

i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C).
Tìm
đ
i
ể
m M trên
đồ
th
ị
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i

đồ
th
ị
t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng IM.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )
2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i

ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và giao
đ
i
ể
m hai

đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n có
tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
9.
Bài 3:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d

đ
i qua M(1 ; −2) và có h
ệ
s
ố
góc k.
a) Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d và
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ

t M(1 ; −2) ; A và B.
b) Tim k
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 4:
Cho hàm s
ố

3
– 3 1
= +
y x x

có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = mx + m + 3.
Xác
đị
nh m
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i M(−2; 3), N, P sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i N và P vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 5:
Cho hàm s

ố

3 2
– 3 4
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2; 0) có h
ệ
s
ố
góc k.
Xác
đị
nh k
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 6:
Cho hàm s
ố

3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −
y x m x m x có
đồ
th
ị

),(
m
C
m là tham s
ố
.
Tìm m
để
trên
)(
m
C
có hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
th
ỏ
a mãn
1 2
. 0
>
x x
và ti

ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
)(
m
C
t
ạ
i m
ỗ
i
đ
i
ể
m
đ
ó vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 3 1 0.
− + =
d x y

Bài 7:
Cho hàm s
ố

3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
y x m x m x m
(1) v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết
1
cos
α .
26
=
Bài 8:
Cho hàm số

3
1
−
=
+
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
, bi
ế

t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t tr
ụ
c
hoành t
ạ
i A, c
ắ
t tr
ụ
c tung t
ạ
i B sao cho OA = 4OB.
Bài 9: Cho hàm s
ố

3 2
( ) 6 9 3
= = + + +
y f x x x x (C).
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua
các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho
OA OB

2011.
=
.
Đ/s:
9
; 6039.
2
= =k k
HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ
Bài 1:
Cho hàm số
1
,
2
+
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Ta có
2
1 2 3 3 3
1
2 2 2
( 2)
+ − +
′

= = = + → = −
− − −
−
x x
y y
x x x
x

G
ọ
i
( )
( )
3 3
; 1 ;1 .
2 2
 
∈ ⇒ = + → +
 
− −
 
o o o o
o o
M x y C y M x
x x

Ta có
2
1
lim

2
1
lim 1
2
→
→∞
+

= ∞


−

+

=

−

x
x
x
x
x
x
, từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.
Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).

Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
( )

2
3
( 2)
′
= = −
−
tt o
o
k y x
x


Đườ
ng th
ẳ
ng IM có h
ệ
s
ố
góc
2
3
1 1
2
3
2
( 2)
 
− +
 

−
−
 
= = =
− −
−
o
I M
IM
I M o
o
x
y y
k
x x x
x

 Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i
đườ
ng IM khi
2 2
3 3

. 1 . 1
( 2) ( 2)
= − ⇔ − = −
− −
tt IM
o o
k k
x x

2
2 3 2 3
( 2) 3
2 3 2 3
 
− = = +
⇔ − = ⇔ ⇔
 
− = − = −
 
 
o o
o
o o
x x
x
x x

+ V
ớ
i

( )
3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= +
⇒
= + = + = + → + +
−
o o
o
x y M
x

+ V
ớ
i
( )
3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= −
⇒
= + = + = − → − −
−
−
o o
o
x y M

x

V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )
2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ

i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và giao
đ
i
ể

m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n có
tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
9.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
2
3
.
1
′

=
+
y
x
G
ọ
i
( )
2 1
;
1
−
 
∈
 
+
 
a
M a C
a

Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i M có h

ệ
s
ố
góc:
( )
2
3
( ) .
1
′
= =
+
tt
k y a
a
Giao
đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n I(−1; 2).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Đường thẳng IM có hệ số góc là
( )
2
3
.
1
−
−
= =
−
+
M I
IM
M I
y y
k
x x
a

Theo bài ta có
( ) ( )
( )
4
2 2
0
3 3
. 9 . 9 1 1
2
1 1

=

−
= − ⇔ = − ⇔ + = →

= −
+ +

tt IM
a
k k a
a
a a

V
ậ
y có 2
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
đề
bài là M(0;
−
3), M(
−
2; 5).
Bài 3:

Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(1 ; −2) và có h
ệ
s
ố
góc k.
a)
Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d và
đồ
th

ị
hàm s
ố

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M(1 ; −2) ; A và B.
b)
Tim k
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
t

ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)

Đườ
ng th
ẳ
ng d qua M(1 ; −2
)
và có h
ệ
s
ố
góc k nên có d
ạ
ng d : y = k(x − 1) − 2.
Ph

ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
:
3 2 3 2
2 3 ( 1) 2 2 1 ( 1)
− + − = − − ⇔ − + − = −
x x k x x x k x

2
2 2
1
( 1)( 1) ( 1)
1 ( ) 1 0, (1)
=

⇔ − − + + = − ⇔

− + + = ⇔ = − + − =


x
x x x k x
x x k g x x x k

Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và khác 1.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n

5
0 1 4( 1) 0
4
(1) 0 (1) 1 0
1

∆ > − − >
<
 

⇔ ⇔
  
≠ = − ≠
 

≠

k
k
g g k
k

V
ậ
y v
ớ
i
4
5
1


<



≠

k
k
thì hai
đồ
th
ị

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó có
đ
i

ể
m M(1 ; −2).
b)
G
ọ
i A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
)
⇒
x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a g(x) = 0, theo
đị
nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
1
1

+ =


= −

x x
x x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, B l
ầ
n l
ượ
t có h
ệ
s
ố
góc là
( )
( )
2
1 1 1
2
2 2 2
3 4

3 4

′
= = − +


′
= = − +


A
B
k y x x x
k y x x x

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A và B vuông góc v
ớ
i nhau khi
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2

. 1 3 4 3 4 1
= − ⇔ − + − + = −
A B
k k x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
9 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0
⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + =
x x x x x x x x k k k k k
Ph
ươ
ng trình trên vô nghi
ệ
m, v
ậ
y không có giá tr
ị
k nào th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 4:
Cho hàm s
ố

3
– 3 1

= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = mx + m + 3.
Xác
đị
nh m
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i M(−2; 3), N, P sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i N và P vuông góc v
ớ
i nhau.

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :

• Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và (d):
3
– ( 3) – – 2 0
+ =
x m x m
2
2
1 3
( 1)( – – – 2) 0
( ) 2 0
= − ⇒ =


⇔ + = ⇔

= − − − =

x y
x x x m
g x x x m

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
( )
9
1;3 , , , 0
4
M N P m m
− ⇔ > − ≠

Khi đó x
N
; x
P
là các nghiệm của phương trình
2
1
2 0
2
+ =

− − − = ⇒

= − −


N P
N P
x x
x x m
x x m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k
1
và k
2
thỏa mãn
2
1
2
2
3 3
3 3

= −

= −

N
P
k x
k x

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi
2

1 2
3 2 2
3
. 1 9 18 1 0
3 2 2
3

− +
=


= − ⇔ + + = ⇔
− −

=


m
k k m m
m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề

u ki
ệ
n ta
đượ
c
3 2 2
3
m
− ±
= là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

Bài 5: Cho hàm số
3 2
– 3 4
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ

ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2; 0) có h
ệ
s
ố
góc k.
Xác
đị
nh k
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t

ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = k(x
−
2).
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ

a (C) và d:
3 2 2
3 4 ( 2) ( 2)( 2 ) 0
x x k x x x x k
− + = − ⇔ − − − − =

( )
2
2
( ) 2 0, 1
A
x x
g x x x k
= =

⇔

= − − − =


Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
0
9
0
(2) 0
4
k
f
∆ >


⇔ ⇔ − < ≠

≠

(*)
Theo định lí Viet ta có:
1
2
M N
M N
x x
x x k
+ =


= − −


Các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M và N vuông góc v
ớ
i nhau khi
( ) ( )
. 1 . 1
M N

M N x x
k k y y
′ ′
= − ⇔ = −

⇔
2 2 2
3 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1 9 18 1 0
3
M M N N
x x x x k k k
− ±
− − = − ⇔ + + = ⇔ =
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
3 2 2
3

m
− ±
= là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài 6:
Cho hàm s
ố

3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −
y x m x m x có đồ thị
),(
m
C
m là tham số.
Tìm m để trên
)(
m
C
có hai điểm phân biệt
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
thỏa mãn

1 2
. 0
>
x x
và tiếp tuyến của
)(
m
C
tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng
: 3 1 0.
− + =
d x y

Hướng dẫn giải:
Ta có hệ số góc của
1
: 3 1 0 .
3
− + = ⇒ =
d
d x y k Do đó
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình
' 3
= −
y , hay
2 2

2 2( 1) 3 2 3 2 2( 1) 3 1 0
− + − + − = − ⇔ − − − − =
x m x m x m x m (1)
Yêu c
ầ
u bài toán t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
1 2
0
>
x x

2
3
' ( 1) 2(3 1) 0

1
3 1
1 .
0
3
2
 < −

∆ = − + + >


⇔ ⇔

− −

− < < −
>




m
m m
m
m

V
ậ
y k
ế

t qu
ả
c
ủ
a bài toán là
3
< −
m và
1
1 .
3
− < < −
m
Bài 7:
Cho hàm s
ố

3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
y x m x m x m
(1) v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để

đồ

th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
(1) có ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: x + y + 7 = 0 góc
α
, bi
ế
t
1
cos
α .
26
=
H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp
1
( ; 1)
= −

n k
Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là
2
(1;1)
=

n
Ta có
1
1 2
2
2
1 2
2
3
.
1
1
2
cos

α
12 26 12 0
2
26
2 1
3

=

−
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔


+
=


 
 
k
n n
k
k k
n n
k
k

Yêu c
ầ
u c

ủ
a bài toán th
ỏ
a mãn ⇔ ít nh
ấ
t m
ộ
t trong hai ph
ươ
ng trình:
1
'
=
y k
(1) và
2
'
=
y k
(2) có nghi
ệ
m x
⇔
2
2
3
3 2(1 2 ) 2
2
2
3 2(1 2 ) 2

3

+ − + − =



+ − + − =


x m x m
x m x m
⇔
/
1
/
2
0
0

∆ ≥

∆ ≥



có nghi
ệ
m
có nghi
ệ

m
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

⇔
2
2
8 2 1 0
4 3 0

− − ≥

− − ≥


m m
m m
⇔
1 1
;
4 2
3
; 1
4

≤ − ≥




≤ − ≥


m m
m m
⇔
1
4
≤ −
m hoặc
1
.
2
≥
m
Bài 8: Cho hàm số
3
1
−
=
+
x
y
x
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Hướng dẫn giải:
Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có
1

tan
4
= =
OB
A
OA
⇒
tiếp tuyến AB có hệ số góc là
1
4
= ±
k
Phương trình
2
3
4 1
'
5
4
( 1)
=

= ⇔ = ⇔ ⇔

= −
+

x
y k
x

x

+ với x = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình
1
( 3)
4
= −
y x
+ với x = -5 ⇒ y = 2, tiếp tuyến có phương trình
1 1 13
( 5) 2
4 4 4
= + + ⇔ = +y x y x


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(x
A
; y

A
) không thuộc đồ thị.
Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau :
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k
(
)
:
→ = − +
A A
d y k x x y

+
Đườ
ng th
ẳ
ng d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m :

(
)
(
)
( )
( ) , 1
( ), 2

= − +


′
=


A A
f x k x x y
k f x

+ Ta gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình trên b
ằ
ng cách th
ế
(2) lên (1). Gi

ả
i (1)
đượ
c x r
ồ
i thay l
ạ
i vào (2) tìm k, t
ừ

đ
ó ta
đượ
c ph
ươ
ng
trình d
ườ
ng d chính là ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm.
Ví dụ 1.
Cho hàm s
ố

3

6
= − −
y x x
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế
n
a)
ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: 2x – y + 1 = 0
b)
ti
ế
p tuy

ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d’: 4x – y + 2 = 0
c)
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua A(2; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
// câu c khi gi
ả
ng th
ầ

y chép nh
ầ
m
đề
bài,
đ
ang lúc nhìn ví d
ụ
1 thì có con gì bay vào m
ắ
t nên nhìn nh
ầ
m sang ví d
ụ
2,
các em thông c
ả
m cho th
ầ
y nhé. He he//
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

3
9
= − +
y x x

Vi

ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế
n
b)
ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x + 23y + 2 = 0
c)
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n

đ
i qua A(3; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố

3
9
= − +
y x x

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế
n k

ẻ
t
ừ
O(0; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
Ví dụ 4.
CMR không có ti
ế
p tuy
ế
n nào c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
=
+
x

y
x
đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm cận.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:
a) Biết tiếp tuyến đi qua
2
; 1
3
 
−
 
 
A
đến đồ thị hàm số y = x
3
– 3x + 1
b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số
(
)
2
2
2 .
= −y x
Bài 2.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
1; 2
−
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

2
.
2 1
+

=
−
x
y
x

Bài 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
0; 1
−
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
2.
= + − +
y x x x
Đ
/s:
4 1
= −
y x

Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số
3 2
2 3 1.

= − + +
y x x x

Đ/s:
3 1
= +
y x

Bài 5.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m A(3; 4)
đế
n
đồ
th

ị
hàm s
ố

3
2 5.
= − + +
y x x

Đ
/s:
7 0
+ − =
x y
Bài 6.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i

ể
m
1
;4
2
 
 
 
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

4 2
2 3.
= + −
y x x

Đ
/s:
8 8
= −
y x

Bài 7.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
1; 6
−
A
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
.
2
+
=
+
x
y
x

Đ/s:
3 3
= − −
y x
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số
2 3
.
2
−
=
−
x
y
x

Đ/s:
4
= − +
y x
Hướng dẫn giải:

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:
a) Biết tiếp tuyến đi qua
 
−
 
 
2
; 1
3
A
đến đồ thị hàm số y = x
3
– 3x + 1
Gọi d là đường thẳng qua
2
; 1
3
 
−
 
 
A và có hệ số góc k
2
: 1.
3
 
→ = − −
 
 
d y k x

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
3
– 3x + 1 thì hệ sau có nghiệm:
( )
( )
3
2
2
3 1 1, 1
3
3 3, 2

 
− + = − −
 

 


= −

x x k x
k x

Thế (2) lên (1) ta được
( )
3 2 3 2
0
2

3 1 3 3 1 2 2 0
1
3
=

 
− + = − − − ⇔ − = ⇔
 

=
 

x
x x x x x x
x

 Với
2
0 3 : 3 1 3 1
3
 
= ⇒ = − → = − − − ⇔ = − +
 
 
x k d y x y x

 Với
1 0 : 1.
= ⇒ = → = −
x k d y

b) Tiếp tuyến kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số
(
)
= −
2
2
2 .
y x
Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k
: 4.
→ = +
d y kx

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
)
2
2 4 2
2 4 4
= − = − +
y x x x thì h
ệ
sau có nghi
ệ
m:
(
)
( )
4 2

3
4 4 4, 1
4 8 , 2

− + = +


= −


x x kx
k x x

Ta có
( )
4 2
3
0
1 4
4
=

⇔ − = ⇔

= −

x
x x kx
k x x


V
ớ
i
(
)
0, 2 0 : 4
= ⇔ = → =
x k d y

V
ớ
i
3
3 3 3 3
2
3
0
4
4 4 4 8 3 4 0
4 2
4 8
3
3
=


= −



= − → → − = − ⇔ − = ⇔


= ⇔ = ±
= −




x
k x x
k x x x x x x x x
x x
k x x

+ N
ế
u x = 0 thì ta
đượ
c d : y = 4.
+ N
ế
u
2 8 8 16 16
: 4.
3 3 3 3 3 3 3 3
= ⇒ = − = − → = − +
x k d y x
+ N
ế

u
2 8 8 16 16
: 4.
3 3 3 3 3 3 3 3
= − ⇒ = − + = → = +
x k d y x
Bài 2. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
−
1; 2
A

đế

n
đồ
th
ị
hàm s
ố

+
=
−
2
.
2 1
x
y
x

G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng qua A(1;
−
2) và có h
ệ
s
ố
góc k

: ( 1) 2.
→ = − −
d y k x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2 1
+
=
−
x
y
x
thì hệ sau có nghiệm:
( )
( )
( )
2
2
( 1) 2, 1
2 1
5
, 2
2 1
+


= − −

−


−

=

−

x
k x
x
k
x

Thay (2) lên (1) ta được
( )
( )( ) ( ) ( )
2
2
2 5
( 1) 2 2 2 1 5 1 2 2 1 0
2 1
2 1
+ −
= − − ⇔ + − + − + − =
−

−
x
x x x x x
x
x

2
1
10 5 0
2
⇔ − = ⇔ = ±x x

V
ớ
i
( )
( )
2
1 5 5 5
: 1 2
2 2 2 3 2 2 3
2 1
−
= ⇒ = = → = − −
− −
−
x k d y x


V

ớ
i
( )
( )
2
1 5 5 5
: 1 2
2 3 2 2 3 2 2
2 1
− − −
= − ⇒ = = → = − −
+ +
− −
x k d y x

Nh
ậ
n xét : Ngoài cách gi
ả
i trên, ta còn có th
ể
th
ự
c hi
ệ
n bi
ế
n
đổ
i h

ệ
(1), (2) m
ộ
t cách linh ho
ạ
t h
ơ
n nh
ư
sau :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1 5
2 1
2 2
2 1 2
1 5 1 5
2 1 2 2
1 , 2 . 2 1 2
2 2 2 1 2
2 2 1
5
2 1


− +

= − − −

−
−
⇔ → + = − − −

−
−
−

=

−

x
k k
x
k
x
x
x
x
k
x

1 5 1 5 1 5 5 1 5
. . 2
2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 10

− −
⇔ + = − − − ⇔ = − − ⇔ =
− − − −
k k k
x x x x

Khi
đ
ó
( )
2 2
2
1 5
2 5. 5. 30 25 0 15 10 2
2 1 10
− −
   
⇔ = − ⇔ = − ⇔ + + = ⇔ = − ±
   
−
   
k
k k k k k
x

T
ừ đó ta được các tiếp tuyến cần tìm là
(
)
( )

15 10 2 1 2.
= − ± − −
y x

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831






1. KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC

Nguyên tắc:
+ Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc chẵn.
+ Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong bảng
xét dấu.
+ Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó.
+ Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo.

Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau
a)
2
( ) 3.
3 4
+
= +

−
x
f x
x
b)
1 3
( ) 2 .
1
= − −
−
f x
x x

c)
( 3)(3 2 )
( ) .
1
+ −
=
−
x x
f x
x
d)
4 2 2 1 5
( ) .
3 2 4
− +
= − −
x x

f x
e)
2
3 2
( ) .
1
− +
= −
−
x x
f x x
x
f)
2 2
( ) .
3 1 2 1
+ −
= −
+ −
x x
f x
x x

g)
2
1 1 2
( ) .
1
−
= + −

+
+
x
f x
x x
x x
h)
1 2 3
( ) .
2 2
= + −
− +
f x
x x x

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a)
1 2 3
.
3 2
+ <
+ +
x x x
b)
2
2 1 4
.
2 2
2
−

+ ≤
+
+
x
x x

c)
2
2
2 3 4 15
.
1 1
1
− − + +
+ ≥
− +
−
x x x x
x x
x
d)
4 3 2
2
3 2
0.
30
− +
>
− −
x x x

x x

e)
4 2
2
4 3
0.
8 15
− +
≥
− +
x x
x x
f)
( )
3 2
3 3
0.
2
− − +
>
−
x x x
x x

2. KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC

Nguyên t
ắ
c:

+ f(x) chia cho g(x)
đượ
c h(x) và d
ư
là k thì ta có th
ể
vi
ế
t
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
.= + ⇔ = +
f x
k
f x g x h x k h x
g x g x

+
Để
chia
đ
a th
ứ
c b
ằ
ng l

ượ
c
đồ
Hoocner ta ph
ả
i s
ắ
p x
ế
p
đ
a th
ứ
c chia theo l
ũ
y th
ừ
a gi
ả
m d
ầ
n, s
ố
h
ạ
ng nào khuy
ế
t ta
cho h
ệ

s
ố
b
ằ
ng 0.
+ Th
ự
c hi
ệ
n chia theo quy t
ắ
c:
đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo
.

Các ví d
ụ

đ
i
ể
n hình:
Ví dụ: Thực hiện các phép chia sau
a)
4 3 2
3 2
3
+ − +
=
+

x x x x
x
………
b)
3 2
3 2 10
1
− + − +
=
−
x x x
x
………
c)
2
2
1
+ +
=
−
x mx m
x
………
d)
(
)
2 2
2 2 2
2 1
+ − +

=
+
x m x
x
………
3. KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
Xét ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
4 3 2
0, 1 .
= + + + + =f x ax bx cx dx e
Tài liệu tham khảo:

01. CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ
Thầy Đặng Việt Hùng
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Nếu x = x
o
là một nghiệm của phương trình (1) thì
( ) ( )
( )
(
)

3 2
1 0
′ ′ ′
⇔ = − + + + =
o
f x x x ax b x c x d
(
)
3 2
′ ′ ′
→ = + + +
−
o
f x
ax b x c x d
x x


Nguyên tắc:
+ Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x =
−
1.
+ Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản như
0; ±1; ±2…
+ Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m bằng 0,
được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại.

Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)
(
)
4 3 2
2 4 3 2 1
= + − − −
f x x x x x

b)
(
)
3 2
4 2 7 1
= − − −
f x x x x

c)
(
)
(
)
(
)
3 2
1 1 2 1
= − + − − + −
f x x m x m x m

Hướng dẫn giải :
a)

(
)
4 3 2
2 4 3 2 1
= + − − −
f x x x x x

Xét phương trình
(
)
4 3 2
0 2 4 3 2 1 0
= ⇔ + − − − =
f x x x x x

Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
4 3 2
2 4 3 2 1
0 1 . 2 4 3 2 1
1
+ − − −
= ⇔ − = + − − − → =
−
x x x x
f x x g x x x x x g x
x

Dùng lược đồ Hoocner ta được
( )
( )
4 3 2
3 2 4 3 2 3 2
2 4 3 2 1
2 6 3 1 2 4 3 2 1 1 2 6 3 1
1
+ − − −
= + + + → + − − − = − + + +
−
x x x x
x x x x x x x x x x x
x

b)
(
)
3 2
4 2 7 1
= − − −
f x x x x

Xét ph
ươ
ng trình
(
)
3 2
0 4 2 7 1 0

= ⇔ − − − =
f x x x x

T
ổ
ng h
ệ
s
ố
b
ậ
c ch
ẵ
n là −2 − 1 = −3, t
ổ
ng h
ệ
s
ố
b
ậ
c l
ẻ
c
ủ
a ph
ươ
ng trình là 4 − 7 = −3
T
ừ

đ
ó ta th
ấ
y ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m x = −1.
Khi
đ
ó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
4 2 7 1
1 . 4 2 7 1 1 .
1
− − −
= + ⇔ − − − = + → =
+
x x x
f x x g x x x x x g x g x
x

Dùng l
ượ
c

đồ
Hoocner ta
đượ
c
( ) ( ) ( )
( )
3 2
2 3 2 2
4 2 7 1
4 6 1 4 2 7 1 1 4 6 1
1
− − −
= = − − → = − − − = + − −
+
x x x
g x x x f x x x x x x x
x

c)
(
)
(
)
(
)
3 2
1 1 2 1
= − + − − + −
f x x m x m x m

T
ổ
ng các h
ệ
s
ố

đ
a th
ứ
c là
(
)
(
)
1 1 1 2 1 0
− + − − + − =
m m m nên f(x) = 0 có m
ộ
t nghi
ệ
m x = 1.
Ti
ế
n hành chia
đ
a th
ứ
c ta
đượ

c
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
3 2 2
1 1 2 1 1 2 1
= − + − − + − = − − − +
f x x m x m x m x x mx m

Ví dụ 2:
Phân tích các
đ
a th
ứ
c sau thành nhân t
ử

a)
(
)
4 2
3 2 6
= − − + +
f x x x x
=
……………………………………………………………

b)
(
)

3 2
4 6 1
= + − +
f x x x x
=
………………………………………………………………

c)
(
)
3 2
= + − −
f x x mx x m
=
……………………………………………………………….

d)
(
)
(
)
3 2
2 1
= − + − +
f x x x m x m
=
……………………………………………………….

e)
(

)
3 2
6 8
= + − −
f x x x x
=
……………………………………………………………….

f)
(
)
3 2
2 4 4
= − − + −
f x x x x
=
…………………………………………………………….

4. KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Xét phương trình bậc hai:
(
)
(
)
2
0, 1
= + + =f x ax bx c

a) Giải và biện luận phương trình (1):

N
ế
u a
=
0 thì
(
)
(
)
1 0, *
⇔ + =bx c
+ n
ế
u b = 0 và c = 0 thì (*) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i x.
+ n
ế
u b = 0 và c
≠
0 thì (*) vô nghi
ệ

m.
+ n
ế
u b
≠
0 thì
( )
*
⇔ = −
c
x
b


Nếu a
≠
0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức
( )
2
2
4
; 2

∆ = −

′ ′ ′
∆ = − =


b ac

b ac b b

+ n
ế
u
∆
> 0 thì (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2
1;2
4
.
2 2
− ± ∆ − ± −
= =
b b b ac
x
a a

+ n
ế
u
∆
= 0 thì (1) có nghi
ệ
m kép
.

2
−
=
b
x
a

+ n
ế
u
∆
= 0 thì (1) vô nghi
ệ
m.
b) Hệ thức Vi-ét:
Khi (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
và x
2
thì ta có h
ệ
th
ứ
c Vi-ét:
1 2
1 2


= + = −




= =


b
S x x
a
c
P x x
a

M
ộ
t s
ố
các k
ế
t qu
ả
c
ầ
n l
ư
u ý:


( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
+ = + − = −
x x x x x x S P



( ) ( )
3
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
+ = + − + = −
x x x x x x x x S SP



(
)
(
)
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
x x x x x x S P P

+ = + − = − −



( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
4 4
− = + − = −
x x x x x x S P

c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:

Ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
dương
phân bi
ệ
t khi
2
1 2
1 2
1 2
4 0
0
0

; 0
0


− >

∆ >

−

⇔ = + = >
 
>



= = >


b ac
b
S x x
x x
a
c
P x x
a


Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi

2
1 2
1 2
1 2
4 0
0
0
; 0
0


− >

∆ >

−

⇔ = + = <
 
<



= = >


b ac
b
S x x
x x

a
c
P x x
a


Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔
ac < 0.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi
( )( )
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2 1 2
4 0 4 0
0
0
2
α 2α 2α
α
α α 0
α α 0
α α 0




− > − >

∆ >


∆ >


− −
 
⇔ + > ⇔ = + = > ⇔ = + = >
   
>

  
− − >

 
− + + >

+ + >


b ac b ac
b b
x x S x x S x x
x ,x
a a

x x
c b
x x x x
.
a a

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi
( )( )
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2 1 2
4 0 4 0
0
0
2
α 2α 2α
α
α α 0
α α 0
α α 0




− > − >

∆ >


∆ >


− −
 
⇔ + < ⇔ = + = < ⇔ = + = <
   
<

  
− − >

 
− + + >

+ + >


b ac b ac
b b
x x S x x S x x
x ,x
a a

x x
c b
x x x x
.
a a


Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi
( )
2
1 2
0 0
0
; α α 0
α α 0
∆ > ∆ >

∆ > 

 
⇔ ⇔
  
≠ ≠
+ + ≠




x x g
a b c


Ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m và nghi
ệ
m này l
ớ
n h
ơ
n α khi
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
0
0
0
α
α

α
α
2
2
2
2
0
0
0
0
α α α 0
α α 0
α α 0

∆ =


∆ =

∆ =

 
∆ =









−


−
−
−

= = >




= = >
= = >
= = >










⇔ ⇔ ⇔





∆ >



∆ >
∆ >

∆ >

  




   



< < − − <
− + + <
+ + <




 







b
b
b
b
x x
x x
x x
x x
a
a
a
a
c b
x x x x
x x x x .
a a


Ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m và nghi
ệ
m này nh

ỏ
h
ơ
n α khi
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
0
0
0
α
α
α
α
2
2
2
2
0
0
0
0
α α α 0

α α 0
α α 0

∆ =


∆ =

∆ =

 
∆ =








−


−
−
−

= = <





= = <
= = <
= = <










⇔ ⇔ ⇔




∆ >



∆ >
∆ >

∆ >

  





   



< < − − <
− + + <
+ + <




 






b
b
b
b
x x
x x
x x
x x

a
a
a
a
c b
x x x x
x x x x .
a a

Ví dụ 1: Cho ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2
1 4 2 3 0, 1
+ + + + =m x mx m
a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn
−
1.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả

i :
a)
Giải và biện luận phương trình.

Nếu m + 1 = 0
⇔
m =
−
1 thì
( )
5
1 4 5 0 .
4
x x
⇔ − − = ⇔ = −

 N
ế
u m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai có
(
)
(
)
2 2
4 1 2 3 2 5 3
m m m m m

′
∆ = − + + = − −

+ Nếu
2
1
0 2 5 3 0 3
2
m m m
′
∆ < ⇔ − − < ⇔ − < <
thì (1) vô nghiệm.
+ Nếu
2
3
0 2 5 3 0
1
2
m
m m
m
=


′
∆ = ⇔ − − = ⇔

= −

thì (1) có nghiệm kép

2
.
1
b m
x
a m
′
−
= − =
+

+ Nếu
2
3
0 2 5 3 0
1
2
m
m m
m
>


′
∆ > ⇔ − − > ⇔

< −

thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
2

1;2
2 2 5 3
.
1
m m m
x
m
− ± − +
=
+

b)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
( )
2
3
0 2 5 3 0 *
1
2
m
m m
m
>


′
∆ > ⇔ − − > ⇔

< −


Gọi hai nghiệm phân biệt là x
1
; x
2
với x
2
> x
1
.
Theo
định lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
4
1
2 3
1
b m
x x
a m
c m
x x
a m

+ = − =


+


+

= =

+


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Hai nghiệm đều dương khi
1 2
1 2
1 0
4
0
0
1
1
.
0 2 3
3
0
1
2
o
m
m
x x
m

m
vn
x x m
m
m
− < <


− >


+ >

  > −
+

⇔ ⇔ →
  

> +

 
>

< −


+





c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi
(
)
(
)
1 2
1 2
1 1 0
2
x x
x x
 + + >


+ < −



( )
1 2 1 2
1 2
2 3 4 4
1 4
1 0 0
1 0
1 1 1
1 4.
1

4 4
2
2 2 0
1
1 1
m m m
m
x x x x
m m m
m
m
m m
x x
m
m m
+ − +
 
− < <

− + > >
 
 + + + >
   
+ + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
>

   
+ < −




  
− < − − >
< −


 
+ +
 

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) v
ể
t
ồ
n t
ạ
i hai nghi
ệ

m phân bi
ệ
t ta
đượ
c 3 < m < 4 là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 2:
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
2
2 2 1 0, 1
x x mx m+ + − + =
.
a) Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi

ệ
t.
b) Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó có hai nghi
ệ
m âm.
c) Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
; x
3
th

ỏ
a mãn
2 2 2
1 2 3
7.
x x x
+ + <

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
( )
( )
2
2
1
( ) 2 1 0, 2
x
g x x mx m
= −

⇔

= + − + =




Ph
ươ
ng trình (1) có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi ph
ươ
ng trình (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và khác −2.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi
( )
( )
2
2
4 2 5
0

4 1 2 0
8 4 0
4 2 5
*
4 5
( 2) 0
4 2 2 1 0
5
4
g
m
m m
m m
m
m
g
m m
m


> − +


∆ >


− − >
+ − >
  
< − −



⇔ ⇔ ⇔
   
≠
− ≠
− − + ≠






≠



V
ậ
y v
ớ
i
4 2 5
4 2 5
5
4
m
m
m



> − +



< − −




≠


thì ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b)
Do nghi
ệ
m x = −2 < 0 nên
để
(1) có 3 nghi
ệ
m trong

đ
ó 2 nghi
ệ
m âm thì (2) ph
ả
i có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u.
T
ừ

đ
ó ta có
1
0 1 2 0 .
2
P m m
< ⇔ − < ⇔ >

Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Không mất tính tổng quát, giả sử x
1
= −2. Khi đó x
2
; x
3
là hai nghiệm phân biệt của (2).
Theo định lí Vi-ét ta được

2 3
2 3
1 2
x x m
x x m
+ = −


= −


Khi
đ
ó
( )
( )
2
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
7 4 2 7 2 1 2 3 0 4 5 0 5 1.
x x x x x x x m m m m m
+ + < ⇔ + + − < ⇔ − − − < ⇔ + − < ⇔ − < <

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i

đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
4 2 5 1
m
− + < <
là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
2
1 2 1 0.
− − + + =
m x mx m
a)
Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m ≠ 1.
b)
Xác
đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
để
ph
ươ
ng trình có tích hai nghi
ệ

m b
ằ
ng 5, t
ừ

đ
ó hãy tính t
ổ
ng hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
c)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x
1
, x
2
tho
ả
mãn h
ệ

th
ứ
c
1 2
2 1
5
0.
2
+ + =
x x
x x

Bài 2: Cho hàm số y = (x – 1)(x
2
+ mx + m).
a) Với m = 2, tính
'
y
và giải phương trình
' 0
y
=
.
b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x
1
; x

2
; x
3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
4.
+ + <
x x x

d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình mx
2
– 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình thoả mãn x
1
+ 4x
2
= 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.

Bài 4: Cho phương trình
2
1 0
− + − =
x mx m , (v
ớ
i m là tham s
ố
).

a)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng ph
ươ
nh trình có nghi
ệ
m x
1
, x
2
v
ớ
i m
ọ
i m. Tính nghi

ệ
m kép (n
ế
u có) c
ủ
a ph
ươ
ng trình và giá tr
ị
c
ủ
a
m t
ươ
ng
ứ
ng
b)

Đặ
t
2 2
1 2 1 2
6 .
= + −
A x x x x


Ch
ứ

ng minh A = m
2
– 8m + 8.

Tìm m
để
A = 8,

Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a A và giá tr
ị
c
ủ
a m t
ươ
ng
ứ
ng.
c)
Tìm m sao cho ph
ươ
ng trình có nghi
ệ

m này b
ằ
ng hai l
ầ
n nghi
ệ
m kia.
d)
Tim m
để
ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
đề
u l
ớ
n h
ơ
n 1.
Bài 5:
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2

1 2 3 0.
x x mx m
− + + − =

a)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
đề
u d
ươ
ng.
c)
Tìm m

để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
; x
3
th
ỏ
a mãn
2 2 2
1 2 3
15.
x x x+ + =

d)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ

t, trong
đ
ó có hai nghi
ệ
m âm.

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831




Xét hàm số bậc ba :
3 3 2
3 3
′
= + + + ⇒ = + +
y ax bx cx d y ax bx c

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

N
ế
u a = 0 thì
3 0
3
′ ′
= + → = ⇔ = −
c

y bx c y x
b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
 Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức
là ∆ ≤ 0.
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.
Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số
( )
= + − − −
3 2
1
1 1
3
y x m x mx
tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
(
)
2
2 1 .
′
= + − +
y x m x m



Hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
khi y′ không
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh (hay hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n ho
ặ
c ngh
ị
ch bi
ế
n trên
mi
ề
n xác

đị
nh),
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 vô nghi
ệ
m ho
ặ
c có nghi
ệ
m kép.
T
ừ

đ
ó ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
2
2

3 5 3 5
0 1 0 3 1 0 .
2 2
− +
′
∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m

Hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
khi y′
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 có hai nghi

ệ
m phân bi
ệ
t.
2
3 5
2
0 3 1 0
3 5
2

+
>


⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔

−
<


m
m m
m

Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
3 5 3 5
2 2
− +

≤ ≤m
- Hàm số có hai cực trị khi
3 5 3 5
; .
2 2
+ −
≥ ≤m m
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số
(
)
= + − + + −
3 2
2 2 3
y mx m x mx m
tùy theo giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
(
)
2
3 2 2 2 .
′
= + − +
y mx m x m

TH1 :
m = 0.
Khi đó
4 ; 0 0
′ ′
= − = ⇔ =
y x y x
, trong trường hợp này hàm số có một cực trị.
TH2 :
m ≠ 0.
 Hàm số không có cực trị khi
2
0
2 2 6
2 2 6
0
0
5
5
0
5 4 4 0
2 2 6
2 2 6
5
5
≠




− +

≥
− +


≠

≠

 
≥


⇔ ⇔ ⇔
  

′
∆ ≤

+ − ≥

− −




≤
− − 


≤





m
m
m
m
m
m m
m
m

Tài liệu tham khảo:

02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
Thầy Đặng Việt Hùng
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
 Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
2 2 6 2 2 6
0
0
5 5
0
5 4 4 0

0

− − − +
≠

≠

< <
 
⇔ ⇔ ⇔
  
′
∆ >
+ − <




≠

m
m
m
m m
m

Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
2 2 6 2 2 6
; .

5 5
− + − −
≥ ≤m m
- Hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
khi m = 0.
- Hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
khi
2 2 6 2 2 6
5 5
0

− − − +
< <



≠


m
m

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
Tìm m
để
các hàm s
ố
sau
đ
ây có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u:
a)
(
)
3 2 2
2 1 2
= − + − +
y x mx m x

b)
(

)
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 3 2 1
= − − + − + − −
y x m x m m x m m

Bài 2.
Tìm m
để
hàm s
ố

(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
= + − + − + +
y x m x m x m không có c
ự
c tr
ị
.
Bài 3.
Bi

ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

( ) ( )
3 2
1
1 3 2 1
3
= + + + − +
y m x mx m x

DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại và cực
tiểu).
Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x
1
; x
2
. Khi đó x

1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2

+ = −




=


B
x x
A
C
x x
A

Phương pháp thực hiện :
+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆ > 0, (*)
+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn.
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng.
Ta xét một số dạng tính chất điển hình.

Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x
o


Cách 1 (sử dụng điều kiện cần và đủ):
+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
(
)
0 .
′
= ⇔ = →
o o
x x y x m

+ V
ớ
i m tìm
đượ
c, thay vào hàm s
ố
r
ồ
i kh
ả
o sát, t
ừ
b
ả
ng bi
ế

n thiên ta có k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, hay
c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m x
o
hay không.

Cách 2 (s

ử
d
ụ
ng y’’) :
+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
(
)
( )
0
.
0
′

=

= ⇔ →

′′
<



o
o
o
y x
x x m
y x

+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
(
)
( )
0
.
0
′

=

= ⇔ →


′′
>


o
o
o
y x
x x m
y x

Chú ý:
Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
(
)
( )
0
0
′


=

= ⇔

′′
≠


o
o
o
y x
x x
y x

Ví dụ mẫu: Cho hàm số
= − + − +
3 2
1
( 2) 1.
3
y x m x mx
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải :

Ta có
(
)
2
2( 2) 2 2 2 .
′ ′′
= − + − ⇒ = − +y x m x m y x m

a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
1
0 5 4 0
4
> −

′
⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔

< −

m
m m
m

b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.


 Cách 1:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì
(

)
0 0 0.
′
= ⇔ =
y m

+ Với m = 0 thì ta có
2
0
4 0
4
=

′
= − = ⇔

=

x
y x x
x

Ta có bảng biến thiên:
x
−∞ 0 4 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
CĐ +∞

−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.


 Cách 2:
Hàm số đạt cực đại tại
(
)
( )
0 0
0
0 0
2( 2) 0
0 0
′

=
=


= ⇔ ⇔ ⇔ =
 
− + <
′′
<



y

m
x m
m
y

V
ậ
y m = 0 thì hàm s
ố

đ
ã cho
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 0.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti

ể
u t
ạ
i t
ạ
i x = 2.


 Cách 1:
+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2 thì
( )
4
2 0 4 4( 2) 0 5 4 .
5
′
= ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = −
y m m m m

+ V
ớ

i
2 2
2
4 4 4 12 4
2 2 0
2
5 5 5 5 5
5
=

 

′ ′
= − → = − − + ⇔ = − + = ⇔
 

=
 


x
m y x x y x x
x

Ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên:
x

−∞
2
5
2 +∞

y’
+ 0
−
0 +
y
CĐ +
∞


−∞
CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x
= 2.
Vậy
4
5
= −
m là giá trị cần tìm.


 Cách 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
( )

4
2 0
5 4 0
4
2 .
5
2 0
5
2 0
0

′
 =
+ =
= −

 
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
  
− >
′′
>




<

y
m

m
x m
m
y
m

V
ậ
y
4
5
= −
m thì hàm s
ố

đ
ã cho
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho hàm s
ố

3 2

(2 1) 2 3.
= − + − + −
y x m x mx

a)
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t

ạ
i t
ạ
i x = −1.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 3.
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.

Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương.
Khi đó ta có
1 2
2 1
1 2
0
0

0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−

>

= + >


> > → ⇔
 
= >


>




Hai
đ
i
ể

m c
ự
c tr
ị
cùng có hoành
độ
âm.
Khi
đ
ó ta có
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−

<

= + <



< < → ⇔
 
= >


>




Hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
có hoành
độ
trái d
ấ
u.
Khi
đ
ó ta có
1 2 1 2
0 0 0
C

x x P x x
A
< < ⇔ = < ⇔ <


Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α.
Khi đó ta có
( )( )
( )
2
2
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
α α
0
α α
0
α α
0
α
2
α
2
α
2
α
C B
x x x x

x x
A A
x x
B
x x
B
A
A

−
 

− + >
− + + >
 


− − >
  
 
> > ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ >
−
>


 
>






Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α.
Khi
đ
ó ta có
( )( )
( )
2
2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
α α
0
α α
0
α α
0
α
2
α
2
α
2
α

C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B
A
A

−
 

− + >
− + + >
 


− − >
  
 
< < ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ <
−
<



 
<





Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x
1
<
α
< x
2
.
Khi
đ
ó ta có
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
α α α 0 α α 0 α α 0
−
 
< < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <
 
 
C B
x x x x x x x x
A A

Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2

+ = −




=


B
x x
A
C
x x
A

Ví dụ 1: Cho hàm số

= + − − +
3 2
( 1) 3 .
y x m x mx m

a) Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b) Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự

c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
+ =
1 2
1 2
1 1
2 .
x x
x x

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 2( 1) 3
′
= + − −
y x m x m

a)

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
2 2
7 3 5
2
0 ( 1) 9 0 7 1 0 *
7 3 5
2

− +
>


′

⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔

− −
<


m
m m m m
m